【330320】2020年湖南省湘西市中考数学试题

2020年湖南省湘西市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）

1.下列各数中，比 小的数是（ ）

A. 0 B. C. D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据大于0的数是正数，而负数小于0，排除A、D，而-1>-2，排除B，而-3<-2，从而可得答案．

【详解】根据正负数的定义，可知-2<0，-2<3，故A、D错误；

而-2<-1，B错误；

-3<-2，C正确；

故选C．

【点睛】本题目考查有理数的大小比较，较容易，熟练掌握有理数的大小比较方法是顺利解题的关键．

2.2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元．用科学记数法表示92700是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为 形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】解：92700=9.27×10⁴

故选B．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 形式，其中 ，n为整数．表示时关键要确定a的值及n的值．

3.下列运算正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据算术平方根的性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则依次判断即可得到答案.

【详解】A、 ，故该选项错误；

B、 ，故该选项错误；

C、 中两个二次根式不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；

D、 ，故该选项正确；

故选：D.

【点睛】此题考查算术平方根 性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则，熟练掌握各知识点是解题的关键.

4.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【详解】解：从上面往下看，上面看到两个正方形，下面看到一个正方形，右齐．

故选： ．

【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握物体的三视图是解题的关键．

5.从长度分别为 、 、 、 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共1种，根据概率公式得到结果．

【详解】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，6cm）；（3cm，5cm，6cm），共4种；

而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共1种；

∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ，

故选：A．

【点睛】本题主要考查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，

6.已知 ，作 的平分线 ，在射线 上截取线段 ，分别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线 ，分别交 于D，交 于G．那么， 一定是（ ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.

【详解】如图，连接CD、CG，

∵分别以O、C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于E，F

∴EF垂直平分OC，

设EF交OC于点N，

∴∠ONE=∠ONF=90°，

∵OM平分 ，

∴∠NOD=∠NOG，

又∵ON=ON，

∴△OMD≌△ONG，

∴OD=OG，

∴△ODG是等腰三角形，

故选：C.

【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.

7.已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，下列说法正确的是（ ）

A. 正比例函数 的解析式是

B. 两个函数图象的另一交点坐标为

C. 正比例函数 与反比例函数 都随x 增大而增大

D. 当 或 时，

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式 和 ，可判断A错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C错误，D正确，即可选出答案．

【详解】解：根据正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，即可设 ， ，

将 分别代入，求得 ， ，

即正比例函数 ，反比例函数 ，故A错误；

另一个交点与 关于原点对称，即 ，故B错误；

正比例函数 随x的增大而减小，而反比例函数 在第二、四象限的每一个象限内y均随x的增大而增大，故C错误；

根据图像性质，当 或 时，反比例函数 均在正比例函数 的下方，故D正确．

故选D．

【点睛】本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键．

8.如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）

A. 为等腰三角形 B. 与 相互垂直平分

C. 点A、B都在以 为直径的圆上 D. 为 的边 上的中线

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出 为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明 与 相互垂直平分，即可得出答案．

【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，

∵B，C为切点，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

∵OA=OB，OP=OP，

∴Rt△OPB≌Rt△OPA，

∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，

∴ 为等腰三角形，故A正确；

∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，

∴PM=OM=BM=AM

∴点A、B都在以 为直径的圆上，故C正确；

∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，

∴△OBC≌△OAC，

∴∠OCB=∠OCA=90°，

∴PC⊥AB，

∵△BPA为等腰三角形，

∴ 为 的边 上的中线，故D正确；

无法证明 与 相互垂直平分，

故选：B．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．

9.如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边 ．则点C到x轴的距离等于（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．

【详解】作CE⊥y轴于E．

Rt△OAD中，

∵∠AOD=90°，AD=BC= ，∠OAD= ，
∴OD= ，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD= ，

∴在Rt△CDE中，

∵CD=AB= ，∠CDE= ，
∴DE= ，

∴点C到 轴的距离=EO=DE+OD= ，

故选：A．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

10.已知二次函数 图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的是（ ）

A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an²+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a= ，代入9a+3b+c<0可判断⑤．

