【330439】初中数学北师八下第5章卷（1）

单元测试（一）

一、选择题

1．下列各式 （1﹣x）， ， ， +x， ，其中分式共有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

2．下列分式的值，可以为零的是（　　）

A． B． C． D．

3．若把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）

A．扩大3倍 B．不变

C．缩小到原来的 D．缩小到原来的

4. 使分式 的值为正的条件是（　　）

A． B． C．x＜0 D．x＞0

5．把分式方程 = 化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　）

A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）

6．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）

A． ﹣ =20 B． ﹣ =20

C． ﹣ =0.5 D． ﹣ =0.5

二、填空题

7．当x 　时，分式 有意义．

8．对于分式 ，当x=　　时，分式无意义；当x=　　时，分式值为零．

9．填空： = ， =﹣ ．

10．下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中分子与分母没有公因式的分式是　 　．（填序号）．

11．化简： =　 ．

12．若 = ，则 的值是　 　．

13．不改变分式的值，使分式的分子和分母里次数最高的项的系数是正整数．

(1) =　 　 ；

(2) =　　 ．

14．分式 ， 的最简公分母是　　．

15．一件工作，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，则甲、乙合作　　小时完成．　

16．关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是 　．

17．在方程 中，如果设y=x²﹣4x，那么原方程可化为关于y的整式方程是 　．

18．关于x的方程 ﹣2= 有增根，则增根是　　，k的值为　　．

三、解答题

19．计算：

(1) • ÷

(2) ÷（4x²﹣y²）

(3) +

(4) ﹣x+y

(5)（1﹣ ）（ ﹣1）

(6)（ + ）÷ ．

20．先化简，再求值： ，其中m=﹣2．

21．解方程：

(1)1﹣ =

(2) ﹣ = ．

22．列分式方程解应用题：

某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15元，今年2月的水费是30元．已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5吨，求该市今年居民用水的价格？

23．列分式方程解应用题：

“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2 500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4 500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．

①求第一批玩具每套的进价是多少元？

②如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？

答案与解析

1．下列各式 （1﹣x）， ， ， +x， ，其中分式共有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】61：分式的定义．

【专题】选择题

【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案．

【解答】解： 中的分母含有字母是分式．故选A．

【点评】本题主要考查分式的定义，π不是字母， 不是分式．

　

2．下列分式的值，可以为零的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】63：分式的值为零的条件．

【专题】选择题

【分析】分式的值为0的条件是：(1)分子为0；(2)分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

【解答】解：A、分式的值不能为零，故A错误；

B、x=﹣1时，分式无意义，故B错误；

C、x=﹣1时，分式无意义，故C错误；

D、x=﹣1时，分式的值为零，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0．这两个条件缺一不可．

　

3．若把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）

A．扩大3倍 B．不变

C．缩小到原来的 D．缩小到原来的

【考点】65：分式的基本性质．

【专题】选择题

【分析】若把分式 中的x和y都扩大3倍，然后与原式比较．

【解答】解：将3x、3y代入原式，则原式= = = ，所以缩小到原来的 ，故选C．

【点评】本题主要考查了分式的基本性质．

　

4．使分式 的值为正的条件是（　　）

A． B． C．x＜0 D．x＞0

【考点】64：分式的值．

【专题】选择题

【分析】根据题意可得不等式 ＞0，由于分子是负数，根据负负得正，可知1﹣3x＜0，即可求x的取值范围．

【解答】解：根据题意得

＞0，

∴1﹣3x＜0，

∴x＞ ．

故选B．

【点评】本题考查了解不等式．注意负负得正．

　

5．把分式方程 = 化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　）

A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）

【考点】B3：解分式方程．

【专题】选择题

【分析】首先找最简公分母，再化成整式方程．

【解答】解：由2x﹣4=2（x﹣2），另一个分母为2x，

故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）．

故选：C．

【点评】本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母．

　

6．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）

A． ﹣ =20 B． ﹣ =20

C． ﹣ =0.5 D． ﹣ =0.5

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【专题】选择题

【分析】设原价每瓶x元，根据某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，可列方程．

【解答】解：设原价每瓶x元，

﹣ =20,

故选B．

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出价格，以瓶数做为等量关系列方程求解．

　

