【329580】2.6.1 菱形的性质3

2.6 菱形

2.6.1 菱形的性质

要点感知1 一组邻边相等的__________四边形叫作菱形.

要点感知2 菱形的四条边都__________，对角__________，对角线__________.菱形的对角线__________.

预习练习2-1 若一个菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为( )

A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm

要点感知3 菱形是中心对称图形，__________是它的对称中心.菱形是轴对称图形，__________都是它的对称轴.

要点感知4 菱形的面积等于两条对角线乘积的__________.

预习练习4-1 菱形的两条对角线长分别为3 cm、4 cm，它的面积为__________cm².

知识点1 菱形的定义

1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即可).

第1题图 第2题图 第4题图

知识点2 菱形的性质

2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )

A.1 B. C.2 D.2

3.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )

A.10 B.8 C.6 D.5

4.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )

A.3.5 B.4 C.7 D.14

5.若菱形的周长20 cm,则它的边长是__________cm.

6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长.

7.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点.求证：AE=CF.

知识点3 菱形的面积计算

8.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a-1)²+ =0，那么菱形的面积等于__________.

9.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是( )

A.6 B.12 C.24 D.48

第9题图 第10题图 第11题图

10.如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是( )

A.△ABD与△ABC的周长相等

B.△ABD与△ABC的面积相等

C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍

D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍

11.如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于( )

A.40° B.50° C.80° D.100°

12.已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )

A.12 cm² B.24 cm² C.48 cm² D.96 cm²

13.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )

A.4 B. C. D.5

第13题图 第14题图 第15题图

14.如图，两个连续在一起的菱形的边长都是1 cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2 014 cm时停下，则它停的位置是( )

A.点F B.点E C.点A D.点C

15.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________.

16.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝__________cm.

17.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.

18.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.

19.如图所示，等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等.

(1)求证：∠AEF=∠AFE；

(2)求∠B的度数.

参考答案

要点感知1 平行

要点感知2 相等 相等 互相平分 互相垂直

预习练习2-1 C

要点感知3 C

预习练习3-1 对角线的交点 两条对角线所在直线

要点感知4 一半

预习练习4-1 6

1.答案不唯一，如AB=AD 2.C 3.D 4.A 5.5

6.∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，且BO=DO.

在Rt△AOB中，∵AB=5，AO=4，

由勾股定理得BO=3.

∴BD=6.

7.证明：∵ABCD是菱形，∴AD=CD.

∵E，F分别是CD，AD的中点，

∴DE= CD，DF= AD.

∴DE=DF.

又∵∠ADE=∠CDF，

∴△AED≌△CFD(SAS).

∴AE=CF.

8.2 9.C 10.B

11.C 12.B 13.C 14.A 15.3 16.

17.证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB，∠COD=90°.

∵DH⊥AB于H，

∴∠DHB=90°.

在Rt△DHB中，OH=OB，

∴∠OHB=∠OBH.

又∵AB∥CD，

∴∠OBH=∠ODC.

∴∠OHB=∠ODC.

在Rt△COD中，∠ODC+∠OCD=90°，

在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，

∴∠DHO=∠DCO.

18.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形.

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.

∴四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.

∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC.

∴OE＝BC.

19.(1)证明：∵等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等，

∴BC=CE.∴∠B=∠BEC.

同理∠D=∠CFD.

又∵∠B=∠D，∴∠BEC=∠CFD.

∵EC=FC，∴∠CEF=∠CFE.

∵∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°，

∴∠AEF=∠AFE.

(2)连接AC.

设∠BCE=y°.∠B=x°.

∵△CEF是等边三角形，∴∠ECF=60°.

又根据对称性得到CA为∠ECF的平分线，因而∠ACE=30°.

∴在△ABC和△BCE中，根据三角形内角和定理分别得到方程组

解得

即∠B的度数是80°.