【详解】∵抛物线开口向下，

∴a<0，

∵对称轴x= =1>0，

∴b=-2a，

∴b>0，

∵抛物线与y轴的交点在正半轴，

∴c>0，

∴abc<0，①错误；

∵b=-2a，

∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误；

由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误；

当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，

当x=n时，y=an²+bn+c，

a+b+c>an²+bn+c，

即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；

当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，

∵b=-2a，即a= ，

代入9a+3b+c<0得9（ ）+3b+c<0，

+c<0，

-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键．

二、填空题（本大题共8小题，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）

11.— 的绝对值是______________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【详解】解：- 的绝对值是

故答案为 ．

【点睛】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

12.分解因式： =_________________________．

【答案】 ．

【解析】

【详解】试题分析： = = ．

故答案为 ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

13.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.

【答案】六

【解析】

【分析】

设这个多边形的边数为 ，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可．

【详解】设这个多边形的边数为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：六．

【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握内角和公式和外角和公式．

14.不等式组 的解集为______________．

【答案】

【解析】

【分析】

分别解不等式即可得到不等式组的解集.

【详解】解： ，

解不等式①得： ，

解不等式②得： ，

∴原不等式组的解集为 ，

故答案为： .

【点睛】此题考查求不等式组的解集，正确解每个不等式求出不等式组的解集，熟记不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.

15.如图，直线 ∥ ， ，若 ，则 ___________度．

【答案】

【解析】

【分析】

根据平行线的性质先求解 利用 ，从而可得答案．

详解】解： ∥ ，

故答案为：

【点睛】本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键．

16.从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是 _甲 ， _乙 ，方差分别是 2甲 2乙 ，你认为应该选择的玉米种子是_________．

【答案】乙

【解析】

【分析】

通过平均数和方差的性质判断稳定性即可．

【详解】∵ _甲 ， _乙 ，

∴ _甲= _乙，

∴甲，乙的每公顷产量相同，

∵ ， ，

∴ > ，

∴乙的产量比甲的产量稳定，

故答案为：乙．

【点睛】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是解题关键．

17.在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点B在y轴的正半轴上， ．矩形 的顶点D，E，C分别在 上， ．将矩形 沿x轴向右平移，当矩形 与 重叠部分的面积为 时，则矩形 向右平移的距离为___________．

【答案】2

【解析】

【分析】

先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形 与 重叠部分的面积为 列出关系式求出 ，再利用一次函数关系式求出 =4，即可得到平移的距离.

【详解】∵ ，

∴OA=6，

在Rt△AOB中， ，

∴ ，

∴B（0， ），

∴直线AB的解析式为： ，

当x=2时，y= ，

∴E（2， ），即DE= ，

∵四边形CODE是矩形，

∴OC=DE= ，

设矩形 沿x轴向右平移后得到矩形 ， 交AB于点G，

∴ ∥OB，

∴△ ∽△AOB，

∴∠ =∠AOB=30°，

∴∠ =∠ =30°，

∴ ,

∵平移后的矩形 与 重叠部分的面积为 ，

∴五边形 的面积为 ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴矩形 向右平移的距离 = ，

故答案为：2.

【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.

18.观察下列结论：

（1）如图①，在正三角形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ， ；

（2）如图②，在正方形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ， ；

（3）如图③，在正五边形 中，点M，N是 上的点，且 ，则 ， ；……

根据以上规律，在正n边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是 上的点，且 ， 与 相交于O．也会有类似的结论．你的结论是_________________．

【答案】 ，

【解析】

【分析】

根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得出正n边形的结论．

【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AC，∠CAM=∠ABN= ，
∵在△ABN和△CAM中，

，

∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN= CM，∠BAN=∠MCA，
∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°，
故结论为：AN= CM，∠NOC=60 ；

（2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AD，∠DAM=∠ABN= ，

同理可证：Rt△ABN Rt△DAM，

∴AN= DM，∠BAN=∠ADM，
∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°，
故结论为：AN= DM，∠NOD=90 ；

