【330369】2020年浙江省杭州市中考数学试卷

2020年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．（3分） 　　

A． B． C． D．

2．（3分） 　　

A． B． C． D．

3．（3分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费 　　

A．17元 B．19元 C．21元 D．23元

4．（3分）如图，在 中， ，设 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则 　　

A． B． C． D．

5．（3分）若 ，则 　　

A． B． C． D．

6．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数 的图象过点 ，则该函数的图象可能是 　　

A． B．

C． D．

7．（3分）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为 ；去掉一个最低分，平均分为 ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为 ，则 　　

A． B． C． D．

8．（3分）设函数 ， ， 是实数， ，当 时， ；当 时， ， 　　

A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则

9．（3分）如图，已知 是 的直径，半径 ，点 在劣弧 上（不与点 ，点 重合）， 与 交于点 ．设 ， ，则 　　

A． B． C． D．

10．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数 ， ， ，其中 ， ， 是正实数，且满足 ．设函数 ， ， 的图象与 轴的交点个数分别为 ， ， ， 　　

A．若 ， ，则 B．若 ， ，则

C．若 ， ，则 D．若 ， ，则

二、填空题：本大题有6个小题,每小題4分,共24分

11．（4分）若分式 的值等于1，则 　　．

12．（4分）如图， ， 分别与 ， 交于点 ， ．若 ， ，则 　　．

13．（4分）设 ， ， ．若 ， ，则 　　．

14．（4分）如图，已知 是 的直径， 与 相切于点 ，连接 ， ．若 ，则 　　．

15．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　　．

16．（4分）如图是一张矩形纸片，点 在 边上，把 沿直线 对折，使点 落在对角线 上的点 处，连接 ．若点 ， ， 在同一条直线上， ，则 　　， 　　．

三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（6分）以下是圆圆解方程 的解答过程．

解：去分母，得 ．

去括号，得 ．

移项，合并同类项，得 ．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

18．（8分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．

（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

19．（8分）如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ．

（1）求证： ．

（2）设 ，

①若 ，求线段 的长；

②若 的面积是20，求 的面积．

20．（10分）设函数 ， ．

（1）当 时，函数 的最大值是 ，函数 的最小值是 ，求 和 的值．

（2）设 ，且 ，当 时， ；当 时， ．圆圆说：“ 一定大于 ”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

21．（10分）如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ， 的平分线 与 边交于点 ，与 的延长线交于点 ．设 ．

（1）若 ， ，求线段 的长．

（2）连接 ，若 ，

①求证：点 为 边的中点．

②求 的值．

22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数 ， ， 是实数， ．

（1）若函数 的对称轴为直线 ，且函数 的图象经过点 ，求函数 的表达式．

（2）若函数 的图象经过点 ，其中 ，求证：函数 的图象经过点 ， ．

（3）设函数 和函数 的最小值分别为 和 ，若 ，求 ， 的值．

23．（12分）如图，已知 ， 为 的两条直径，连接 ， ， 于点 ，点 是半径 的中点，连接 ．

（1）设 的半径为1，若 ，求线段 的长．

（2）连接 ， ，设 与 交于点 ，

①求证： ．

②若 ，求 的度数．

2020年浙江省杭州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．（3分） 　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．

【解答】解： ，

故选： ．

【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．

2．（3分） 　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．

【解答】解： ．

故选： ．

【点评】此题主要考查了平方差公式，正确运用公式是解题关键．

3．（3分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费 　　

A．17元 B．19元 C．21元 D．23元

【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果．

【解答】解：根据题意得： （元 ．

则需要付费19元．

故选： ．

【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（3分）如图，在 中， ，设 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则 　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．

【解答】解： 中， ， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，

，即 ，故 选项不成立， 选项成立；

，即 ，故 选项不成立， 选项不成立．

故选： ．

【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．

5．（3分）若 ，则 　　

A． B． C． D．

【分析】举出反例即可判断 、 、 ，根据不等式的传递性即可判断 ．

【解答】解： 、 ， ， ，但是 ，不符合题意；

、 ， ， ，但是 ，不符合题意；

、 ， ， ， ，符合题意；

、 ， ， ，但是 ，不符合题意．

故选： ．

【点评】考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．不等式的传递性：若 ， ，则 ．

6．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数 的图象过点 ，则该函数的图象可能是 　　

A． B．

C． D．

【分析】求得解析式即可判断．

【解答】解： 函数 的图象过点 ，

，解得 ，

，

直线交 轴的正半轴，且过点 ，

故选： ．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．

7．（3分）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为 ；去掉一个最低分，平均分为 ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为 ，则 　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，可以判断 、 、 的大小关系，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

