第06讲一元二次方程组的应用及跟与系数的关系

（核心考点讲与练）

一．由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．

二．一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）²，即原数×（1+增长百分率）²＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

三．一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．

②根据题中的不等关系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④写出符合题意的解．

四．一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．

五．根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x₁，x₂是方程x²+px+q＝0的两根时，x₁+x₂＝﹣p，x₁x₂＝q，反过来可得p＝﹣（x₁+x₂），q＝x₁x₂，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝ ，x₁x₂＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x₁+x₂）， ＝x₁x₂．

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x₁²+x₂²等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．

六．高次方程

（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．

（2）高次方程的解法思想：

通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．

对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．

七．无理方程

（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．

（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程。

（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．

解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．

（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．

一．由实际问题抽象出一元二次方程（共7小题）

1．（余姚市期末）某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　400（1﹣x）²＝288　．

【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣降价率）²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，

依题意得：400（1﹣x）²＝288．

故答案为：400（1﹣x）²＝288．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

2．（镇海区校级期末）由于受疫情影响某超市营业额增长缓慢，超市一月份的莒业额为36万元，三月份营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下列方程正确的是（　　）

A．36（1﹣x）²＝48 B．36（1+x）²＝48

C．36（1﹣x）²＝48﹣36 D．48（1﹣x）²＝36

【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：36（1+x）²＝48．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3．（大石桥市期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x²＝540

C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540

【分析】设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，

依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4．（内江期末）从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 米，竖着比城门高 米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度．若设竹竿长x米，则根据题意，可列方程（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可．

【解答】解：设竹竿的长为x米．

由题意得 ．

故选：B．

【点评】考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．

5．（达川区期末）如图，有一块长21m，宽10m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90m²．设人行通道的宽度为xm，根据题意可列方程：　（21﹣3x）（10﹣2x）＝90　．

【分析】设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积和为90m²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，

依题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．

故答案为：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6．（浦江县期末）把面积为5m²的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两部分，设正方形的边长为x（m），则列出的方程化为一般形式是　x²+3x﹣5＝0　．

【分析】设正方形的边长为xm，根据正方形和矩形的面积公式列方程即可．

【解答】解：设正方形的边长为xm，

根据题意得，x²+3x＝5，

化为一般形式是x²+3x﹣5＝0，

故答案为：x²+3x﹣5＝0．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是根据小正方形的边长表示出大正方形的边长，难度不大．

7．（吴兴区期末）近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2500万元，2020年将投入3600万元，设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意则可以列出的方程是　2500（1+x）²＝3600　．

【分析】根据该市2018年及2020年投入教育经费的金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：2500（1+x）²＝3600．

故答案为：2500（1+x）²＝3600．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

二．一元二次方程的应用（共9小题）

8．（仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m²，则小路宽为　2　m．

【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22﹣x）m，宽（14﹣x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解答】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22﹣x）m，宽（14﹣x）m的矩形的面积，

依题意得：（22﹣x）（14﹣x）＝240，

整理得：x²﹣36x+68＝0，

解得：x₁＝2，x₂＝34（不合题意，舍去）．

故答案为：2．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9．（临海市期末）“惠民政策”陆续出台，老百姓得到实惠．某种心脏支架原价10000元一副，经过连续两次降价后，现在仅卖729元一副．求该种支架平均每次降价的百分率．

【分析】设该种支架平均每次降价的百分率为x，利用心脏支架经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解答】解：设该种支架平均每次降价的百分率为x，

依题意得：10000（1﹣x）²＝729，

解得：x₁＝0.73＝73%，x₂＝1.27（不合题意，舍去）．

答：该种支架平均每次降价的百分率为73%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10．（海曙区校级期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．

（1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？

（2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

（3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

【分析】（1）利用日销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；

（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为（140﹣2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可得出每件售价应定为50元；

（3）设该商品需打y折销售，利用售价＝原价×折扣率，结合售价格不超过（2）中的售价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解答】解：（1）20+2×（60﹣45）

＝20+2×15

＝20+30

＝50（件）．

答：当每件售价为45元时，日销量是50件．

（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+2（60﹣x）＝（140﹣2x）件，

依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，

整理得：x²﹣110x+3000＝0，

解得：x₁＝50，x₂＝60，

又∵商家想尽快销售完该款商品，

∴x＝50．

答：每件售价应定为50元．

（3）设该商品需打y折销售，

依题意得：62.5× ≤50，

解得：y≤8．

答：该商品至少需打8折销售．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

11．（丹棱县期末）随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（　　）

A．10% B．29% C．81% D．14.5%

【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据该口罩厂六月份及八月份的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解答】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，

依题意得：100（1﹣x）²＝81，

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝1.9（不合题意，舍去）．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12．（临海市期末）如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“V”型轨道上滚动，其中右侧轨道长为25m，左侧轨道长为30m．钢球先由静止开始沿右侧斜面滚下，速度每秒增加8m/s，到达底端后又沿着左侧斜面向上滚动，速度每秒减少am/s．（提示：钢球滚动的距离＝平均速度 ×时间t， ＝ ，其中v₀表示开始的速度，v_t表示t秒时的速度．）

（1）若钢球在右侧轨道滚动2s，则v₁＝　16　m/s， ＝　8　m/s；

（2）写出钢球在右侧斜面滚动的距离s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数解析式，并求出t的取值范围；

（3）若钢球滚出左侧斜面，直接写出a的取值范围　0≤a＜ 　．

【分析】（1）根据题意求得v_t＝8t．把t＝2代入，得到v₁＝16m/s，根据 ＝ ，代入计算即可；

（2）由“钢球滚动的距离＝平均速度 ×时间t”列出关于t的一元二次方程，进而得到t的取值范围；

（3）令钢球在底端时t＝0，得出钢球在左侧斜面滚动t秒时的速度为v＝20﹣at，求出v＝0时， ＝ ＝ ＝10m/s，那么钢球在左侧斜面滚动的时间t＝ ＝3，由钢球滚出了左侧斜面得出20﹣3a＞0，进而求出a的取值范围．

