2020年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.(4分)计算
的结果是
A.2 B.
C.4 D.
2.(4分)用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是
A.
B.
C.
D.
3.(4分)计算
的结果是
A.
B.
C.
D.
4.(4分)无理数
在
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
5.(4分)在一次数学测试中,小明成绩72分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个结论所用的统计量是
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
6.(4分)如图,把
先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到
,则顶点
对应点的坐标为
A.
B.
C.
D.
7.(4分)如图,已知线段
,分别以
,
为圆心,大于
同样长为半径画弧,两弧交于点
,
,连接
,
,
,
,
,则下列说法错误的是
A.
平分
B.
平分
C.
D.
8.(4分)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③它是一个矩形.下列推理过程正确的是
A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出②
9.(4分)如图1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过程中,小球的运动速度
(单位:
与运动时间
(单位:
的函数图象如图2,则该小球的运动路程
(单位:
与运动时间
(单位:
之间的函数图象大致是
A.
B.
C.
D.
10.(4分)把一张宽为
的长方形纸片
折叠成如图所示的阴影图案,顶点
,
互相重合,中间空白部分是以
为直角顶点,腰长为
的等腰直角三角形,则纸片的长
(单位:
为
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.(5分)因式分解:
.
12.(5分)计算
的结果是 .
13.(5分)如图,等边三角形纸片
的边长为6,
,
是边
上的三等分点.分别过点
,
沿着平行于
,
方向各剪一刀,则剪下的
的周长是 .
14.(5分)甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个),各次训练成绩(投中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为
与
,则
.(填“
”、“
”、“
”中的一个)
15.(5分)如图,在
中,
是边
上的一点,以
为直径的
交
于点
,连接
.若
与
相切,
,则
的度数为 .
16.(5分)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正方形地砖面积为
,小正方形地砖面积为
,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
.则正方形
的面积为 .(用含
,
的代数式表示)
三、解答题(本题有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)
17.(8分)计算:
.
18.(8分)解方程组:
19.(8分)人字折叠梯完全打开后如图1所示,
,
是折叠梯的两个着地点,
是折叠梯最高级踏板的固定点.图2是它的示意图,
,
,
,求点
离地面的高度
.(结果精确到
;参考数据
,
,
,
20.(8分)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难度相当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间
(单位:秒)与训练次数
(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为400秒.
(1)求
与
之间的函数关系式;
(2)当
的值为6,8,10时,对应的函数值分别为
,
,
,比较
与
的大小:
.
21.(10分)如图,已知
,
,
和
相交于点
.
(1)求证:
;
(2)判断
的形状,并说明理由.
22.(12分)新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值).
参与度 人数 方式 |
|
|
|
|
录播 |
4 |
16 |
12 |
8 |
直播 |
2 |
10 |
16 |
12 |
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少?
(3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为
,估计参与度在0.4以下的共有多少人?
23.(12分)如图,在
中,
,将
沿直线
翻折得到
,连接
交
于点
.
是线段
上的点,连接
.
是
的外接圆与
的另一个交点,连接
,
.
(1)求证:
是直角三角形;
(2)求证:
;
(3)当
,
时,在线段
上存在点
,使得
和
互相平分,求
的值.
24.(14分)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图
.
科学原理:如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为
(单位:
,如果在离水面竖直距离为
(单位:
的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)
(单位:
与
的关系为
.
应用思考:现用高度为
的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距高
处开一个小孔.
(1)写出
与
的关系式;并求出当
为何值时,射程
有最大值,最大射程是多少?
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为
,
,要使两孔射出水的射程相同,求
,
之间的关系式;
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加
,求整高的高度及小孔离水面的竖直距离.
2020年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.请选出各题中一个符合题意的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.(4分)计算
的结果是
A.2 B.
C.4 D.
【分析】根据有理数的加减法法则计算即可判断.
【解答】解:
.
故选:
.
【点评】本题主要考查了有理数的减法法则,减去一个数,等于加上这个数的相反数.
2.(4分)用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是
A.
B.
C.
D.
【分析】从正面看所得到的图形即为主视图,因此选项
的图形符合题意.
【解答】解:根据主视图的意义可知,选项
符合题意,
故选:
.
【点评】考查简单几何体的三视图的画法,从不同方向对问题进行正投影所得到的图形分别为主视图、左视图、俯视图.
3.(4分)计算
的结果是
A.
B.
C.
D.
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案.
【解答】解:
.
故选:
.
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式,正确掌握相关运算法则是解题关键.
4.(4分)无理数
在
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
【分析】由
可以得到答案.
【解答】解:
,
故选:
.
【点评】此题考查了估算无理数的大小,熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键.
5.(4分)在一次数学测试中,小明成绩72分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个结论所用的统计量是
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
【分析】根据中位数的意义求解可得.
【解答】解:班级数学成绩排列后,最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数,
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下,
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数,
故选:
.
