2020年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算
的结果是
A．2 B．
C．4 D．
2．（4分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是
A．
B．
C．
D．
3．（4分）计算
的结果是
A．
B．
C．
D．
4．（4分）无理数
在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．（4分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．（4分）如图，把
先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到
，则顶点
对应点的坐标为
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，已知线段
，分别以
，
为圆心，大于
同样长为半径画弧，两弧交于点
，
，连接
，
，
，
，
，则下列说法错误的是
A．
平分
B．
平分
C．
D．
8．（4分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
9．（4分）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度
（单位：
与运动时间
（单位：
的函数图象如图2，则该小球的运动路程
（单位：
与运动时间
（单位：
之间的函数图象大致是
A．
B．
C．
D．
10．（4分）把一张宽为
的长方形纸片
折叠成如图所示的阴影图案，顶点
，
互相重合，中间空白部分是以
为直角顶点，腰长为
的等腰直角三角形，则纸片的长
（单位：
为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：
．
12．（5分）计算
的结果是 ．
13．（5分）如图，等边三角形纸片
的边长为6，
，
是边
上的三等分点．分别过点
，
沿着平行于
，
方向各剪一刀，则剪下的
的周长是 ．
14．（5分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为
与
，则
．（填“
”、“
”、“
”中的一个）
15．（5分）如图，在
中，
是边
上的一点，以
为直径的
交
于点
，连接
．若
与
相切，
，则
的度数为 ．
16．（5分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为
，小正方形地砖面积为
，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
．则正方形
的面积为 ．（用含
，
的代数式表示）
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：
．
18．（8分）解方程组：
19．（8分）人字折叠梯完全打开后如图1所示，
，
是折叠梯的两个着地点，
是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，
，
，
，求点
离地面的高度
．（结果精确到
；参考数据
，
，
，
20．（8分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间
（单位：秒）与训练次数
（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）当
的值为6，8，10时，对应的函数值分别为
，
，
，比较
与
的大小：
．
21．（10分）如图，已知
，
，
和
相交于点
．
（1）求证：
；
（2）判断
的形状，并说明理由．
22．（12分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度 人数 方式 |
|
|
|
|
录播 |
4 |
16 |
12 |
8 |
直播 |
2 |
10 |
16 |
12 |
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为
，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
23．（12分）如图，在
中，
，将
沿直线
翻折得到
，连接
交
于点
．
是线段
上的点，连接
．
是
的外接圆与
的另一个交点，连接
，
．
（1）求证：
是直角三角形；
（2）求证：
；
（3）当
，
时，在线段
上存在点
，使得
和
互相平分，求
的值．
24．（14分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图
．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为
（单位：
，如果在离水面竖直距离为
（单位：
的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）
（单位：
与
的关系为
．
应用思考：现用高度为
的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高
处开一个小孔．
（1）写出
与
的关系式；并求出当
为何值时，射程
有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为
，
，要使两孔射出水的射程相同，求
，
之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加
，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
2020年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）计算
的结果是
A．2 B．
C．4 D．
【分析】根据有理数的加减法法则计算即可判断．
【解答】解：
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数．
2．（4分）用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是
A．
B．
C．
D．
【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项
的图形符合题意．
【解答】解：根据主视图的意义可知，选项
符合题意，
故选：
．
【点评】考查简单几何体的三视图的画法，从不同方向对问题进行正投影所得到的图形分别为主视图、左视图、俯视图．
3．（4分）计算
的结果是
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：
．
故选：
．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（4分）无理数
在
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】由
可以得到答案．
【解答】解：
，
故选：
．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．
5．（4分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【分析】根据中位数的意义求解可得．
【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：
．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．
6．（4分）如图，把
先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到
，则顶点
对应点的坐标为
A．
B．
C．
D．
【分析】利用平移规律进而得出答案．
【解答】解：
把
先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到
，顶点
，
，
即
，
故选：
．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化
平移，正确得出对应点位置是解题关键．
7．（4分）如图，已知线段
，分别以
，
为圆心，大于
同样长为半径画弧，两弧交于点
，
，连接
，
，
，
，
，则下列说法错误的是
A．
平分
B．
平分
C．
D．
【分析】根据作图判断出四边形
是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【解答】解：由作图知
，
四边形
是菱形，
平分
、
平分
、
，
不能判断
，
故选：
．
【点评】本题主要考查作图
基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．
8．（4分）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①
②，①
③错误，
故选项
，
，
错误，
故选：
．
【点评】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（4分）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度
（单位：
与运动时间
（单位：
的函数图象如图2，则该小球的运动路程
（单位：
与运动时间
（单位：
之间的函数图象大致是
A．
B．
C．
D．
【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程
是
的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．
【解答】解：小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程
是
的二次函数，图象是先缓后陡，
在右侧上升时，情形与左侧相反，
故选：
．
【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（4分）把一张宽为
的长方形纸片
折叠成如图所示的阴影图案，顶点
，
互相重合，中间空白部分是以
为直角顶点，腰长为
的等腰直角三角形，则纸片的长
（单位：
为
A．
B．
C．
D．
【分析】如图，过点
作
于
，过点
作
于
．想办法求出
，
，
，
，
即可解决问题．
【解答】解：如图，过点
作
于
，过点
作
于
．
由题意
是等腰直角三角形，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，同法可证
，
由题意
，
，
故选：
．