（3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，

∴AB=AE，∠EAM=∠ABN= ，

同理可证得：Rt△ABN Rt△EAM，

∴AN= EM，∠BAN=∠AEM，
∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，
故结论 ：AN= EM，∠NOE=108 ；

∵正三角形的内角度数为：60°，

正方形的内角度数为：90°，

正五边形的内角度数为：108°，

∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角 ，

在正n边形 中，点M，N是 上的点，且 ， 与 相交于O，结论为： ， ．

故答案为： ， ．

【点睛】本题考查了正n边形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是发现 与 的夹角与正 边形的内角相等．

三、解答题（本大题共8小题，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）

19.计算： ．

【答案】3

【解析】

【分析】

根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算及去绝对值法则进行计算即可．

【详解】解：

＝2× +1+2－

= +1+2－

=3．

【点睛】本题考查零次幂的性质、特殊角的三角函数值，绝对值性质实数的运算，熟练掌握计算法则是正确计算的前提．

20.化简： ．

【答案】

【解析】

【分析】

先计算括号内异分母分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得.

【详解】解：原式=

=

= .

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键．

21.如图，在正方形 的外侧，作等边角形 ，连接 、 ．

（1）求证： ；

（2）求 的度数．

【答案】(1)见解析；(2)15°．

【解析】

【分析】

(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；

(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．

【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，

∵△ADE是等边三角形，

∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，

∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，

∴∠BAE=∠CDE，

在△BAE和△CDE中:

，

∴ ．

(2)∵AB=AD，且AD=AE，

∴△ABE为等腰三角形，

∴∠ABE=∠AEB，

又∠BAE=150°，

∴由三角形内角和定理可知：

∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．

故答案为：15°．

【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE是等腰三角形且∠BAE=150°是解题关键．

22.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况．现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： ， ， ， ， ）如图所示

b．七年级参赛学生成绩在 这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78 ，79

c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

年级	平均数	中位数	众数
七	76.9	m	80

d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有______人；

（2）表中m的值为__________；

（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第______名；

（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

【答案】（1）31；（2）77.5；（3）24；（4） 人

【解析】

【分析】

（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；

（2）根据中位数的定义求解可得；

（3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分在70≤x＜80这一组的数据的最后1位，据此可得到答案；

（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．

【详解】（1）成绩在70≤x＜80这一组的数据中，75分以上（含75分）的有8人，

∴在这次测试中，七年级75分以上（含75分）的有15+8+8=31(人)，
故答案为：31；

（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
∴m= =77.5，
故答案为：77.5；

（3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分在70≤x＜80这一组的数据的最后1位，

即15+8+1＝24(名)

∴在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，

故答案为：24；

（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500 (人) ．

【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．

23.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．

（1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

【答案】（1）10%；（2）26620个

【解析】

【分析】

（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．

（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．

【详解】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：

20000（1＋x）²＝24200，

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝−2.1（不合题意舍去），

∴x＝10%，

答：口罩日产量的月平均增长率为10%；

（2）依据题意可得：

24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），

答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．

【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）^年数＝增长后的量．

24.如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的切线， 交⊙O于点E．

（1）若D为 的中点，证明： 是⊙O的切线；

（2）若 ， ，求⊙O的半径 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径 的长为4

【解析】

【分析】

（1）连接AE和OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACE中求得AE的长，证得Rt△ABE Rt△CAE，利用对应边成比例即可求解．

【详解】（1）连接AE，OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AC是圆⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
在直角△AEC中，
∵D为AC的中点，
∴DE=DC=DA，

∴∠DEA=∠DAE，
∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∵∠DAE+∠OAE=90°，
∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，

∴OE⊥DE，
∴DE 是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6= ，

∴AE= ，

∴∠B+∠EAB=90°，

∵∠CAE+∠EAB=90°，

∴∠B=∠CAE，

∴Rt△ABE Rt△CAE，

∴ ，即 ，

∴ ，
∴⊙O的半径OA= ．

【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

25.问题背景：如图1，在四边形 中， ， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结论，他的结论就是_______________；

探究延伸1：如图2，在四边形 中， ， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．

探究延伸2：如图3，在四边形 中， ， ， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 、 于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．