【解答】解：（1）由已知得v_t＝v₀+at＝0+8t＝8t，

∴当t＝2时，v₁＝8×2＝16（m/s），

＝ ＝ ＝8（m/s）．

故答案为：16，8；

（2）∵v_t＝8t，

∴ ＝ ＝ ＝4t，

∴s＝ t＝4t²，

当s＝25时，25＝4t²，解得t＝ （负值舍去），

∴s＝4t²（0≤t≤ ）；

（3）当t＝ 时，v＝8× ＝20（m/s），

令钢球在底端时t＝0，

根据题意得，钢球在左侧斜面滚动t秒时的速度为v＝20﹣at，

当v＝20﹣at＝0时， ＝ ＝ ＝10（m/s），

∴t＝ ＝3（s），

∴20﹣3a＞0，

∴a＜ ，

又a≥0，

∴0≤a＜ ．

故答案为：0≤a＜ ．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意得到关系式是解题的关键．

13．（庆阳期末）如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；

（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？

（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．

【分析】（1）根据题意得出长×宽＝96，进而得出答案；

（2）根据题意得出长×宽＝110，得到方程无解即可．

【解答】解：（1）设AB的长为x米，

依题意的方程：x（34+2﹣3x）＝96，

解得：x₁＝4，x₂＝8，

答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；

（2）不能．

理由：假设长方形ABCD的面积是110平方米，

依题意得：x（34+2﹣3x）＝110．即3x²﹣36x+110＝0，

∵Δ＝（﹣36）²﹣4×3×110＝﹣24＜0，

∴该一元二次方程无实数根，

∴假设不成立，

∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

14．（嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有　8　个班级．

【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设八年级有x个班，

依题意得： x（x﹣1）＝28，

整理得：x²﹣x﹣56＝0，

解得：x₁＝8，x₂＝﹣7（不合题意，舍去）．

则该校八年级有8个班级．

故答案为：8．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15．（鄞州区期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．

（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；

（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？

【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为：25（1+x）；五月份的全天包车数为：25（1+x）²，又知五月份的全天包车数为：64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；

（2）每辆全天包车的租金×全天包车数量＝8800列出方程，求解即可．

【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，

根据题意可得：25（1+x）²＝64，

解得：x₁＝0.6＝60%，x₂＝﹣2.6（不合题意舍去），

答：全天包车数的月平均增长率为60%；

（2）根据题意可得：（120﹣a）（64+1.6a）＝8800，

化简得：a²﹣80a+700＝0，

解得：a₁＝10，a₂＝70．

答：当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．

16．（仙居县期中）如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.6m．

（1）写出小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均速度 ×时间t， ＝ ，其中，v₀是开始时的速度，v_t是t秒时的速度．）

（2）如果斜面的长是4m，小球从斜面顶端滚到底端用多长时间？

【分析】（1）根据题意求得v_t＝1.6t，然后由“距离＝平均速度v×时间t”列出关系式；

（2）把s＝4代入（1）中的函数关系式即可求得相应的t的值．

【解答】（1）由已知得v_t＝0+1.6t＝1.6t，

∴v＝ ＝ t，

∴s＝vt＝ •t＝ t•t＝ t²，即s＝ t²；

（2）把s＝4代入s＝ t²中，得 t²＝4，

解得：t₁＝ ，t₂＝ （不合题意，舍去）．

答：小球从斜面顶端滾到底端用 s．

【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数关系式是解决问题的关键．

三．根与系数的关系（共9小题）

17．（临海市期末）若一元二次方程x²﹣5x+k＝0的一根为2，则另一个根为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，根据一根为2，确定出另一个根即可．

【解答】解：设另一根为a，

∵一元二次方程x²﹣5x+k＝0的一根为2，

∴a+2＝5，

解得：a＝3，

则另一根为3．

故选：A．

【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

18．（南浔区模拟）设x₁，x₂是方程2x²+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x₁²+4x₁﹣2x₂的值为　11　．

【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x₁²＝﹣3x₁+4，则4x₁²+4x₁﹣2x₂化为﹣2（x₁+x₂）+8，再根据根与系数的关系得到x₁+x₂＝﹣ ，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵x₁是方程2x²+3x﹣4＝0的根，

∴2x₁²+3x₁﹣4＝0，

∴2x₁²＝﹣3x₁+4，

∴4x₁²+4x₁﹣2x₂＝2（﹣3x₁+4）+4x₁﹣2x₂＝﹣2（x₁+x₂）+8，

∵x₁，x₂是方程2x²+3x﹣4＝0的两个实数根，

∴x₁+x₂＝﹣ ，

∴4x₁²+4x₁﹣2x₂＝﹣2（x₁+x₂）+8＝﹣2×（﹣ ）+8＝11．

故答案为11．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．

19．（鄞州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k+2）x+k²＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可知Δ＝[﹣（2k+2）]²﹣4k²＞0，求得k的取值范围；

（2）可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁，x₂的倒数和为1，列出方程即可求得k的值，舍去（1）中不在取值范围内的值即可．

【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[﹣（2k+2）]²﹣4k²＞0，

解得k＞﹣ ，

即实数k的取值范围是k＞﹣ ；

（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁，x₂的倒数和为1，则x₁，x₂不为0，

由根与系数的关系可得，x₁+x₂＝2k+2，x₁x₂＝k²，

∵ + ＝ ＝1，

∴ ＝1，

解得k＝1± ，

∵k＞﹣ ，

∴k＝1+ ，

故所求k的值为1+ ．

【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题时将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

20．（西湖区校级期末）已知α，β是方程x²+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α²）（1+2026β+β²）的值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】根据根与系数的关系得到αβ＝1，通过根的定义得到α²+2022α+1＝0，β²+2022β+1＝0，即可得到1+2023α+α²＝α，1+2026β+β²＝4β，进一步即可求出答案．

【解答】解：∵α，β是方程x²+2022x+1＝0的两个根，

∴αβ＝1，α²+2022α+1＝0，β²+2022β+1＝0，

∴（1+2023α+α²）（1+2026β+β²）

＝a•4β

＝4αβ

＝4×1

＝4．

故选：A．

【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．

21．（鄞州区校级期末）如果a、b是一元二次方程x²﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a²+2b+ab＝　4　．

