【330318】2020年湖南省邵阳市中考数学试题

湖南省邵阳市2020年中考数学试题

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.2020的倒数是（　）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据倒数的定义解答.

【详解】2020的倒数是 ，

故选：C.

【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键.

2.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是(　　)

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．

【详解】A、球的三视图都是圆，故本选项正确；

B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误；

C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误；

D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误．

故选A．

【点睛】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．

3.2020年6月23日，中国第55颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（ ）

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

【答案】D

【解析】

【分析】

根据科学计数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数，即可做出选择．

【详解】解：根据科学计数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数，则3450亿=345000000000=3.45×10¹¹元．

故选：D

【点睛】本题主要考查利用科学计数法表示较大的数的方法，掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关键，这里还需要注意n的取值．

4.设方程 的两根分别是 ，则 的值为（ ）

A. 3 B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．

【详解】由 可知，其二次项系数 ，一次项系数 ，

由韦达定理： ，

故选：A．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．

5.已知正比例函数 的图象过点 ，把正比例函数 的图象平移，使它过点 ，则平移后的函数图象大致是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点 求出一次函数解析式，即可求解．

【详解】解：把点 代入 得

解得 ，

∴正比例函数解析式为 ，

设正比例函数平移后函数解析式为 ，

把点 代入 得 ，

∴ ，

∴平移后函数解析式为 ，

故函数图象大致 ．

故选：D

【点睛】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．

6.下列计算正确的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．

【详解】解：A. ，故A选项错误；

B. ，故B选项错误；

C. ，故C选项错误；

D. ，故D选项正确．

故答案为D．

【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．

7.如图，四边形 是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得 ，下列不正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠BDC，

∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

A.若添加 ，则无法证明 ，故A错误；

B.若添加 ，运用AAS可以证明 ，故选项B正确；

C.若添加 ，运用ASA可以证明 ，故选项C正确；

D.若添加 ，运用SAS可以证明 ，故选项D正确．

故选：A．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

8.已知 ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据 ，得出 ，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．

【详解】∵

∴

选项Ａ： 在第一象限

选项Ｂ： 在第二象限

选项Ｃ： 在第三象限

选项Ｄ： 在第四象限

小手盖住的点位于第二象限

故选：B

【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行 正负的判断是解题的关键．

9.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．

【详解】假设不规则图案面积为x，

由已知得：长方形面积为20，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，

当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，

综上有： ，解得 ．

故选：B．

【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．

10.将一张矩形纸片 按如图所示操作：

（1）将 沿 向内折叠，使点A落在点 处，

（2）将 沿 向内继续折叠，使点P落在点 处，折痕与边 交于点M．

若 ，则 的大小是（ ）

A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 115°

【答案】C

【解析】

【分析】

由折叠前后对应角相等且 可先求出 ，进一步求出 ，再由折叠可求出 ，最后在 中由三角形内角和定理即可求解．

【详解】解：∵折叠，且 ，

∴ ，即 ，

∵折叠，

∴ ，

∴在 中， ，

故选：C．

【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）

11.因式分解： =______．

【答案】2（x+3）（x﹣3）．

【解析】

试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x²-9）=2（x+3）（x-3）.

考点：因式分解.

12.如图，已知点A在反比例函数 的图象上，过点A作 轴于点B， 的面积是2．则k的值是_________．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据△OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．

【详解】解：设点A的坐标为( )， ，

由题意可知： ，

∴ ，

又点A在反比例函数图像上，

故有 ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．

13.据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：

甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；

乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．

从接受“送教上门”的时间波动大小来看，___________学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）

【答案】甲

【解析】

【分析】

先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．

【详解】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： ，

乙的“送教上门”时间的平均数为： ，

甲的方差： ，

乙的方差： ，

，

所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．

故答案为：甲．

【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键．

14.如图，线段 ，用尺规作图法按如下步骤作图．

（1）过点B作 的垂线，并在垂线上取 ；

（2）连接 ，以点C为圆心， 为半径画弧，交 于点E；

（3）以点A为圆心， 为半径画弧，交 于点D．即点D为线段 的黄金分割点．

则线段 的长度约为___________ （结果保留两位小数，参考数据： ）

【答案】6.18

【解析】

【分析】

根据作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD,

根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．

【详解】解：由作图得△ABC为直角三角形， ，AE=AD,

∴ cm，

∴ cm，

∴ cm．

故答案为：6.18

【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．

15.在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．

	2
1		6
	3

【答案】

【解析】

【分析】

先将表格中最上一行的3个数相乘得到 ，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是 ，即可求解．

【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为： ，

设第二行中间数为x，则 ，解得 ，

设第三行第一个数为y，则 ，解得 ，

∴2个空格的实数之积为 ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．

16.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．

【答案】x(x+12)=864

【解析】

【分析】

本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．

【详解】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，

故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，

故答案：x(x+12)=864．

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．

17.如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为 的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长 为____________．

【答案】13.

【解析】

【分析】

由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．

【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=

∴OB= ，

Rt△AOB中，AB= ，

所以，该圆锥的母线长 为13.

故答案为：13．

【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式．

18.如图，在 中， ，斜边 ，过点C作 ，以 为边作菱形 ，若 ，则 的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】

如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．

【详解】

如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，

∵根据题意四边形ABEF为菱形，

∴AB=BE= ，

又∵∠ABE=30°

∴在RT△BHE中，EH= ，

根据题意，AB∥CF，

根据平行线间的距离处处相等，

∴HE=CG= ，

∴ 的面积为 ．

【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．

三、解答题（本大题有8个小题，第19~25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）

19.计算： ．

【答案】2

【解析】

【分析】

分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可．

【详解】解：原式＝

＝

＝2

【点睛】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．

20.已知： ，

（1）求m，n的值；

（2）先化简，再求值： ．

【答案】（1） ；（2） ，0

【解析】

【分析】

（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值；

（2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解．

【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0，

解得： ，

（2）原式= = ，

当 ，原式= ．

【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．

21.如图，在等腰 中， ，点D是 上一点，以 为直径的 过点A，连接 ， ．

（1）求证： 是 的切线；

（2）若 ，求 的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）试题错误．

【解析】

【分析】

（1）连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合 ，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明；

（2）试题错误．

【详解】（1）证明：如图：连接OA

∵OA=OB

∴∠OBA=∠OAB

∵AB=AC

∴∠OBA=∠C

∴∠OAB=∠C

∵

∴∠OAB=∠CAD

∵BD是直径

∴∠BAD=90°

∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90°

∴ 是 的切线；

（2）试题错误．

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC=90°是解答本题的关键．

22.2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示， 表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔 分别为 ， ， ．若管道 与水平线 的夹角为30°，管道 与水平线 夹角为45°，求管道 和 的总长度（结果保留根号）．

【答案】 ．

【解析】

【分析】

先根据题意得到BO，CB₂ 长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB₂中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．

【详解】解：根据题意知，四边形 和四边形 均为矩形，

， ，

， ，

在 中， ， ， ，

；

在 中， ， ， ，

，

，

即管道AB和BC的总长度为： ．

【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．

23.“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动， 了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

XX学校“停课不停学”网络学习时间 调查表 亲爱的同学，你好！ 为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后的空格内打“√”． 平均每天利用网络学习时间问卷调查表 选项 学习时间（小时） A B C D

（1）本次接受问卷调查的学生共有___________人；

（2）请补全图①中的条形统计图；

（3）图②中，D选项所对应的扇形圆心角为_________度；

（4）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有多少人？

【答案】（1）100 （2）见详解 （3）18 ^o （4）600

【解析】

【分析】

根据扇形图和条形图A选项的联系可以算出来总人数，进而求出B选项的人数，D选项圆心角和1500人中C选项的人数．

【详解】（1）15÷15%=100（人）

（2）如图选B的人数：100-40-15-5=40（人）

（3）360 ^o × =18 ^o

（4）1500 × =600（人）

【点睛】本题主要考察了，条形统计图，扇形统计图等知识点，准确的找出它们的联系是解题关键．

24.2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．

（1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？

（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？

【答案】（1）A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；（2）丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．

【解析】

【分析】

（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可；

（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可．

【详解】解：（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元

由题意得： ，解得

答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；

（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台

有题意得 ，解得：

∴a可以取72、73、74、75

∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．

【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．

25.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板 与正方形 的一角重合，连接 ，点M是 的中点，连接 ．

（1）请你猜想 与 的数量关系是__________．

（2）如图②，把正方形 绕着点D顺时针旋转 角（ ）．

① 与 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长 到点N，使 ，连接 ）

②求证： ；

③若旋转角 ，且 ，求 的值．（可不写过程，直接写出结果）

【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由见解析②见解析③

【解析】

【分析】

（1）根据题意合理猜想即可；

（2）①延长 到点N，使 ，连接 ，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；

②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；

③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．

【详解】（1）猜想 与 的数量关系是AF=2DM，

故答案为：AF=2DM；

（2）①AF=2DM仍然成立，

理由如下：延长 到点N，使 ，连接 ，

∵M是CE中点，

∴CM=EM

又∠CMN=∠EMD，

∴△MNC≌△MDE

∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE

∴CN∥DE，

又AD∥BC

∴∠NCB=∠EDA

∴△ADF≌△DCN

∴AF=DN

∴AF=2DM

②∵△ADF≌△DCN

∴∠NDC=∠FAD，

∵∠CDA=90°，

∴∠NDC+∠NDA=90°

∴∠FAD+∠NDA=90°

∴AF⊥DM

③∵ ，

∴∠EDC=90°-45°=45°

∵ ，

∴∠EDM= ∠EDC=30°，

∴∠AFD=30°

过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG=90°-45°=45°

∴△ADG是等腰直角三角形，

设AG=k,则DG=k，AD=AG÷sin45°= k，

FG=AG÷tan30°= k，

∴FD=ED= k-k

故 = ．

【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．

26.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 与x轴、y轴的交点分别为 ，抛物线 过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 方向运动，到达C点后，立即返回，向 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；

（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 ，求 的最小值．

【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ；（4） ．

【解析】

【分析】

（1）将 代入 计算即可；

（2）作 于点E，证明 ，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；

（3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为 和 两种情况讨论；当点M在BC上时，分为 和 两种情况讨论；

（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得 的最小值；连接BQ减去 可得 的最小值，综上可得 的最小值．

【详解】（1）将 代入 得

，解得

∴抛物线的解析式为：

（2）作 于点E

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

（3）若点M在DA上运动时，

当 ，则 ，即 不成立，舍去

当 ，则 ，即 ，解得：

若点M在BC上运动时，

当 ，则 ，即

∴

当 时，

∴ ，解得 （舍去）

当 时，

∴ ，无解；

当 ，则 ，即

∴

当 时，

∴ ，解得 （舍去）

当 时，

∴ ，解得

综上所示：当 时， ； 时

（4）作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N

∵点D ，

∴点

由 得对称轴为

∴点

∴

∴

故 最小值为 ．

【点睛】本题考查了二次函数与几何图形 综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．