宜宾市2020年初中学业水平即高中阶段学校招生考试
数学
一、选择题
1.6的相反数为
A. -6 B.
6 C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义进行求解.
【详解】6的相反数为：﹣6．故选A.
【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
2.我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度是7100米/秒，将7100用科学记数法表示为（ ）
A. 7100 B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】7100＝
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.如图所示，圆柱的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从正面看圆柱的主视图是矩形，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4.计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对每个选项进行计算判断即可．
【详解】解：A.
和
不是同类项，不能合并，选项错误；
B.
，选项错误；
C.
，选项正确；
D.
，选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
5.不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出各不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：
，
由①得，
，
由②得，
，
∴不等式组的解集为
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键．
6.7名学生
鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（
）
A. 20，21 B. 21，22 C. 22，22 D. 22，23
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义进行求解即可．
【详解】解：数据按从小到大的顺序排列为20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是22；
数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．
故选：C．
【点睛】本题考查了众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是出现次数最多的数据．
7.如图，M，N分别是
的边AB，AC的中点，若
，则
=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由M，N分别是
的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到
，从而可求出∠B的值．
【详解】解：∵M，N分别是
的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM=∠C，
∵
，
∴
，
又∵
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键．
8.学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程．
【详解】设文学类图书平均每本x元，依题意可得
故选B．
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．
9.如图，AB是
的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作
于D，且
，则
的周长为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出BC，再根据圆周角的性质得到AC⊥BC，得到cosB=
,代入即可求出AB，故可求出
的周长．
【详解】∵
，
，
∴BC=
∵AB是
的直径，
∴AC⊥BC，
∴cosB=
即
解得AB=
∴
的周长为
故选A．
【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用．
10.某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
【答案】B
【解析】
【分析】
设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．
【详解】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个
由题意得：
，解得4≤x≤6
则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．
故答案为B．
【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键．
11.如图，
都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结
，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且
，则
的形状是（
）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 不等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
先证明
，得到
，根据已知条件可得
，证明
，得到
，即可得到结果；
【详解】∵
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
是等边三角形．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．
12.函数
的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中
，以下结论正确的是（
）
①
；
②函数
在
处的函数值相等；
③函数
的图象与的函数
图象总有两个不同的交点；
④函数
在
内既有最大值又有最小值．
A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解．
【详解】如图，根据题意作图，
故a＜0，b＜0，c＞0
∴
，①正确；
∵对称轴为x=-1
∴函数
在
处的函数值相等，故②错误；
图中函数
的图象与的函数
图象无交点，故③错误；
当
时，x=-1时，函数
有最大值
x=3时，函数
有最小值，故④正确；
故选C．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解．
二、填空题
13.分解因式：
________________．
【答案】
.
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】
=
=
．
故答案为
．
14.如图，A，B，C是
上的三点，若
是等边三角形，则
________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由△OBC是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可．
【详解】解：∵△OBC是等边三角形
∴∠COB=60°
∴∠A=
=30°
∴
=
．
故答案为
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键．
15.一元二次方程
的两根为
，则
________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数
关系表示出
和
即可；
【详解】∵
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
，
=
，
=
．
故答案为
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
16.如图，四边形
中，
是AB上一动点，则
的最小值是________________
【答案】
【解析】
【分析】
作C点关于AB
对称点C’，连接C’D，
的最小值即为C’D的长，作C’E⊥DA的延长线于点E，根据勾股定理即可求解．
【详解】如图，作C点关于AB的对称点C’，连接C’D，
的最小值即为C’D的长，
作C’E⊥DA的延长线于点E，
∴四边形ABC’E是矩形
∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,
∴C’D=
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用．
17.定义：分数
（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作
：例如
，
的连分数是
，记作
，则________________
．
【答案】
【解析】
【分析】
