【329465】1.3 直角三角形全等的判定1
1.3 直角三角形全等的判定
一、选择题(本大题共8小题)
1. 在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和它所对的直角边对应相等
D.一条斜边和一条直角边对应相等
2. 如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第2题图 第5题图 第6题图
3.下列说法中正确的是( )
A.已知a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2
B.在直角三角形中,两边长和的平方等于第三边长的平方
C.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则三角形对应的三边满足a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,若∠A=90°,则三角形对应的三边满足a2+b2=c2
4. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=B′A,则下列结论中正确的是( )
A. AC=A′C′ B.BC=B′C′
C.AC=B′C′ D.∠A=∠A′
5. 如图所示,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC交D点,E、F分别是DB、DC的中点,则图中全等三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6. 如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D. 4
7. 已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF
8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )
A.DE=DB B.DE=AE C.AE=BE D.AE=BD
第8题图 第9题图
二、填空题(本大题共4小题)
9. 已知:如图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,AE=DF,AB=DC,则△ABE≌△__________.
10. 如图,已知BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.
第10题图 第11题图
11. 如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加一个条件__________.
12. 已知:如图,AB=CD,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,且DE=BF,∠D=60°,则∠A=__________.
三、计算题(本大题共4小题)
13. 已知:如图△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,BD、CE交于O点,且BD=CE
求证:OB=OC.
14. 已知:Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于E,求证:CD⊥BE
15. 如图:在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;
说明:(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
16. 如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD=
,求AD的长.
参考答案:
一、选择题(本大题共8小题)
1.A
2. D
3. C
4. C
5. D
6. B
7. B
8. C
二、填空题(本大题共6小题)
9.
分析:根据直角三角形全等的条件HL判定即可。
证明:∵在△ABE和△DCF中,
AE⊥BC,DF⊥BC,AE=DF,AB=DC,
符合直角三角形全等条件HL,
所以△ABE≌△DCF,
故填:ABE;DCF.
10.
分析:要使Rt△ABC≌Rt△DBE,现有直角对应相等,一直角边对应相等,还缺少一边或一角对应相等,答案可得.
解:∵BD⊥AE
∴∠ABC=∠DBE,
∵BC=BE,
加∠ACB=∠BDE就可以用ASA使Rt△ABC≌Rt△DBE;
加AC=DE就可以用HL使Rt△ABC≌Rt△DBE;
加AB=DB就可以用SAS使Rt△ABC≌Rt△DBE;
加∠ACB=∠D也可以使Rt△ABC≌Rt△DBE;
加∠A+∠E=90°或∠D+∠ACB=90°一样可以证明Rt△ABC≌Rt△DBE.
所以填∠ACB=∠BDE或AC=DE或AB=DB或∠A+∠E=90°或∠D+∠ACB=90°等.
分析:已知∠A=∠D=90°,题中隐含BC=BC,根据HL即可推出△ABC≌△DCB.
解:解:HL,理由是:∵∠A=∠D=90°,
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),故选A.
11.
分析:添加AB=AC,∵AD⊥BC,AD=AD,AB=AC
∴△ABD≌△ACD
已知AD⊥BC于D,AD=AD,若加条件∠B=∠C,显然根据的判定为AAS.
解:AB=AC
12.
分析:首先根据直角三角形的全等判定证明△AFB≌△CED,进而得到∠A和∠C的关系相等,易得∠A。
解:在△AFB和△CED中
∵DE⊥AC于点E,BF⊥AC
∴∠AFB=∠CED=90°。
又:AB=CD,BF=DE
∴△AFB≌△CED(H.L)
则:∠A=∠C
∴ ∠A=90°-∠D=90°-60°=30°故答案是30°。
三、计算题(本大题共4小题)
13.
证
明:∵CE⊥AB,BD⊥AC,则∠BEC=∠CDB=90°
∴在Rt△BCE与Rt△CBD中
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)
∴∠1=∠2,∴OB=OC
14.
证明:∵DE⊥AB∴∠BDE=90°,∵∠ACB=90°
∴
在Rt△DEB中与Rt△CEB中
BD=BC
BE=BE
∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)
∴DE=EC又∵BD=BC
∴E、B在CD的垂直平分线上
即BE⊥CD.
15.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC,
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
,
∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL).
∴CF=EB;
(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴CD=DE.
在△ADC与△ADE中,
∵
∴△ADC≌△ADE(HL),
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
16.
解: (1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴AD=BD.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠CDA=∠BDF=90°,
∴△ADC≌△BDF(ASA).
∴AC=BF.
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AE=EC,即AC=2AE,
∴BF=2AE;
(2)∵△ADC≌△BDF,
∴DF=CD=
.
∴在Rt△CDF中,CF=
=2.
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=FC=2,
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