【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出a²﹣2a﹣1＝0，a+b＝2，ab＝﹣1，求出a²＝2a+1，再代入求出即可．

【解答】解：∵a、b是一元二次方程x²﹣2x﹣1＝0的两个实数根，

∴a²﹣2a﹣1＝0，a+b＝2，ab＝﹣1，

∴a²＝2a+1，

∴a²+2b+ab＝2a+1+2b+ab＝2（a+b）+1+ab＝4+1﹣1＝4，

故答案为：4．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系和求代数式的值等知识点，能求出a²﹣2a﹣1＝0，a+b＝2，ab＝﹣1是解此题的关键．

22．（仙居县期中）已知﹣1是方程x²+bx﹣3＝0的一个根，则另一个根是　3　．

【分析】由方程的系数，利用根与系数的关系可得出两根之积为﹣3，再结合方程的一根为﹣1，即可求出方程的另一个根．

【解答】解：∵a＝1，c＝﹣3，

∴方程的两根之积为 ＝ ＝﹣3，

∵方程的一个根为﹣1，

∴方程的另一个根为（﹣3）÷（﹣1）＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．

23．（鄞州区校级期末）已知a，b是一元二次方程x²﹣2021x﹣1＝0的两个根，解方程组 ．

【分析】将方程组中的两个方程相减可得（ ﹣ ﹣1）（x﹣y）＝0，再由a+b＝2021，ab＝﹣1，可知 ﹣ ﹣1≠0，所以x＝y，再求解方程组即可．

【解答】解：∵a，b是一元二次方程x²﹣2021x﹣1＝0的两个根，

∴a+b＝2021，ab＝﹣1，

，

①﹣②，得（ ﹣ ﹣1）（x﹣y）＝0，

当x＝y时，①得（ + ）x＝x+2021，

∴ x＝x+2021，

∴x＝﹣ ，

∴方程组的解为 ．

当x≠y时， ﹣ ﹣1＝0，

∴ ﹣1＝0，

∴a﹣b﹣1＝0，

∵2021﹣2b﹣1＝2022﹣2b≠0，

∴方程组的解为 ．

【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，利用方程组中方程的特点进行化简求解是解题的关键．

24．（鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α²+5α﹣2＝0，2β²﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且 的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由2α²+5α﹣2＝0，2β²﹣5β﹣2＝0，即2（ ）²+5× ﹣2＝0，且αβ≠1，可得α、 是方程2x²+5x﹣2＝0的两实根，由根与系数关系得α+ ＝﹣ ，α• ＝﹣1，再把 变形﹣ （α+ ）+α• ，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵实数α，β满足2α²+5α﹣2＝0，2β²﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，

∴2（ ）²+5× ﹣2＝0，

∴α、 是方程2x²+5x﹣2＝0的两实根，

∴α+ ＝﹣ ，α• ＝﹣1，

∴

＝﹣ × +1+α• ﹣ α

＝﹣ （α+ ）+α• +1

＝﹣ ×（﹣ ）+（﹣1）+1

＝ ．

故选：A．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x₁+x₂＝﹣ ，x₁•x₂＝ ．

25．（西湖区校级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3＝0有两个实数根x₁，x₂．

（1）若x₁²+x₂²＝2，求m的值；

（2）令T＝ + ，求T的取值范围．

【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．

（1）变形x₁²+x₂²为（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；

（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．

【解答】解：∵关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3＝0有两个实数根，

∴Δ＝4（m﹣2）²﹣4（m²﹣3m+3）≥0，

解得m≤1，

∵m是不小于﹣1的实数，

∴﹣1≤m≤1，

∵方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3＝0的两个实数根为x₁，x₂，

∴x₁+x₂＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x₁•x₂＝m²﹣3m+3．

（1）∵x₁²+x₂²＝2，

∴（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂＝2，

∴4（m﹣2）²﹣2（m²﹣3m+3）＝2，

整理得m²﹣5m+4＝0，解得m₁＝1，m₂＝4（舍去），

∴m的值为1；

（2）T＝ +

＝

＝

＝

＝

＝2﹣2m．

∵当m＝0时，方程为x²﹣4x+3＝0，

解得x＝1或x＝3．

此时T没有意义．

当m≠0时，﹣1≤m≤1，

所以0≤2﹣2m≤4．

即0≤T≤4且T≠2．

【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子．

四．高次方程（共4小题）

1．（柯桥区自主招生）方程组 的所有整数解的组数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】根据幂为1，可以判断底数为1，或指数为零，底数不为零，或底数为﹣1，指数为偶数三种情况，分三种情况讨论即可．

【解答】解：∵ ，

∴y＝1或 或 ，

①当y＝1时，

∵x+y＝1，

∴x＝0，

∴ ；

②当x²+3x+2＝0 时，

（x+2）（x+1）＝0，

解得x＝﹣2或x＝﹣1，

当x＝﹣2时，

﹣2+y＝1，

∴y＝3，

当x＝﹣1时，

﹣1+y＝1，

∴y＝2，

所以 或 ；

③当y＝﹣1时，﹣1+x＝1，

∴x＝2，

此时x²+3x+2＝4+6+2＝12，

∴ 符合题意，

综上所述所有整数解的组数为4，

故选：C．

【点评】本题考查了方程组的整数解问题，关键是根据幂为1，判断出底数和指数的大小．

2．（桓台县二模）若关于x的方程x³+36x+a＝0有一个根是﹣2，则66﹣a的值是　﹣14　．

【分析】将x＝﹣2代入方程求a，再求原代数式的值．

【解答】解：∵关于x的方程x³+36x+a＝0有一个根是﹣2．

∴﹣8﹣72+a＝0．

∴a＝80．

∴66﹣a＝66﹣80＝﹣14．

故答案为：﹣14．

【点评】本题考查高次方程解的含义，将x的值代入方程求出a值是求解本题的关键．

3．（浙江自主招生）若方程x²﹣3x+1＝0的根也是方程x⁴+ax²+bx+c＝0的根，则a+b+2c＝　﹣5　．

【分析】设m是方程x²﹣3x+1＝0的一个根．根据方程解的意义知，m既满足方程x²﹣3x+1＝0，也满足方程x⁴+ax²+bx+c＝0，将m代入这两个方程，并整理，得（9+a）m²+（﹣6+b）m+c+1＝0．从而可知：方程x²﹣3x+1＝0的两根也是方程（9+a）x²+（﹣6+b）x+c+1＝0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．