【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：
．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：
．
【点评】此题考查了因式分解
运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．（5分）计算
的结果是 
．
【分析】先通分，再相减即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：
．
【点评】考查了分式加减法，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
13．（5分）如图，等边三角形纸片
的边长为6，
，
是边
上的三等分点．分别过点
，
沿着平行于
，
方向各剪一刀，则剪下的
的周长是 6 ．
【分析】根据三等分点的定义可求
的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解答】解：
等边三角形纸片
的边长为6，
，
是边
上的三等分点，
，
，
，
是等边三角形，
剪下的
的周长是
．
故答案为：6．
【点评】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明
是等边三角形．
14．（5分）甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为
与
，则
．（填“
”、“
”、“
”中的一个）
【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小．
【解答】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，
所以
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．也考查了方差的意义．
15．（5分）如图，在
中，
是边
上的一点，以
为直径的
交
于点
，连接
．若
与
相切，
，则
的度数为 
．
【分析】由直径所对的圆周角为直角得
，由切线的性质可得
，然后由同角的余角相等可得
．
【解答】解：
为
的直径，
，
；
与
相切，
，
，
，
，
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
16．（5分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为
，小正方形地砖面积为
，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
．则正方形
的面积为 
．（用含
，
的代数式表示）
【分析】如图，连接
，
，证明
即可解决问题．
【解答】解：如图，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形
的面积
．
故答案为
．
【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：
．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（8分）解方程组：
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：
，
①
②得：
，
解得：
，
把
代入①得：
，
则该方程组的解为
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（8分）人字折叠梯完全打开后如图1所示，
，
是折叠梯的两个着地点，
是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，
，
，
，求点
离地面的高度
．（结果精确到
；参考数据
，
，
，
【分析】过点
作
于点
，根据等腰三角形的三线合一性质得
的度数，进而得
的度数，再解直角三角形得结果．
【解答】解：过点
作
于点
，则
，
，
，
，
，
．
答：点
离地面的高度
约为
．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得
的度数．
20．（8分）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间
（单位：秒）与训练次数
（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）当
的值为6，8，10时，对应的函数值分别为
，
，
，比较
与
的大小：
．
【分析】（1）设
与
之间的函数关系式为：
，把
代入
即可得到结论，
（2）把
，8，10分别代入
得到求得
，
，
值，即可得到结论．
【解答】解：（1）设
与
之间的函数关系式为：
，
把
代入
得，
，
解得：
，
与
之间的函数关系式为
；
（2）把
，8，10分别代入
得，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
21．（10分）如图，已知
，
，
和
相交于点
．
（1）求证：
；
（2）判断
的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“
”可证
；
（2）由全等三角形的性质可得
，由等腰三角形的性质可得
，可求
，可得
，即可得结论．
【解答】证明：（1）
，
，
，
；
（2）
是等腰三角形，
理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
22．（12分）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
参与度 人数 方式 |
|
|
|
|
录播 |
4 |
16 |
12 |
8 |
直播 |
2 |
10 |
16 |
12 |
（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？
（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为
，估计参与度在0.4以下的共有多少人？
【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断；
（2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为
及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
【解答】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高：
理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，
所以“直播”教学方式学生的参与度更高；
（2）
，
答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是
；
（3）“录播”总学生数为
（人
，“直播”总学生数为
（人
，
所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为
（人
，
“直播”参与度在0.4以下的学生数为
（人
，
所以参与度在0.4以下的学生共有
（人
．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（12分）如图，在
中，
，将
沿直线
翻折得到
，连接
交
于点
．
是线段
上的点，连接
．
是
的外接圆与
的另一个交点，连接
，
．
（1）求证：
是直角三角形；
（2）求证：
；
（3）当
，
时，在线段
上存在点
，使得
和
互相平分，求
的值．
【分析】（1）想办法证明
即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．
（2）根据两角对应相等两三角形相似证明．
（3）证明四边形
是平行四边形，推出
，
，由
，可得
，由
，可得
，由
，推出
，由此构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：
，
，
，
，
是直角三角形．
（2）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：设
交
于
．连接
．
与
互相平分，
四边形
是平行四边形，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，
解得
（负根已经舍弃）．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（14分）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图
．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为
（单位：
，如果在离水面竖直距离为
（单位：
的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）
（单位：
与
的关系为
．
应用思考：现用高度为
的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高
处开一个小孔．
（1）写出
与
的关系式；并求出当
为何值时，射程
有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为
，
，要使两孔射出水的射程相同，求
，
之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加
，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【分析】（1）将
写成顶点式，按照二次函数的性质得出
的最大值，再求
的算术平方根即可；
（2）设存在
，
，使两孔射出水的射程相同，则
，利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为
，写出此时
关于
的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）
，
当
时，
，
当
时，
有最大值400，
当
时，
有最大值
．
当
为何值时，射程
有最大值，最大射程是
；
（2）
，
设存在
，
，使两孔射出水的射程相同，则有：
，
，
，
，
，
，或
，
或
；
（3）设垫高的高度为
，则
，
当
时，
，
，此时
．
垫高的高度为
，小孔离水面的竖直距离为
．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．