【330307】2020年湖北省十堰市中考数学试题

2020年十堰市初中毕业生学业水平考试

数学试题

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．

1. 的倒数是（ ）

A. 4 B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据倒数的概念进行求解即可．

【详解】
的倒数是4

故选：A

【点睛】本题考查了倒数的概念，熟知两个数互为倒数，其积为1是解题的关键．

2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）

A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 四棱柱

【答案】B

【解析】

【详解】解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形），俯视图是圆，

故选：B．

【点睛】本题考查三视图．

3.如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若 ，则 （ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角的和差关系求解即可．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

故选：C．

【点睛】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键．

4.下列计算正确的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据整式的混合运算法则即可求解．

【详解】A. 不能计算，故错误；

B. ，故错误；

C. ，故错误；

D. ，正确，

故选D．

【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．

5.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：

鞋的尺码/	22	22.5	23	23.5	24	24.5	25
销售量双	1	2	5	11	7	3	1

若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ）

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．

【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，

又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，

所以该店主最应关注的销售数据是众数．

故选：C．

【点睛】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．

6.已知 中，下列条件：① ；② ；③ ；④ 平分 ，其中能说明 是矩形的是（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据矩形的判定进行分析即可．

【详解】A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；

B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；

C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；

D. 平分 ，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．

故选：B．

【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．

7.某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ）

A. B.

C D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．

【详解】由题知：

故选：A．

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．

8.如图，点 在 上， ，垂足为E．若 ， ，则 （ ）

A. 2 B. 4 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

连接OC，根据圆周角定理求得 ，在 中可得 ，可得OC的长度，故CE长度可求得，即可求解．

【详解】解：连接OC，

∵ ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

∴

∵ ，

∴ ，

∴

∵ ，垂足 E，

∴ ，

故选：D．

【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键．

9.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则 （ ）

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】

观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得 为正整数即成立，否则舍去．

【详解】根据图形规律可得：

上三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 不为正整数，舍去；

下左三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 不为正整数，舍去；

下中三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 不为正整数，舍去；

下右三角形的数据的规律为： ，若 ，解得 ，或 ，舍去

故选：B．

【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．

10.如图，菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，若 ，则 （ ）

A. B. 3 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

据对称性可知，反比例函数 ， 的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．证明 ，利用相似三角形的性质可得答案．

【详解】解：根据对称性可知，反比例函数 ， 的图象是中心对称图形，

菱形是中心对称图形，

∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，

如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．

∵DO⊥OC，

∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，

∴∠COM=∠ODN，

∵∠CMO=∠DNO=90°，

∴ ，

菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O, ,

故选B．

【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知 ，则 ______．

【答案】7

【解析】

【分析】

由 可得到 ，然后整体代入 计算即可．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：7．

【点睛】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键．

12.如图，在 中， 是 的垂直平分线．若 ， 的周长为13，则 的周长为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由线段的垂直平分线的性质可得 ，从而可得答案．

【详解】解： 是 的垂直平分线． ，

的周长

故答案为：

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．

13.某校即将举行30周年校庆，拟定了 四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．若该校有学生3000人，请根据以上统计结果估计该校学生赞成方案B的人数为______．

【答案】1800

【解析】

【分析】

根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的 ，可得出样本容量，即可得到赞成方案B的人数占比，用样本估计总体即可求解．

【详解】解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C方案的有44人，占样本的 ，

∴样本容量为： （人），

∴赞成方案B的人数占比为： ，

∴该校学生赞成方案B的人数为： （人），

故答案为：1800．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

14.对于实数 ，定义运算 ．若 ，则 _____．

【答案】

【解析】

【分析】

根据给出的新定义分别求出 与 的值，根据 得出关于a的一元一次方程，求解即可．

【详解】解：∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，解得 ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．

15.如图，圆心角为 的扇形 内，以 为直径作半圆，连接 ．若阴影部分的面积为 ，则 ______．

【答案】2

【解析】

【分析】

本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．

【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S₁，S₂；两块空白分别为S₃，S₄，连接DC，如下图所示：

由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S₁+ S₂=π-1，

∵BC为直径，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

故CD=DB=DA，

∴D点为 中点，由对称性可知 与弦CD围成的面积与S₃相等．

设AC=BC=x，

则 ，

其中 ， ，

故： ，

求解得： （舍去）

故答案：2．

【点睛】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解．

16.如图，D是等边三角形 外一点．若 ，连接 ，则 的最大值与最小值的差为_____．

【答案】12

【解析】

【分析】

以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．

【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，

∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6<BE<8+6，
∴2<BE<14，
∴2<AD<14．
∴则 的最大值与最小值的差为12．

