第六章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共36分)

1．【2023·济南期末】菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　　)

A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等

C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分

2．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝16，则OD等于(　　)

A．16 B．12 C．10 D．8

3．【2023·烟台期末】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长为(　　)

A．4 B．6 C．7 D．8

4．【2023·泰安泰山区期末】如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB的度数是(　　)

A．20° B．30° C．50° D．22.5°

5．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5， BC＝8，则EF的长为(　　)

A．2 B．1.5 C．2.5 D．3

6．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.如果再添加一个条件可推出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是(　　)

A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD

7．【2023·潍坊安丘市期末】如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是(　　)

A ．四边形AEDF是平行四边形

B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形

C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形

8．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任意一点(点P不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是(　　)

A．10 B．7.5 C．5 D．2.5

9．如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图①所示的菱形，并测得∠B＝60°，点A，C之间的距离是1 cm，接着把活动学具做成图②所示的正方形，则图②中点A，C之间的距离为(　　)

A．cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm

10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E， ∠DAE＝2∠BAE，AB＝2，则OE的长为(　　)

A．1 B． C．2 D．

11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE＝d₁，点F，G与点C的距离分别为d₂，d₃，则d₁＋d₂＋d₃的最小值为(　　)

A． B．2 C． D．4

12．【2023·济南章丘区月考】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝CM；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题(每题3分，共18分)

13．如图，在菱形ABCD中，E为CD的中点，菱形ABCD的周长为32，则OE＝________．

14．【2023·滨州二模】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件：________，使四边形BEFD为矩形.

15．如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为(3，4)，则点A的坐标为________．

16．【2023·内江】出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则 EF＋EG＝________．

17．如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF，若△CDF的周长为12，AC＝8，则四边形AEDF的面积为________．

18．【2023·天津】如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝.

(1)△ADE的面积为________．

(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为________．

三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)

19．【2023·济南长清区期末】如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.

20．【2023·怀化】如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.

(1)证明：△BOF≌△DOE.

(2)连接BE，DF，证明：四边形EBFD是菱形．

21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，DE∥AC， CE∥AD，连接BE，CD．求证：四边形CDBE是正方形．

22．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：

(1)四边形ADEF是平行四边形．

(2)∠DHF＝∠DEF.

23．【2022·泰州】如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．

(1)求证：AF与DE互相平分．

(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．

24．【2023·枣庄薛城区月考】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.

(1)求证：△AOM≌△CON.

(2)若AB＝3，AD＝6，求AE的长．

25．如图①，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，

(1)证明：PC＝PE.

(2)求∠CPE的度数．

(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，连接CE，当 ∠ABC＝120°时，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

答案

一、1．D

2．D　【点拨】∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，∴AC＝BD，OD＝BD.∵AC＝16，∴OD＝BD＝AC＝8.

3．D　【点拨】∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴OA＝OC＝3，OB＝OD， AC⊥BD.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8.

4．D　【点拨】∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠CAB＝∠DAB＝45°.∵四边形AEFC是菱形，AF是对角线，∴∠FAB＝∠CAB＝22.5°.

5．B 　【点拨】∵DE为△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝BC＝4，点D是AB的中点．∵∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5. ∴EF＝DE－DF＝4－ 2.5＝1.5.

6．B

7．D　【点拨】因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形，故A正确；若∠BAC＝90°，则▱AEDF是矩形，故B正确；若AD⊥BC且AB＝AC，则▱AEDF是菱形，故C正确；由AD平分∠BAC，易知AE＝DE，所以▱AEDF是菱形，故D错误．

8．D　【点拨】设EF交AC于点O，易得四边形AEPF是平行四边形， ∴S_△AOE＝S_△POF.∴S_阴影＝S_菱形ABCD＝××2×5＝2.5.

9．A　【点拨】如图①，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝1 cm.如图②，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝1 cm，∠B＝90°，∴AC＝＝(cm)．

10．A　【点拨】∵∠DAE＝2∠BAE, ∠DAE＋∠BAE＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝30°， ∠DAE＝60°.∵AE⊥BD，∴∠ADB＝30°.∵AB＝2，∴BD＝2AB＝4， BE＝AB＝1.∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝BD＝2，∴OE＝OB－BE＝1.

1 1．C　【点拨】如图，连接AE，CG，CF，

∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∴d₁＋d₂＋d₃＝EF＋ CF＋AE，∴点A，E，F，C在同一条直线上时，EF＋CF＋AE最小，即d₁＋d₂＋d₃最小．连接AC，∴d₁＋d₂＋d₃的最小值为AC的长，在Rt△ABC中， AC＝＝，∴d₁＋d₂＋d₃的最小值为.

12．C　【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥CB，AD＝BC， ∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OA，∴∠DAN＝∠BCM.∵BF⊥AC，DE∥BF，∴DE⊥AC，∠BMC＝90°，∴∠DNA＝90°＝∠BMC.

