宜宾市2020年初中学业水平即高中阶段学校招生考试
数学
一、选择题
1.6的相反数为
A. -6 B.
6 C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义进行求解.
【详解】6的相反数为:﹣6.故选A.
【点睛】本题主要考查相反数的定义,熟练掌握相反数的定义是解答的关键,绝对值相等,符号相反的两个数互为相反数.
2.我国自主研发的北斗系统技术世界领先,2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星,该卫星发射升空的速度是7100米/秒,将7100用科学记数法表示为( )
A. 7100 B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】7100=
.
故选:D.
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.如图所示,圆柱的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据主视图是从正面看得到的图形,可得答案.
【详解】解:从正面看圆柱的主视图是矩形,
故选:B.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.
4.计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对每个选项进行计算判断即可.
【详解】解:A.
和
不是同类项,不能合并,选项错误;
B.
,选项错误;
C.
,选项正确;
D.
,选项错误.
故选:C.
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式,熟练掌握整式的运算法则是解题的关键.
5.不等式组
的解集在数轴上表示正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出各不等式的解集,然后得到不等式组的解集即可得到答案.
【详解】解:
,
由①得,
,
由②得,
,
∴不等式组的解集为
,
故选:A.
【点睛】本题考查了解不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握解不等式是解题的关键.
6.7名学生
鞋号(单位:厘米)由小到大是:20,21,22,22,23,23,则这组数据的众数和中位数分别是(
)
A. 20,21 B. 21,22 C. 22,22 D. 22,23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义进行求解即可.
【详解】解:数据按从小到大的顺序排列为20,21,22,22,22,23,23,所以中位数是22;
数据22出现了3次,出现次数最多,所以众数是22.
故选:C.
【点睛】本题考查了众数与中位数的定义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数);众数是出现次数最多的数据.
7.如图,M,N分别是
的边AB,AC的中点,若
,则
=(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由M,N分别是
的边AB,AC的中点,可知MN为△ABC的中位线,即可得到
,从而可求出∠B的值.
【详解】解:∵M,N分别是
的边AB,AC的中点,
∴MN∥BC,
∴∠ANM=∠C,
∵
,
∴
,
又∵
∴
,
故选:D.
【点睛】本题考查了三角形的中位线,注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键.
8.学校为了丰富学生的知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等,设文学类图书平均每本x元,则列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设文学类图书平均每本x元,根据购买的书本数相等即可列出方程.
【详解】设文学类图书平均每本x元,依题意可得
故选B.
【点睛】此题主要考查分式方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.
9.如图,AB是
的直径,点C是圆上一点,连结AC和BC,过点C作
于D,且
,则
的周长为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出BC,再根据圆周角的性质得到AC⊥BC,得到cosB=
,代入即可求出AB,故可求出
的周长.
【详解】∵
,
,
∴BC=
∵AB是
的直径,
∴AC⊥BC,
∴cosB=
即
解得AB=
∴
的周长为
故选A.
【点睛】此题主要考查圆内线段的求解,解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用.
10.某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶6个,市场上有A型和B型两种分类垃圾桶,A型分类垃圾桶500元/个,B型分类垃圾桶550元/个,总费用不超过3100元,则不同的购买方式有( )
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买A 型分类垃圾桶x个,则购买B型垃圾桶(6-x),然后根据题意列出不等式组,确定不等式组整数解的个数即可.
【详解】解:设购买A 型分类垃圾桶x个,则购买B型垃圾桶(6-x)个
由题意得:
,解得4≤x≤6
则x可取4、5、6,即有三种不同的购买方式.
故答案为B.
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用,弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键.
11.如图,
都是等边三角形,且B,C,D在一条直线上,连结
,点M,N分别是线段BE,AD上的两点,且
,则
的形状是(
)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 不等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明
,得到
,根据已知条件可得
,证明
,得到
,即可得到结果;
【详解】∵
都是等边三角形,
∴
,
,
,
∴
,
∴
,
在
和
中,
,
∴
,
∴
,
,
又∵
,
∴
,
在
和
中,
,
∴
,
∴
,
,
∴
,
∴
是等边三角形.
故答案选C.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定,正确分析题目条件是解题的关键.
12.函数
的图象与x轴交于点(2,0),顶点坐标为(-1,n),其中
,以下结论正确的是(
)
①
;
②函数
在
处的函数值相等;
③函数
的图象与的函数
图象总有两个不同的交点;
④函数
在
内既有最大值又有最小值.
A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出函数图像,根据系数与图像的关系即可求解.
【详解】如图,根据题意作图,
故a<0,b<0,c>0
∴
,①正确;
∵对称轴为x=-1
∴函数
在
处的函数值相等,故②错误;
图中函数
的图象与的函数
图象无交点,故③错误;
当
时,x=-1时,函数
有最大值
x=3时,函数
有最小值,故④正确;
故选C.
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解.
二、填空题
13.分解因式:
________________.
【答案】
.
【解析】
【分析】
首先提取公因式a,再利用平方差公式进行二次分解即可.
【详解】
=
=
.
故答案为
.
14.如图,A,B,C是
上的三点,若
是等边三角形,则
________________.
【答案】
【解析】
【分析】
由△OBC是等边三角形、则∠COB =60°,然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可.
【详解】解:∵△OBC是等边三角形
∴∠COB=60°
∴∠A=
=30°
∴
=
.
故答案为
.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理,掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键.
15.一元二次方程
的两根为
,则
________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数
关系表示出
和
即可;
【详解】∵
,
∴
,
,
,
∴
,
,
∴
,
=
,
=
.
故答案为
.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,准确利用知识点化简是解题的关键.
16.如图,四边形
中,
是AB上一动点,则
的最小值是________________
【答案】
【解析】
【分析】
作C点关于AB
对称点C’,连接C’D,
的最小值即为C’D的长,作C’E⊥DA的延长线于点E,根据勾股定理即可求解.
【详解】如图,作C点关于AB的对称点C’,连接C’D,
的最小值即为C’D的长,
作C’E⊥DA的延长线于点E,
∴四边形ABC’E是矩形
∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,
∴C’D=
故答案为:
.
【点睛】此题主要考查对称性的应用,解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用.
17.定义:分数
(m,n为正整数且互为质数)的连分数(其中为整数,且等式右边的每一个分数的分子都为1),记作
:例如
,
的连分数是
,记作
,则________________
.
【答案】
【解析】
【分析】
根据连分数的定义即可求解.
【详解】依题意可设a
∴a=
故答案为:
.
【点睛】此题主要考查新定义运算,解题的关键是根据题意进行求解.
18.在直角三角形ABC中,
是AB的中点,BE平分
交AC于点E连接CD交BE于点O,若
,则OE的长是________.
【答案】
【解析】
【分析】
过E点作EG⊥AB于G点,根据三角形面积公式求出CE=EG=3,延长CD交过B作BF⊥BC于F,可得△ACD≌△BFD,得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO,找到比例关系得到EO=
BE,再求出BE即可求解.
【详解】过E点作EG⊥AB于G点,
∵BE平分
∴CE=EG,
设CE=EG=x,
∵
,
∴AB=
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE,
故
即
解得x=3
∴CE=3,
延长CD交过B作BF⊥BC于F,
∵D是AB中点
∴AD=BD
又AC∥BF
∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF
∴△ACD≌△BFD,
∴BF=AC=8,
∵AC∥BF
∴△CEO∽△FBO,
∴
∴EO=
BE=
×
=
,
故答案为:
.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质.
三、解答题
19.(1)计算:
(2)化简:
【答案】(1)1;(2)2
【解析】
【分析】
(1)运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可;
(2)先算括号里面的,然后进行分式乘除运算即可;
【详解】(1)原式=4-1-3+1,
=1.
(2)原式=
,
,
,
=2.
【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简,计算准确是解题的关键.
20.如图,在三角形ABC中,点D是BC上的中点,连接AD并延长到点E,使
,连接CE.
(1)求证:
(2)若
的面积为5,求
的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)10.
【解析】
【分析】
(1)根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明;
(2)先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到
、
,再结合
以及
解答即可.
【详解】证明:(1)∵D是BC的中点,
∴BD=CD
在△ABD和△CED中,
所以
;
(2)∵在△ABC中,D 是BC的中点
∴
∵
.
答:三角形ACE的面积为10.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识,其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
21.在疫情期间,为落实停课不停学,某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查,了解到学生的学习方式有:电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习,参入调查的学生只能选择一种学习方式,将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图,解答下列问题.
(1)本次受调查的学生有________人;
(2)补全条形统计图;
(3)根据调查结果,若本校有1800名学生,估计有多少名学生与任课教师
线辅导?