根据连分数的定义即可求解．
【详解】依题意可设a
∴a=
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意进行求解．
18.在直角三角形ABC中，
是AB的中点，BE平分
交AC于点E连接CD交BE于点O，若
，则OE的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】
过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=
BE，再求出BE即可求解．
【详解】过E点作EG⊥AB于G点，
∵BE平分
∴CE=EG,
设CE=EG=x,
∵
,
∴AB=
∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，
故
即
解得x=3
∴CE=3,
延长CD交过B作BF⊥BC于F，
∵D是AB中点
∴AD=BD
又AC∥BF
∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF
∴△ACD≌△BFD，
∴BF=AC=8,
∵AC∥BF
∴△CEO∽△FBO，
∴
∴EO=
BE=
×
=
，
故答案为：
．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质．
三、解答题
19.（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）1；（2）2
【解析】
【分析】
（1）运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可；
（2）先算括号里面的，然后进行分式乘除运算即可；
【详解】（1）原式=4-1-3+1，
=1．
（2）原式=
，
，
，
=2．
【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简，计算准确是解题的关键．
20.如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使
，连接CE．
（1）求证：
（2）若
的面积为5，求
的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）10．
【解析】
【分析】
（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；
（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到
、
，再结合
以及
解答即可．
【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CED中，
所以
；
(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点
∴
∵
．
答：三角形ACE的面积为10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21.在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习，参入调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题．
（1）本次受调查的学生有________人；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生与任课教师
线辅导？
【答案】（1）60；（2）详见解析；（3）900
【解析】
【分析】
（1）根据A得占比和人数已知可得结果；
（2）算出C的人数，然后补全条形统计图；
（3）用总人数乘以在线辅导的学生占比即可；
【详解】（1）由题可知受调查人数
，
故答案为60．
（2）补全图形如图：C的人数=
，
（3）学生数为
答：在线辅导的有900人．
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确分析题中数据是解题的关键．
22.如图，
两楼地面距离BC为
米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．
（1）求
的大小；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）75°；（2）
【解析】
【分析】
（1）如图：过点A作
于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得
，即
、进一步可得∠EAC=30°，再结合
即可解答；
（2）先根据题意求得DE=AE=
,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．
【详解】（1）如图：过点A作
于点E，
∵在Rt△ABC中，
∵AE//BC
；
(2)∵
RtAED中，AE=BC=
，∠DAE=45°
∴DE=AE=
∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°
∴CE=tan30°·AE=30
．
【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．
23.如图，一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于
两点，过点A作
于点P．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求四边形ABOC的面积．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点B(-1，-3)代入
，可得反比例函数解析式
，即可求出A点的坐标，将A、B代入解析式即可求解；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，根据
关系式可求解；
【详解】解：（1）将点B(-1，-3)代入
，
解得
所以反比例函数的表达式为
；
将点A(-3，n)代入
有，n=-1
将A，B代入
得
解得
所以一次函数表达式为
；
（2）过点B作BE垂直于y轴于点E，
答：四边形的面积为
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键．
24.如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得
，连接AD交
于点E，连接BE．
（1）求证：
是等腰三角形；
（2）连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若
，求
的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可；
（2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明
，可得
，即可求出DE．
【详解】（1）证明：因为AB是圆O的直径，
所以
，
，
，
所以点C是BD的中点，
所以AB=AD，
所以三角形ABD是等腰三角形．
（2）因为三角形ABD是等腰三角形，
，
，
，
因为BF是切线，
所以
，
因为AB是直径，
所以
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键．
25.如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M，N两点
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当
时等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线
相切，若存在，求出点E的坐标，并求
的半径；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为
的圆，过点F，N且与直线
相切．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为
，然后将（2，1）代入
求得a即可；
（2）将y=1代入
解得
，可确定M、N的坐标，进而确定MN的长度；再根据
是等边三角形确定PM的长，然后解三角形确定PF的长，最后结合F点坐标即可解答；
（3）先假设这样的点存在，设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
【详解】解：（1）∵二次函数的顶点是原点
∴设二次函数的解析式为
，
将（2，1）代入
，
解得
所以二次函数的解析式为
；
（2）如图：将y=1代入
，得
，解得
是等边三角形
∴点P在y轴上且PM=4
∴
或
；
（3）假设在二次函数的图像上存在点E满足条件
设点Q是FN的中点，即 Q(1，1)
∴点E在FN的垂直平分线上
∴点E是FN的垂直平分线x=1与
的图像的交点，即
，
∴
∴点E到直线y=-1的距离为
∴在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为
的圆，过点F，N且与直线
相切．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知识，掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键．