【解答】解：设m是方程x²﹣3x+1＝0的一个根，则m²﹣3m+1＝0，所以m²＝3m﹣1．

由题意，m也是方程x⁴+ax²+bx+c＝0的根，所以m⁴+am²+bm+c＝0，

把m²＝3m﹣1代入此式，得（3m﹣1）²+am²+bm+c＝0，整理得（9+a）m²+（﹣6+b）m+c+1＝0．

从而可知：方程x²﹣3x+1＝0的两根也是方程（9+a）x²+（﹣6+b）x+c+1＝0的根，

这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，

从而有（9+a）x²+（﹣6+b）x+c+1＝k（x²﹣3x+1）（其中k为常数），

所以9+a＝k，﹣6+b＝﹣3k，c+1＝k．

所以a＝k﹣9，b＝﹣3k+6，c＝k﹣1，

因此，a+b﹣2c＝k﹣9+（﹣3k+6）+（2k﹣1）＝﹣5．

故答案为﹣5．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x²+（﹣6+b）x+c+1＝k（x²﹣3x+1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．

4．（浙江自主招生）若关于x方程x³﹣3x²+2x+m（x﹣1）＝0的三个实根可以作为三角形的三边长，则实数m的取值范围是　 ＜m≤1　．

【分析】将原方程变形为（x﹣1）（x²﹣2x+m）＝0，设方程x²﹣2x+m＝0的两根为x₂，x₃，由根与系数的关系得出x₂+x₃＝2，x₂•x₃＝m．根据方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，得出 ，求解即可．

【解答】解：由原方程变形可得：（x﹣1）（x²﹣2x+m）＝0，

∴方程的三个实根中其中一根满足x₁＝1，

由x²﹣2x+m＝0，得△＝4﹣4m≥0，

设方程两根为x₂，x₃，

则x₂+x₃＝2，x₂•x₃＝m，

若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，

则 ，

由|x₂﹣x₃|＝ ＝ ＜1可得m＞ ，

解得： ＜m≤1，

故答案为： ＜m≤1．

【点评】本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．也考查了根的判别式．

五．无理方程（共4小题）

5．（南浔区校级自主招生）已知a是实数，则以下式子一定正确的是（　　）

A． ＝a

B．a³＞a²

C．（ ）²＝a

D．关于a的方程 ＝ a的实数解是±1

【分析】利用二次根式的性质可对A、C进行判断；利用反例可对B进行判断；通过检验可对D进行判断．

【解答】解：A、 ＝|a|，所以A选项错误；

B、当a＝﹣1时，a³＝﹣1，a²＝1，则a³＜a²，所以B选项错误；

C、（ ）²＝a，所以C选项正确；

D、当a＝﹣1时， ≠ a，所以D选项错误．

故选：C．

【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．

6．（黄冈期中）已知 ，则x等于（　　）

A．4 B．±2 C．2 D．±4

【分析】已知 ，先化简再求值即可得出答案．

【解答】解：已知 ，∴x＞0，

∴原式可化简为： + +3 ＝10，

∴ ＝2，

两边平方得：2x＝4，

∴x＝2，

经检验x＝2，是方程的解．

故选：C．

【点评】本题考查了解无理方程，属于基础题，关键是先化简后再根据平方法求无理方程．

7．（浙江自主招生）方程组 的解是　 ， 　．

【分析】根据式子特点，设x+1＝a，y﹣1＝b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．

【解答】解：设x+1＝a，y﹣1＝b，则原方程可变为 ，

由②式又可变化为 ＝26，

把①式代入得 ＝13，这又可以变形为（ + ）²﹣3 ＝13，

再代入又得﹣3 ＝9，

解得ab＝﹣27，

又因为a+b＝26，

所以解这个方程组得 或 ，

于是（1） ，解得 ；

（2） ，解得 ．

故答案为 ， ．

【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．

8．（乐清市校级自主招生）方程组 的解为　 或 　．

【分析】先设x+ ＝m，x+y＝n，把原方程进行变形，求出符合题意的m，n的值，得到一个关于x，y的方程组，求出x，y的值即可．

【解答】解： ，

设x+ ＝m，x+y＝n，

原方程组变形为：

，

由②得：

m＝6﹣n，③

把③代入①得：

＝ ，

解得：n₁＝6（舍去），n₂＝3，

把n₂＝3代入②得：m₂＝3，

则 ，

解得： 或 ；

故答案为： 或 ．

【点评】此题考查了无理方程，在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，这道题关键是先设x+ ＝m，x+y＝n，最后得到一个关于x，y的方程组．

题组A 基础过关练

一．选择题（共8小题）

1．（海曙区期末）某市一共有285个社区，计划三个季度全部实现垃圾分类，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，预计第二、三季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　）

A．60（1+x）²＝285

B．60（1﹣x）²＝285

C．60（1+x）+60（1+x）²＝285

D．60+60（1+x）+60（1+x）²＝285

【分析】由第二、三季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，可用含x的代数式表示出第二、三季度实现垃圾分类的社区个数，结合该市285个社区三个季度全部实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：∵第二、三季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，

∴第二季度实现垃圾分类的社区有60（1+x）个，第三季度实现垃圾分类的社区有60（1+x）²个，

∴60+60（1+x）+60（1+x）²＝285．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

2．（天门期中）五•一节日到来之际，班级同学之间相互赠送卡片，假设有n个同学，卡片共有1980张，则根据题意可列的方程为（　　）

A． B．n（n﹣1）＝1980

C． D．n（n+1）＝1980

【分析】设有n个同学，则每个同学需送出（n﹣1）张卡片，根据共送出1980张卡片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设有n个同学，则每个同学需送出（n﹣1）张卡片，

依题意得：n（n﹣1）＝1980．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3．（宜兴市期中）疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则（　　）

A．3x²＝147 B．3（1+x）²＝147

C．3（1+x+x²）＝147 D．（3+3x）²＝147

【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据“经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎”即可得到方程．