在△DNA和△BMC中，，

∴△DNA≌△BMC(AAS)，∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确．在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(ASA)，

∴AE＝FC，DE＝BF.∵CF＞CM，∴AE＞CM，故③错误．∵DE＝BF，DN＝BM，∴DE－DN＝BF－BM，即NE＝MF.又∵DE∥BF，∴四边形NEMF是平行四边形，∴EM∥FN，故②正确．∵AB＝CD，AE＝CF，∴BE＝DF. 又∵DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形．∵AO＝AD，OA＝OD，∴AO＝ AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠DAN＝60°，∴∠ABD＝ 90°－∠ADO＝30°. ∵DE⊥AC，AD＝OD，∴∠ADN＝∠ODN＝30°， ∴∠ODN＝∠ABD，∴DE＝BE，∴▱DEBF是菱形，故④正确．故正确结论的个数是3.

二、13．4　【点拨】∵菱形ABCD的周长为32，∴菱形ABCD的边长为8，即 AD＝8.∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC的中点．∵E为CD的中点， ∴OE＝AD＝4.

14．AB⊥BC(答案不唯一)　【点拨】∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，∴DF，EF都是△ABC的中位线，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四边形BEFD为平行四边形．当AB⊥BC时，∠B＝90°，∴平行四边形BEFD为矩形．

1 5．(－4，3)　【点拨】如图，过点A作AB⊥x轴于点B，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠OAB＋∠AOB＝90°. ∵四边形OACD是正方形，∴OA＝OD， ∠AOD＝90°，∴∠DOE＋∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠DOE.

在△AOB和△ODE中，

∴△AOB≌△ODE(AAS)，∴AB＝OE，OB＝DE. ∵点D的坐标为(3，4)， ∴OE＝3，DE＝4.∵点A在第二象限，∴点A的坐标为(－4，3)．

16． 　【点拨】连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝ AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO.∵AB＝5，∴AC＝＝13，∴OB＝ OC＝.∵S_△BOC＝S_△BOE＋S_△COE＝×EG＋×EF，S△BOC＝S△ABC＝× ×5×12＝15，∴×EG＋×EF＝15，∴EG＋EF＝.

17．20　【点拨】由题可知MN是线段AD的垂直平分线，∴AF＝FD，AE＝ED，AD⊥EF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，∴AF＝FD＝AE＝ED，∴四边形AEDF是菱形．∵△CDF的周 长＝CD＋DF＋CF＝CD＋AF＋CF＝AC＋CD＝12，AC＝8，∴CD＝4.设AF＝FD＝x，则CF＝8－x.∵在Rt△CDF中，FC²＋CD²＝FD²，∴(8－x)²＋4²＝x²，解得x＝5，∴S_{四边形AEDF}＝AF·CD＝5×4＝20.

18．(1)3　(2)　【点拨】(1)如图，过E作EM⊥AD于M, ∵EA＝ED＝， AD＝3，∴AM＝DM＝AD＝，∴EM＝＝2，∴△ADE的面积为 AD·EM＝×3×2＝3.

(2)如图，延长EM交AG于N，交BC于P，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°.∵EM⊥AD，∴∠AMP＝90°，∴四边形ABPM是矩形， ∴PM＝AB＝3，AB∥EP，∴PM∥CD，EP＝5，∠ABF＝∠NEF. ∵F为BE的中点，∴BF＝EF.在△ABF和△NEF中， ∴△ABF≌△NEF(ASA)，

∴EN＝AB＝3，∴MN＝1.由PM∥CD，易知AN＝NG，∴GD＝2MN＝2， ∴AG＝＝.

三、19．【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD，∠B＝∠D. ∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠CEB＝∠CFD＝90°.在△BCE和△DCF中，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴BE＝DF，∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.

20．【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.∵点O是BD的中点，∴DO＝BO.又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE(ASA)．

(2)由(1)知△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.∵AD∥BC，即DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．

21．【证明】∵DE∥AC, CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形. ∴DE＝AC， CE＝AD.又∵AC ＝ BC，

∴BC ＝ DE.∵D为AB的中点，∴AD＝DB，∴CE＝DB.

又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形．

又∵BC＝DE.∴四边形CDBE是矩形．

∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD＝DB.∴四边形CDBE是正方形．

22．【证明】(1)∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.同理可得EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形．

(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF.在Rt△AHB中， ∵D是AB的中点，∴DH＝AB ＝AD.∴∠DAH＝∠DHA.同理可得∠FAH＝ ∠FHA.∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA.∴∠DAF＝∠DHF.∴∠DHF＝ ∠DEF.

23．(1)【证明】∵DE是△ABC的中位线，∴点D是AB的中点，点E是AC的中点，∴AD＝AB.∵AF是△ABC的中线，∴点F是BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分．

(2)【解】当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形．理由：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC.∵AF＝BC，∴AF＝DE.由(1)得四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE为矩形．

24．(1)【证明】∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠N.在△AOM和△CON中，

∴ △AOM≌△CON(AAS)．

(2)【解】如图，连接CE, ∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，则DE＝6－x.∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3.在Rt△CDE中，由勾股定理得CD²＋DE²＝CE²，即3²＋(6－x)²＝x²，解得x＝，即AE的长为.

25．(1)【证明】在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°. 在△ABP和 △CBP中，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴PA＝PC.∵PA＝PE，∴PC＝PE.

(2)【解】由(1)知△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP.∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E.∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°.

(3)【解】AP＝CE.理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP， ∠BAD＝∠BCD，∠ADC＝∠ABC＝120°.在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP， ∴∠DAP＝∠DCP.∵PA＝PE，∴PC＝PE，∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP.∵∠CFP＝∠EFD，∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，即 ∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE.