【330315】2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

湖南省衡阳市2020年中考数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.－3相反数是（ ）

A. 3 B. －3 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相反数的定义可得答案．

【详解】解： 的相反数是

故选A．

【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

2.下列各式中，计算正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可

【详解】A． 和 不是同类项，不能合并，此选项错误；

B． 和 不是同类项，不能合并，此选项错误；

C． ，此选项错误；

D． ，此选项正确，

故选：D．

【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键．

3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】1.2亿=120000000=1.2×10⁸．
故选：A．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.下列各式中正确的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．

【详解】解：A. ，故A 选项错误；

B. ，故B 选项错误；

C. ，故B 选项错误；

D. ，故D 选项正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键．

5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6.要使分式 有意义，则 的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分式有意义 条件即可解答．

【详解】根据题意可知， ，即 ．

故选：B．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．

7.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）

A. AB∥DC,AB=DC B. AB=DC,AD=BC

C. AB∥DC,AD=BC D. OA=OC,OB=OD

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.

【详解】A. ∵ AB∥DC,AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形；

B. ∵ AB=DC,AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；

C.等腰梯形ABCD满足 AB∥DC,AD=BC，但四边形ABCD是平行四边形；

D. OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；

故选C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形 判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

8.下列不是三棱柱展开图的是（　　）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．

【详解】解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．

故选C．

【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．

9.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断．

【详解】解： ，

解①得：x≤1，

解②得：x＞-2，

则不等式组的解集是：−2＜x≤1．

在数轴上表示为：

故选：C．

【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集，分别求出每个不等式的解，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”找出解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

10.反比例函数 经过点 ，则下列说法错误的是（ ）

A. B. 函数图象分布在第一、三象限

C. 当 时， 随 的增大而增大 D. 当 时， 随 的增大而减小

【答案】C

【解析】

【分析】

将点（2,1）代入 中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．

【详解】将点（2,1）代入 中，解得：k=2，

A．k=2，此说法正确，不符合题意；

B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；

C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；

D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．

11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根据题意，列方程为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．

【详解】解：如图，设小道的宽为 ，

则种植部分的长为 ，宽为

由题意得： ．

故选C．

【点睛】考查一元二次方程 应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．

12.如图1，在平面直角坐标系中， 在第一象限，且 轴．直线 从原点 出发沿 轴正方向平移．在平移过程中，直线被 截得的线段长度 与直线在 轴上平移的距离 的函数图象如图2所示．那么 的面积为（ ）

A. 3 B. C. 6 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．

【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A

当移动距离是6时，直线经过B

当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3

如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，

∵移动直线为y=x

∴∠NDM=45°

∴DM=cos∠NDM·ND=

∴ 的面积为AD×DM=3× =3 ．

故答案为B．

【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD 长是解答本题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）

13.因式分解： __________．

【答案】a(a+1)

【解析】

【分析】

提取a即可因式分解.

【详解】 a(a+1)

故填：a(a+1).

【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解.

14.计算： _________．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据分式的四则混合运算法则计算即可．

【详解】解： ．

故答案为1．

【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键．

15.已知一个 边形的每一个外角都为30°，则 等于_________．

【答案】12

【解析】

【分析】

根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可．

【详解】解：360°÷30°=12．

故答案为12．

【点睛】本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．

16.一副三角板如图摆放，且 ，则∠1的度数为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解 ,再利用三角形的外角的性质可得答案．

【详解】解：如图，把顶点标注字母，

故答案为：

【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．

17.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名．

【答案】23

【解析】

【分析】

关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．

【详解】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组

．

解得，

所以，男生有29人，女生有23人，
故答案为：23．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．

18.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 绕点 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 、 ，……， （ 为正整数），则点 的坐标是_________．

【答案】（0，-2²⁰¹⁹）

【解析】

【分析】

根据题意得出OP₁=1，OP₂=2，OP₃=4，如此下去，得到线段OP₃=4=2²，OP₄=8=2³…，OP_n=2^n-1，再利用旋转角度得出点P₂₀₂₀的坐标与点P₄的坐标在同一直线上，进而得出答案．

【详解】解：∵点P₁的坐标为 ，将线段OP₁绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₁；

∴OP₁=1，OP₂=2，

∴OP₃=4，如此下去，得到线段OP₄=2³，OP₅=2⁴…，

∴OP_n=2^n-1，

由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，

∵2020÷8=252…4，

∴点P₂₀₂₀的坐标与点P₄的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，

∴点P₂₀₂₀的坐标是（0，-2²⁰¹⁹）．

故答案为：（0，-2²⁰¹⁹）．

【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P₂₀₁₄的坐标与点P₆的坐标在同一直线上是解题关键．

三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19.化简： ．

【答案】

【解析】

【分析】

根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．

【详解】解：

=

= ．

【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．

20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为 ．

（1）求 的值；

（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．

【答案】（1）1；（2） ．

【解析】

【分析】

（1）根据概率公式列方程求解即可；

（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．

【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1；

（2）根据题意画出树状图如下：

所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率 ．

【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．

21.如图，在 中， ，过 的中点 作 ， ，垂足分别为点 、 ．

（1）求证： ；

（2）若 ，求 的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2） =80°

【解析】

【分析】

（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明 ，根据全等三角形的性质即可证明；

（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．

【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，

∴BD=CD，

∵ ， ，

∴∠DEB=∠DFC=90°

在△BDE和△CDF中，

∴ ，

∴ ．

（2）∵

∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，

∴∠C=50°，

在△ABC中， =180°-（∠B+∠C）=80°，

故 =80°．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．

22.病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组： ， ， ， ， ， ．）

根据以上信息回答问题：

（1）补全频数分布直方图．

（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．

据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：

市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；

市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；

市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．

（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）

【答案】（1）补图见解析；（2） ；（3）1.2万人．

【解析】

【分析】

（1）根据总数等于各组频数之和即可求出“ ”组得频数，进而补全频数分布直方图；

（2）由频数直方图可得“ ”的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；

（3）根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人．

【详解】解：（1）“ ”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4，

补全频数分布直方图如图．

（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“ ”之间的有3个，

所占百分比为： ，

故其所占圆心角度数= ．

（3）支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有 （万人），

故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人．

【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．

23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 与底板的边缘线 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点 、 、 在同一直线上， ， ， ．

（1）求 的长；

（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 与水平线的夹角仍保持120°，求点 到 的距离．（结果保留根号）

【答案】（1）12cm；（2）点 到 的距离为（12+12 ）cm．

【解析】

【分析】

（1）在Rt△AOC中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；

（2）过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点 到 的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED为矩形，根据B′E=B′D+DE求解即可．

【详解】解：（1）∵ ， ，

∴ ．

即OC的长度为12cm．

（2）如图，过点O作OM∥AC，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，交OM于点D，B′E即为点 到 的距离，

∵OM∥AC，B′E⊥AC，

∴B′E⊥OD，

∵MN∥AC，

∴∠NOA=∠OAC=30°，

∵∠AOB=120°，

∴∠NOB=90°，

∵∠NOB′=120°，

∴∠BOB′=120°-90°=30°，

∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE，

∴BC∥B′E，四边形OCED为矩形，

∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm，

在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm，

∴

B′D= ，

B′E=B′D+DE= ，

答：点 到 的距离为 ．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24.如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，过点 和点 的圆，圆心 在线段 上， 交 于点 ，交 于点 ．

（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；

（2）若 ， ，求 的长．

【答案】（1） 与 相切．证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的定义证明 结合等腰三角形的性质证明 从而证明 结合 可得答案；