，

故选： ．

【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义．

8．（3分）设函数 ， ， 是实数， ，当 时， ；当 时， ， 　　

A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则

【分析】当 时， ；当 时， ；代入函数式整理得 ，将 的值分别代入即可得出结果．

【解答】解：当 时， ；当 时， ；代入函数式得： ，

，

整理得： ，

若 ，则 ，故 错误；

若 ，则 ，故 错误；

若 ，则 ，故 正确；

若 ，则 ，故 错误；

故选： ．

【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．

9．（3分）如图，已知 是 的直径，半径 ，点 在劣弧 上（不与点 ，点 重合）， 与 交于点 ．设 ， ，则 　　

A． B． C． D．

【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用 表示 ，进而由圆心角与圆周角关系，用 表示 ，最后由角的和差关系得结果．

【解答】解： ，

，

，

，

，

，

，

故选： ．

【点评】本题主要考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，关键是用 表示 ．

10．（3分）在平面直角坐标系中，已知函数 ， ， ，其中 ， ， 是正实数，且满足 ．设函数 ， ， 的图象与 轴的交点个数分别为 ， ， ， 　　

A．若 ， ，则 B．若 ， ，则

C．若 ， ，则 D．若 ， ，则

【分析】选项 正确，利用判别式的性质证明即可．

【解答】解：选项 正确．

理由： ， ，

， ，

， ， 是正实数，

，

，

，

对于 ，

则有△ ，

，

选项 正确，

故选： ．

【点评】本题考查抛物线与 轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

二、填空题：本大题有6个小题,每小題4分,共24分

11．（4分）若分式 的值等于1，则 　0　．

【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．

【解答】解：由分式 的值等于1，得

，

解得 ，

经检验 是分式方程的解．

故答案为：0．

【点评】本题考查了分式的值，解分式方程要检验方程的根．

12．（4分）如图， ， 分别与 ， 交于点 ， ．若 ， ，则 　 　．

【分析】直接利用平行线的性质得出 ，进而利用三角形外角的性质得出答案．

【解答】解： ，

，

，

，

， ，

．

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，正确得出 是解题关键．

13．（4分）设 ， ， ．若 ， ，则 　 　．

【分析】根据完全平方公式得到 ， ，两式相减即可求解．

【解答】解： ， ，

两式相减得 ，

解得 ，

则 ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式： ．

14．（4分）如图，已知 是 的直径， 与 相切于点 ，连接 ， ．若 ，则 　 　．

【分析】根据切线的性质得到 ，设 ， ，根据勾股定理得到 ，于是得到结论．

【解答】解： 是 的直径， 与 相切于点 ，

，

，

，

设 ， ，

，

，

，

故答案为： ．

【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

15．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　 　．

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：根据题意画图如下：

共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，

则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，求出概率．

16．（4分）如图是一张矩形纸片，点 在 边上，把 沿直线 对折，使点 落在对角线 上的点 处，连接 ．若点 ， ， 在同一条直线上， ，则 　2　， 　　．

【分析】根据矩形的性质得到 ， ，根据折叠的性质得到 ， ， ，根据全等三角形的性质得到 ；根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解： 四边形 是矩形，

