第4章四边形（压轴30题专练）
一．选择题（共12小题）
1．（大名县期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、C、D正确，B不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
2．（香洲区期中）已知一个多边形的外角都等于40°，那么这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形的外角和等于360°可计算求解．
【解答】解：由题意得360°÷40°＝9，
∴四边形的边数为9．
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角的性质是解题的关键．
3．（青山区期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（ ）
A．增加180° B．减少180° C．不变 D．不能确定
【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，n+1边形的内角和是（n+1﹣2）•180°＝（n﹣1）•180°，则（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°，
故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．
4．（满洲里市期末）四边形ABCD中，AD∥BC．要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ）
A．∠A+∠C＝180° B．∠B+∠A＝180° C．∠A＝∠D D．∠B＝∠D
【分析】利用平行四边形的五种判定定理可得出答案；
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∴A．∠A+∠C＝180°，可得∠B＝∠C，这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故此选项错误；
B．∠A+∠B从题目已知条件即可得出，无法证明四边形为平行四边形，此选项错误；
C．同理A，这样的四边形是等腰梯形，故此选项错误；
D．∠B＝∠D，可得∠A+∠D＝180°，则BA∥CD，故四边形ABCD是平行四边形，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定定理，得出另一对边平行是解题关键．
5．（庆云县期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，﹣1） C．（3，﹣1） D．（3，﹣2）
【分析】设点B（x，y），由平行四边形的性质可得
，
，即可求解．
【解答】解：设点B（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，点A（﹣1，﹣2），点D（1，1），点C（5，2），
∴
，
，
∴x＝3，y＝﹣1，
∴点B（3，﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
6．（杭州期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．有下列结论：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG＝FH．则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③④正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△GBF≌△HDE是解题的关键．
7．（诸城市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝
BC＝6，AF＝FH，再证△BFA≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．
【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝
BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝
BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（鄞州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH∥AB，且AH＝2HD，若S△HDP＝1，则S▱ABCD＝（ ）
A．9 B．
C．12 D．18
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积，可以求得行四边形ABCD的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
四边形HPFD是平行四边形，四边形AEPH、四边形PGCF均为平行四边形，且它们的面积相等，四边形EBGP是平行四边形，
∵S△HDP＝1，
∴S▱HPDF＝2，
∵AH＝2HD，
∴S▱AEPH＝S▱PGCF＝4，
∴S▱EBGP＝8，
∴S▱ABCD＝2+4+4+8＝18，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（西湖区校级期中）如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，根据平行四边形的性质可得S△ABE+S△CDE＝
S平行四边形ABCD，S△ABE+S△CBE+S阴影＝
S平行四边形ABCD，进而可得S阴影＝S△CDE﹣S△CBE．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，
∴S△ABE＝
×AB×a，S△CDE＝
CD×b，
∵a+b＝BF，AB＝CD，
∴S△ABE+S△CDE＝
（AB×a+CD×b）＝
AB•BF，
∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，
∴S△ABE+S△CDE＝
S平行四边形ABCD，
∵S△ABE+S△CBE+S阴影＝
S平行四边形ABCD，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，
∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
10．（新蔡县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝
，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行四边形的性质可求解OA，OB的长，利用勾股定理的逆定理可得∠BAO＝90°，再根据勾股定理可求解BC的长，由△ABC得面积公式可计算求解AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝2，BD＝4，
∴OA＝
AC＝1，OB＝
BD＝2，
∵AB＝
，
∴AB2+OA2＝OB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠BAO＝90°，
∴BC＝
，
∵S△ABC＝
AC•AB＝
BC•AE，
∴2×
＝
AE，
解得AE＝
．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理及逆定理，三角形的面积，利用勾股定理求解BC的长是解题的关键．
11．（宁波模拟）如图，已知E，F为▱ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个小的平行四边形，则已知下列哪个选项中的图形面积，就可以求出△GIN的面积（ ）
A．△AHF B．△GHN C．四边形AHPI D．四边形IPFJ
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的性质，可以得到阴影部分的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：连接IM、EN、GP，
由图可得，
S△IEN＝S△IEM，S△GEN＝S△GEP，
则阴影部分的面积＝S△IGP+S△IEM＝
S▱AHPI+
S▱IEMD，
∵AE＝CF，过E，F将▱ABCD分制成9个完全相同的小的平行四边形，
∴S▱AGEI＝S▱JQMD＝S▱HBKP＝S▱FLCN，
∴
S▱IEMD＝
S▱GEKB＝
S▱AHPI，
∴阴影部分的面积＝S▱AHPI，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（椒江区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，AB＝10，CD＝6，以AC，AD为邻边作▱ACED，连接BE，则线段BE长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【分析】连接AE交CD于O，连接DM、CM，取AB的中点M，连接OM，由直角三角形的性质得出DM＝CM＝