【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．

【解析】

【分析】

延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；

探究延伸1：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；

探究延伸2：延长 到G，使 ，连接 ，先证明 ，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明 ，可得GF=EF，即可解题；

实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．

【详解】解：EF=AE+CF

理由：延长 到G，使 ，连接 ，

在△BCG和△BAE中，

，

∴ （SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE+∠CBF=60°，

∴∠CBG+∠CBF=60°，

即∠GBF=60°，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．

理由：延长 到G，使 ，连接 ，

在△BCG和△BAE中，

，

∴ （SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，

即∠GBF= ∠ABC，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．

理由：延长 到G，使 ，连接 ，

∵ ，∠BCG+∠BCD=180°，

∴∠BCG=∠BAD

在△BCG和△BAE中，

，

∴ （SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF= ∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF= ∠ABC，

即∠GBF= ∠ABC，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，

∴∠EOF= ∠AOB

∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，

∴符合探索延伸中的条件

∴结论EF= AE+CF仍然成立

即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）

答：此时两舰艇之间的距离为210海里．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

26.已知直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的一个交点为 ，点 是x轴正半轴上的动点．

（1）当直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当 时，求m的值；

（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为 ，当 的最小值多 时，求b的值．

【答案】（1）-2，2，-3， ；（2）3或7；（3）3

【解析】

【分析】

（1）由题意可知直线 经过 ，因而把 代入直线 即可求出k的值，然后把 代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E ，并代入直线 ，解方程即可求出b的值，代入即可求解；

（2）由（1）可知直线的解析式是 ，抛物线的解析式为 ，根据题意使 求出C的坐标，使 求出Q的坐标，根据已知条件作图，延长EQ交x轴于点B，因为点D在y轴上且在直线 上，所以令 时求出点D的坐标，看图可知AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为 ，是△CED以CD为底的高，因此可以求出 ，根据 求出 ，设点E和Q所在直线的解析式为 ，求出点B的坐标，设点Q和点E到x轴的距离分别为 ， 是△EMB以MB为底的高， 是△BQM以MB为底的高，再根据 求解，即可求出m的值；

（3）将点D的横坐标 代入抛物线 （b，c为常数， ），根据点A的坐标得到含b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为 ，可知点D 在第四象限，且在直线 的右侧，取点 ，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H ，在Rt△MDH中，可知 ，由题意可知点 ，用含b的代数式表示m，因 ，可得方程，求解即可得出答案．

【详解】解：（1）∵直线 经过 ，

∴把 代入直线 ，可得 ，解得 ；

∵抛物线 （b，c为常数， ）经过 ，

∴把 代入抛物线 ，可得 ，

∵当直线 与抛物线 （b，c为常数， ）的另一个交点为该抛物线的顶点E，

∴顶点 的坐标为 ，把 代入直线 ，

可得 ，

∴ ，解得 ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴顶点 的坐标为 ．

（2）由（1）可知直线的解析式是 ，抛物线的解析式为 ，

∵抛物线与y轴的交点为C，

∴令 ，C的坐标为 ，

∵点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，

由（1）可知 ，∴ ，

∴Q的坐标为 ．

延长EQ交x轴于点B，如图1所示，

∵D在y轴上，且在直线 上，

∴当 时，点D的坐标为 ，

∵AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为 ，是△CED以CD为底的高，

∴ ，

∴ ．

设点E和Q所在直线的解析式为 ，

把点E 和点Q 代入，解得： ，∴该直线的解析式为 ，

令 ，求得点B的坐标为 ．

设点Q和点E到x轴的距离分别为 ， 是△EMB以MB为底的高， 是△BQM以MB为底的高，

∴ ，

解得： 或7，．

（3）∵点D在抛物线 （b，c为常数， ）上，且点D的横坐标为 ，

∴ ，

∵ 在抛物线 （b，c为常数， ）上，

∴ ，即 ，

∴ ，

可知点D 在第四象限，且在直线 的右侧．

∵ ，

∴可取点 ，

如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，

∴ ，得 ，

则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H ，

在Rt△MDH中，可知 ，

∴ ，

∵点 ，

∴ ，解得： ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．