2020年贵州省贵阳市中考数学试卷
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分．
1．（3分）计算
的结果是
A．
B．
C．1 D．6
2．（3分）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是
A．
B．
C．
D．
3．（3分）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是
A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量
4．（3分）如图，直线
，
相交于点
，如果
，那么
是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）当
时，下列分式没有意义的是
A．
B．
C．
D．
6．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是
A．
B．
C．
D．
7．（3分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是
A．5 B．20 C．24 D．32
8．（3分）已知
，下列式子不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图，
中，
，利用尺规在
，
上分别截取
，
，使
；分别以
，
为圆心、以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点
；作射线
交
于点
．若
，
为
上一动点，则
的最小值为
A．无法确定 B．
C．1 D．2
10．（3分）已知二次函数
的图象经过
与
两点，关于
的方程
有两个根，其中一个根是3．则关于
的方程
有两个整数根，这两个整数根是
A．
或0 B．
或2 C．
或3 D．
或4
二、填空题：每小题4分，共20分．
11．（4分）化简
的结果是 ．
12．（4分）如图，点
是反比例函数
图象上任意一点，过点
分别作
轴，
轴的垂线，垂足为
，
，则四边形
的面积为 ．
13．（4分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ．
14．（4分）如图，
是
的内接正三角形，点
是圆心，点
，
分别在边
，
上，若
，则
的度数是 度．
15．（4分）如图，
中，点
在边
上，
，
，
垂直于
的延长线于点
，
，
，则边
的长为 ．
三、解答题：本大题10小题，共100分．
16．（8分）如图，在
的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
17．（10分）2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
时间 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
4 |
人数 |
2 |
6 |
6 |
10 |
|
4 |
人
（1）本次共调查的学生人数为 ，在表格中，
；
（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是 ，众数是 ；
（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．
18．（10分）如图，四边形
是矩形，
是
边上一点，点
在
的延长线上，且
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）连接
，若
，
，
，求四边形
的面积．
19．（10分）如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数
的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数
图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点
，且与反比例函数
的图象没有公共点．
20．（10分）“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为
，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．
21．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高
所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上
点测得屋顶
的仰角为
，此时地面上
点、屋檐上
点、屋顶上
点三点恰好共线，继续向房屋方向走
到达点
时，又测得屋檐
点的仰角为
，房屋的顶层横梁
，
，
交
于点
（点
，
，
在同一水平线上）．（参考数据：
，
，
，
（1）求屋顶到横梁的距离
；
（2）求房屋的高
（结果精确到
．
22．（10分）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
23．（10分）如图，
为
的直径，四边形
内接于
，对角线
，
交于点
，
的切线
交
的延长线于点
，切点为
，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的值．
24．（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数
（人
与时间
（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中
表示
时间 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
人数 |
0 |
170 |
320 |
450 |
560 |
650 |
720 |
770 |
800 |
810 |
810 |
（分钟）
（人
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出
与
之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
25．（12分）如图，四边形
是正方形，点
为对角线
的中点．
（1）问题解决：如图①，连接
，分别取
，
的中点
，
，连接
，则
与
的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△
是将图①中的
绕点
按顺时针方向旋转
得到的三角形，连接
，点
，
分别为
，
的中点，连接
，
．判断
的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△
是将图①中的
绕点
按逆时针方向旋转
得到的三角形，连接
，点
，
分别为
，
的中点，连接
，
．若正方形
的边长为1，求
的面积．
2020年贵州省贵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分．
1．（3分）计算
的结果是
A．
B．
C．1 D．6
【解答】解：原式
．
故选：
．
2．（3分）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在四个选项中，
选项袋子中红球的个数最多，
