2020年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．
1．（3分）下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图，
，点
为
上一点，
是
的平分线，若
，则
的大小为
A．
B．
C．
D．
3．（3分）冠状病毒的直径约为
纳米，1纳米
米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是
A．
米 B．
米 C．
米 D．
米
4．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点
，到
轴的距离为4，到
轴的距离为5，则点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，点
在双曲线
上，点
在双曲线
上，且
轴，点
、
在
轴上，若四边形
为矩形，则它的面积为
A．4 B．6 C．8 D．12
7．（3分）下列命题是假命题的是
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
8．（3分）已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：
①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，
其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）在
中，直径
，弦
于点
，若
，则
的长为
A．6 B．9 C．12 D．15
10．（3分）对于任意实数
，关于
的方程
的根的情况为
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
11．（3分）对称轴为直线
的抛物线
、
、
为常数，且
如图所示，小明同学得出了以下结论：①
，②
，③
，④
，⑤
为任意实数），⑥当
时，
随
的增大而增大．其中结论正确的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（3分）如图，对折矩形纸片
，使
与
重合，得到折痕
，把纸片展平后再次折叠，使点
落在
上的点
处，得到折痕
，
与
相交于点
．若直线
交直线
于点
，
，
，则
的长为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．
13．（5分）若二次根式
在实数范围内有意义，则
的取值范围为 ．
14．（5分）在等腰
中，
，
，则
的大小为 ．
15．（5分）若正比例函数
的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为 ．
16．（5分）如图，
是正方形
的内切圆，切点分别为
、
、
、
，
与
相交于点
，则
的值为 ．
17．（5分）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 ．
18．（5分）若关于
的不等式组
无解，则
的取值范围为 ．
19．（5分）观察下列各式：
，
，
，
，
，
，根据其中的规律可得
（用含
的式子表示）．
20．（5分）如图，点
是正方形
内一点，且点
到点
、
、
的距离分别为
、
、4，则正方形
的面积为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．
21．（10分）先化简，再求值：
；其中
，
．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线
与直线
相交于点
，并分别与
轴相交于点
、
．
（1）求交点
的坐标；
（2）求
的面积；
（3）请把图象中直线
在直线
上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量
的取值范围．
23．（12分）如图，过
对角线
与
的交点
作两条互相垂直的直线，分别交边
、
、
、
于点
、
、
、
．
（1）求证：
；
（2）顺次连接点
、
、
、
，求证：四边形
是菱形．
24．（13分）某水果商店销售一种进价为40元
千克的优质水果，若售价为50元
千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元
千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元
千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
25．（13分）如图，
是
的直径，
和
是它的两条切线，过
上一点
作直线
，分别交
、
于点
、
，且
．
（1）求证：直线
是
的切线；
（2）求证：
．
26．（14分）如图，抛物线的顶点为
，与
轴交于点
，点
为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线
是过点
且垂直于
轴的定直线，若抛物线上的任意一点
到直线
的距离为
，求证：
；
（3）已知坐标平面内的点
，请在抛物线上找一点
，使
的周长最小，并求此时
周长的最小值及点
的坐标．
2020年山东省滨州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．
1．（3分）下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，
选项
不符合题意；
、
，
选项
不符合题意；
、
，
选项
不符合题意；
、
，
选项
符合题意．
故选：
．
2．（3分）如图，
，点
为
上一点，
是
的平分线，若
，则
的大小为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
是
的平分线，
，
，
故选：
．
3．（3分）冠状病毒的直径约为
纳米，1纳米
米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是
A．
米 B．
米 C．
米 D．
米
【解答】解：110纳米
米
米．
故选：
．
4．（3分）在平面直角坐标系的第四象限内有一点
，到
轴的距离为4，到
轴的距离为5，则点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
在平面直角坐标系的第四象限内有一点
，到
轴的距离为4，到
轴的距离为5，
点
的纵坐标为：
，横坐标为：5，
即点
的坐标为：
．
故选：
．
5．（3分）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：
．
6．（3分）如图，点
在双曲线
上，点
在双曲线
上，且
轴，点
、
在
轴上，若四边形
为矩形，则它的面积为
A．4 B．6 C．8 D．12
【解答】解：过
点作
轴，垂足为
，
点
在双曲线
上，
四边形
的面积为4，
点
在双曲线线
上，且
轴，
四边形
的面积为12，
矩形
的面积为
．
故选：
．
7．（3分）下列命题是假命题的是
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【解答】解：
、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形是真命题，故选项
不合题意；
、对角线互相垂直的矩形是正方形是真命题，故选项
不合题意；
、对角线相等的菱形是正方形是真命题，故选项
不合题意；
、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，故选项
符合题意；
故选：
．
8．（3分）已知一组数据：5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：