【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，

依题意，得：3（1+x）²＝147，

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4．（罗湖区校级模拟）某品牌运动服原来每件售价400元，受疫情影响经过连续两次降价后，现在每件售价为256元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）

A．400（1﹣2x）＝256 B．400（1﹣x）²＝256

C．400（1﹣x²）＝256 D．256（1+x）²＝400

【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格＝原价×（1﹣降低的百分率），第二次降价后的价格＝第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率），把相关数值代入即可．

【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程400（1﹣x）²＝256，

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价，难度不大．

5．（淮南一模）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（　　）

A．300（1+x）²＝260 B．300（1﹣x²）＝260

C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）²＝260

【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意，得：300（1﹣x）²＝260．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6．（拱墅区校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：依题意，得：1+x+x²＝43，

整理，得：x²+x﹣42＝0，

解得：x₁＝6，x₂＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7．（江油市月考）一元二次方程x²+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值以及另一个根为（　　）

A．1，﹣1 B．1，1 C．﹣1，﹣1 D．﹣1，1

【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝﹣p，2t＝﹣2，然后解方程即可．

【解答】解：设方程的另一个根为t，

根据题意得2+t＝﹣p，2t＝﹣2，

解得t＝﹣1，p＝﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．

8．（德清县期中）设a、b为x²+x﹣2011＝0的两个实根，则a³+a²+3a+2014b＝（　　）

A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣2011

【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a²+a＝2011，a+b＝﹣1，进而可得出a³+a²＝2011a，将其代入a³+a²+3a+2014b中即可求出结论．

【解答】解：∵a、b为x²+x﹣2011＝0的两个实根，

∴a²+a＝2011，a+b＝﹣1，

∴a³+a²＝a（a²+a）＝2011a，

∴a³+a²+3a+2014b＝2011a+3a+2014a＝2014（a+b）＝﹣2014．

故选：B．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出a²+a＝2011，a+b＝﹣1是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

9．（鄞州区校级期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm²，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为　（40﹣2x）（30﹣2x）＝600　．

【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，

依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．

故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10．（永嘉县校级期末）某商场品牌手机经过5、6月份连续两次降价，每部售价由5000元降到4050元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：　5000（1﹣x）²＝4050　．

【分析】根据关系式：现在售价5000元×（1﹣月平均下降率）²＝现在价格4050元，把相关数值代入即可求解．

【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：

5000（1﹣x）²＝4050．

故答案为：5000（1﹣x）²＝4050．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）²＝b．

11．（永嘉县校级模拟）某校去年投资3万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为10万元，若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为　3（1+x）+3（1+x）²＝10　．

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．

【解答】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，

今年的投资金额为：3（1+x）；

明年的投资金额为：3（1+x）²；

所以根据题意可得出的方程：3（1+x）+3（1+x）²＝10．

故答案为：3（1+x）+3（1+x）²＝10．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）²＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

12．（苍南县期末）某商场品牌消毒液经过2、3月份连续两次涨价，每瓶售价由100元涨到121元，设平均每次涨价的百分率为x，根据题意可列方程：　100（1+x）²＝121　．

【分析】设平均每次涨价的百分率为x，利用经过两次涨价后的价格＝原价×（1+涨价的百分率）²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设平均每次涨价的百分率为x，

依题意得：100（1+x）²＝121．

故答案为：100（1+x）²＝121．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

13．（滨江区期末）超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为：　（12﹣x）（100+20x）＝1400　．

【分析】由每降价1元每天可多售出20箱，可得出平均每天可售出（100+20x）箱，根据总利润＝每箱饮料的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，

∴平均每天可售出（100+20x）箱．

依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．

故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14．（嘉兴期末）某商店4月份营业额为2.7万元，6月份营业额为3.5万元，平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为　2.7（1+x）²＝3.5　．

【分析】根据该商店4月份及6月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意，得：2.7（1+x）²＝3.5．

故答案为：2.7（1+x）²＝3.5．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15．（槐荫区期末）若关于x的一元二次方程x²+5x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根为　﹣3　．

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：设另一个根为x，则

x﹣2＝﹣5，

解得x＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

16．（诸暨市月考）写出一个两根是互为相反数的一元二次方程　x²﹣1＝0　．

【分析】利用根与系数的关系得到一元二次方程的一次系数为0，然后写出满足条件的方程．

【解答】解：∵两根互为相反数的一元二次方程的一次系数为0，

∴满足条件的一元二次方程为x²﹣1＝0．

故答案为x²﹣1＝0．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．

三．解答题（共7小题）

17．（嘉兴期末）某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？

（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：

小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000　．

小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　（y﹣750）（30+ ）＝12000　．

（2）请写出一种完整的解答过程．

【分析】（1）根据总利润＝每件皮衣的利润×销售数量，即可得出关于x（y）的一元二次方程；

（2）选择小明（小红）的设法，解方程即可求出结论．

【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，

依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；

小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+ ×10）件，

依题意，得：（y﹣750）（30+ ）＝12000．

故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+ ）＝12000．

（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，

整理，得：x²﹣200x+7500＝0，

解得：x₁＝50，x₂＝150，

∴1100﹣x＝1050或950．

答：每件皮衣定价为1050元或950元．

选择小红的设法，则（y﹣750）（30+ ）＝12000，

整理，得：y²﹣2000y+997500＝0，

解得：y₁＝1050，y₂＝950．

答：每件皮衣定价为1050元或950元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

18．（拱墅区校级月考）某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，

（1）当售价上涨x元时，那么销售量为　（600﹣10x）　个；

（2）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？

【分析】（1）根据题意给出的等量关系列出表达式即可求出答案．

（2）根据题意给出的等量关系列出方程即可求出答案．

【解答】解：（1）∵台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，

∴售价上涨x元，销量就减少10x个，

∴销售量为（600﹣10x）个．

（2）由题意可知：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，

解得：x＝10或x＝40，

由于售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，

∴x＝10，

∴600﹣10x＝500，

答：售价应该定为50元，此时售出台500个．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．

19．（三门县期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．

（1）降价后，每件衬衫的利润为　（40﹣x）　元，销量为　（20+2x）　件；（用含x的式子表示）

（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？

【分析】（1）根据“这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件”结合每件衬衫的原利润及降价x元，即可得出降价后每件衬衫的利润及销量；