AB＝5，由平行四边形的性质得出OA＝OE，OC＝OD＝
CD＝3，得出OM是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE＝2OM，由等腰三角形的性质得出OM⊥CD，再由勾股定理求出OM的长，即可得出结果．
【解答】解：连接AE交CD于O，取AB的中点M，连接DM、CM，连接OM，如图所示：
∵AB＝10，∠ADB＝∠BCA＝90°，
∴DM＝CM＝
AB＝5，
∵四边形DACE是平行四边形，
∴OA＝OE，OC＝OD＝
CD＝3，
∴OM是△ABE的中位线，
∴BE＝2OM，
∵DM＝CM，OC＝OD，
∴OM⊥CD，
∴∠MOC＝90°，
由勾股定理得：OM＝
＝
＝4，
∴BE＝2OM＝8；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证出OM是△ABE的中位线是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
13．（温州开学）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝240°，则∠1+∠2+∠3＝ 240° ．
【分析】延长EA、AB构造外角∠4、∠5，根据一个顶点上的外角和内角的关系与多边形的外角和，计算得结论．
【解答】解：如图，延长EA、AB．
∵∠EAB+∠4+∠ABC+∠5＝360°，
又∵∠EAB+∠ABC＝240°，
∴∠4+∠5＝120°．
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝240°．
故答案为：240°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握“多边形的外角和是360°”是解决本题的关键．
14．（衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 72° ．
【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质求出∠BCA和∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝
＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是正多边形的内角，熟练掌握正多边形的内角的计算公式和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（嘉兴）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2
，则AH的长为 
．
【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出AC和OB的长，又AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长．
【解答】解：如图，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2
，
∴AC＝
＝2
，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝
，
在Rt△OAB中，
OB＝
＝
，
又AH⊥BD，
∴
OB•AH＝
OA•AB，即
＝
，
解得AH＝
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，等面积思想等，熟知等面积法是解题关键．
16．（湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 36 度．
【分析】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
【解答】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
∴∠GFN＝∠FNM＝
＝108°，
∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，
∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形FGHMN是正五边形是解题关键．
17．（宁波模拟）一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是 10 ．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°＝144°×n，然后解方程即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∴（n﹣2）×180°＝144°×n，
∴n＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．
18．（大兴区一模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝2，则BC边的长为 4 ．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
19．（鼓楼区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 
．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝
CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝
＝
＝5，
∵S△ABC＝
＝
，
∴CM＝
，
∴DE＝
＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
20．（西湖区校级期中）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE．其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的是 ①③④ ．
【分析】根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
③∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OF＝OE，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE＝CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
∴一定能判定四边形AECF是平行四边形的是①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（永嘉县校级期中）如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是 S1＝S2 ．
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
22．（河北模拟）如图，已知正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝ 54 度．
【分析】根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可．
【解答】解：如图：
由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，
∴∠G+∠EDG＝90°，
∵∠EDF＝
＝72°，DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴∠EDG＝
∠EDF＝36°，
∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．
故答案为：54．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
三．解答题（共8小题）
23．（拱墅区期中）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交边AB于点F，连接AD，CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若AF＝2BF，四边形AFCD的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，求S1：S2．
【分析】（1）由题意可证明△AEF≌△CED（ASA），可得AF＝CD，进而可得四边形AFCD是平行四边形；
（2）设BF＝a，则AF＝2a，过点C作CG⊥AB于点G，设CG＝h，可得S1＝2S△ACF＝2ah，S2＝S△DCF+S△BCF＝
ah，进而可求出S1：S2的值．
【解答】（1）证明：如图，
∵CD∥AB，
∴∠FAC＝∠DCA，
∵点E是AC的中点
∴AE＝CE，
