2020年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1．（4分）
的相反数是
A．5 B．
C．
D．
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
3．（4分）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
5．（4分）函数
中，自变量
的取值范围是
A．
B．
C．
且
D．
且
6．（4分）关于
的分式方程
有增根，则
的值
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，在平行四边形
中，
的平分线交
于点
，交
于点
，交
的延长线于点
，若
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
8．（4分）二次函数
的图象如图所示，对称轴为直线
，下列结论不正确的是
A．
B．
C．
D．
为任意实数）
9．（4分）如图，在
中，
，
，点
在
上，经过点
的
与
相切于点
，交
于点
，若
，则图中阴影部分面积为
A．
B．
C．
D．
10．（4分）如图，在正方形
中，点
是边
的中点，连接
、
，分别交
、
于点
、
，过点
作
交
的延长线于
，下列结论：
①
，
②
，
③
，
④若四边形
的面积为4，则该正方形
的面积为36，
⑤
．
其中正确的结论有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，
，
，
，
，
，
中，无理数的个数有 个．
12．（4分）一列数4、5、4、6、
、5、7、3中，其中众数是4，则
的值是 ．
13．（4分）已知一个正多边形的内角和为
，则它的一个外角的度数为 度．
14．（4分）若关于
的不等式组
有且只有三个整数解，则
的取值范围是 ．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“
”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“
”的个数为
，第2幅图中“
”的个数为
，第3幅图中“
”的个数为
，
，以此类推，若
．
为正整数），则
的值为 ．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：
．
17．（7分）先化简，
，然后从
范围内选取一个合适的整数作为
的值代入求值．
18．（8分）如图，在
中，
，点
、
分别是线段
、
的中点，过点
作
的平行线交
的延长线于点
，连接
．
（1）求证：
；
（2）求证：四边形
为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点
垂直起飞到达点
处，测得1号楼顶部
的俯角为
，测得2号楼顶部
的俯角为
，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且
和
分别垂直地面于点
和
，点
为
的中点，求2号楼的高度．（结果精确到
（参考数据
，
，
，
，
，
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买
、
两种花苗．据了解，购买
种花苗3盆，
种花苗5盆，则需210元；购买
种花苗4盆，
种花苗10盆，则需380元．
（1）求
、
两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买
、
两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆
种花苗，
种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数
，
、
、
是常数）与
，
、
、
是常数）满足
，
，
，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数
的旋转函数，小明是这样思考的，由函数
可知，
，
，
，根据
，
，
，求出
，
，
就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数
的旋转函数．
（2）若函数
与
互为旋转函数，求
的值．
（3）已知函数
的图象与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，点
、
、
关于原点的对称点分别是
、
、
，试求证：经过点
、
、
的二次函数与
互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对
、
、
、
四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢
种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃
种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的
、
、
、
棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是
种粽子的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点
的坐标为
，点
的坐标为
，连结
，以
为边在第一象限内作正方形
，直线
交双曲线
于
、
两点，连结
，交
轴于点
．
（1）求双曲线
和直线
的解析式．
（2）求
的面积．
24．（10分）如图，在
中，
，
为
边上的一点，以
为直径的
交
于点
，交
于点
，过点
作
交
于点
，交
于点
，过点
的弦
交
于点
不是直径），点
为弦
的中点，连结
，
恰好为
的切线．
（1）求证：
是
的切线．
（2）求证：
．
（3）若
，
，求四边形
的面积．
25．（12分）如图，抛物线
的图象经过
，
，
三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点
与对称轴
上的点
关于
轴对称，直线
交抛物线于点
，直线
交
于点
，若直线
将
的面积分为
两部分，求点
的坐标．
（3）
为抛物线上的一动点，
为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点
，使
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）
1．（4分）
的相反数是
A．5 B．
C．
D．
【解答】解：
的相反数是5，
故选：
．
2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
故选：
．
