【330337】2020年内蒙古包头市中考数学试题

2020年初中升学考试试卷

数学

注意事项：

1．本试卷共6页，满分为120分，考试时间为120分钟．

2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置，请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，修改时用橡皮擦干净，再选涂其他答案．

4．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米的黑色字迹签字笔描清楚．要求字体工整，笔迹清晰．严格按题号所示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷、草稿纸上答题无效．

5．保持答题卡清洁、完整，严禁折叠、损坏．严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项．请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

1. 的计算结果是（ ）

A. 5 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式的运算法则即可求解．

【详解】 = ,

故选C．

【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．

2.2020年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2019年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9348万人．将9348万用科学记数法表示为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】解：9348万=93480000用科学记数法表示为9.348× ，
故选：B．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题的关键是要正确确定a的值以及n的值．

3.点A在数轴上，点A所对应的数用 表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）

A. 或1 B. 或2 C. D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据绝对值 几何意义列绝对值方程解答即可．

【详解】解：由题意得：|2a+1|=3

当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1

当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2

所以a的值为1或-2．

故答案为A．

【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．

4.下列计算结果正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．

【详解】解：A. ，故A选项错误；

B. ，故B选项错误；

C. ，故C选项错误；

D. ，故D选项正确．

故答案为D．

【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．

5.如图， 是 的外角， ．若 ， ，则 的度数为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解．

【详解】∵ ，

∴∠B=

∴∠A=180°-∠B-

故选B．

【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．

6.如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（ ）

A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变

C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变

【答案】C

【解析】

【分析】

主视图是从立体图形 正面看，俯视图是从立体图形的上面看，左视图是从立体图形的左面看，根据题意，只需要考虑小立方块移走前后三视图的变化，即可做出选择．

【详解】主视图是从立体图形的正面看，俯视图是从立体图形的上面看，左视图是从立体图形的左面看，故将小立方块移走后，主视图不变，左视图和俯视图均发生改变．

故选择C．

【点睛】本题主要考查三视图，判断小立方块移走前后的变化是解决本题的关键．

7.两组数据：3，a，b，5与a，4， 的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求众数即可．

【详解】∵两组数据：3，a，b，5与a，4， 的平均数都是3，

∴ ，

解得a＝3，b＝1，

则新数据3，3，1，5，3，4，2，

众数为3，

故选B．

【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．

8.如图，在 中， ，D是 的中点， ，交 的延长线于点E．若 ， ，则 的长为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意将BD,BC算出来,再利用勾股定理列出方程组解出即可．

【详解】∵AC=2,BC= ,

∴ ,

∵D是AB的中点,

∴AD=CD=BD= ．

由题意可得:

两式相减得: ,

解得DE= ,BE= ,

故选A．

【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理,关键在于找出等式列出方程组．

9.如图， 是 的直径， 是弦，点 在直径 的两侧．若 ， ，则 的长为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据 求出 的度数，根据 得到半径，运用弧长公式计算即可．

【详解】∵ ， ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ = ．

故答案选D．

【点睛】本题主要考查了弧长的计算，通过已知条件计算出圆心角和半径是解题的关键．

10.下列命题正确的是（ ）

A. 若分式 的值为0，则x的值为±2．

B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．

C. 若 ，则 ．

D. 若 ，则一元二次方程 有实数根．

【答案】D

【解析】

【分析】

A选项：当x=2时，分式无意义；

B选项：1的算数平方根还是1；

C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；

根据根的判别式可得到结论．

【详解】A选项：当x=2时，分式无意义，故A选项错误；

B选项：1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项错误；

C选项：可以假设b=2，a=1，满足 ，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项错误；

D选项： ，当 时， ，一元二次方程有实数根，故D选项正确．

故本题选择D．

【点睛】本题主要考查分式值为0时的条件、算数平方根、不等式的性质及一元二次方程根的判别式问题，掌握分式的意义、算数平方根、不等式的性质及一元二次方程根的判别式的知识是解答本题的关键．

11.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点 是线段 上一点，过点C作 轴，垂足为D， 轴，垂足为E， ．若双曲线 经过点C，则k的值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由直线 求出OA，OB的长，设出C(x， )，证明 ，得出CE，CD的长，进而得出结论．

【详解】解：对于 ，当 时， ；当 时， ，

，

，

设 ，

根据题意知，四边形ODCE是矩形，

，

轴， 轴，

，

，

，

，

，

解得：

经检验， 是原方程的根，

∵点C在反比例函数 的图象上，

，即 ，

故选：A．

【点睛】本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质以及待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

12.如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：（1）分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点（点M在 的上方）；（2）作直线 交 于点O，交 于点D；（3）用圆规在射线 上截取 ．连接 ，过点O作 ，垂足为F，交 于点G．下列结论：

① ；② ；③ ；④若 ，则四边形 的周长为25．

其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】D

【解析】

【分析】

证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到 ，由此判断①；根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到 ，即可判断②；根据FG是△ACD的中位线，证得 ，即可判断③；设OA=x，则OF=9-x，根据 ，求出OA=5得到AB=10，BC=8，再根据 ，求出BD= ，即可判断④.

【详解】由题意知：MN垂直平分AB，

∴OA=OB，ED⊥AB，

∵OD=OE，

∴四边形ADBE是菱形，

∵ ， ，

∴OF∥BC，AF=CF，

∴FG是△ACD的中位线，

∴ ，故①正确；

∵四边形ADBE是菱形，

∴AD=BD，

在Rt△ACD中， ,

∴ ，故②正确；

∵FG是△ACD的中位线，

∴点G是AD的中点，

∴ ，

∵ ，

∴ ，故③正确；

∵AC=6，

∴AF=3，

设OA=x，则OF=9-x，

∵ ，

∴ ，

解得x=5，

∴AB=10，

∴BC=8，

∵ ，

∴ ，

解得BD= ，

∴四边形 的周长为 .

故选：D.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，菱形的判定及性质定理，勾股定理，三角形的中位线的判定及性质，三角形中线的性质，这是一道四边形的综合题.

二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上．

13.在函数 中，自变量 的取值范围是________________．

【答案】

【解析】

【分析】

在函数 中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.

【详解】在函数 中，分母不为0，

则 ，即 ，

故答案为： .

【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键.

14.分式方程 的解是_____．

【答案】x=

【解析】

【分析】

根据分式方程的解题步骤解出即可．

【详解】

方程左右两边同乘x－2,得 3－x－x=x－2．

移项合并同类项,得 x= ．

经检验, x= 是方程的解．

故答案为: x= ．

【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验．

15.计算： ______．

【答案】

【解析】

【分析】

先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．

【详解】解：

=

=

= ．

故答案为 ．

【点睛】本题考查了二次根式 混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．

16.如图，在正方形 ，E是对角线 上一点， 的延长线交 于点F，连接 ．若 ，则 ______ ．

【答案】

【解析】

【分析】

先证明 ，得到 ，可得到 ，再根据平行线的性质得到 ，可得 ，根据三角形内角和定理即可求解；

【详解】∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB，AB∥CD，

又∵BD是角平分线，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

在 和 中，

，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

故答案是 ．

【点睛】本题主要考查了利用正方形的性质求角度，准确利用三角形全等和三角形内角和定理求解是解题的关键．

17.一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意可得基本事件总3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数，最后由概率公式计算即可．

【详解】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况

则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ．

故答案 ．

【点睛】本题考查了运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解答本题的关键．

18.如图，在平行四边形 中， 的平分线与 的平分线交于点E，若点E恰好在边 上，则 的值为______．

【答案】16

【解析】

【分析】

根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案．

【详解】解：如图，在平行四边形 中，

∴ ，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180°

∵BE、CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，

∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE，

∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90°

∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°，

∴AD=2+2=4，

∴BC=AD=4，

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

；

故答案为：16．

【点睛】本题考查了平行四边形 性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题．

19.在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线 的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．

【答案】4

【解析】

【分析】

通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．

【详解】∵A、B的纵坐标一样,

∴A、B是对称的两点,

∴对称轴 ,即 ,

∴b=﹣4．

．

∴抛物线顶点(2,﹣3)．

满足题意n得最小值为4,

故答案为4．

【点睛】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．

20.如图，在矩形 中， 是对角线， ，垂足为E，连接 ．若 ，则如 的值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

过C向BD作垂线，可以构造出一个30°直角三角△CDF，进而求出 ，设直角 最小边DF=a,并用a的代数式表示出其他边，即可求出答案．

【详解】解：过C作CF⊥BD，垂足为F点

∵矩形ABCD,

∴AD∥BC， AB=CD

∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°

设DF=a,则CF= ，CD= ，BD= ，

∵

∴∠AEB=∠CFD=90°

∴ ，

∴EB=DF=a

∴EF= -a-a=2a

∴

故答案是 ．

【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．

三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．

21.我国 技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款 产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下（单位：分）：

83 92 68 55 77 71 73 62 73 95 92 94 72 64 59

66 71 75 69 86 87 79 81 77 68 82 62 77 61 88

整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图（如图）．请根据所给信息，解答下列问题：

（1）补全频数直方图；

（2）参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是_____分；

（3）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分	低于60分	60分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

