【330819】菱形的判定

湘教版8年级下册数学2.6.2菱形的判定同步练习

一、选择题(本大题共8小题)

1. 如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　）

A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D． AC=BD

2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）

A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°

3. 如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm²，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm

4. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE为（ ）时，四边形BFCE是菱形．

A．5 B．4 C．3 D．6

5. 如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD的值为（ ）时，平行四边形CDEB为菱形．

A．14 B．16 C．18 D．10

6. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）cm．

A．14 B．16 C．18 D．10

7. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

8. 过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB= ，∠DCF=30°，则EF的长为（　　）

　 A． 2 B． 3 C． D．

二、填空题(本大题共6小题)

9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　 　使其成为菱形（只填一个即可）．

10. 如图，四边形ABCD内有一点E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠BAD的大小是 。

11. 如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA=______.

12. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).

13. 如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是　 　（只填写序号）

14. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

甲：连接AC，做AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.

乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.

根据两人的作法可判断正确的是 。

三、计算题(本大题共4小题)

15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；

（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．

16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．

（1）证明：四边形ADCE是菱形；

（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）

17. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：

（1）∠CEB=∠CBE；

（2）四边形BCED是菱形．

18. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD

（1）求∠AOD的度数；

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

19. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1. B

分析：利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解：如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC，

故选B

2. B

分析：首先根据平移的性质得出AB CD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．

解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，

∴AB CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

当AC=BC时，

平行四边形ACED是菱形．

故选：B．

3. A

分析：可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．

解：如图，连接AC、BD相交于点O，

∵四边形ABCD的四边相等，

∴四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，S_四边形ABCD= AC•BD，

∴ ×24BD=120，解得BD=10cm，

∴OA=12cm，OB=5cm，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB= =13（cm），

∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），故选A．

4. B

分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．

解：（1）证明：∵AB=DC，

∴AC=DF，

在△AEC和△DFB中

，

∴△AEC≌△DFB（SAS），

∴BF=EC，∠ACE=∠DBF

∴EC∥BF，

∴四边形BFCE是平行四边形；

（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，

∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，

∴BC=10﹣3﹣3=4，

∵∠EBD=60°，

∴BE=BC=4，

∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，

故答案为：4．故选B.

5. C

分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB-2OB．

解：如图，连接CE交AB于点O．

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5（勾股定理）．

若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．

∵ AB•OC= AC•BC，

∴OC= ．

∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB= = = ，
∴AD=AB-2OB= ．

故答案是： ．

6. B

分析：利用三角形的中位线定理；矩形的性质；菱形的判定及性质解答即可。

解：根据三角形的中位线定理和矩形对角线相等的性质可证得四边形EFGH是菱形，且EF= AC=4，所以菱形的周长等于16cm，故选B。

7. C

分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．

解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC= AC=2，

∴四边形CODE是菱形，

∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．

故选C．

8. A

分析： 求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．

解答： 解：∵矩形对边AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵O是AC的中点，

∴AO=CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形，

∵∠DCF=30°，

∴∠ECF=90°﹣30°=60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF=CF，

∵AB= ，

∴CD=AB= ，

∵∠DCF=30°，

∴CF= ÷ =2，

∴EF=2．

故选A．

二、填空题(本大题共6小题)

9. 分析：利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．

解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．

故答案为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC

10. 分析：由题干BE=DE=BC=DC，可知四边形BECD为菱形，又∠C=100°，所以∠BED=100°，∠CBE=∠CDE=80°．连接BD，易知AE、BE、DE是△ABD的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案．

解：连接BD，并延长AE交BD于点O，

∵AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，∴四边形BCDE是菱形，

∴AE、BE、DE是△ABD的角平分线．

∴A、E、O、C四点共线，

∵∠C=100°，∴∠BED=50°，

∴∠BEO= ∠BED=50°，

∴∠ABE=25°，

∴∠BAD=50°，

11. 分析：因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．

解：∵ABCD是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．

∵∠BAD=80°，∴∠ABD= ×（180°-80°）=50°．

又∵BE=BO，

∴∠BEO=∠BOE= ×（180°-50°）=65°．

故答案为：65．

12.分析：根据菱形的判定方法进行验证得到答案。

解：∵BD=CD，DE=DF，

∴四边形BECF是平行四边形，

①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；

②四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；

③AB=AC时，∵D是BC的中点，

∴AF是BC的中垂线，

∴BE=CE，

∴平行四边形BECF是菱形．

13. 分析：根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．

解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，

则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，

则∠2=∠4，

∴AD=DC，

同理可得：AB=AD=BC=DC，

所以四边形ABCD是菱形．

根据菱形的性质，可以得出以下结论：

所以①AC⊥BD，正确；

②AD∥BC，正确；

③四边形ABCD是菱形，正确；

④在△ABD和△CDB中

∵

∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．

故答案为：①②③④．

14.分析：首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得MO=NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．

解：甲的作法正确；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACN，

∵MN是AC的垂直平分线，

∴AO=CO，

在△AOM和△CON中 ，

∴△AOM≌△CON（ASA），

∴MO=NO，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∵AC⊥MN，

∴四边形ANCM是菱形；

乙的作法正确；

∵AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠6=∠7，

∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∴∠1=∠3，∠5=∠7，

∴AB=AF，AB=BE，

∴AF=BE

∵AF∥BE，且AF=BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=AF，

∴平行四边形ABEF是菱形；

故选：C．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 分析：（1）利用平行四边形的判定证明即可；

（2）利用菱形的判定证明即可．

证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，

∴DE∥BC，即EF∥BC．

又∵BF∥CE，

∴四边形ECBF是平行四边形．

（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，

∴CB= AB，CE= AB．

∴CB=CE．

又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，

∴四边形ECBF是菱形．

16.分析：（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；

（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，由直角三角形的性质求出DF即可．

解答：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，

∴四边形ADCE是平行四边形，

又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，

∴CD= AB=BD=AD，

∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：

DF即为菱形ADCE的高，

∵∠B=60°，CD=BD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，

∵CE∥AB，

∴∠DCE=∠BDC=60°，

又∵CD=BC=6，

∴在Rt△CDF中，DF=6× =3 ．

17. 分析：（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．

（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．

证明；（1）∵△ABC≌△ABD，

∴∠ABC=∠ABD，

∵CE∥BD，

∴∠CEB=∠DBE，

∴∠CEB=∠CBE．

（2））∵△ABC≌△ABD，

∴BC=BD，

∵∠CEB=∠CBE，

∴CE=CB，

∴CE=BD

∵CE∥BD，

∴四边形CEDB是平行四边形，

∵BC=BD，

∴四边形CEDB是菱形．

18. 分析：（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD= （∠DAB+∠ABC）= ×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；

（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．

解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，

∵AE∥BF，

∴∠DAB+∠CBA，=180°，

∴∠BAC+∠ABD= （∠DAB+∠ABC）= ×180°=90°，

∴∠AOD=90°；

（2）证明：∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，

∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，

∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，

∴AB=BC，AB=AD

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD=AB，

∴四边形ABCD是菱形．

19. 分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；

（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴AE= AB，CF= CD，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

∵

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：

解：由（1）可得BE=DF，

又∵AB∥CD，

∴BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF∥AE，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴EF∥AD，

∵∠ADB是直角，

∴AD⊥BD，

∴EF⊥BD，

又∵四边形BFDE是平行四边形，

∴四边形BFDE是菱形．