3．（4分）下列计算正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
与
不是同类项，不能合并，因此选项
不正确；
根据完全平方公式可得
，因此选项
不正确；
，因此选项
不正确；
，因此选项
正确；
故选：
．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
【解答】解：
、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意；
、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：
．
5．（4分）函数
中，自变量
的取值范围是
A．
B．
C．
且
D．
且
【解答】解：根据题意得：
解得：
且
．
故选：
．
6．（4分）关于
的分式方程
有增根，则
的值
A．
B．
C．
D．
【解答】解：去分母得：
，
由分式方程有增根，得到
，即
，
把
代入整式方程得：
，
解得：
，
故选：
．
7．（4分）如图，在平行四边形
中，
的平分线交
于点
，交
于点
，交
的延长线于点
，若
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由
，可以假设
，则
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
．
8．（4分）二次函数
的图象如图所示，对称轴为直线
，下列结论不正确的是
A．
B．
C．
D．
为任意实数）
【解答】解：由图象可得：
，
，△
，
，
，
，故
选项不合题意，
，故
选项不合题意，
当
时，
，
，
，即
，故
选项符合题意，
当
时，
，
当
时，
有最小值为
，
，
，故
选项不合题意，
故选：
．
9．（4分）如图，在
中，
，
，点
在
上，经过点
的
与
相切于点
，交
于点
，若
，则图中阴影部分面积为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接
，过
作
于
，如图，
，
，
，
与
相切于点
，
，
四边形
为矩形，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
图中阴影部分面积
．
故选：
．
10．（4分）如图，在正方形
中，点
是边
的中点，连接
、
，分别交
、
于点
、
，过点
作
交
的延长线于
，下列结论：
①
，
②
，
③
，
④若四边形
的面积为4，则该正方形
的面积为36，
⑤
．
其中正确的结论有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：如图，连接
．
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确，
连接
．
，
，
，
，
，
四点共圆，
，
，
，故②正确，
设
，则
，
，
，即
，故③正确，
根据对称性可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④错误，
，
，
，
，
，
，故⑤正确，
故选：
．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）下列各数3.1415926，
，
，
，
，
，
中，无理数的个数有 3 个．
【解答】解：在所列实数中，无理数有
，
，
这3个，
故答案为：3．
12．（4分）一列数4、5、4、6、
、5、7、3中，其中众数是4，则
的值是 4 ．
【解答】解：根据众数定义就可以得到：
．
故答案为：4．
13．（4分）已知一个正多边形的内角和为
，则它的一个外角的度数为 36 度．
【解答】解：设此多边形为
边形，
根据题意得：
，
解得：
，
这个正多边形的每一个外角等于：
．
故答案为：36．
14．（4分）若关于
的不等式组
有且只有三个整数解，则
的取值范围是 
．
【解答】解：解不等式
，得：
，
解不等式
，得：
，
则不等式组的解集为
，
不等式组有且只有三个整数解，
，
解得
，
故答案为：
．
15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“
”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“
”的个数为
，第2幅图中“
”的个数为
，第3幅图中“
”的个数为
，
，以此类推，若
．
为正整数），则
的值为 4039 ．
【解答】解：由图形知
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得
，
经检验：
是分式方程的解，
故答案为：4039．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：
．
【解答】解：原式
．
17．（7分）先化简，
，然后从
范围内选取一个合适的整数作为
的值代入求值．
【解答】解：原式
，
，
可取
，
则原式
．
18．（8分）如图，在
中，
，点
、
分别是线段
、
的中点，过点
作
的平行线交
的延长线于点
，连接
．
（1）求证：
；
（2）求证：四边形
为矩形．
【解答】证明：（1）
，
，
是线段
的中点，
，
，
；
（2）
，
，
是线段
的中点，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
四边形
为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点
垂直起飞到达点
处，测得1号楼顶部
的俯角为
，测得2号楼顶部
的俯角为
，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且
和
分别垂直地面于点
和
，点
为
的中点，求2号楼的高度．（结果精确到
（参考数据
，
，
，
，
，
【解答】解：过点
、
分别作
，
，垂足分别为
、
，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
答：2号楼的高度约为45.8米．
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买
、
两种花苗．据了解，购买
种花苗3盆，
种花苗5盆，则需210元；购买
种花苗4盆，
种花苗10盆，则需380元．
（1）求
、
两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买
、
两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆
种花苗，
种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【解答】解：（1）设
、
两种花苗的单价分别是
元和
元，则