7．当x 　时，分式 有意义．

【考点】62：分式有意义的条件．

【专题】填空题

【分析】分式有意义，分母不等于零．

【解答】解：当分母1﹣x≠0，即x≠1时，分式 有意义．

故答案是：≠1．

【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：

(1)分式无意义⇔分母为零；

(2)分式有意义⇔分母不为零；

(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

　

8．对于分式 ，当x=　　时，分式无意义；当x=　　时，分式值为零．

【考点】63：分式的值为零的条件；62：分式有意义的条件．

【专题】填空题

【分析】分式无意义时，分母等于零；分式的值为零时，分子等于零且分母不等于零．

【解答】解：依题意得：x﹣3=0，

解得x=3，

所以x=3时，分式无意义；

依题意得：x²﹣2x﹣3=0且x﹣3≠0，即（x﹣3）（x+1）=0且x﹣3≠0，

所以x+1=0，

解得x=﹣1．

故答案是：3；﹣1．

【点评】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

　

9．填空： = ， =﹣ ．

【考点】65：分式的基本性质．

【专题】填空题

【分析】根据分式的基本性质和化简方法，逐一化简即可．

【解答】解： = ， =﹣ ．

故答案为：x﹣y、﹣x+y．

【点评】此题主要考查了分式的基本性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．

　

10．下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中分子与分母没有公因式的分式是　 　．（填序号）．

【考点】66：约分．

【专题】填空题

【分析】根据公因式的定义，及各分式的形式即可得出答案．

【解答】解：①公因式是：3；

②公因式是：（x+y）；

③没有公因式；

④公因式是：m．

⑤没有公因式；

则没有公因式的是③、⑤．

故答案为：③⑤．

【点评】本题考查了约分的知识，属于基础题，关键是掌握公因式的定义．

　

11．化简： =　．

【考点】66：约分．

【专题】填空题

【分析】把分式进行化简就是对分式进行约分，首先要对分子、分母进行分解因式，然后提取出分子分母的公因式．

【解答】解：化简： = ．

【点评】分式进行约分时，应先把分子、分母中的多项式进行分解因式，正确分解因式是掌握约分的关键．

　

12．若 = ，则 的值是　　．

【考点】64：分式的值．

【专题】填空题

【分析】由 = 得出a= b，代入分式求得数值即可．

【解答】解：由 = ，

∴a= b，

代入 = = ．

故答案为： ．

【点评】此题利用换元法求代数式的值，是数学中常用的解题方法．

　

13．不改变分式的值，使分式的分子和分母里次数最高的项的系数是正整数．

(1) =　 　；

(2) =　 　．

【考点】65：分式的基本性质．

【专题】填空题

【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．

【解答】解：(1) = ；

(2) = ，

故答案为： ， ．

【点评】本题考查了分式的基本性质．在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．

　

14．分式 ， 的最简公分母是　　．

【考点】69：最简公分母．

【专题】填空题

【分析】先把分母分解因式，再根据最简公分母的定义进行填空即可．

【解答】解：分式 ， 的最简公分母是（x﹣1）²（x﹣2），

故答案为（x﹣1）²（x﹣2）．

【点评】本题考查了最简公分母，系数的最小公倍数以及字母的最高次幂．

　

15．一件工作，甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，则甲、乙合作　　小时完成．

【考点】6G：列代数式（分式）．

【专题】填空题

【分析】根据两人合作一小时完成的工作量=甲1小时的工作量+乙1小时的工作量，进而求出两人合作所用时间即可．

【解答】解：∵一件工程甲单独完成要a小时，乙单独完成要b小时，

∴甲1小时的工作量为 ，乙1小时的工作量为 ，

∴两人合作一小时完成的工作量为： = ．

故答案为： ．

【点评】此题考查了列代数式，得到甲乙合作1小时的工作量的等量关系是解决本题的关键．

　

16．关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是 　．

【考点】B2：分式方程的解．

【专题】填空题

【分析】先去分母得2x+a=x﹣1，可解得x=﹣a﹣1，由于关于x的方程 的解是正数，则x＞0并且x﹣1≠0，即﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2．