（2）连接 ，先利用勾股定理求解 的长，再证明 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．

【详解】解：（1） 与 相切．

理由如下：

如图，连接 ，

平分 ，

在 上，

是 的切线．

（2）连接

为 的直径，

， ，

解得：

所以： 的长为：

【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．

25.在平面直角坐标系 中，关于 的二次函数 的图象过点 ， ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 时， 的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 的图象与二次函数 的图象交点的横坐标分别是 和 ，且 ，求 的取值范围．

【答案】（1） ；（2） ；（3） ．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法将点 ， 代入解析式中解方程组即可；

（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴 ，从而知在 中，当x=-2时，y有最大值，当 时，y有最小值，求之相减即可；

（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出 >0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据 ，整理得出m的取值范围．

【详解】解：（1）∵ 的图象过点 ， ，

∴

解得

∴

（2）由（1）得，二次函数对称轴为

∴当 时，y的最大值为(-2)²-(-2)-2=4,

y的最小值为

∴ 的最大值与最小值的差为 ；

（3）由题意及（1）得

整理得

即

∵一次函数 图象与二次函数 的图象交点的横坐标分别是 和 ，

∴

化简得

即

解得m≠5

∴a，b为方程 的两个解

又∵

∴a=-1，b=4-m

即4-m>3

∴m<1

综上所述，m的取值范围为 ．

【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．

26.如图1，平面直角坐标系 中，等腰 的底边 在 轴上， ，顶点 在 的正半轴上， ，一动点 从 出发，以每秒1个单位的速度沿 向左运动，到达 的中点停止．另一动点 从点 出发，以相同的速度沿 向左运动，到达点 停止．已知点 、 同时出发，以 为边作正方形 ，使正方形 和 在 的同侧．设运动的时间为 秒（ ）．

（1）当点 落在 边上时，求 的值；

（2）设正方形 与 重叠面积为 ，请问是存在 值，使得 ？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 的中点 ，连结 ，当点 、 开始运动时，点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 运动，到达点 停止运动．请问在点 的整个运动过程中，点 可能在正方形 内（含边界）吗？如果可能，求出点 在正方形 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

【答案】（1）t=1；（2）存在， ，理由见解析；（3）可能， ≤t≤1或t=4，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；

（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为 ，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为 ﹤ ，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；

（3）由已知求得点D（2，1），AC= ，OD=OC=OA= ,再求出OC解析式，结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．

【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，

设直线AC的函数解析式为y=kx+b，

将点A、C坐标代入，得：

，解得： ，

∴直线AC的函数解析式为 ，

当点 落在 边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），

将点H代入 ，得：

，解得：t=1；

（2）存在， ，使得 ．

根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为 ，故t﹥4，

设直线AB的函数解析式为y=mx+n，

将点A、B坐标代入，得：

，解得： ，

∴直线AC的函数解析式为 ，

当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，

当点H落在AB边上时，将点H代入 ，得：

，解得： ；

此时重叠的面积为 ，

∵ ﹤ ，∴ ﹤t﹤5，

如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,

将y=t-3代入 得： ，

解得：x=2t-10，

∴点S(2t-10，t-3)，

将x=3-t代入 得： ，

∴点T ，

∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET= ，

,

所以重叠面积S= =4- - = ，

由 = 得： ， ﹥5(舍去)，

∴ ；

（3）可能， ≤t≤1或t=4．

∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，

∴点D（2，1），AC= ，OD=OC=OA= ,

易求得OD的解析式为 ，

当0﹤t﹤1时，如图2，设点M为EH与OD的交点，由题意，OM= ，

将x=3-t代入 中得： ，

∴OE=3-t，EM= ，

由勾股定理得： 即 ，

解得： ，

当t=1时，由（1）知，点M与点H都运动到D点处，符合题意；

∴当 ≤t≤1时，点 可能在正方形 内（含边界），

,当1﹤t﹤4时，点 不可能在正方形 内（含边界），

当t=4时，点M运动返回到点O处，此时点F也运动到点O处，符合题意，

综上，当 ≤t≤1或t=4时，点 可能在正方形 内（含边界）．

【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．