平行四边形的判定

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.(2013·荆门中考)四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.

从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(　　)

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

2.若以A(-0.5,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点要画平行四边形,则第四个顶点不可能在(　 　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3 .(2013·鄂州中考)如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=2_{ }.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小,则此时AM+NB=(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.(2013·三明中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,请你添加一个条件,使得四边形ABCD成为平行四边形,你添加的条件是　　　　.

5.如图,在平行四边形ABCD中,AE=CG,DH=BF,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH是　　　　.

6.(2013·十堰中考)如图,▱ABCD中,∠ABC=60°,E,F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=_{ },则AB的长是　　　　.

三、解答题(共26分)

7.(8分)在▱ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.

求证:四边形BEDF是平行四边形.

8.(8分)如图所示,AB,CD交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别为OC,OD的中点,连接AF,BE,求证AF∥BE.

【拓展延伸】

9.(1 0分 )如图1,在△OAB中,∠OAB= 90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.

(1)求点B的坐标.

(2 )求证:四边形ABCE是平行四边形.

(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.

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答案解析

1.【解析】选B.从四个条件中任选两个,共有6种选法.若选②、③或选②、④,则不能使四边形ABCD是平行四边形.其他4种选法,即选①、②或①、③或①、④或③、④,则均能使四边形ABCD为平行 四边形.

2.【解析】选C.根据题意画出图形,如图所示:

分三种情况考虑:①以CB为对角线作平行四边形ABD₁C,此时第四个顶点D₁落在第一象限;

②以AC为对角线作平行四边形ABCD ₂,此时第四个顶点D₂落在第二象限;

③以AB为对角线作平行四边形ACBD₃,此时第四个顶点D₃落在第四象限,

则第四个顶点不可能落在第三象限.

3 .【解析】选B.作点A关于直线a的对称点A',连接A'B交直线b于点N,过点N作NM⊥直线a,连接AM,此时AM+MN+NB的值最小.

∵A到直线a的距离为2,a与b之间的距离为4,

∴AA'=MN=4,[来源:学科网]

∴四边形AA'NM是平行四边形,[来源:学.科.网]

∴AM+NB=A'N+NB=A'B,

过点B作BE⊥AA',交AA'于点E,易得AE=2+4+3=9,AB=2_{ },A'E=2+3=5,

在Rt△AEB中,BE=_{ }=_{ },

在Rt△A'EB中,A'B=_{ }=8.[来源:学。科。网]

4.【解析】已知AB∥CD,可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定.

答案:AB=CD(答案不唯一)

5.【解析】易证△AHE≌△CFG,△DHG≌△BFE,

∴HE=FG,EF=GH,四边形EFGH是平行四边形.

答案:平行四边形

6 .【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥DC,AB=CD.∵AE∥BD,

∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE=CD,即D为CE中点.

∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°.

∵AB∥CD,∴∠DCF=∠ABC=60° ,∴∠CEF=30°.

∵EF=_{ },∴CE=2,∴AB=1.

答案:1

7.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,

∴CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD.

又∵△ADE和△BCF都是等边三角形,

∴DE=BF,AE= CF,∠DAE=∠BCF=60°.

∵∠DCF=∠BCD-∠BCF,∠BAE=∠DAB-∠DAE,

∴∠DCF=∠BAE.∴△DCF≌△BAE(SAS).

∴DF=BE.∴四边形BEDF是平行四边形.

8.【证明】如图所示,连接AD,CB,AE,BF,∵AC∥DB,∴∠1=∠2.又 ∵AO=BO,∠3 =∠4,∴△ACO≌△BDO(AAS).∴AC=DB.∴四边形ADBC是平行四边形.∴OC=OD.

∵点E,F分别为OC,OD的中点,∴OE=_{ }OC,OF=_{ }OD.∴OE=OF.∵OA=OB,∴四边形AFBE是平行四边形.∴AF∥BE.

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9.【解析】(1)∵∠AOB=30°,OB=8,

∴AB=4,OA =4_{ },∴B(4 _{ },4).

(2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8.

∵D点为OB的中点,∴OD=4.

又∵AD是Rt△OAB斜边的中线,

∴AD=_{ }OB=OD,

∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°.

又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形,

∴OE=4,∴E(0,4),

∴CE=4,CE=AB.又∵CE∥AB,

∴四边形ABCE是平行四边形.

(3)∵GA=GC,∴GA²=GC².

即OG²+OA²=(OC-OG)²,OG²+(4_{ })²=(8-OG)²,∴OG=1.