【330367】2020年天津市中考数学试卷

2020年天津市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）计算 的结果等于 　　

A．10 B． C．50 D．

2．（3分） 的值等于 　　

A．1 B． C． D．2

3．（3分）据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为 　　

A． B． C． D．

4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 　　

A． B．

C． D．

6．（3分）估计 的值在 　　

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

7．（3分）方程组 的解是 　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，四边形 是正方形， ， 两点的坐标分别是 ， ，点 在第一象限，则点 的坐标是 　　

A． B． C． D．

9．（3分）计算 的结果是 　　

A． B． C．1 D．

10．（3分）若点 ， ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是 　　

A． B． C． D．

11．（3分）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在边 上，点 的对应点为 ，延长 交 于点 ，则下列结论一定正确的是 　　

A． B． C． D．

12．（3分）已知抛物线 ， ， 是常数， ， 经过点 ，其对称轴是直线 ．有下列结论：

① ；

②关于 的方程 有两个不等的实数根；

③ ．

其中，正确结论的个数是 　　

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）计算 的结果等于　　．

14．（3分）计算 的结果等于　　．

15．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　　．

16．（3分）将直线 向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为　　．

17．（3分）如图， 的顶点 在等边 的边 上，点 在 的延长线上， 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为　　．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 ， 均落在格点上，点 在网格线上，且 ．

（Ⅰ）线段 的长等于　　．

（Ⅱ）以 为直径的半圆与边 相交于点 ，若 ， 分别为边 ， 上的动点，当 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明）　　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（8分）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　　；

（Ⅱ）解不等式②，得　　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

20．（8分）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： 进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为　　，图①中 的值为　　；

（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．

21．（10分）在 中，弦 与直径 相交于点 ， ．

（Ⅰ）如图①，若 ，求 和 的大小；

（Ⅱ）如图②，若 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，求 的大小．

22．（10分）如图， ， 两点被池塘隔开，在 外选一点 ，连接 ， ．测得 ， ， ．根据测得的数据，求 的长（结果取整数）．

参考数据： ， ， ．

23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 ，图书馆离宿舍 ．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 到食堂；在食堂停留 吃早餐后，匀速走了 到图书馆；在图书馆停留 借书后，匀速走了 返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 与离开宿舍的时间 之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

离开宿舍的时间	2	5	20	23	30
离宿舍的距离	0.2		0.7

（Ⅱ）填空：

①食堂到图书馆的距离为　　 ；

②小亮从食堂到图书馆的速度为　　 ；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为　　 ；

④当小亮离宿舍的距离为 时，他离开宿舍的时间为　　 ．

（Ⅲ）当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．

24．（10分）将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 在第一象限， ， ，点 在边 上（点 不与点 ， 重合）．

（Ⅰ）如图①，当 时，求点 的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 ，并与 轴的正半轴相交于点 ，且 ，点 的对应点为 ，设 ．

①如图②，若折叠后△ 与 重叠部分为四边形， ， 分别与边 相交于点 ， ，试用含有 的式子表示 的长，并直接写出 的取值范围；

②若折叠后△ 与 重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．

25．（10分）已知点 是抛物线 ， ， 为常数， ， 与 轴的一个交点．

（Ⅰ）当 ， 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若抛物线与 轴的另一个交点为 ，与 轴的交点为 ，过点 作直线1平行于 轴， 是直线1上的动点， 是 轴上的动点， ．

①当点 落在抛物线上（不与点 重合），且 时，求点 的坐标；

②取 的中点 ，当 为何值时， 的最小值是 ？

2020年天津市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）计算 的结果等于 　　

A．10 B． C．50 D．

【解答】解： ．

故选： ．

2．（3分） 的值等于 　　

A．1 B． C． D．2

【解答】解： ．

故选： ．

3．（3分）据2020年6月24日《天津日报》报道，6月23日下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现，40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58600000人．将58600000用科学记数法表示应为 　　