【点评】本题主要考查统计量的选择,解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义.
6.(4分)如图,把
先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到
,则顶点
对应点的坐标为
A.
B.
C.
D.
【分析】利用平移规律进而得出答案.
【解答】解:
把
先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到
,顶点
,
,
即
,
故选:
.
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化
平移,正确得出对应点位置是解题关键.
7.(4分)如图,已知线段
,分别以
,
为圆心,大于
同样长为半径画弧,两弧交于点
,
,连接
,
,
,
,
,则下列说法错误的是
A.
平分
B.
平分
C.
D.
【分析】根据作图判断出四边形
是菱形,再根据菱形的性质:菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案.
【解答】解:由作图知
,
四边形
是菱形,
平分
、
平分
、
,
不能判断
,
故选:
.
【点评】本题主要考查作图
基本作图,解题的关键是掌握菱形的判定与性质.
8.(4分)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③它是一个矩形.下列推理过程正确的是
A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断.
【解答】解:对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形,
故①
②,①
③错误,
故选项
,
,
错误,
故选:
.
【点评】本题考查正方形的判定和性质,矩形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
9.(4分)如图1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过程中,小球的运动速度
(单位:
与运动时间
(单位:
的函数图象如图2,则该小球的运动路程
(单位:
与运动时间
(单位:
之间的函数图象大致是
A.
B.
C.
D.
【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程
是
的二次函数,图象是先缓后陡,由此即可判断.
【解答】解:小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程
是
的二次函数,图象是先缓后陡,
在右侧上升时,情形与左侧相反,
故选:
.
【点评】本题考查动点问题函数图象,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
10.(4分)把一张宽为
的长方形纸片
折叠成如图所示的阴影图案,顶点
,
互相重合,中间空白部分是以
为直角顶点,腰长为
的等腰直角三角形,则纸片的长
(单位:
为
A.
B.
C.
D.
【分析】如图,过点
作
于
,过点
作
于
.想办法求出
,
,
,
,
即可解决问题.
【解答】解:如图,过点
作
于
,过点
作
于
.
由题意
是等腰直角三角形,
,
,
四边形
是矩形,
,
,
是等腰直角三角形,
,
,同法可证
,
由题意
,
,
故选:
.
【点评】本题考查翻折变换,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形或特殊四边形解决问题.
二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.(5分)因式分解:
.
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式
,
故答案为:
.
【点评】此题考查了因式分解
运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
12.(5分)计算
的结果是
.
【分析】先通分,再相减即可求解.
【解答】解:
.
故答案为:
.
【点评】考查了分式加减法,把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫做通分,经过通分,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.
13.(5分)如图,等边三角形纸片
的边长为6,
,
是边
上的三等分点.分别过点
,
沿着平行于
,
方向各剪一刀,则剪下的
的周长是 6 .
【分析】根据三等分点的定义可求
的长,再根据等边三角形的判定与性质即可求解.
【解答】解:
等边三角形纸片
的边长为6,
,
是边
上的三等分点,
,
,
,
是等边三角形,
剪下的
的周长是
.
故答案为:6.
【点评】考查了等边三角形的性质,平行线的性质,关键是证明
是等边三角形.
14.(5分)甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个),各次训练成绩(投中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为
与
,则
.(填“
”、“
”、“
”中的一个)
【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大,然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小.
【解答】解:由折线统计图得乙同学的成绩波动较大,
所以
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了条形统计图:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.也考查了方差的意义.
15.(5分)如图,在
中,
是边
上的一点,以
为直径的
交
于点
,连接
.若
与
相切,
,则
的度数为
.
【分析】由直径所对的圆周角为直角得
,由切线的性质可得
,然后由同角的余角相等可得
.
【解答】解:
为
的直径,
,
;
与
相切,
,
,
,
,
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点,熟练掌握圆的相关性质是解题的关键.
16.(5分)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正方形地砖面积为
,小正方形地砖面积为
,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
.则正方形
的面积为
.(用含
,
的代数式表示)
【分析】如图,连接
,
,证明
即可解决问题.
【解答】解:如图,连接
,
,
,
,
,
,
,
,
,
正方形
的面积
.
故答案为
.
【点评】本题考查中心对称,全等三角形的判定和性质,图形的拼剪等知识,解题的关键灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
三、解答题(本题有8小题,第17~20题每题8分,第21题10分,第22,23题每题12分,第24题14分,共80分)
17.(8分)计算:
.
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:原式
.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简二次根式是解题关键.
18.(8分)解方程组:
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
【解答】解:
,
①
②得:
,
解得:
,
把
代入①得:
,
则该方程组的解为
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
19.(8分)人字折叠梯完全打开后如图1所示,
,
是折叠梯的两个着地点,
是折叠梯最高级踏板的固定点.图2是它的示意图,
,
,
,求点
离地面的高度
.(结果精确到
;参考数据
,
,
,
【分析】过点
作
于点
,根据等腰三角形的三线合一性质得
的度数,进而得
的度数,再解直角三角形得结果.