所以从
选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，
故选：
．
3．（3分）2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．获得这组数据的方法是
A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量
【解答】解：一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70．
获得这组数据的方法是：调查．
故选：
．
4．（3分）如图，直线
，
相交于点
，如果
，那么
是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
（对顶角相等），
，
与
互为邻补角，
．
故选：
．
5．（3分）当
时，下列分式没有意义的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、
，当
时，分式有意义不合题意；
、
，当
时，
，分式无意义符合题意；
、
，当
时，分式有意义不合题意；
、
，当
时，分式有意义不合题意；
故选：
．
6．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以
选项错误；
、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以
选项错误；
、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以
选项正确．
、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以
选项错误；
故选：
．
7．（3分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是
A．5 B．20 C．24 D．32
【解答】解：如图所示：
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
此菱形的周长
；
故选：
．
8．（3分）已知
，下列式子不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、在不等式
的两边同时减去1，不等号的方向不变，即
，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式
的两边同时乘以
，不等号方向改变，即
，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式
的两边同时乘以
，不等号的方向不变，即
，不等式
的两边同时加上1，不等号的方向不变，即
，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式
的两边同时乘以
，不等式不一定成立，即
，或
，或
，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选：
．
9．（3分）如图，
中，
，利用尺规在
，
上分别截取
，
，使
；分别以
，
为圆心、以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点
；作射线
交
于点
．若
，
为
上一动点，则
的最小值为
A．无法确定 B．
C．1 D．2
【解答】解：如图，过点
作
于
．
由作图可知，
平分
，
，
，
，
根据垂线段最短可知，
的最小值为1，
故选：
．
10．（3分）已知二次函数
的图象经过
与
两点，关于
的方程
有两个根，其中一个根是3．则关于
的方程
有两个整数根，这两个整数根是
A．
或0 B．
或2 C．
或3 D．
或4
【解答】解：
二次函数
的图象经过
与
两点，
当
时，
的两个根为
和1，函数
的对称轴是直线
，
又
关于
的方程
有两个根，其中一个根是3．
方程
的另一个根为
，函数
的图象开口向上，
关于
的方程
有两个整数根，
这两个整数根是
或2，
故选：
．
二、填空题：每小题4分，共20分．
11．（4分）化简
的结果是 
．
【解答】解：
，
故答案为：
．
12．（4分）如图，点
是反比例函数
图象上任意一点，过点
分别作
轴，
轴的垂线，垂足为
，
，则四边形
的面积为 3 ．
【解答】解：
过点
分别作
轴，
轴的垂线，垂足为
，
，
，
则四边形
的面积为：3．
故答案为：3．
13．（4分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 
．
【解答】解：在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是
．
故答案为：
．
14．（4分）如图，
是
的内接正三角形，点
是圆心，点
，
分别在边
，
上，若
，则
的度数是 120 度．
【解答】解：连接
，
，
是
的内接正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：120．
15．（4分）如图，
中，点
在边
上，
，
，
垂直于
的延长线于点
，
，
，则边
的长为 
．
【解答】解：延长
到
，使得
，
，
是等腰三角形，
，
过点
点作
，交
于点
，
，
，
，
，
，
在
，
由勾股定理可知：
，
在
中，
，
故答案为：
三、解答题：本大题10小题，共100分．
16．（8分）如图，在
的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【解答】解：（1）如图①中，
即为所求．
（2）如图②中，
即为所求．
（3）
即为所求．
17．（10分）2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：
部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表
时间 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
4 |
人数 |
2 |
6 |
6 |
10 |
|
4 |
人
（1）本次共调查的学生人数为 50 ，在表格中，
；
（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是 ，众数是 ；
（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．
【解答】解：（1）本次共调查的学生人数为：
（人
，
，
故答案为：50，22；
（2）由条形统计图得，2个1.5，6个2，6个2.5，10个3，22个3.5，4个4，
第25个数和第26个数都是
，
中位数是
；
出现了22次，出现的次数最多，
众数是
，
故答案为：
，
；
（3）就疫情期间如何学习的问题，我的看法是：认真听课，独立思考（答案不唯一）．
18．（10分）如图，四边形
是矩形，
是
边上一点，点
在
的延长线上，且
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）连接
，若
，
，
，求四边形
的面积．
【解答】（1）证明：
四边形
是矩形，
，
，
，
，即
，
，
四边形
是平行四边形；
（2）解：连接
，如图，
四边形
