【323890】2024八年级数学下册 第8章 一元二次方程综合素质评价鲁教版五四制

第八章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．【2023·青岛城阳区期中】下列式子是一元二次方程的是(　　)

A．x²－5x－3 B．x²－1＝y

C．5x＋1＝0 D．7－x(x－1)＝5

2．方程(x＋1)(x＋2)＝0化为一般形式后，常数项为(　　)

A．6 B．－8 C．2 D．－4　

3．观察下列表格，一元二次方程x²－x＝1.1的一个解x所在的范围是(　　)

A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9

4．关于x的一元二次方程(m＋1)x²＋m²x＋m＝0的一次项的系数为1，则m的值为(　　)

A．－1 B．±1 C．1 D．0　

5．【2023·济宁曲阜市期末】用配方法解方程x²－8x＋10＝0，配方后的方程是(　　)

A．(x－8)²＝6 B．(x－4)²＝－6 C．(x－4)²＝6 D．(x－8)²＝54

6．【2022·辽宁】下列一元二次方程无实数根的是(　　)

A．x²＋x－2＝0 B．x²－2x＝0 C．x²＋x＋5＝0 D．x²－2x＋1＝0

7．【2023·北京】若关于x的一元二次方程x²－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为(　　)

A．－9 B．－ C． D．9

8．【2022·遂宁】已知m为方程x²＋3x－2 022＝0的根，那么m³＋2m²－2 025m＋2 022的值为(　　)

A．－2 022 B．0 C．2 022 D．4 044

9．【2023·乐山】若关于x的一元二次方程x²－8x＋m＝0的两根为x₁，x₂，且x₁＝3x₂，则m的值为(　　)

A．4 B．8 C．12 D．16

10．方程x(x－1)＝2的两根为(　　)

A．x₁＝0，x₂＝1 B．x₁＝0，x₂＝－1

C．x₁＝1，x₂＝2 D．x₁＝－1，x₂＝2

11．【2023·滨州滨城区期末】九年级学生毕业时，每名同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2 070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为(　　)

A．x(x－1)＝2 070 B．x(x＋1)＝2 070

C．x(x＋1)＝2 070 D．x(x－1)＝2 070

12．【2022·湖北】若关于x的一元二次方程x²－2mx＋m²－4m－1＝0有两个实数根x₁，x₂，且(x₁＋2)(x₂＋2)－2x₁x₂＝17，则m的值为(　　)

A．2或6 B．2或8 C．2 D．6

二、填空题(每题3分，共18分)

13．【2023·临沂兰山区月考】方程x²－c＝0的一个根为x＝2 022，则另一个根为 x＝________．

14．【2023·辽宁】若关于x的一元二次方程x²－x＋k＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．

15．【2023·内蒙古】若x₁，x₂是一元二次方程x²－2x－8＝0的两个实数根，则 ＝________．

16．关于x的一元二次方程x²＋bx＋c＝0的两个实数根分别为2和－3，则分解因式：x²＋bx＋c＝____________．

17．【2023·济南槐荫区一模】若菱形的两条对角线长是方程x²－7x＋12＝0的两个根，则该菱形的周长等于________．

18．在平面直角坐标系中，若直线y＝－x＋m不经过第一象限，则关于x的方程mx²＋x＋1＝0的实数根的个数为________．

三、解答题(19题6分，20～22题每题8分，23～25题每题12分，共66分)

19．【2023·青岛胶州市校级月考】解方程：

(1)x²－2x－2＝0(配方法)；

(2)3x²－x－1＝0；

(3)3x²＋5(2x＋1)＝0.

20．【2023·荆州】已知关于x的一元二次方程kx²－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围．

(2)当k＝1时，用配方法解方程．

21．【2023·大连】某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加，2020年购书费用为5 000元，2022年购书费用为7 200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率．

22．【新定义题】定义：如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)满足a－ b＋c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．

(1)判断一元二次方程2x²＋5x＋3＝0是否为黄金方程，并说明理由．

(2)已知3x²－ax＋b＝0是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．

23．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²－2(n－1)x＋n²－2n＝0的两个根，第三边BC的长是10.

