1.3 直角三角形全等的判定

一、选择题(本大题共8小题)

1. 在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )

A.两条直角边对应相等

B.两个锐角对应相等

C.一个锐角和它所对的直角边对应相等

D.一条斜边和一条直角边对应相等

2. 如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

第2题图 第5题图 第6题图

3.下列说法中正确的是（　　）

A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a²+b²=c²

B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方

C．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则三角形对应的三边满足a²+b²=c²

D．在Rt△ABC中，若∠A=90°，则三角形对应的三边满足a²+b²=c²

4. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，则下列结论中正确的是（ ）

A. AC=A′C′ B.BC=B′C′

C.AC=B′C′ D.∠A=∠A′

5. 如图所示，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，则图中全等三角形的对数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

6. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）

A．10 B．7 C．5 D． 4

7. 已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )

A.AB=DE,AC=DF­ B.AC=EF,BC=DF

C.AB=DE,BC=EF­ D.∠C=∠F,BC=EF

8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )

A.DE=DB B.DE=AE C.AE=BE D.AE=BD

第8题图 第9题图

二、填空题(本大题共4小题)

9. 已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，则△ABE≌△__________.

10. 如图,已知BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.

第10题图 第11题图

11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加一个条件__________.

12. 已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.

三、计算题(本大题共4小题)

13. 已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE

求证：OB=OC.

14. 已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE

15. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；

说明：（1）CF=EB．

（2）AB=AF+2EB．

16. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.

(1)求证：BF=2AE;

(2)若CD= ，求AD的长.

参考答案：

一、选择题(本大题共8小题)

1.A

2. D

3. C

4. C

5. D

6. B

7. B

8. C

二、填空题(本大题共6小题)

9.

分析：根据直角三角形全等的条件HL判定即可。

证明：∵在△ABE和△DCF中，

AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，AB=DC，

符合直角三角形全等条件HL，

所以△ABE≌△DCF，

故填：ABE；DCF．

10.

分析：要使Rt△ABC≌Rt△DBE，现有直角对应相等，一直角边对应相等，还缺少一边或一角对应相等，答案可得．

解：∵BD⊥AE

∴∠ABC=∠DBE，

∵BC=BE，

加∠ACB=∠BDE就可以用ASA使Rt△ABC≌Rt△DBE；

加AC=DE就可以用HL使Rt△ABC≌Rt△DBE；

加AB=DB就可以用SAS使Rt△ABC≌Rt△DBE；

加∠ACB=∠D也可以使Rt△ABC≌Rt△DBE；

加∠A+∠E=90°或∠D+∠ACB=90°一样可以证明Rt△ABC≌Rt△DBE．

所以填∠ACB=∠BDE或AC=DE或AB=DB或∠A+∠E=90°或∠D+∠ACB=90°等．

分析：已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．

解：解：HL，理由是：∵∠A=∠D=90°，

∴在Rt△ABC和Rt△DCB中

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故选A．

11.

分析：添加AB=AC，∵AD⊥BC，AD=AD，AB=AC
∴△ABD≌△ACD

已知AD⊥BC于D，AD=AD，若加条件∠B=∠C，显然根据的判定为AAS．

解：AB=AC

12.

分析：首先根据直角三角形的全等判定证明△AFB≌△CED，进而得到∠A和∠C的关系相等，易得∠A。

解：在△AFB和△CED中

∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC

∴∠AFB=∠CED=90°。

又：AB=CD，BF=DE

∴△AFB≌△CED（H.L）

则：∠A=∠C

∴ ∠A=90°-∠D=90°-60°=30°故答案是30°。

三、计算题(本大题共4小题)

13. 证 明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°

∴在Rt△BCE与Rt△CBD中

∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)

∴∠1=∠2，∴OB=OC

14.

证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°

∴ 在Rt△DEB中与Rt△CEB中

BD=BC

BE=BE

∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）

∴DE=EC又∵BD=BC

∴E、B在CD的垂直平分线上

即BE⊥CD.

15.

证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE=DC，

∵在Rt△DCF和Rt△DEB中， ，

∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．

∴CF=EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD=DE．

在△ADC与△ADE中，

∵

∴△ADC≌△ADE（HL），

∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．

16.

解： (1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴∠ABD=∠BAD=45°.

∴AD=BD.

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°.

∴∠CAD=∠CBE.

又∵∠CDA=∠BDF=90°，

∴△ADC≌△BDF(ASA).

∴AC=BF.

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AE=EC，即AC=2AE，

∴BF=2AE;

(2)∵△ADC≌△BDF，

∴DF=CD= .

∴在Rt△CDF中，CF= =2.

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=FC=2，