【330821】难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性

问题

类型一　特殊平行四边形的动态探究问题

一、动点问题

1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6，∠BAD＝60°，且AB>6.

(1)求∠EPF的大小；

(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；

(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．

二、图形的变换问题

2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.

(1)求证：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

类型二　四边形间的综合性问题

3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)

参考答案与解析

1．解：(1)如图①，过点P作PG⊥EF于点G，H为PE的中点，连接GH，∴∠PGE＝90°，GH＝PH＝HE＝PE＝3.∵PF＝PE，∴∠FPG＝∠EPG，FG＝GE＝EF＝3.在Rt△PGE中，由勾股定理得PG＝＝＝3.∴PG＝GH＝PH，即△GPH为等边三角形，∴∠GPH＝60°，∴∠FPE＝∠FPG＋∠GPE＝2∠GPE＝2×60°＝120°.

(2)如图①，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，∴∠ANP＝∠AMP＝90°.∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°，PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME＝NF.∵∠PAM＝30°，AP＝10，∴PM＝AP＝5.由勾股定理得AM＝＝5.在△ANP和△AMP中，∴△ANP≌△AMP，∴AN＝AM＝5.∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＋ME－NF＝10.

(3)如图②，△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P₁，P之间运动．P₁O＝PO＝PE＝3，AE＝EF＝6，AO＝＝9.∴AP的最大值为AO＋OP＝12，AP的最小值为AO－OP₁＝6.

2．(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA＝OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；

(2)解：①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：

a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴∠AG′O＝30°，∠AOG′＝60°.∵OA⊥OD，∴∠DOG′＝90°－∠AOG′＝30°，即α＝30°；

b．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求的∠AOG′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG′＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°；

②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.

3．(1)证明：如图①中，连接BD.∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD.∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．

(2)解：四边形EFGH是菱形．理由如下：如图②中，连接AC，BD.∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD.在△APC和△BPD中，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD.∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∴EF＝FG.∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．

(3)解：四边形EFGH是正方形．理由如下：如图②中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP.∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°.∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．