(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

(3)当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

24．【2023·泰安肥城市开学】某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件45元，每月可卖出1 500件，市场前期调查反映，如调整价格，每件每涨价1元，每月少卖出60件，每月销量不少于1 200件．

(1)每件售价最高为多少元？

(2)实际销售时，发现商品积压较多，为尽快减少库存，经重新调查评估，发现每件在最高售价的基础上降价销售，每降价1元，每月销量比最低销量1 200件多卖120件，要使利润达到25 920元，则每件应降价多少元？

25．【2022·黄石】阅读材料，解答问题：

材料1　为了解方程(x²)²－13x²＋36＝0，如果我们把x²看作一个整体，然后设y＝x²，则原方程可化为y²－13y＋36＝0，经过运算，原方程的解为x_1，2＝±2，x_3，4＝±3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2　已知实数m，n满足m²－m－1＝0，n²－n－1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x²－x－1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数关系可知m＋n＝1，mn＝－1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程x⁴－5x²＋6＝0的解为______________________________．

(2)间接应用：

已知实数a，b满足：2a⁴－7a²＋1＝0，2b⁴－7b²＋1＝0且a≠b，求a⁴＋b⁴的值．

(3)拓展应用：

已知实数m，n满足：＋＝7，n²－n＝7且n＞0，求＋n²的值．

答案

一、1．D　【点拨】A．x²－5x－3是代数式；B．x²－1＝y中含有两个未知数，不是一元二次方程；C．5x＋1＝0是一元一次方程；D．7－x(x－1)＝5是一元二次方程．

2．C　【点拨】(x＋1)(x＋2)＝0化为一般形式后为x²＋3x＋2＝0，常数项为2.

3．B　【点拨】∵0.96＜1.1＜1.19，∴1.6＜x＜1.7.

4．C　【点拨】∵关于x的一元二次方程(m＋1)x²＋m²x＋m＝0的一次项的系数为1，∴m²＝1，∴m＝±1.∵m＋1≠0，∴m≠－1，∴m＝1.

5．C　【点拨】x²－8x＋10＝0，x²－8x＝－10，x²－8x＋16＝－10＋16，即(x－ 4)²＝6.

6．C　【点拨】A．Δ＝1²－4×1×(－2)＝9＞0，则该方程有两个不相等的实数根；B．Δ＝(－2)²－4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根；C．Δ＝1²－4×1×5＝－19＜0，则该方程无实数根；D．Δ＝(－2)²－4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根．

7．C　【点拨】∵关于x的一元二次方程x²－3x＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b²－4ac＝(－3)²－4m＝0，解得m＝.

8．B　【点拨】∵m为方程x²＋3x－2 022＝0的根，∴m²＋3m－2 022＝0，

∴m²＋3m＝2 022，

∴原式＝m³＋3m²－m²－3m－2 022m＋2 022

＝m(m²＋3m)－(m²＋3m)－2 022m＋2022

＝2 022m－2 022－2 022m＋2 022

＝0.

9．C　【点拨】∵一元二次方程x²－8x＋m＝0的两根为x₁，x₂，∴x₁＋x₂＝8.

又∵x₁＝3x₂，∴3x₂＋x₂＝8，解得x₂＝2，∴x₁＝6，∴m＝x₁x₂＝12.

10．D

11．D　【点拨】根据“x名同学都将自己的相片送给全班其他同学，共送出x(x－1)张”可列方程．

12．A　【点拨】∵关于x的一元二次方程x²－2mx＋m²－4m－1＝0有两个实数根x₁，x₂，∴Δ＝(－2m)²－4(m²－4m－1)≥0，即m≥－，x₁x₂＝m²－4m－1，x₁＋x₂＝2m，∵(x₁＋2)(x₂＋2)－2x₁x₂＝17，∴x₁x₂＋2(x₁＋x₂)＋4－2x₁x₂＝17，即 2(x₁＋x₂)＋4－x₁x₂＝17，∴4m＋4－m²＋4m＋1＝17，即m²－8m＋12＝0，解得m＝2或m＝6.

二、13．－2 022　【点拨】形如x²－c＝0的方程的两个根互为相反数，所以另一个根为x＝－2 022.

14．k≤－　【点拨】根据题意得Δ＝(－1)²－4×(k＋1)≥0，解得k≤－ .

15．－　【点拨】根据题意得x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝－8，

则＝＝－ .

16．(x－2)(x＋3)

17．10　【点拨】原方程可化为(x－3)(x－4)＝0，∴x＝3或x＝4，∵菱形的两条对角线长是方程x²－7x＋12＝0的两个根，∴菱形的两条对角线长为3，4，∴菱形的边长为＝2.5，∴菱形的周长为4×2.5＝10.