故答案为：12

【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．

三、解答题（本题有9个小题，共72分）

17.计算： ．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂分别计算出每一项，再计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．

18.先化简，再求值： ，其中 ．

【答案】 ， ．

【解析】

【分析】

利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成 ，再将a、b 值代入化简后的分式中即可得出结论．

详解】解：原式

，

当 时，原式 ．

【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．

19.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 一般要满足 ，现有一架长为 的梯子，当梯子底端离墙面 时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据： ， ）？

【答案】当梯子底端离墙面 时，此时人能够安全使用这架梯子．

【解析】

【分析】

分别求出当 时和当 时梯子底端与墙面的距离AC的长度，再进行判断即可．

【详解】解：当 时， ，解得 ；

当 时， ，解得 ；

所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在 之间，故当梯子底端离墙面 时，此时人能够安全使用这架梯子．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，求出人能够安全使用这架梯子时，梯子底端与墙面的安全距离的范围是解题的关键．

20.某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同．

（1）小文诵读《长征》的概率是_____；

（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率．

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据概率公式即可求解；

（2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解．

【详解】（1）P（小文诵读《长征》）= ；

故答案为： ；

（2）依题意画出树状图如下：

故P（小文和小明诵读同一种读本）= ．

【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图．

21.已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ．

（1）求k的取值范围；

（2）若 ，求k的值．

【答案】(1) ；(2)

【解析】

【分析】

(1)根据 建立不等式即可求解；

(2)先提取公因式对等式变形为 ，再结合韦达定理求解即可．

【详解】解：(1)由题意可知， ，

整理得： ，

解得： ，

∴ 的取值范围是： ．

故答案为： ．

(2)由题意得： ，

由韦达定理可知： ， ，

故有： ，

整理得： ，

解得： ，

又由(1)中可知 ，

∴ 的值为 ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当 ＜0时，方程没有实数根．

22.如图， 为半圆O的直径，C为半圆O上一点， 与过点C的切线垂直，垂足为D， 交半圆O于点E．

（1）求证： 平分 ；

（2）若 ，试判断以 为顶点的四边形的形状，并说明理由．

【答案】(1)见解析；(2)菱形，证明过程见解析

【解析】

【分析】

(1)连接OC，由切线的性质可知∠COD=∠D=180°，进而得到OC∥AD，得到∠DAC=∠ACO，再由OC=OA得到∠ACO=∠OAC，进而得到∠DAC=∠OAC即可证明；

(2) 连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，先证明∠DCE=∠CAE，进而得到△DCE∽△DAC，再由AE=2DE结合三角函数求出∠EAC=30°，最后证明△EAO和△ECO均为等边三角形即可求解．

【详解】解：(1)证明：连接OC，如下图所示：

∵CD为圆O的切线，∴∠OCD=90°，

∴∠D+∠OCD=180°，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠ACO，

又OC=OA，

∴∠ACO=∠OAC，

∴∠DAC=∠OAC，

∴ AC平分∠DAB．

(2) 四边形EAOC为菱形，理由如下：

连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示，

由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC=180°，

又∠AEC+∠DEC=180°，

∴∠DEC=∠B，

又∠B+∠CAB=90°，

∠DEC+∠DCE=90°，

∴∠CAB=∠DCE，

又∠CAB=∠CAE，

∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D，

∴△DCE∽△DAC，

设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x，

∴ ，∴ ，

∴ ，

在Rt△ACD中， ，

∴∠DAC=30°，

∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE，

∴△OAE为等边三角形，

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC=2∠EAC=60°，

∴△EOC为等边三角形，

∴EA=AO=OE=EC=CO，

即EA=AO=OC=CE，

∴四边形EAOC为菱形．

【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角函数、菱形的判定等知识点，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决本题的关键．

23.某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元台），m与x的关系如图所示．

（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函数关系式为______，x的取值范围为______；

（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？

（3）求当天销售利润低于10800元的天数．

【答案】（1） ；

（2）第6天时，该企业利润最大，为12800元.