（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．

【解答】解：（1）∵每件衬衫降价x元，

∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．

故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．

（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理，得：x²﹣30x+200＝0，

解得：x₁＝10，x₂＝20．

∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，

∴x＝20．

答：每件衬衫应降价20元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20．（珠海校级期中）某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m²，那么小道进出口的宽度应为多少米？

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为500平方米列出方程求解即可．

【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，

依题意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．

整理，得3x²﹣85x+350＝0．

解得，x₁＝5，x₂＝ ．

∵ ＞30（不合题意，舍去），

∴x＝5．

答：小道进出口的宽度应为5米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系并列出方程．

21．（富阳区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t²．

（1）经多少秒时足球的高度为20米？

（2）小明同学说：“足球高度不可能达到21米！”你认为他说得对吗？请说明理由．

【分析】（1）求出h＝20时t的值即可得；

（2）将函数解析式配方成顶点式，由顶点式得出足球高度的最大值即可作出判断．

【解答】解：（1）足球高度为20米，即h＝20，

将h＝20代入公式得：20t﹣5t²＝20，

解得：t＝2

∴t＝2；

（2）小明说得对，理由如下：

假设足球高度能够达到21米，即h＝21，

将h＝21代入公式得：21＝20t﹣5t²

由判别式计算可知：△＝（﹣20）²﹣4×5×21＝﹣20＜0，

方程无解，假设不成立，

所以足球确实无法到达21米的高度．

【点评】本题主要考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数问题的能力．

22．（台州期中）已知关于x的方程mx²﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根，

（1）求m的取值范围；

（2）若方程的一个根是1，求方程的另一个根及m的值．

【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；

（2）根据根与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝1+4m＞0，

∴m＞ ，

∵m≠0，

∴m＞ 且m≠0；

（2）将x＝1代入mx²﹣x﹣1＝0，

∴m﹣1﹣1＝0，

∴m＝2，

设该方程的另外一个根为x

由根与系数的关系可知：1×x＝﹣ ，

∴x＝﹣ ．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

23．（萧山区期末）关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）．

（1）已知a，c异号，试说明此方程根的情况；

（2）若该方程的根是x₁＝﹣1，x₂＝3，试求方程a（x+2）²+bx+2b+c＝0的根．

【分析】（1）根据判别式公式，求△，结合a，c异号，a≠0，b²≥0，得到△的正负情况，即可得到答案，

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，把b和c用a表示出来，代入方程a（x+2）²+bx+2b+c＝0，整理后，解之即可．

【解答】解：（1）根据题意得：

Δ＝b²﹣4ac，

∵a，c异号，a≠0，b²≥0，

∴Δ＞0，

即此方程有两个不等实数根，

（2）根据题意得：a（x+2）²+b（x+2）+c＝0的

∴x+2＝﹣1或3，

∴x＝﹣3或1

即方程a（x+2）²+bx+2b+c＝0的根为1或﹣3．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程﹣公式法，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系，解一元二次方程的方法．

题组B 能力提升练

一．选择题（共4小题）

1．（莱芜区期末）今年，某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2019年单价为200元，2021年单价为162元，2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）

A．10% B．19% C．20% D．30%

【分析】设平均每年降低的百分率是x，根据2019年及2021年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论

【解答】解：设平均每年降低的百分率是x，

根据题意列方程，得200（1﹣x）²＝162．

解得x₁＝0.1，x₂＝1.9（不合题意，舍去）．

即：2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是10%；

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．

2．（瑶海区期末）元旦来临前，某商场将一件原价为a元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了0.16a元，则这个给定的百分比为（　　）

A．16% B．36% C．40% D．50%

【分析】设这个给定的百分比为x，根据“衬衫的价格比原价降低了0.16a元”列出方程求解即可．

【解答】解：设这个给定的百分比为x，根据题意得，

a（1+x）（1﹣x）＝a﹣0.16a，

解得x₁＝0.4，x₂＝﹣0.4（舍去），

即这个给定的百分比为40%．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3．（宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）

A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000

C．5000（1﹣x）（1﹣ ）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000

【分析】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程．

【解答】解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，

根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，

故选：A．

【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）²＝b．

4．（安徽期末）已知α，β是方程x²+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α²）（1+2020β+β²）的值为（　　）

A．4 B．9 C．12 D．15

【分析】由α、β是方程x²+2017x+1＝0的两个根，可得α²+2017α+1＝0，β²+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，在将（1+2020α+α²）（1+2020β+β²）进行适当的变形，即可求出结果．

【解答】解：∵α，β是方程x²+2017x+1＝0的两个根，

∴α²+2017α+1＝0，β²+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，

∴（1+2020α+α²）（1+2020β+β²）

＝（1+2017α+α²+3α）（1+2017β+β²+3β）

＝9αβ

＝9，

故选：B．

【点评】考查一元二次方程的根的意义、根与系数的关系，将要求的代数式进行适当的变形，利用整体代入是常用的方法，也是最有效的方法．

二．填空题（共4小题）

5．（椒江区模拟）已知﹣2是三次方程x³+bx+c＝0的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法：

解：因为﹣2是三次方程x³+bx+c＝0的唯一实数根，所以（x+2）（x²+mx+n）＝x³+bx+c

可得m＝﹣2，n＝ c．

再由Δ＝m²﹣4n＜0．

得出c＞2．

根据小丽的解法，则b的取值范围是　b＞﹣3　．

【分析】根据小丽的解法，可知：b＝n+2m，且n＞﹣1，代入可得b的取值范围．

【解答】解：因为﹣2是三次方程x³+bx+c＝0的唯一实数根，所以（x+2）（x²+mx+n）＝x³+bx+c，

x³+mx²+nx+2x²+2mx+2n＝x³+bx+c，

x³+（m+2）x²+（n+2m）x+2n＝x³+bx+c，

则 ，

可得m＝﹣2，n＝ c，

再由Δ＝m²﹣4n＜0，

4﹣4n＜0，n＞1，

∴n﹣4＞﹣3，

∵b＝n+2m＝n﹣4，

∴b＞﹣3，

故答案为：b＞﹣3．

【点评】本题是高次方程，考查了高次方程解的情况，解题思路是降次，根据一元二次方程和一次方程解的情况进行解答．

6．（萧山区期中）关于x的方程x³+2x²+2x＝0的实数解有　1　个．

【分析】根据因式分解法解答高次方程即可．

【解答】解：x³+2x²+2x＝0，

x（x²+2x+2）＝0，

x＝0或x²+2x+2＝0，

x²+2x+2＝0，

△＝2²﹣4×2＝﹣4＜0，

∴此方程无实数解，

∴关于x的方程x³+2x²+2x＝0的实数解有1个：x＝0，

故答案为：1．

【点评】本题主要考查了解高次方程（因式分解法），利用公式法解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把高次方程转换成一元二次方程是解此题的关键．