估计使用该公司这款 产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．

【答案】（1）见详解；（2）74；（3）200人

【解析】

【分析】

（1）由题意，求出满意度在90~100之间的频数，补全条形图即可；

（2）把数据从小到大排列，找出第15、16和数，即可求出中位数；

（3）求出非常满意的百分比，然后乘以1500即可得到答案；

【详解】解：（1）根据题意，满意度在70~80之间的有：77、71、73、73、72、71、75、79、77、77，共10个；

满意度在90~100之间的有：92、95、92、94，共4个；

补全条形图，如下：

（2）把数据从小到大进行重新排列，则

第15个数为：73，

第16个数为：75，

∴中位数为： ；

故答案为：74．

（3）根据题意，

，

∴在1500个用户中满意度等级为“非常满意”的人数大约为200人．

【点睛】本题考查了直方图，频数分布直方表，用样本估计总体，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确对题意进行分析解答．

22.如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东 方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了 到达B地，发现电视塔P在他北偏东 方向，然后他由B地向北偏东 方向骑行了 到达C地．

（1）求A地与电视塔P的距离；

（2）求C地与电视塔P的距离．

【答案】（1）AP= ；（2）6

【解析】

【分析】

（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3；

（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案．

【详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，

过点B作BE⊥AP于点E，如图，

在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，

∴AE=BE，

∵ ，

∴AE=BE=3，

在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，

∴PE= ，

∴AP=AE+PE= ；

（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，

∴BP= ，

又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，

∴△BCP是等边三角形，

∴CP=BP=6．

【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，方位角的运用，等边三角形的判定及性质，根据题意明确各角度及线段，正确计算即可解决问题．

23.某商店销售 两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．

（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？

（2）该商店计划购进 两种商品共60件，且 两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？

【答案】（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大．

【解析】

【分析】

（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解；

（2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果．

【详解】（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，

根据题意可得 ，

解得 ，

∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．

（2）设购进A商品m件，则购进B商品 件，

根据题意可得： ，

解得： ，

令总利润为w，则 ，

，

∴当 时，获得利润最大，此时 ，

∴A进20件，B进40件时获得利润最大．

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与二元一次方程组的实际应用，准确计算是解题的关键．

24.如图， 是 的直径，半径 ，垂足为O，直线l为 的切线，A是切点，D是 上一点， 的延长线交直线l于点 是 上一点， 的延长线交 于点G，连接 ，已知 的半径为3， ， ．

（1）求 的长；

（2）求 的值及 的长．

【答案】（1）AE=2；（2）CG= ，cos∠CAG=

【解析】

【分析】

(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，证明四边形AOHE是矩形得到EH=OA=3，求得 ，即可得到AE；

(2)先证明△ADE∽△OCD求得AD=1.2，OD=1.8，根据 求得BF=2，CF= ，连接BG，证明△AFC∽△GFB，得到 ，求得 ，即可得到CG=CF+GF= ，设CO延长线交 于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，在Rt△CGN中，求得NG= ，即可得到cos∠CAG=cos∠CNG= .

【详解】(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，

∵直线l为 的切线，A是切点，

∴OA⊥AE，

∵OC⊥AB，

∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，

∴四边形AOHE是矩形，

∴EH=OA=3，AE=OH，

∵ ,

∴ ,

∴AE=OH=CH-OC=2；

(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，

∴OC∥AE，

∴△ADE∽△OCD，

∴ ，

∴AD=1.2，OD=1.8，

∵ ，

∴BF=2，

∴OF=1，

∴AF=4，CF= ，

连接BG，

∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，

∴△AFC∽△GFB，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴CG=CF+GF= ，

设CO延长线交 于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，

在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG= ,

∴NG= ，

∴cos∠CAG=cos∠CNG= .

【点睛】此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，圆切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关键.

25.如图，在 中， ， ， 绕点C按顺时针方向旋转得到 ， 与 交于点D．

（1）如图，当 时，过点B作 ，垂足为E，连接 ．

①求证： ；

②求 的值；

（2）如图，当 时，过点D作 ，交 于点N，交 的延长线于点M，求 的值．

【答案】（1）①见解析；② ；（2）3

【解析】

【分析】

（1）①根据旋转性质可知∠A=∠A´，根据平行线的性质可知∠ACA´=∠A´，得到∠A=∠ACA´，推出AD=CD，再由等角的余角相等可得∠BCD=∠CBD，推出CD=BD，最后推出结论；

②在Rt△BCE中，BC=2，可根据相似三角形的判定和性质求出BE、CE的长，过点E作EM⊥AC于M，则可求出EM，即可求得S_△BEC、S_△ACE、S_△ABC、S_△ABE，进而求得答案；