A． B． C． D．

【解答】解： ，

故选： ．

4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： 、不是轴对称图形，不合题意；

、不是轴对称图形，不合题意；

、是轴对称图形，符合题意；

、不是轴对称图形，不合题意；

故选： ．

5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 　　

A． B．

C． D．

【解答】解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形．

故选： ．

6．（3分）估计 的值在 　　

A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

【解答】解： ，

，

故选： ．

7．（3分）方程组 的解是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： ，

① ②得： ，

解得： ，

把 代入①得： ，

则方程组的解为 ．

故选： ．

8．（3分）如图，四边形 是正方形， ， 两点的坐标分别是 ， ，点 在第一象限，则点 的坐标是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： 四边形 是正方形，

， ，

， 两点的坐标分别是 ， ，

，

，

．

故选： ．

9．（3分）计算 的结果是 　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：原式 ．

故选： ．

10．（3分）若点 ， ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： 点 ， ， ， ， ， 都在反比例函数 的图象上，

，即 ，

，即 ；

，即 ，

，

；

故选： ．

11．（3分）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在边 上，点 的对应点为 ，延长 交 于点 ，则下列结论一定正确的是 　　

A． B． C． D．

【解答】解：由旋转可得， ，

，故 选项错误，

，故 选项错误，

，故 选项错误，

，

又 ，

，

，

，即 ，故 选项正确，

故选： ．

12．（3分）已知抛物线 ， ， 是常数， ， 经过点 ，其对称轴是直线 ．有下列结论：

① ；

②关于 的方程 有两个不等的实数根；

③ ．

其中，正确结论的个数是 　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 ，

而点 关于直线 的对称点的坐标为 ，

，

抛物线开口向下，

，

抛物线对称轴为直线 ，

，

，

，故①错误；

抛物线开口向下，与 轴有两个交点，

顶点在 轴的上方，

，

抛物线与直线 有两个交点，

关于 的方程 有两个不等的实数根；故②正确；

抛物线 经过点 ，

，

，

，即 ，

，

，

，

，故③正确，

故选： ．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）计算 的结果等于　 　．

【解答】解： ．

故答案为： ．

14．（3分）计算 的结果等于　6　．

【解答】解：原式 ．

故答案是：6．

15．（3分）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　 　．

【解答】解： 袋子中装有8个小球，其中红球有3个，

从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．

故答案为： ．

16．（3分）将直线 向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为　 　．

【解答】解：将直线 向上平移1个单位，得到的直线的解析式为 ．

故答案为 ．

17．（3分）如图， 的顶点 在等边 的边 上，点 在 的延长线上， 为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为　 　．

【解答】解： 四边形 是平行四边形，

， ， ，

， ，

， ，

，

是等边三角形， 为 的中点，

， ，

延长 交 于点 ，

，

，

在 和 中，

，

，

， ，

， ，

， ，

， ，

是等边三角形，

，

，

故答案为： ．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 ， 均落在格点上，点 在网格线上，且 ．

（Ⅰ）线段 的长等于　 　．

（Ⅱ）以 为直径的半圆与边 相交于点 ，若 ， 分别为边 ， 上的动点，当 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ， ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明）　　．

【解答】解：（Ⅰ）线段 的长等于 ；

（Ⅱ）如图，取格点 ， ，连接 ，

连接 并延长，与 相交于点 ，

连接 ，与半圆相交于点 ，连接 ，

与 相交于点 ，连接 并延长，与 相交于点 ，

则点 ， 即为所求．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（8分）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　 　；

（Ⅱ）解不等式②，得　　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得 ；

（Ⅱ）解不等式②，得 ；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

故答案为： ， ， ．

20．（8分）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位： 进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为　25　，图①中 的值为　　；

（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．

【解答】解：（Ⅰ）本次抽取的麦苗有： （株 ，

，

故答案为：25，24；

（Ⅱ）平均数是： ，

众数是16，

中位数是16．

21．（10分）在 中，弦 与直径 相交于点 ， ．

（Ⅰ）如图①，若 ，求 和 的大小；

（Ⅱ）如图②，若 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，求 的大小．

【解答】解：（1） 是 的一个外角，

，

由圆周角定理得： ， ，

是 的直径，

，

；

（2）连接 ，如图②所示：

，

，

，

是 的切线，

，

，

，

．

22．（10分）如图， ， 两点被池塘隔开，在 外选一点 ，连接 ， ．测得 ， ， ．根据测得的数据，求 的长（结果取整数）．

参考数据： ， ， ．

【解答】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，

，

，

设 ，

在 中， ， ，

又 ，即 ，

，

解得， ，

答： 的长约为 ．

23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 ，图书馆离宿舍 ．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 到食堂；在食堂停留 吃早餐后，匀速走了 到图书馆；在图书馆停留 借书后，匀速走了 返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 与离开宿舍的时间 之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