【答案】(1)60;(2)详见解析;(3)900
【解析】
【分析】
(1)根据A得占比和人数已知可得结果;
(2)算出C的人数,然后补全条形统计图;
(3)用总人数乘以在线辅导的学生占比即可;
【详解】(1)由题可知受调查人数
,
故答案为60.
(2)补全图形如图:C的人数=
,
(3)学生数为
答:在线辅导的有900人.
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用,准确分析题中数据是解题的关键.
22.如图,
两楼地面距离BC为
米,楼AB高30米,从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度.
(1)求
的大小;
(2)求楼CD的高度(结果保留根号).
【答案】(1)75°;(2)
【解析】
【分析】
(1)如图:过点A作
于点E,在Rt△ABC中运用三角函数可得
,即
、进一步可得∠EAC=30°,再结合
即可解答;
(2)先根据题意求得DE=AE=
,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE,最后利用CD=CE+DE进行计算即可.
【详解】(1)如图:过点A作
于点E,
∵在Rt△ABC中,
∵AE//BC
;
(2)∵
RtAED中,AE=BC=
,∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中,∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
.
【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形,灵活应用三角函数知识是解答本题的关键.
23.如图,一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于
两点,过点A作
于点P.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求四边形ABOC的面积.
【答案】(1)
;(2)
【解析】
【分析】
(1)将点B(-1,-3)代入
,可得反比例函数解析式
,即可求出A点的坐标,将A、B代入解析式即可求解;
(2)过点B作BE垂直于y轴于点E,根据
关系式可求解;
【详解】解:(1)将点B(-1,-3)代入
,
解得
所以反比例函数的表达式为
;
将点A(-3,n)代入
有,n=-1
将A,B代入
得
解得
所以一次函数表达式为
;
(2)过点B作BE垂直于y轴于点E,
答:四边形的面积为
.
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合,准确利用函数性质进行求解是解题的关键.
24.如图,已知AB是圆O的直径,点C是圆上异于A,B的一点,连接BC并延长至点D,使得
,连接AD交
于点E,连接BE.
(1)求证:
是等腰三角形;
(2)连接OC并延长,与B以为切点的切线交于点F,若
,求
的长.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可;
(2)根据等腰三角形的性质和切线的性质证明
,可得
,即可求出DE.
【详解】(1)证明:因为AB是圆O的直径,
所以
,
,
,
所以点C是BD的中点,
所以AB=AD,
所以三角形ABD是等腰三角形.
(2)因为三角形ABD是等腰三角形,
,
,
,
因为BF是切线,
所以
,
因为AB是直径,
所以
,
,
,
,
,
.
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用,准确运用相似三角形的性质是解题的关键.
25.如图,已知二次函数图像的顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图像上,过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M,N两点
(1)求二次函数的表达式;
(2)P为平面内一点,当
时等边三角形时,求点P的坐标;
(3)在二次函数的图象上是否存在一点E,使得以点E为圆心的圆过点F和和点N,且与直线
相切,若存在,求出点E的坐标,并求
的半径;若不存在,说明理由.
【答案】(1)
;(2)
或
;(3)在二次函数图像上存在点E,使得以点E为圆心,半径为
的圆,过点F,N且与直线
相切.
【解析】
【分析】
(1)由二次函数的顶点是原点,则设二次函数的解析式为
,然后将(2,1)代入
求得a即可;
(2)将y=1代入
解得
,可确定M、N的坐标,进而确定MN的长度;再根据
是等边三角形确定PM的长,然后解三角形确定PF的长,最后结合F点坐标即可解答;
(3)先假设这样的点存在,设点Q是FN的中点,即 Q(1,1)
【详解】解:(1)∵二次函数的顶点是原点
∴设二次函数的解析式为
,
将(2,1)代入
,
解得
所以二次函数的解析式为
;
(2)如图:将y=1代入
,得
,解得
是等边三角形
∴点P在y轴上且PM=4
∴
或
;
(3)假设在二次函数的图像上存在点E满足条件
设点Q是FN的中点,即 Q(1,1)
∴点E在FN的垂直平分线上
∴点E是FN的垂直平分线x=1与
的图像的交点,即
,
∴
∴点E到直线y=-1的距离为
∴在二次函数图像上存在点E,使得以点E为圆心,半径为
的圆,过点F,N且与直线
相切.
【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知识,掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键.