（2）根据勾股定理求出AB长，根据三角形面积相等求出CD，由相似三角形的判定可知△CDB∽△ADC，推出CD²=BD·AD，求得AD的值，根据平行线分线段成比例定理可知 ，求出CN，由B´C∥A得出 的值，进而求得 的值即可．

【详解】（1）①∵ 绕点C按顺时针方向旋转得到 ，

∴∠A=∠A´，

∵

∴∠ACA´=∠A´，

∴∠ACA´=∠A，

∴AD=CD，

∵∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ABC=90°

∴∠BCD=∠ABC

∴BD=CD

∴AD=BD，

②∵∠BCD=∠ABC=∠CEM，∠ACB=∠BEC=∠EMC=90°

∴△ACB∽△BEC∽△CME，BC=2，AC=4

∴

设CE=x，在Rt△CEB中，BE=2x，BC=2，

则

解得 即 ，BE=

同理可得：EM=

∴S_△BEC=

S_△ACE=

S_△ABC=

S_△ABE= S_△ABC-S_△ACE-S_△BEC

∴ =

（2）在Rt△ABC中，BC=2，AC=4，

则AB=

∴

解得：CD=

∵∠A=∠BCD，∠ADC=∠BDC

∴△ADC∽△BDC

∴CD²=BD·AD

即

解得：AD=

∵DM∥A´B´∴∠A´=∠CDM，∠A´CB´=∠DAN

∴△CDN∽△CA´B´

∴ ，即

∵∠ADC=∠A´CB´=90°

∴CN∥AB

∴

∴

∴

【点睛】本题考查是三角形旋转综合题，涉及到旋转的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角形的面积、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键．

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线 经过点A，与y轴交于点B，连接 ．

（1）求b的值及点M的坐标；

（2）将直线 向下平移，得到过点M的直线 ，且与x轴负半轴交于点C，取点 ，连接 ，求证： ：

（3）点E是线段 上一动点，点F是线段 上一动点，连接 ，线段 的延长线与线段 交于点G．当 时，是否存在点E，使得 ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（ ， ）.

【解析】

【分析】

（1）将 配方后可得顶点M的坐标，利用 求出点A的坐标后代入 即可求出b的值；

（2）先求出平移后的直线CM的解析式为y=- x ，过点D作DH⊥直线y=- x ，得到直线DH的解析式为y=2x-4，根据 求出交点H（1，-2），分别求得DH= ，DM= ，根据sin∠DMH= 得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论；

（3）过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，先求出AB= ，根据 得到∠BAO=∠AFE，设GF=4a，则AE=EF=3a，证明△AEQ∽△ABO，求得AQ= a，AF= a，再证△FGP∽△AEQ，得到FP= a，OP=PG= ，由此得到 + a+ a=6，求出a得到AQ= ，将x= 代入 中，得y= ，即可得到点E的坐标.

【详解】（1）∵ = ，

∴顶点M的坐标为（3，-3）.

令 中y=0，得x₁=0，x₂=6，

∴A（6,0），

将点A的坐标代入 中，得-3+b=0，

∴b=3；

（2）∵ 由 平移得来，

∴m=- ，

∵过点M(3，-3),

∴ ，解得n= ，

∴平移后的直线CM的解析式为y=- x .

过点D作DH⊥直线y=- x ，

∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，

∴k=-4，

∴直线DH的解析式为y=2x-4.

解方程组 ，得 ，

∴H（1，-2）.

∵D(2，0)，H(1，-2)，

∴DH= ，

∵M(3，-3)，D（2,0）,

∴DM= ，

∴sin∠DMH= ，

∴∠DMH=45°，

∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，

∴ ；

（3）存在点E，

过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，

∵A(6，0)，B（0,3）,

∴AB= .

∵ ，∠BEF=∠BAO+∠AFE，

∴∠BAO=∠AFE，

∴AE=EF，

∵ ，

∴ ，

设GF=4a，则AE=EF=3a，

∵EQ⊥x轴，

∴EQ∥OB，

∴△AEQ∽△ABO，

∴ ，

∴ ，

∴AQ= a，

∴AF= a.

∵∠AFE=∠PFG，

∴△FGP∽△AEQ，

∴ ,

∴FP= a，

∴OP=PG= ，

∴ + a+ a=6,

解得a= ，

∴AQ= ,

∴OQ= ，

将x= 代入 中，得y= ，

∴当 时，存在点E，使得 ，此时点E的坐标为（ ， ）.

【点睛】此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的性质，两个一次函数交点坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质定理，是一道抛物线的综合题，较难.