7．（上城区校级期末）设m，n分别为一元二次方程x²+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m²+3m+n＝　2018　．

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系即可得出m²+2m＝2020，m+n＝﹣2，将其代入m²+3m+n＝m²+2m+m+n中即可求出结论．

【解答】解：∵设m，n分别为一元二次方程x²+2x﹣2020＝0的两个实数根，

∴m²+2m﹣2020＝0，即m²+2m＝2020，m+n＝﹣2，

则m²+3m+n

＝m²+2m+m+n

＝2020﹣2

＝2018，

故答案为：2018．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m²+2m＝2020，m+n＝﹣2是解题的关键．

8．（苍南县校级自主招生）设x₁、x₂是方程x²﹣6x+a＝0的两个根，以x₁、x₂为两边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数a的取值范围是　0＜a≤8　．

【分析】方程有两个根，设x₁≤x₂，则可以根据求根公式用含a的式子表示x，由x₁＞0，x₂＞0，则0＜a≤9，再分两种情况讨论，即根据x₁＝x₂，和x₁≠x₂，等腰三角形只能作一个，只要较小的根作底，较大的根为腰，再根据三边关系得出不等式求解，再综合得出答案，确定a的取职范围．

【解答】解：方程x²﹣6x+a＝0的两个根为x＝3± ，

设x₁，x₂为方程两根，

（1）若x₁＝x₂，此时a＝9，以x₁、x₂为两边长为腰的等腰三角形有无数个，不符合题意；

（2）若x₁≠x₂，设x₁＜x₂，

则x₁＝3﹣ ，x₂＝3+ ，

∵x₁＞0，x₂＞0，

∴0＜a＜9，

①以x₁为底，x₂为腰的等腰三角形必有一个，

此时，0＜a＜9，

②以x₁为腰，以x₂为底的等腰三角形不存在，

则有2x₁≤x₂，

∴6﹣2 ≤3+ ，

≥1，

∴0＜a≤8，

综上所述：当0＜a≤8时只有一个等腰三角形．

故答案为：0＜a≤8．

【点评】考查一元二次方程的解法、根的判别式、一元一次不等式的解集以及等腰三角形的性质等知识，准确地理解题意是解决问题的关键．

三．解答题（共10小题）

9．（宁远县期末）某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．

（1）这款口罩日均销售量为　（300﹣5x）　袋．（用含x的代数式表示）

（2）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值．（销售额＝销售量×售价）

（3）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））

【分析】根据题意可知：①口罩日均销售量＝100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）．

②销售额＝销售量×售价，x（300﹣5x）＝2500

③总利润＝单价利润×总的销售量（x﹣30）（300﹣5x）＝1200

【解答】解：（1）100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）＝（300﹣5x）．

故答案为：（300﹣5x）．

（2）依题意得：x（300﹣5x）＝2500，

﹣5x²+300x＝2500，x²﹣60x+500＝0

（x﹣10）（x﹣50）＝0，

x₁＝10或x₂＝50，

∵物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，

∴x＝50符合题意

故答案为：x＝50，该商店这款口罩日均销售额为2500元．

（3）答：不存在．

依题意得：（x﹣30）（300﹣5x）＝1200

﹣5x²+450x﹣10200＝0，

x²﹣90x+2040＝0，

Δ＝﹣60＜0

∴方程没有实数根，

∴不存在这样的x值

【点评】应用题关键明白题目的数量关系式，然后根据题意列出有关的式子或方程．

10．（秀洲区校级月考）解方程：

（1）x³＝3x

（2）y²+4y+3＝0．

【分析】（1）利用提公因式法、平方差公式解出方程；

（2）利用十字相乘法解出方程．

【解答】解：（1）x³＝3x，

x（x²﹣3）＝0，

x（x+ ）（x﹣ ）＝0，

x₁＝0，x₂＝﹣ ，x₃＝ ；

（2）y²+4y+3＝0，

（y+1）（y+3）＝0，

则y+1＝0，y+3＝0，

y₁＝﹣1，y₂＝﹣3．

【点评】本题考查的是高次方程的解法、一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程是解题的关键．

11．（湖州）解方程：

【分析】此方程可用换元法解方程．设 ＝y，转化为有理方程求解．

【解答】解：设 ＝y，则方程化为y²+y﹣12＝0，

解得y₁＝3，y₂＝﹣4，

当y₁＝3，即 ＝3时，两边平方得（x+9）（x﹣1）＝0，

解得x＝﹣9或x＝1，

把x＝﹣9或x＝1分别代入原方程检验得原方程成立；

当y₂＝﹣4时， ＝﹣4，根式无意义．

故原方程的解为x₁＝1，x₂＝﹣9，

【点评】在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中设 ＝y，需要注意的是用来换元的式子为设 ，则x²+8x＝y²．