， ，

把 沿直线 对折，使点 落在对角线 上的点 处，

， ， ，

， ，

，

，

，

；

，

，

，

，

，

，

（负值舍去），

，

故答案为：2， ．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

三、解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（6分）以下是圆圆解方程 的解答过程．

解：去分母，得 ．

去括号，得 ．

移项，合并同类项，得 ．

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．

【解答】解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：

．

去括号，得 ．

移项，合并同类项，得 ．

【点评】此题主要考查了解一元一次方程，正确掌握解方程的步骤是解题关键．

18．（8分）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．

（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？

【分析】（1）根据题意列式计算即可；

（2）分别求得3月份生产的产品中，不合格的件数和4月份生产的产品中，不合格的件数比较即可得到结论．

【解答】解：（1） ，

答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为 ；

（2）估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，

理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为 ，

4月份生产的产品中，不合格的件数为 ，

，

估计4月份生产的产品中，不合格的件数多．

【点评】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键．

19．（8分）如图，在 中，点 ， ， 分别在 ， ， 边上， ， ．

（1）求证： ．

（2）设 ，

①若 ，求线段 的长；

②若 的面积是20，求 的面积．

【分析】（1）由平行线的性质得出 ， ，即可得出结论；

（2）①由平行线的性质得出 ，即可得出结果；

②先求出 ，易证 ，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．

【解答】（1）证明： ，

，

，

，

；

（2）解：① ，

，

，

，

解得： ；

② ，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

20．（10分）设函数 ， ．

（1）当 时，函数 的最大值是 ，函数 的最小值是 ，求 和 的值．

（2）设 ，且 ，当 时， ；当 时， ．圆圆说：“ 一定大于 ”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

【分析】（1）由反比例函数的性质可得 ，①； ，②；可求 的值和 的值；

（2）设 ，且 ，将 ， ，代入解析式，可求 和 ，即可判断．

【解答】解：（1） ， ，

随 的增大而减小， 随 的增大而增大，

当 时， 最大值为 ，①；

当 时， 最小值为 ，②；

由①，②得： ， ；

（2）圆圆的说法不正确，

理由如下：设 ，且 ，

则 ， ，

当 时， ，

当 时， ，

，

圆圆的说法不正确．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键．

21．（10分）如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ， 的平分线 与 边交于点 ，与 的延长线交于点 ．设 ．

（1）若 ， ，求线段 的长．

（2）连接 ，若 ，

①求证：点 为 边的中点．

②求 的值．

【分析】（1）根据 ， ，可以得到 、 的长，然后根据正方形的性质，可以得到 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到 的长，从而可以得到线段 的长；

（2）①要证明点 为 边的中点，只要证明 即可，然后根据题目中的条件，可以得到 的条件，从而可以证明结论成立；

②根据题意和三角形相似，可以得到 和 的比值，从而可以得到 的值．

【解答】解：（1） 在正方形 中， ，

，

又 平分 ，

，

，

，

， ，点 为 的中点，

，

，

，

；

（2）①证明： ， ，

，

在 和 中

，

，

，

即点 为 的中点；

②设 ，则 ，

由①知， ，

， ，

， ， ，

，

，

，

， ，

，

，

， ，

．

【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数 ， ， 是实数， ．

（1）若函数 的对称轴为直线 ，且函数 的图象经过点 ，求函数 的表达式．

（2）若函数 的图象经过点 ，其中 ，求证：函数 的图象经过点 ， ．

（3）设函数 和函数 的最小值分别为 和 ，若 ，求 ， 的值．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）函数 的图象经过点 ，其中 ，可得 ，推出 ，即 ，推出 是方程 的根，可得结论．

（3）由题意 ， ， ，根据 ，构建方程可得结论．

【解答】解：（1）由题意，得到 ，解得 ，

函数 的图象经过 ，

，

解得 或3，

函数 或 ．

（2） 函数 的图象经过点 ，其中 ，

，

，

即 ，

是方程 的根，

即函数 的图象经过点 ， ．

（3）由题意 ， ， ，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

23．（12分）如图，已知 ， 为 的两条直径，连接 ， ， 于点 ，点 是半径 的中点，连接 ．

（1）设 的半径为1，若 ，求线段 的长．

（2）连接 ， ，设 与 交于点 ，

①求证： ．

②若 ，求 的度数．

【分析】（1）解直角三角形求出 ，再证明 ，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．

（2）①过点 作 于 ，交 于 ，连接 ．想办法证明四边形 是平行四边形可得结论．

②想办法证明 ，推出 ，推出 是等腰直角三角形即可解决问题．

【解答】（1）解： ， ， ，

， ， ，

是直径，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

．

（2）①证明：过点 作 于 ，交 于 ，连接 ．

，

，

，

，同理 ，

，

． ，

，

四边形 是平行四边形，

．

② ，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

．

【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．