【解答】解:过点
作
于点
,则
,
,
,
,
,
.
答:点
离地面的高度
约为
.
【点评】本题主要考查了解直角三角形,等腰三角形的性质,关键是构造直角三角形求得
的度数.
20.(8分)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难度相当.当训练次数不超过15次时,完成一次训练所需要的时间
(单位:秒)与训练次数
(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为400秒.
(1)求
与
之间的函数关系式;
(2)当
的值为6,8,10时,对应的函数值分别为
,
,
,比较
与
的大小:
.
【分析】(1)设
与
之间的函数关系式为:
,把
代入
即可得到结论,
(2)把
,8,10分别代入
得到求得
,
,
值,即可得到结论.
【解答】解:(1)设
与
之间的函数关系式为:
,
把
代入
得,
,
解得:
,
与
之间的函数关系式为
;
(2)把
,8,10分别代入
得,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为:
.
【点评】本题考查了反比例函数的应用,待定系数法求函数的解析式,反比例函数的性质,正确的理解题意是解题的关键.
21.(10分)如图,已知
,
,
和
相交于点
.
(1)求证:
;
(2)判断
的形状,并说明理由.
【分析】(1)由“
”可证
;
(2)由全等三角形的性质可得
,由等腰三角形的性质可得
,可求
,可得
,即可得结论.
【解答】证明:(1)
,
,
,
;
(2)
是等腰三角形,
理由如下:
,
,
,
,
,
,
,
是等腰三角形.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,灵活运用全等三角形的性质是本题的关键.
22.(12分)新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值).
参与度 人数 方式 |
|
|
|
|
录播 |
4 |
16 |
12 |
8 |
直播 |
2 |
10 |
16 |
12 |
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少?
(3)该校共有800名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为
,估计参与度在0.4以下的共有多少人?
【分析】(1)根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数,比较即可作出判断;
(2)用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率;
(3)先根据“录播”和“直播”的人数之比为
及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数,再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数,再相加即可得出答案.
【解答】解:(1)“直播”教学方式学生的参与度更高:
理由:“直播”参与度在0.6以上的人数为28人,“录播”参与度在0.6以上的人数为20人,参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数,
所以“直播”教学方式学生的参与度更高;
(2)
,
答:估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是
;
(3)“录播”总学生数为
(人
,“直播”总学生数为
(人
,
所以“录播”参与度在0.4以下的学生数为
(人
,
“直播”参与度在0.4以下的学生数为
(人
,
所以参与度在0.4以下的学生共有
(人
.
【点评】本题主要考查利用频率估计概率,大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
23.(12分)如图,在
中,
,将
沿直线
翻折得到
,连接
交
于点
.
是线段
上的点,连接
.
是
的外接圆与
的另一个交点,连接
,
.
(1)求证:
是直角三角形;
(2)求证:
;
(3)当
,
时,在线段
上存在点
,使得
和
互相平分,求
的值.
【分析】(1)想办法证明
即可解决问题(也可以利用圆内接四边形的性质直接证明).
(2)根据两角对应相等两三角形相似证明.
(3)证明四边形
是平行四边形,推出
,
,由
,可得
,由
,可得
,由
,推出
,由此构建方程求解即可.
【解答】(1)证明:
,
,
,
,
是直角三角形.
(2)证明:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(3)解:设
交
于
.连接
.
与
互相平分,
四边形
是平行四边形,
,即
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
即
,
解得
(负根已经舍弃).
【点评】本题属于圆综合题,考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
24.(14分)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图
.
科学原理:如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为
(单位:
,如果在离水面竖直距离为
(单位:
的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)
(单位:
与
的关系为
.
应用思考:现用高度为
的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保证它始终盛满水,在离水面竖直距高
处开一个小孔.
(1)写出
与
的关系式;并求出当
为何值时,射程
有最大值,最大射程是多少?
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为
,
,要使两孔射出水的射程相同,求
,
之间的关系式;
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加
,求整高的高度及小孔离水面的竖直距离.
【分析】(1)将
写成顶点式,按照二次函数的性质得出
的最大值,再求
的算术平方根即可;
(2)设存在
,
,使两孔射出水的射程相同,则
,利用因式分解变形即可得出答案;
(3)设垫高的高度为
,写出此时
关于
的函数关系式,根据二次函数的性质可得答案.
【解答】解:(1)
,
当
时,
,
当
时,
有最大值400,
当
时,
有最大值
.
当
为何值时,射程
有最大值,最大射程是
;
(2)
,
设存在
,
,使两孔射出水的射程相同,则有:
,
,
,
,
,
,或
,
或
;
(3)设垫高的高度为
,则
,
当
时,
,
,此时
.
垫高的高度为
,小孔离水面的竖直距离为
.
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键.