【330322】2020年湖南省张家界市中考数学真题

湖南省张家界市2020年中考数学

一、选择题

1. 的倒数是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据倒数的定义解答即可．

【详解】解：∵ ×2020=1，
∴ 的倒数是2020．
故答案为C．

【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【详解】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：

故选A．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从正面看得到的图形是主视图．

3.下列计算正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可

【详解】解：A、 ，故原式错误；

B、 ，故原式错误；

C、 ，故原式错误；

D、 ，故原式正确，

故选：D．

【点睛】此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

4.下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）

A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查．

B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查．

C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查．

D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．

【详解】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，

了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，

了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，

了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，

故选B．

【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

5.如图，四边形 为 的内接四边形，已知 为 ，则 的度数为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O 内接四边形，

∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，

由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，

故选：C．

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

6.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，

每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为： ，

每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为： ，

∴列出方程 ： ．

故选：B．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）

A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4

【答案】A

【解析】

【分析】

解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．

【详解】解：x²－6x+8=0

（x－4）（x－2）=0

解得：x=4或x=2，

当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，

所以三角形的底边长为2，

故选：A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．

8.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接 ，则 的面积为（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 14

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．

【详解】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，

∴△ABC的面积等于△ABO的面积，

连接OA、OB，如下图所示：

则

．

故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为 这个结论．

二、填空题

9.因式分解： _____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据公式法进行因式分解即可．

【详解】解： ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键．

10.今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为___________元．

【答案】2.11×10⁸

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．

【详解】211000000的小数点向左移动8位得到2.11，

所以211000000用科学记数法表示为2.11×10⁸，

故答案为：2.11×10⁸．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11.如图， 的一边 为平面镜， ，一束光线（与水平线 平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在 上的点E处，则 的度数是_______度．

【答案】76°

【解析】

【分析】

根据平行线的性质可得∠ADC的度数，由光线的反射定理可得∠ODE的度数，在根据三角形外角性质即可求解．

【详解】解：∵DC∥OB，

∴∠ADC=∠AOB=38°，

由光线的反射定理易得，∠ODE=∠ACD=38°，

∠DEB=∠ODE+∠AOB =38°+38°=76°，

故答案为：76°．

【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质和光线的反射定理，掌握入射角=反射角是解题的关键．

12.新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是_____．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．

【详解】全班共有学生30+24=54（人），

其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 = ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

13.如图，正方形 的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到 位置，使得点B落在对角线 上，则阴影部分的面积是______．

【答案】

【解析】

【分析】

如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC= ，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP= ，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．

【详解】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示，

∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，

∴△ENC为等腰直角三角形，

∴MB=CN= EC= ，

又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，

∴△PEC≌△PBC(HL)，

∴PB=PE，

又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，

∴△MPE为等腰直角三角形，

设MP=x，则EP=BP= ，

∵MP+BP=MB，

∴ ，解得 ，

∴BP= ，

∴阴影部分的面积= ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长.

14.观察下面的变化规律：

，……

根据上面的规律计算：

__________．

【答案】

【解析】

【分析】

本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．

【详解】由题干信息可抽象出一般规律： （ 均为奇数，且 ）．

故 ．

故答案： ．

【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．

三、解答题

15.计算： ．

【答案】

【解析】

【分析】

根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．

详解】

【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．

16.如图，在矩形 中，过对角线 的中点O作 的垂线 ，分别交 于点 ．

（1）求证： ；

（2）若 ，连接 ，求四边形 的周长．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）25

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的性质可得 ， ， ，即可证的两个三角形全等；

（2）设 ，根据已知条件可得 ，由（1）可推得 ,可得ED=EB，可证得四边形EBFD是菱形，根据勾股定理可得BE的长，即可求得周长；

【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴ ， ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

在△DOE和△BOF中，

，

∴ ．

（2）由（1）可得， ， ，

∴四边形BFDE是平行四边形，

在△EBO和△EDO中，

，

∴ ，

∴ ，

∴四边形BFDE是菱形，

根据 ，设 ，可得 ，

在Rt△ABE中，根据勾股定理可得： ，

即 ，

解得： ，

∴ ，

∴四边形 的周长= ．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，结合菱形的判定与性质、全等三角形的判定进行求解是解题的关键．

17.先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ，1．

【解析】

【分析】

括号内后面的分式分子、分母先分解因式，约分后进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算进行化简，最后把x的值代入进行计算即可．

【详解】

=

=

=

= ，

当 时，原式= =1．

【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了二次根式的运算，分式的约分，分式的除法运算、减法运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

