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【330100】18.2 第1课时 勾股定理的逆定理

时间:2025-02-08 16:45:41 作者: 字数:5232字

18.2勾股定理的逆定理

1课时 勾股定理的逆定理

教学目标

1.掌握勾股定理的逆定理,并能进行简单应用;(难点)

2.理解勾股数的定义,探索常用勾股数的规律.(重点)

教学过程

一、情境导入

据说几千年前的古埃及人就已经知道,在一根绳子上连续打上等距离的13个结,然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角,你知道为什么吗?

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a>

二、合作探究

探究点一:勾股定理的逆定理

【类型一】 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a> 判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.

(1)在△ABC中,∠A20°,∠B70°

(2)在△ABC中,AC7AB24BC25

(3)ABC的三边长abc满足(ab)(ab)c2.

解析:(1)已知两角可以求出另外一个角;(2)使用勾股定理的逆定理验证;(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证.

解:(1)在△ABC中,∵∠A20°,∠B70°,∴∠C180°-∠A-∠B90°,即△ABC是直角三角形;

(2)AC2AB272242625BC2252625,∴AC2AB2BC2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形;

(3)(ab)(ab)c2,∴a2b2c2,即a2b2c2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.

方法总结:在运用勾股定理的逆定理时要特别注意找到最大边定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和.

【类型二】 利用勾股定理的逆定理求角的度数

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a> 如图,点P为等边△ABC内一点,且PA3PB4PC5,求∠APB的度数.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a>

解析:根据已知条件PA3PB4PC5易知PA2PB2PC2PAPBPC不在同一个三角形中可构造边长分别为345的直角三角形来解决问题.

解:在△ABC所在的平面内,以A为顶点,AC为边在△ABC外作∠DAC=∠PAB,且ADAP.连接DCPD,则△ADC≌△APB,所以DCPB,∠APB=∠ADC.因为PAAD,∠PAD=∠BAC60°,所以△APD为等边三角形.所以PDPAAD3,∠ADP60°.又因为DCBP4PC5,且PD2DC2324252PC2,所以△PDC为直角三角形且∠PDC90°.所以∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC60°90°150°.

方法总结:解答本题的关键是构建全等三角形.把长度分别为345的线段转化为同一个三角形的三边利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形进而求出角度.


【类型三】 利用勾股定理的逆定理解决面积问题

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a> 如图所示,已知AD是△ABCBC上的中线,BC10cmAC4cmAD3cm,求SABC.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a>

解析:DAC的三边长易判定该三角形是直角三角形再由面积公式求出DC边上的高进而可求ABC的面积也可根据中线等分三角形面积求解.

解:过点AAEBCBC于点E.AD是△ABC的中线,∴CDBC×105(cm).∵CD25225AD2AC2324225,∴AD2AC2CD2,∴△DAC是直角三角形.∵SADCAD·ACDC·AE,∴AE===(cm).∴SABCBC·AE×10×12(cm2)

方法总结:先用勾股定理的逆定理判定直角三角形再用面积法求AE的长进而求出ABC的面积.还可先求出SADC再由AD是中线SABDSADCSABC2SADC从而得解.

【类型四】 利用勾股定理的逆定理证垂直

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a> 如图,在梯形ABCD中,ADBC,对角线AC5BD12,两底ADBC的和为13.求证:ACBD.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a>

解析:由于两底的和已知且对角线长度已知应先将对角线平移再寻找解题途径由勾股定理的逆定理可以判定DBDE从而证明ACBD.

证明:DDEACBC的延长线于E点.又∵ADBC,∴四边形ACED为平行四边形.∴DEAC5CEAD.在△BDE中,BD12DE5BEBCCEBCAD13,且52122132DE2BD2BE2,∴△BDE为直角三角形,即∴∠BDE90°,则DEBD.又∵DEAC,∴ACBD.

方法总结:利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形从而推出两线的垂直关系.

探究点二:勾股数

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a> 下列几组数中是勾股数的是________(填序号)

324252;②94041;③,,;④0.91.21.5.

解析:组不符合勾股数的定义不是勾股数;第③④组不是正整数不是勾股数;只有第组的94041是勾股数.故填.

方法总结:判断勾股数的方法:必须满足两个条件:一要符合等式a2b2c2;二要都是正整数.

三、板书设计

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/883/" title="勾股定理" class="c1" target="_blank">勾股定理</a> <a href="/tags/910/" title="逆定理" class="c1" target="_blank">逆定理</a> <a href="/tags/912/" title="定理" class="c1" target="_blank">定理</a>

教学反思

本节课采用以学生为主体,引导发现、操作探究的教学实验,符合学生的认知规律和认知水平,最大限度地调动了学生学习的积极性,有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力,切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养.