【330143】19.2 第1课时 平行四边形的边、角的性质

19.2平行四边形

第1课时 平行四边形的边、角的性质

教学目标

1．理解平行四边形的概念；(重点)

2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)

3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)

教学过程

一、情境导入

平行四边形是我们常见的一种图形(如图)，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？

二、合作探究

探究点一：平行四边形的定义

如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．

解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．

证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2.∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．

探究点二：平行四边形的边、角特征

【类型一】 利用平行四边形的性质求线段长

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．

解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案为7.

方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．

【类型二】 利用平行四边形的性质求角度

如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为(　　)

A．35°　　　B．55°

C．25°　　　D．30°

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.

方法总结：平行四边形对边平行，对角相等，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．

【类型三】 利用平行四边形的性质证明有关结论

如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.

解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠DCP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠DCP＝∠FCP.∵在△PCF和△PCE 中， ∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.

方法总结：本题的综合性比较强，考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等．

【类型四】 判断直线的位置关系

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．

解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线．又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．

解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD.∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°，即∠MDC＋∠MCD＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．

方法总结：应熟练掌握平行四边形的性质，并能求解一些简单的计算、证明等问题．

探究点三：两平行线间的距离

如图，已知l₁∥l₂，点E，F在l₁上，点G，H在l₂上．求证：△EGO与△FHO面积相等．

解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．

证明：∵l₁∥l₂，∴点E，F到l₂之间的距离都相等，设为h.∴S_△EGH＝GH·h，S_△FGH＝GH·h，∴S_△EGH＝S_△FGH，∴S_△EGH－S_△GOH＝S_△FGH－S_△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．

方法总结：解决问题的关键是明确同底等高的两个三角形的面积相等，再结合两平行线间的距离即可得出结论．

三、板书设计

教学反思

本节课通过对平行四边形的性质的探究学习，培养了学生运用转化的数学思想，通过观察、分析、归纳，是学生养成自主学习的良好习惯，为后期的学习打基础.