，解得
，
答：
、
两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买
花苗
盆，则购买
花苗为
盆，设总费用为
元，
由题意得：
，
．故
有最大值，当
时，
的最大值为265，当
时，
的最小值为216，
故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数
，
、
、
是常数）与
，
、
、
是常数）满足
，
，
，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数
的旋转函数，小明是这样思考的，由函数
可知，
，
，
，根据
，
，
，求出
，
，
就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数
的旋转函数．
（2）若函数
与
互为旋转函数，求
的值．
（3）已知函数
的图象与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，点
、
、
关于原点的对称点分别是
、
、
，试求证：经过点
、
、
的二次函数与
互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）由
函数可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
函数
的“旋转函数”为
；
（2）
与
互为“旋转函数”，
，
解得：
，
．
（3）证明：当
时，
，
点
的坐标为
．
当
时，
，
解得：
，
，
点
的坐标为
，点
的坐标为
．
点
，
，
关于原点的对称点分别是
，
，
，
，
，
．
设过点
，
，
的二次函数解析式为
，
将
代入
，得：
，
解得：
，
过点
，
，
的二次函数解析式为
，即
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
经过点
，
，
的二次函数与函数
互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对
、
、
、
四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 600 人．
（2）喜欢
种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图．
（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃
种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的
、
、
、
棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是
种粽子的概率．
【解答】解：（1）
（人
，
所以本次参加抽样调查的居民有60人；
（2）喜欢
种口味粽子的人数为
（人
，
喜欢
种口味粽子的人数为
（人
，
所以喜欢
种口味粽子的人数所占圆心角的度数为
；
补全条形统计图为：
（3）
，
所以估计爱吃
种粽子的有2400人；
故答案为600；72；2400；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是
种粽子的结果数为3，
所以他第二个吃的粽子恰好是
种粽子的概率
．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点
的坐标为
，点
的坐标为
，连结
，以
为边在第一象限内作正方形
，直线
交双曲线
于
、
两点，连结
，交
轴于点
．
（1）求双曲线
和直线
的解析式．
（2）求
的面积．
【解答】解：
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
，
，
作
轴于
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
在
和
中
，
，
，
，
，
双曲线
经过
点，
，
双曲线为
，
设直线
的解析式为
，
把
，
代入得
，解得
，
直线
的解析式为
；
（2）连接
，交
于
，
四边形
是正方形，
垂直平分
，
，
解
得
或
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（10分）如图，在
中，
，
为
边上的一点，以
为直径的
交
于点
，交
于点
，过点
作
交
于点
，交
于点
，过点
的弦
交
于点
不是直径），点
为弦
的中点，连结
，
恰好为
的切线．
（1）求证：
是
的切线．
（2）求证：
．
（3）若
，
，求四边形
的面积．
【解答】（1）证明：连接
，
，
，点
为弦
的中点，
垂直平分
，
，
，
，
，
，
为
的切线，
，
，
，
是
的切线．
（2）解：
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：
为的
直径，点
为弦
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
，
四边形
的面积
．
25．（12分）如图，抛物线
的图象经过
，
，
三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点
与对称轴
上的点
关于
轴对称，直线
交抛物线于点
，直线
交
于点
，若直线
将
的面积分为
两部分，求点
的坐标．
（3）
为抛物线上的一动点，
为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点
，使
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）
抛物线
的图象经过
，
，
设抛物线解析式为：
，
抛物线
的图象经过点
，
，
，
抛物线解析式为：
；
（2）
，
顶点
的坐标为
，
抛物线的顶点
与对称轴
上的点
关于
轴对称，
点
，
设直线
解析式为：
，
由题意可得：
，
解得：
，
直线
解析式为：
，
联立方程组得：
，
解得：
，
，
点
，
，
设点
，
直线
将
的面积分为
两部分，
或
，
或
，
或3，
点
或
；
（3）若
为平行四边形的边，
以
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形，
，
或
，
或
，
点
坐标为
或
；
若
为平行四边形的对角线，
以
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形，
与
互相平分，
，
，
点
坐标为
，
综上所述：当点
坐标为
或
或
时，使
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形．