12．（宁波校级模拟）解方程组： ．

【分析】首先对第一个方程两边平方进行整理，推出x²﹣x+y＝0③，然后，通过对第二个方程整理，推出y＝﹣3﹣x，把y的表达式代入③，解方程组即可．

【解答】解： ，

由①得：x﹣y＝x²，

x²﹣x+y＝0③

由②得：y＝﹣3﹣x④，

把④代入③得：x²﹣2x﹣3＝0，

解得：x₁＝3，x₂＝﹣1，

∴y₁＝﹣6，y₂＝﹣2，

检验：当x₁＝3，y₁＝﹣6时，左边＝右边，所以x₁＝3，y₁＝﹣6为原方程的解；

当x₂＝﹣1，y₂＝﹣2时，方程的左边≠右边，所以x₂＝﹣1，y₂＝﹣2不为原方程的解．

【点评】本题主要考查解无理方程组，关键在于对两个方程进行化简整理，注意最后要把求得的值代入原方程组进行检验．

13．（上虞区期末）解答下列各题：

（1）用配方法解方程：x²+12x＝﹣9．

（2）设x₁，x₂是一元二次方程5x²﹣9x﹣2＝0的两根，求x₁²+x₂²的值．

【分析】（1）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求出x的值即可；

（2）先利用根与系数的关系得到x₁+x₂＝ ，x₁x₂＝﹣ ，再利用代数式表示得到原式＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：（1）方程可化为x²+12x+6²＝﹣9+36，即（x+6）²＝27，

两边开方得，x+6＝±3 ，

故x₁＝﹣6﹣3 ，x₂＝﹣6+3 ；

（2）由题意得：x₁+x₂＝ ，x₁x₂＝﹣ ，

原式＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂＝（ ）²+2× ＝4 ．

【点评】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解答此题的关键．同时考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁•x₂＝ ．

14．（任城区二模）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．

【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从10元下调到6.4列出一元二次方程求解即可；

（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．

【解答】解（1）设平均每次下调的百分率为x．

由题意，得10（1﹣x）²＝6.4．

解这个方程，得x₁＝0.2，x₂＝1.8（不符合题意），

符合题目要求的是x₁＝0.2＝20%．

答：平均每次下调的百分率是20%．

（2）超市采购员方案一购买更优惠．

理由：方案一所需费用为：6.4×0.8×2000＝10240（元），

方案二所需费用为：6.4×2000﹣2000＝10800（元）．

∵10240＜10800，

∴超市采购员选择方案一购买更优惠．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出第2次下调后价格是解题关键．

15．（永嘉县校级模拟）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．

根据题意得（100﹣4x）x＝400，

解得x₁＝20，x₂＝5．

则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．

∵80＞25，

∴x₂＝5舍去．

即AB＝20，BC＝20．

答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

16．（浙江自主招生）已知方程组 有两组实数解 ， ，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，设n＝﹣ ﹣ ．

（1）求m的取值范围；

（2）用含m的代数式表示n；

（3）是否存在这样的m的值，使n的值为﹣2？如果存在，求出这样的m的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）把②代入①消去y，得到关于x的一元二次方程，方程有两个实数解，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，则Δ＞0，解不等式即可；

（2）根据（1）中的方程，由根与系数关系变形即可；

（3）将n＝﹣2代入（2）中的等式，求出符合题意的m的值即可．

【解答】解：（1）把②代入①，得4x²+4（m﹣1）x+m²＝0，

∵y²＝4x≥0，

∴﹣（m﹣1）＞0，

解得m＜1，

∵方程有两个实数解，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，

∴Δ＞0，即（4m﹣4）²﹣16m²＞0，

解得m＜ 且m≠0，

∴m的取值范围是m＜ 且m≠0；

（2）由4x²+4（m﹣1）x+m²＝0，

得x₁+x₂＝1﹣m，x₁x₂＝ ，

∴n＝﹣ ﹣ ＝﹣2（x₁+x₂）÷（x₁x₂）＝ ；

（3）m存在．

把n＝﹣2代入n＝ 中，得﹣2＝ ；

整理，得m²+4m﹣4＝0，解得m＝﹣2±2 ，

而m＜ 且m≠0，

∴m＝﹣2﹣2 ．

【点评】本题考查了二元二次方程组的解法．关键是消去一个未知数，转化为一元二次方程，熟练运用一元二次方程的判别式，根与系数关系，解一元二次方程的知识解题．

17．（西湖区校级月考）如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x₁+x₂＝﹣ ，x₁•x₂＝ ，这就是著名的韦达定理．

已知m，n是方程2x²﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算：

（1） + ；

（2） ．

【分析】根据根与系数的关系即可而得出m+n＝ 、mn＝﹣ ．

（1）将m+n＝ 、mn＝﹣ 代入 + ＝ 中即可求出结论；

（2）将m+n＝ 、mn＝﹣ 代入 ＝ 中即可求出结论．

【解答】解：∵m，n是方程2x²﹣5x﹣1＝0的两根，

∴m+n＝ ，mn＝﹣ ．

（1） + ＝ ＝ ＝﹣10；

（2） ＝ ＝ ＝ ．

【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出m+n＝ 、mn＝﹣ 是解题的关键．

18．（市南区校级自主招生）设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x²﹣6x+a＝0的两根，当这样的三角形只有一类时，求a的取值范围．

【分析】由于方程x²﹣6x+a＝0有两个实数根，所以△≥0，当Δ＝0时可直接求出a的值，此时三角形是等边三角形；

当Δ＞0时可设两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），由三角形的三边关系先判断出不存在一类等腰三角形底边为x₂，腰为x₁，再根据根与系数的关系即可判断出a的取值范围．

【解答】解：∵方程x²﹣6x+a＝0有实数根，

∴Δ＝36﹣4a≥0，

（1）当Δ＝0时，即Δ＝36﹣4a＝0，解得a＝9，此时三角形为等边三角形；

（2）当Δ＞0，即Δ＝36﹣4a＞0时，解得a＜9，

设两根为x₁，x₂（x₁＜x₂）此时存在一类等腰三角形底边为x₁，腰为x₂，此时不存在一类等腰三角形底边为x₂，腰为x₁即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x₁≤x₂，

由根与系数的关系可得，3x₁≤x₁+x₂＝6，

∴x₁≤2，

∵x₁+x₂＝6，x₁•x₂＝a，

∴a＝x₁•（6﹣x₁），

＝6x₁﹣（x₁）²

＝﹣（3﹣x₁）²+9

∴＝﹣（3﹣x₁）²+9≤8，

∴当0＜a≤8，a＝9时，三角形只有一类．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及三角形的三边关系，在解（2）时先判断出不存在一个等腰三角形底边为x₂，腰为x₁是解答此题的关键。17 10:25:41；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539