【330773】矩形的性质

湘教版8年级下册数学2.5.1矩形的性质同步练习

一、选择题(本大题共8小题)

1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )

A.30° B.60° C.90° D.120°

2 . 如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( )

A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD

C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC

3 . 如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

4. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．4

5. 如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

6. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A． B． C． D．

7. 如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△AFD≌△DCE B．AF= AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF

8. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）

A．4.8 B．5 C．6 D．7.2

二、填空题(本大题共6小题)

9. 已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=　 　．

10. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=　　度．

11. 如图，矩形ABCD中，对角线AC=2 ，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．

12. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　 ．

13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　 　度．

14. 如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为　 ．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．

16. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．

17. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

18. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1. B

分析：矩形的性质．

解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠ACB=30°，

∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．

故选B．

2. A

分析：根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．

解：根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥 即可：

∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线。∴OD=OC。

∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD=DE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD（HL）。

∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD=BC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（HL）。

∴△BOC≌△EOD。

综上所述，B、C、D均正确。故选A。

3. C

分析：本题主要根据矩形的性质进行做题．

解：∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．

4. A

分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．

解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

∵∠ACB=30°，AB=2，

∴AC=2AB=2×2=4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC=OA= AC=2．

故选A．

5. C

分析：首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．

解：过点D作DE∥a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，

∵a∥b，

∴DE∥a∥b，

∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，

∴∠2=90°﹣30°=60°．

故选C．

6. D

分析：连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．

解：连接BF，

∵BC=6，点E为BC的中点，

∴BE=3，

又∵AB=4，

∴AE= =5，

∴BH= ，

则BF= ，

∵FE=BE=EC，

∴∠BFC=90°，

∴CF= = ．

故选：D．

7. B

分析：先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．

解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，

∴∠ADF=∠DEC．

又∵DE=AD，

∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；

（B）∵∠ADF不一定等于30°，

∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；

（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，

由矩形ABCD，可得AB=CD，

∴AB=AF，故（C）正确；

（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，

由矩形ABCD，可得BC=AD，

又∵BE=BC﹣EC，

∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；

故选B．

8. A

分析：首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP= OA•PE+OD•PF求得答案．

解：连接OP，

∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，

∴S_矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，

∴OA=OD=5，

∴S_△ACD= S_矩形ABCD=24，

∴S_△AOD= S_△ACD=12，

∵S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP= OA•PE+ OD•PF= ×5×PE+ ×5×PF= （PE+PF）=12，

解得：PE+PF=4.8．

故选：A．

二、填空题(本大题共6小题)

9. 分析：根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．

解：在矩形ABCD中，

∵角线AC与BD相交于点O，AO=1，

∴AO=CO=BO=DO=1，

∴BD=2．

故答案为：2．

10. 分析：连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．

解：连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，

∴∠E=∠DAE，

又∵BD=CE，

∴CE=CA，

∴∠E=∠CAE，

∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，

∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，

故答案为：15．

11. 分析：先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．

解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，

∴∠EB′C=90°，

∵BC=3BE，

∴EC=2BE=2B′E，

∴∠ACB=30°，

在Rt△ABC中，AC=2AB，

∴AB= AC= ×2 = ，

故答案为： ．

12. 分析：由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OA=OB，

∵AE垂直平分OB，

∴AB=AO，

∴OA=AB=OB=3，

∴BD=2OB=6，

∴AD= = =3 ；

故答案为：3 ．

13. 分析：首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∴OA=OB═OC，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，

∵∠EAC=2∠CAD，

∴∠EAO=∠AOE，

∵AE⊥BD，

∴∠AEO=90°，

∴∠AOE=45°，

∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，

∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．

故答案为22.5°．

14. 分析：要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．

解：①如图，当AB=AD时

满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，

△P₁BC，△P₂BC是等腰直角三角形，△P₃BC是等腰直角三角形（P₃B=P₃C），

则AB=AD=4．

②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，

∵P₂是AD的中点，

∴BP₂= = ，

易证得BP₁=BP₂，

又∵BP₁=BC，

∴ =4

∴AB=2 ．

③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．

故答案为：4或2 ．

三、计算题(本大题共4小题)

15. 分析：首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴AO=OB，

∵AB=AO，

∴AB=AO=BO，

∴△ABO是等边三角形，

∴∠ABD=60°．

16. 分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∵EF⊥DF，

∴∠EFD=90°，

∴∠EFB+∠CFD=90°，

∵∠EFB+∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠CFD，

在△BEF和△CFD中，

，

∴△BEF≌△CFD（ASA），

∴BF=CD．

17. 分析：（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；

（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．

解：（1）如图所示，EF为所求直线；

（2）四边形BEDF为菱形，理由为：

证明：∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∵BF=DF，

∴BE=ED=DF=BF，

∴四边形BEDF为菱形．

18. 分析：（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；

（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．

解：（1）证明：∵折叠，

∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，

∴∠ANF=90°，∠CME=90°，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∴AM=CN，

∴AM﹣MN=CN﹣MN，

即AN=CM，

在△ANF和△CME中，

，

∴△ANF≌△CME（ASA），

∴AF=CE，

又∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，

设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，

在Rt△CEM中，

（8﹣x）²+4²=x²，

解得：x=5，

∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．