18．1个或2个　【点拨】∵直线y＝－x＋m不经过第一象限，∴m≤0.当m＝0时，方程mx²＋x＋1＝0为x＋1＝0，解得x＝－1；当m＜0时，Δ＝1－4m＞0，∴方程有两个不相等的实数根，综上所述，关于x的方程mx²＋x＋1＝0的实数根的个数为1个或2个．

三、19．【解】(1)x²－2x－2＝0，x²－2x＝2，x²－2x＋1＝3，即(x－1)²＝3，∴x－ 1＝±，∴x₁＝1＋，x₂＝1－；

(2)3x²－x－1＝0，这里a＝3，b＝－1，c＝－1，∴b²－4ac＝(－1)²－4×3× (－1)＝13＞0，∴x＝＝，∴x₁＝，x₂＝；

(3)3x²＋5(2x＋1)＝0，3x²＋10x＋5＝0，这里a＝3，b＝10，c＝5，∴b²－ 4ac＝10²－4×3×5＝40＞0，∴x＝＝，

∴x₁＝，x₂＝.

20．【解】(1)∵关于x的一元二次方程kx²－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝(2k＋4)²－4k(k－6)＞0，且k≠0，解得k＞－ 且k≠0；

(2)当k＝1时，原方程为x²－(2×1＋4)x＋1－6＝0，即x²－6x－5＝0，移项得x²－6x＝5，配方得x²－6x＋9＝5＋9，即(x－3)²＝14，直接开平方得x－3＝ ±，解得x₁＝3＋，x₂＝3－.

21．【解】设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，

根据题意得5 000(1＋x)²＝7 200，

解得x₁＝0.2＝20%，x₂＝－2.2(不符合题意，舍去)．

答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%.

22．【解】(1)一元二次方程2x²＋5x＋3＝0是黄金方程，理由如下：由题意得a＝2，b＝5，c＝3，∴a－b＋c＝2－5＋3＝0，∴一元二次方程2x²＋5x＋3＝0是黄金方程；

(2)∵3x²－ax＋b＝0是关于x的黄金方程，∴3＋b－(－a)＝0，∴b＝－a－3，∴原方程为3x²－ax－a－3＝0，∵a是此黄金方程的一个根，∴3a²－a²－a－ 3＝0，即2a²－a－3＝0，∴(a＋1)(2a－3)＝0，解得a＝－1或a＝.

23．(1)【证明】∵Δ＝[－2(n－1)]²－4(n²－2n)＝4＞0，∴无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)【解】由(1)知无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．又∵第三边BC的长是10，∴当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，把x＝10代入x²－2(n－1)x＋n²－2n＝0，得100－20(n－1)＋n²－2n＝0，解得n₁＝12，n₂＝10.①当n＝12时，原方程可化为x²－22x＋120＝0，设等腰三角形的底边长为m，由根与系数的关系，得m＋10＝22，∴m＝12，∴△ABC的周长为10＋10＋12＝32；②当n＝10时，原方程可化为x²－18x＋80＝0，设等腰三角形的底边长为q，由根与系数的关系，得10＋q＝18，解得q＝8， ∴△ABC的周长为10＋10＋8＝28.综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28.

(3)【解】∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²－2(n－1)x＋n²－2n＝0的两个根，∴AB＋AC＝2(n－1)，AB·AC＝n²－2n，∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，∴AB²＋AC²＝BC²，即4(n－1)²－2(n²－2n)＝100，解得n₁＝8，n₂＝－6.当n＝8时，AB＋AC＝2×(8－1)＝14，符合题意，当n＝－6时，AB＋AC＝2×(－6－1)＝－14，不符合题意．综上，当n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

24．【解】(1)设每件的售价为x元，依题意得1 500－60(x－45)≥1 200，解得x≤50.

答：每件售价最高为50元．

(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(50－y－30)元，每月的销量为 (1 200＋120y)件，依题意得(50－y－30)(1 200＋120y)＝25 920，解得y₁＝2， y₂＝8.又∵要尽快减少库存，∴y＝8.

答：每件应降价8元．

25．【解】(1)x₁＝，x₂＝－，x₃＝，x₄＝－

(2)∵a≠b，∴a²≠b²或a²＝b².①当a²≠b²时，令a²＝m，b²＝n.∴m≠n，2m²－ 7m＋1＝0，2n²－7n＋1＝0，∴m，n是方程2x²－7x＋1＝0的两个不相等的实数根，∴此时a⁴＋b⁴＝m²＋n²＝(m＋n)²－2mn＝.②当a²＝b² (a＝－b)时，a²＝b²＝，此时a⁴＋b⁴＝2a⁴＝2(a²)²＝，综上所述，a4＋b4＝或.

(3)令＝a，－n＝b，则a²＋a－7＝0，b²＋b－7＝0，∵n＞0，∴≠－n，即a≠b，∴a，b是方程x²＋x－7＝0的两个不相等的实数根，∴故 ＋n²＝a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝15.