是矩形，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
的面积
．
19．（10分）如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数
的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数
图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点
，且与反比例函数
的图象没有公共点．
【解答】解：（1）将
代入
，故其中交点的坐标为
，
将
代入反比例函数表达式并解得：
，
故反比例函数表达式为：
①；
（2）一次函数
的图象向下平移2个单位得到
②，
联立①②并解得：
，
故交点坐标为
或
；
（3）设一次函数的表达式为：
③，
联立①③并整理得：
，
两个函数没有公共点，故△
，解得：
，
故可以取
（答案不唯一），
故一次函数表达式为：
（答案不唯一）．
20．（10分）“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为
，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．
【解答】解：（1）把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别即为
、
、
，
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《辞海》的结果有2个，
恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率为
；
（2）设应添加
张《消防知识手册》卡片，
由题意得：
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解；
答：应添加4张《消防知识手册》卡片．
21．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高
所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上
点测得屋顶
的仰角为
，此时地面上
点、屋檐上
点、屋顶上
点三点恰好共线，继续向房屋方向走
到达点
时，又测得屋檐
点的仰角为
，房屋的顶层横梁
，
，
交
于点
（点
，
，
在同一水平线上）．（参考数据：
，
，
，
（1）求屋顶到横梁的距离
；
（2）求房屋的高
（结果精确到
．
【解答】解：（1）
房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高
所在的直线，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
（米
；
答：屋顶到横梁的距离
为4.2米；
（2）过
作
于
，
设
，
在
中，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
（米
，
答：房屋的高
为14米．
22．（10分）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
【解答】解：（1）设单价为6元的钢笔买了
支，则单价为10元的钢笔买了
支，根据题意，得：
，
解得
，
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；
（2）设笔记本的单价为
元，根据题意，得：
，
整理，得：
，
因为
，
随
的增大而增大，所以
，
取整数，
，21．
当
时，
；
当
时，
，
所以笔记本的单价可能是2元或6元．
23．（10分）如图，
为
的直径，四边形
内接于
，对角线
，
交于点
，
的切线
交
的延长线于点
，切点为
，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的值．
【解答】解：（1）证明：
，
又
，
，
；
（2）
是
的切线，
，
是
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数
（人
与时间
（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中
表示
时间 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
人数 |
0 |
170 |
320 |
450 |
560 |
650 |
720 |
770 |
800 |
810 |
810 |
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出
与
之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【解答】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
①当
时，
是
的二次函数，
当
时，
，
二次函数的关系式可设为：
，
由题意可得：
，
解得：
，
二次函数关系式为：
，
②当
时，
，
与
之间的函数关系式为：
；
（2）设第
分钟时的排队人数为
人，
由题意可得：
，
①当
时，
，
当
时，
的最大值
，
②当
时，
，
随
的增大而减小，
，
排队人数最多时是490人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得：
，
解得：
，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该增加
个检测点，由题意得：
，
解得
，
是整数，
的最小整数是2，
一开始就应该至少增加2个检测点．
25．（12分）如图，四边形
是正方形，点
为对角线
的中点．
（1）问题解决：如图①，连接
，分别取
，
的中点
，
，连接
，则
与
的数量关系是 
，位置关系是 ；
（2）问题探究：如图②，△
是将图①中的
绕点
按顺时针方向旋转
得到的三角形，连接
，点
，
分别为
，
的中点，连接
，
．判断
的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△
是将图①中的
绕点
按逆时针方向旋转
得到的三角形，连接
，点
，
分别为
，
的中点，连接
，
．若正方形
的边长为1，求
的面积．
【解答】解：（1）
点
为对角线
的中点，
，
，
为
的中点，
为
的中点，
，
，
，
；
故答案为：
，
．
（2）
的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接
并延长交
于点
，
四边形
是正方形，
，
，
将
绕点
按顺时针方向旋转
得到△
，
△
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又
点
是
的中点，
，
△
，
，
，
，
，
△
为等腰直角三角形．
，
，
也为等腰直角三角形．
又
点
为
的中点，
，且
，
的形状是等腰直角三角形；
（3）延长
交
边于点
，连接
，
．
四边形
是正方形，
是对角线，
，
由旋转得，四边形
是矩形，
，
，
为等腰直角三角形．
点
是
的中点，
，
，
，
△
，
，
，
，
，
△
为等腰直角三角形，
点
是
的中点，
，
，
，
，
，
．
．