18.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：

D组成绩的具体情况是：

分数（分）	93	95	97	98	99
人数（人）	2	3	5	2	1

根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

（1）请补全条形统计图；

（2）D组成绩的中位数是_________分；

（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？

【答案】（1）见解析；（2）97；（3）690人．

【解析】

【分析】

（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；

（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；

（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．

【详解】解：（1）∵随机抽取40名学生，根据条形统计图可以得出：A为5人，B为12人，D为13人，

∴C的人数为： ，

补全条形统计图如下图：

（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列：

93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99

第七个数据为中位数，是97，

故答案为：97；

（3）80分以上的是C、D两组，共有10+13=23人，所占的比列为：23÷40=0.575

所以1200名学生中80分以上的人数有：1200×0.575=690（人），

故答案为：690人．

【点睛】本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．

19.今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．

【答案】第一批购进的消毒液的单价为10元．

【解析】

【分析】

设第一批购进的消毒液的单价为x元，根据两次购买到的数量相等可列出方程求解．

【详解】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，

根据题意可得： ，

解得：x=10，

经检验，x=10是原方程的根，

答：第一批购进的消毒液的单价为10元．

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系列出方程，分式方程要记得验根．

20.阅读下面 材料：

对于实数 ，我们定义符号 的意义为：当 时， ；当 时， ，如： ．

根据上面的材料回答下列问题：

（1） ______；

（2）当 时，求x的取值范围．

【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥

【解析】

【分析】

（1）比较大小，即可得出答案；

（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．

【详解】解：（1）由题意得 ﹣1

故答案为：﹣1；

（2）由题意得：

3（2x－3）≥2（x+2）

6x－9≥2x+4

4x≥13

X≥

∴x的取值范围为x≥ ．

【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．

21.“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以 的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为 ，继续飞行 到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为 ，已知“南天一柱”的高为 ，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据： ， ， ）

【答案】安全

【解析】

【分析】

设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．

【详解】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．

在Rt△ACD中，

∵tan∠CAD= ，

∴AD= ．

在Rt△BCD中，

∵tan∠CBD= ，

∴BD= ．

∵AD-BD=AB，

∴ - =9×6，

∴x=162，

∵162>150，

∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．

22.如图，在 中， ，以 为直径作 ，过点C作直线 交 的延长线于点D，使 ．

（1）求证： 为 的切线；

（2）若 平分 ，且分别交 于点 ，当 时，求 的长．

【答案】(1)见解析；（2）EF= ．

【解析】

【分析】

（1）如图，连接OC，欲证明CD是 的切线，只需求得∠OCD= ；

（2）由角平分线及三角形外角性质可得 ，即∠CEF=∠CFE，根据勾股定理可求得EF 长．

【详解】

（1）证明：如图，连接OC

∵ 为 的直径

∴ ，即∠A+∠ABC=

又∵OC=OB

∴∠ABC=∠OCB

∵

∴∠BCD+∠OCB= ，即∠OCD=

∵OC是圆O的半径

∴CD是 的切线．

（2）解：∵ 平分

∴∠CDE=∠ADE

又∵

∴ ，即∠CEF=∠CFE

∵∠ACB= ，

∴CE=CF=2

∴EF=

【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．

23.如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C．直线 经过点 ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l与直线 相交于点P，连接 ，判定 的形状，并说明理由；

（3）在直线 上是否存在点M，使 与直线 的夹角等于 的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） ；（2） 的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使 与直线 的夹角等于 的2倍的点，且坐标为M₁（ ），M₂（ ， ）．

【解析】

【分析】

（1）先根据直线 经过点 ，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；

（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定 的形状；

（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M₁E的解析式；然后联立直线BC和M₁E的解析式即可求得M₁的坐标；在直线BC上作点M₁关于N点的对称点M₂，利用中点坐标公式即可确定点M₂的坐标

【详解】解：（1）∵直线 经过点

∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）

当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）

∴ 解得

∴该抛物线的解析式为

（2） 的为直角三角形，理由如下：

∵解方程 =0，则x₁=1，x₂=5

∴A（1,0），B（5,0）

∵抛物线 的对称轴l为x=3

∴△APB为等腰三角形

∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）

∴OB=CO=5,即∠ABP=45°

∴∠ABP=45°，

∴∠APB=180°-45°-45°=90°

∴∠APC=180°-90°=90°

∴ 的为直角三角形；

（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，

∵M₁A=M₁C，

∴∠ACM₁=∠CAM₁

∴∠AM₁B=2∠ACB

∵△ANB为等腰直角三角形.

∴AH=BH=NH=2

∴N（3，2）

设AC的函数解析式为y=kx+b

∵C(0，5),A(1，0)

∴ 解得b=5，k=-5

∴AC的函数解析式为y=-5x+5

设EM₁的函数解析式为y= x+n

∵点E的坐标为（ ）

∴ = × +n，解得：n=

∴EM₁的函数解析式为y= x+

∵ 解得

∴M₁的坐标为（ ）；

在直线BC上作点M₁关于N点的对称点M₂

设M₂（a，-a+5）

则有：3= ，解得a=

∴-a+5=

∴M₂的坐标为（ ， ）．

综上，存在使 与直线 的夹角等于 的2倍的点，且坐标为M₁（ ），M₂（ ， ）．

【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．