【解答】解：去分母得2x+a=x﹣1，

解得x=﹣a﹣1，

∵关于x的方程 的解是正数，

∴x＞0且x≠1，

∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，

∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．

故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．

【点评】本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．

　

17．在方程 中，如果设y=x²﹣4x，那么原方程可化为关于y的整式方程是 　．

【考点】B4：换元法解分式方程．

【专题】填空题

【分析】先把方程整理出含有x²﹣4x的形式，然后换成y再去分母即可得解．

【解答】解：方程整理得，x²﹣4x+ +4=0，

设y=x²﹣4x，

原方程可化为，y+ +4=0，

方程两边都乘以y，去分母得，

y²+4y+3=0．

故答案为：y²+4y+3=0．

【点评】本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式x²﹣4x，再用字母y代替解方程．

　

18．关于x的方程 ﹣2= 有增根，则增根是　　，k的值为　　．

【考点】B5：分式方程的增根．

【专题】填空题

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．

【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得

x﹣2（x﹣3）=k

∵原方程增根为x=3，

∴把x=3代入整式方程，得k=3，

故答案为：3，3．

【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

　

19．计算：

(1) • ÷

(2) ÷（4x²﹣y²）

(3) +

(4) ﹣x+y

(5)（1﹣ ）（ ﹣1）

(6)（ + ）÷ ．

【考点】6C：分式的混合运算．

【专题】解答题

【分析】(1)从左到右依次计算即可；

(2)根据分式的除法法则进行计算即可；

(3)、(4)先通分，再把分子相加减即可；

(5)先算括号里面的，再算乘法即可；

(6)先算括号里面的，再算除法即可．

【解答】解：(1)原式= •

= ；

(2)原式= •

=（2x﹣y）•

= ；

(3)原式= ﹣

=

=a+b；

(4)原式= ﹣

=

= ；

(5)原式= •

= •

=﹣ ；

(6)原式= •

= •

= ．

【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

　

20．先化简，再求值： ，其中m=﹣2．

【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】解答题

【分析】首先把分式进行化简，然后代值计算．

【解答】解：原式=

= （2分）

= ；（4分）

当m=﹣2时，原式= ．（5分）

【点评】分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．

　

21．解方程：

(1)1﹣ =

(2) ﹣ = ．

【考点】B3：解分式方程．

【专题】解答题

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：(1)去分母得：x²﹣25﹣x﹣5=x²﹣5x，

解得：x= ，

经检验x= 是分式方程的解；

(2)去分母得：3x+3﹣2x+3=1，

解得：x=﹣5，

经检验x=﹣5是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

　

22．列分式方程解应用题：

某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15元，今年2月的水费是30元．已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5吨，求该市今年居民用水的价格？

【考点】B7：分式方程的应用．

【专题】解答题

【分析】可设去年每吨水费为x元，则今年每吨水费为（1+ ）x元，小丽家去年12月的用水量为 吨，今年2月的用水量为（ +5）吨，根据等量关系：今年2月的水费是30元，列出方程即可求解．

【解答】解：设去年每吨水费为x元，则今年每吨水费为（1+ ）x元，小丽家去年12月的用水量为 吨，今年2月的用水量为（ +5）吨，依题意有

（ +5）（1+ ）x=30，

解得：x=1.5，

经检验得：x=1.5是原方程的根，

则（1+ ）x=2，

答：今年居民用水的价格为2元．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

23．列分式方程解应用题：

“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2 500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4 500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．

①求第一批玩具每套的进价是多少元？

②如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．

【专题】解答题

【分析】①设第一批玩具每套的进价是x元，则第一批进的件数是： ，第二批进的件数是： ，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数×1.5可得方程；

②设每套售价是y元，利润=售价﹣进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，可列不等式求解．

【解答】解：①设第一批玩具每套的进价是x元，根据题意可得：

×1.5= ，

解得：x=50，

经检验x=50是分式方程的解，符合题意．

答：第一批玩具每套的进价是50元；

②设每套售价是y元， ×1.5=75（套）．

50y+75y﹣2500﹣4500≥（2500+4500）×25%，

解得：y≥70，

答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是70元．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意的能力，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润做为不等辆关系列出不等式求解．