离开宿舍的时间	2	5	20	23	30
离宿舍的距离	0.2	0.5	0.7

（Ⅱ）填空：

①食堂到图书馆的距离为　　 ；

②小亮从食堂到图书馆的速度为　　 ；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为　　 ；

④当小亮离宿舍的距离为 时，他离开宿舍的时间为　　 ．

（Ⅲ）当 时，请直接写出 关于 的函数解析式．

【解答】解：（Ⅰ）由图象可得，

在前7分钟的速度为 ，

故当 时，离宿舍的距离为 ，

在 时，距离不变，都是 ，故当 时，离宿舍的距离为 ，

在 时，距离不变，都是 ，故当 时，离宿舍的距离为 ，

故答案为：0.2，0.7，1；

（Ⅱ）由图象可得，

①食堂到图书馆的距离为 ，

故答案为：0.3；

②小亮从食堂到图书馆的速度为： ，

故答案为：0.06；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为： ，

故答案为：0.1；

④当 时，

小亮离宿舍的距离为 时，他离开宿舍的时间为 ，

当 时，

小亮离宿舍的距离为 时，他离开宿舍的时间为 ，

故答案为：6或62；

（Ⅲ）由图象可得，

当 时， ；

当 时， ；

当 时，设 ，

，得 ，

即当 时， ；

由上可得，当 时， 关于 的函数解析式是 ．

24．（10分）将一个直角三角形纸片 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 在第一象限， ， ，点 在边 上（点 不与点 ， 重合）．

（Ⅰ）如图①，当 时，求点 的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 ，并与 轴的正半轴相交于点 ，且 ，点 的对应点为 ，设 ．

①如图②，若折叠后△ 与 重叠部分为四边形， ， 分别与边 相交于点 ， ，试用含有 的式子表示 的长，并直接写出 的取值范围；

②若折叠后△ 与 重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．

【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点 作 于 ．

， ，

，

，

，

， ，

， ．

（Ⅱ）①如图②中，

由折叠可知，△ ，

， ，

，

，

四边形 是菱形，

，

，

，

， ，

在 中， ，

，

．

②①当点 落在 上时，重叠部分是 ，此时 ， ，

当 时，重叠部分是四边形 ， ，

当 时， 有最大值，最大值 ，

当 时， ，当 时， ，

综上所述， ．

25．（10分）已知点 是抛物线 ， ， 为常数， ， 与 轴的一个交点．

（Ⅰ）当 ， 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若抛物线与 轴的另一个交点为 ，与 轴的交点为 ，过点 作直线1平行于 轴， 是直线1上的动点， 是 轴上的动点， ．

①当点 落在抛物线上（不与点 重合），且 时，求点 的坐标；

②取 的中点 ，当 为何值时， 的最小值是 ？

【解答】解：（Ⅰ）当 ， 时，抛物线的解析式为 ．

抛物线经过点 ，

，

解得 ，

抛物线的解析式为 ．

，

抛物线的顶点坐标为 ．

（Ⅱ）① 抛物线 经过点 和 ， ，

， ，即 ．

， ．

抛物线的解析式为 ．

根据题意得，点 ，点 ，

过点 作 于点 ，由点 ，得点 ．

在 中， ， ，

，

，

，

解得 ．

此时，点 ，点 ，有 ．

点 在 轴上，

在 中， ．

点 的坐标为 或 ．

②由 是 的中点，得 ．

根据题意，点 在以点 为圆心、 为半径的圆上，

由点 ，点 ，得 ， ，

在 中， ．

当 ，即 时，满足条件的点 在线段 上．

的最小值为 ，解得 ；

当 ，即 时，满足条件的点 落在线段 的延长线上， 的最小值为 ，

解得 ．

当 的值为 或 时， 的最小值是 ．