（3）7天

【解析】

【分析】

（1）根据题意确定一次函数的解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义；

（2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可；

（3）根据（2）中的函数解析式列出不等式方程即可解答．

【详解】（1）根据题意，得y与x的解析式为： （ ）

（2）设当天的当天的销售利润为w元，则根据题意，得
当1≤x≤6时，
w=（1200-800）（2x+20）=800x+8000，
∵800＞0，∴w随x的增大而增大，
∴当x=6时，w_最大值=800×6+8000=12800．
当6＜x≤12时，

易得m与x的关系式：m=50x+500
w=[1200-（50x+500）]×（2x+20）
=-100x²+400x+14000=-100（x-2）²+14400．
∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，
∴当x=7时，w有最大值，为11900元，

∵12800＞11900，
∴当x=6时，w最大，且w_最大值=12800元，
答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．

（3）由（2）可得，

1≤x≤6时，

解得：x＜3.5

则第1-3天当天利润低于10800元，

当6＜x≤12时，

解得x＜-4（舍去）或x＞8

则第9-12天当天利润低于10800元，

故当天销售利润低于10800元的天数有7天．

【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数 应用，解题关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并分类讨论．

24.如图1，已知 ， ，点D在 上，连接 并延长交 于点F．

（1）猜想：线段 与 的数量关系为_____；

（2）探究：若将图1的 绕点B顺时针方向旋转，当 小于 时，得到图2，连接 并延长交 于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展：图1中，过点E作 ，垂足为点G．当 的大小发生变化，其它条件不变时，若 ， ，直接写出 的长．

【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12

【解析】

【分析】

(1) 延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF △EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；

(2)证明原理同(1)，延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF △EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；

(3)补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．

【详解】解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示

∵ ，

∴DE=AC，BD=BC，

∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，

∴∠ADF=∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∵∠EDB=90°，

∴∠ADF+∠FDE=90°，

∴∠ACD=∠FDE，

又延长DF使得FG=DC，

∴FG+DF=DC+DF，

∴DG=CF，

在△ACF和△EDG中，

，

∴△ACF △EDG(SAS)，

∴GE=AF，∠G=∠AFC，

又∠AFC=∠GFE，

∴∠G=∠GFE

∴GE=EF

∴AF=EF，

故AF与EF的数量关系为：AF=EF.

故答案为：AF=EF；

(2)仍旧成立，理由如下：

延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示

设BD延长线DM交AE于M点，

∵ ，

∴DE=AC，BD=BC，

∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，

∴∠MDF=∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，

∵∠EDB=90°，

∴∠MDF+∠FDE=90°，

∴∠ACD=∠FDE，

又延长DF使得FG=DC，

∴FG+DF=DC+DF，

∴DG=CF，

在△ACF和△EDG中，

，

∴△ACF △EDG(SAS)，

∴GE=AF，∠G=∠AFC，

又∠AFC=∠GFE，

∴∠G=∠GFE

∴GE=EF，

∴AF=EF，

故AF与EF的数量关系为：AF=EF.

故答案为：AF=EF；

(3)如下图所示：

∵BA=BE，

∴∠BAE=∠BEA，

∵∠BAE=∠EBG,

∴∠BEA=∠EBG，

∴AE CG，

∴∠AEG+∠G=180°，

∴∠AEG=90°，

∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，

∴四边形AEGC为矩形，

∴AC=EG，且AB=BE，

∴Rt△ACB Rt△EGB(HL)，

∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，

又∵ED=AC=EG，且EB=EB，

∴Rt△EDB Rt△EGB(HL)，

∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，

∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，

∴∠BAC=30°，

∴在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：

．

故答案为： ．

【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF到G点并使FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线．

25.已知抛物线 过点 和 ，与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图1，E为线段 上方的抛物线上一点， ，垂足为F， 轴，垂足为M，交 于点G．当 时，求 的面积；

（3）如图2， 与 的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使 ？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1） ， ；（2） ；（3）存在， ,

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；

（2）先求出BC的解析式 ，再设直线EF的解析式为 ,设点E的坐标为 ，联立方程求出点F，G的坐标，根据 列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；

（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到 ，设点 ，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明 ，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．

【详解】（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入 中，

，

解得 ，

，

当 时，y=4，

（2）

令 或x=3

设BC的解析式为

将点 代入，得

，

解得 ，

设直线EF的解析式为 ,设点E的坐标为 ，

将点E坐标代入 中，得 ，

把x=m代入

即

解得m=2或m=-3

∵点E是BC上方抛物线上的点

∴m=-3舍去

∴点

（3）过点A作AN⊥HB，

∵点

∵点 ，点

设 ，把（-1，0）代入，得b=

设点

过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR

且点S的坐标为

若

在 和 中，

或

【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．