①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4.4，
其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：数据由小到大排列为3，4，4，5，9，
它的平均数为
，
数据的中位数为4，众数为4，
数据的方差
．
所以
、
、
、
都正确．
故选：
．
9．（3分）在
中，直径
，弦
于点
，若
，则
的长为
A．6 B．9 C．12 D．15
【解答】解：如图所示：
直径
，
，
，
，
，
．
故选：
．
10．（3分）对于任意实数
，关于
的方程
的根的情况为
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【解答】解：
，
△
，
不论
为何值，
，
即△
，
所以方程没有实数根，
故选：
．
11．（3分）对称轴为直线
的抛物线
、
、
为常数，且
如图所示，小明同学得出了以下结论：①
，②
，③
，④
，⑤
为任意实数），⑥当
时，
随
的增大而增大．其中结论正确的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：①由图象可知：
，
，
，
，
，故①错误；
②
抛物线与
轴有两个交点，
，
，故②正确；
③当
时，
，故③错误；
④当
时，
，
，故④正确；
⑤当
时，
的值最小，此时，
，
而当
时，
，
所以
，
故
，即
，故⑤正确，
⑥当
时，
随
的增大而减小，故⑥错误，
故选：
．
12．（3分）如图，对折矩形纸片
，使
与
重合，得到折痕
，把纸片展平后再次折叠，使点
落在
上的点
处，得到折痕
，
与
相交于点
．若直线
交直线
于点
，
，
，则
的长为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
由中位线定理得
，
由折叠的性质可得
，
，
，
，
，
，
，
过
点作
于
，
，
，
由勾股定理得
，
，
，
解得
，
．
故选：
．
二、填空题：本大题共8个小题．每小题5分，满分40分．
13．（5分）若二次根式
在实数范围内有意义，则
的取值范围为 
．
【解答】解：要使二次根式
在实数范围内有意义，必须
，
解得：
，
故答案为：
．
14．（5分）在等腰
中，
，
，则
的大小为 
．
【解答】解：
，
，
，
．
故答案为：
．
15．（5分）若正比例函数
的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为 
．
【解答】解：当
时，即
，解得：
，
故该点的坐标为
，
将
代入反比例函数表达式
并解得：
，
故答案为：
．
16．（5分）如图，
是正方形
的内切圆，切点分别为
、
、
、
，
与
相交于点
，则
的值为 
．
【解答】解：
是正方形
的内切圆，
，
；
根据圆周角的性质可得：
．
，
．
故答案为：
．
17．（5分）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为 
．
【解答】解：3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13；3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；
共有10种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为4，所以可以组成三角形的概率
．
故答案为
．
18．（5分）若关于
的不等式组
无解，则
的取值范围为 
．
【解答】解：解不等式
，得：
，
解不等式
，得：
，
不等式组无解，
，
解得
，
故答案为：
．
19．（5分）观察下列各式：
，
，
，
，
，
，根据其中的规律可得
（用含
的式子表示）．
【解答】解：由分析可得
．
故答案为：
．
20．（5分）如图，点
是正方形
内一点，且点
到点
、
、
的距离分别为
、
、4，则正方形
的面积为 
．
【解答】解：如图，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，过点
作
于
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共线，
，
，
，
，
，
正方形
的面积为
．
故答案为
．
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时请写出必要的演推过程．
21．（10分）先化简，再求值：
；其中
，
．
【解答】解：原式
，
，
，
原式
．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线
与直线
相交于点
，并分别与
轴相交于点
、
．
（1）求交点
的坐标；
（2）求
的面积；
（3）请把图象中直线
在直线
上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量
的取值范围．
【解答】解：（1）由
解得
，
；
（2）直线
与直线
中，令
，则
与
，
解得
与
，
，
，
，
；
（3）如图所示：
自变量
的取值范围是
．
23．（12分）如图，过
对角线
与
的交点
作两条互相垂直的直线，分别交边
、
、
、
于点
、
、
、
．
（1）求证：
；
（2）顺次连接点
、
、
、
，求证：四边形
是菱形．
【解答】（1）证明：
四边形
是平行四边形，
，
，
，
在
和
中，
，
；
（2）证明：如图所示：
，
，
同理：
，
，
四边形
是平行四边形，
，
四边形
是菱形．
24．（13分）某水果商店销售一种进价为40元
千克的优质水果，若售价为50元
千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元
千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元
千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【解答】解：（1）当售价为55元
千克时，每月销售水果
千克；
（2）设每千克水果售价为
元，
由题意可得：
，
解得：
，
，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为
元，获得的月利润为
元，
由题意可得：
，
当
时，
有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
25．（13分）如图，
是
的直径，
和
是它的两条切线，过
上一点
作直线
，分别交
、
于点
、
，且
．
（1）求证：直线
是
的切线；
（2）求证：
．
【解答】解：（1）连接
，
，如图1，
在
和
中，
，
，
，
是
的切线，
，
，
直线
是
的切线；
（2）过
作
于点
，如图2，则
，
、
都是
的切线，
，
四边形
是矩形，
，
，
是
的切线，
，
，
，
，
，
即
，
．
26．（14分）如图，抛物线的顶点为
，与
轴交于点
，点
为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线
是过点
且垂直于
轴的定直线，若抛物线上的任意一点
到直线
的距离为
，求证：
；
（3）已知坐标平面内的点
，请在抛物线上找一点
，使
的周长最小，并求此时
周长的最小值及点
的坐标．
【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点
，可以假设抛物线的解析式为
，
抛物线经过
，
，
，
抛物线的解析式为
．
（2）证明：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图，过点
作
直线
于
，过点
作
直线
于
．
的周长
，
是定值
，
的值最小时，
的周长最小，
，
，
根据垂线段最短可知，当
，
，
共线时，
的值最小，此时点
与
重合，点
在线段
上，
的周长的最小值为
，此时
．