又∵∠AEF＝∠CED，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴AF＝CD，
又∵AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：设BF＝a，则AF＝2BF＝2a，
如图，过点C作CG⊥AB于点G，
设CG＝h，
∴S△ACF＝
•AF•CG＝
•2a•h＝ah，
S△BCF＝
•BF•CG＝
•a•h＝
ah，
∴S1＝2S△ACF＝2ah，
S△ECF＝
S1＝
ah，
∴S2＝S△ECF+S△BCF＝ah，
∴S1：S2＝2ah：ah＝2．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质与判定，三角形的面积等问题，出现有关面积的问题，需要作出高是常见解题方法．
24．（海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
25．（余杭区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，点E是AB的中点，点F是AC延长线上一点，连接EF．
（1）若ED⊥EF．求证：ED＝EF．
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形，并证明你的结论（请补全图形，再解答）
（3）若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给予证明．
【分析】（1）连接CE，证△CEF≌△AED（ASA），根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得CF＝AD，再证CP是△ABF的中位线，得CP＝
AB＝AE即可得出结论；
（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证Rt△DME≌Rt△FNE（HL），得∠ADE＝∠CFE，进而得出∠DAF＝∠DEF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AD＝AC，AD⊥AC，
∴AC＝BC，AC⊥BC，
连接CE，如图1所示：
∵E是AB的中点，
∴AE＝EC，CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ECF＝∠EAD＝135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（ASA），
∴ED＝EF；
（2）解：四边形ACPE是平行四边形，理由如下：
连接CE，如图2所示：
由（1）得：△CEF≌△AED，
∴CF＝AD，
∵AD＝AC，
∴AC＝CF，
∵DP∥AB，
∴CP是△ABF的中位线，
∴CP＝
AB＝AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：若ED＝EF，ED与EF垂直，理由如下：
过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，如图3所示：
则∠MAF＝90°，
∵∠NAE＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAE，
∴EM＝EN，
在Rt△DME与Rt△FNE中，
，
∴Rt△DME≌Rt△FNE（HL），
∴∠ADE＝∠CFE，
∵∠DAF+∠ADE＝∠DEF+∠CFE，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠DAF＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴ED⊥EF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（滕州市期末）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝12，AE＝EF﹣CF，求EG的长．
【分析】（1）证△AGE≌△CHF（SAS），得GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，则∠GEF＝∠HFE，得GE∥HF，即可得出结论；
（2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD＝6，再证出AE＝OE，可得EG是△ABO的中位线，然后利用中位线定理可得EG的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝12，
∴OB＝OD＝6，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE＝EF﹣CF，
∴AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝
OB＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键．
27．（上城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F是CB的中点，点E是AB的中点，点D是CA延长线上的一点，且AD＝
AC，连接DE、AF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边形ADEF的周长是14cm，BC的长为6cm，求四边形ADEF的面积．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到EF＝
AC，根据平行四边形的判定定理于是得到结论；
（2）根据已知条件得到AD+AF＝7，求得AF＝7﹣AD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点F是CB的中点，点E是AB的中点，
∴EF＝
AC，
∵AD＝
AC，
∴EF＝AD，
∵EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ADEF的周长是14cm，
∴AD+AF＝7（cm），
∴AF＝7﹣AD，
∵AC＝2AD，CF＝
BC＝3（cm），
∴AC2+CF2＝AF2，
即（2AD）2+9＝（7﹣AD）2，
∴AD＝2（cm），
∴四边形ADEF的面积＝AD•CF＝6（cm）2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
28．（榆阳区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．
【分析】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中位线定理即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝
BC，
∴EF∥BC，
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴DE＝
BC＝
．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键．
29．（鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．
（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．
（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面积．
【分析】（1）通过证明△ABE≌△DFE，即可推出AB平行且相等于FD，即得证；
（2）通过辅助线进行转化得S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，再通过已知条件算出△ECD面积即为△AEF的面积．
【解答】解：（1）证明：由题意得，AB∥CF，
∴∠ABE＝∠DFE，
又∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（AAS）
∴AB＝DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）过点F作AD的垂线交AD延长线于点K，过点D作DH⊥EC，过点E作EG⊥CD，
∵S△AEF＝
；
，
∴S△AEF＝S△EDF，
又∵BE为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠FED，
而∠ABE＝∠DFE，
∴∠FED＝∠DFE，
∴ED＝FD，
由（1）可知AB＝DC＝FD＝5，
∴ED＝FD＝DC＝5，
又∵S△EFD＝
，S△EDC＝
，
∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD，
在等腰△EDC中，ED＝CD＝5，EC＝6，
∵DH⊥EC，
∴EH＝
＝
＝3，
在Rt△EHD中，ED＝5，EH＝3，
∴DH＝
＝
＝4，
∴S△ECD＝
＝12，
∴S△AEF＝S△EDF＝S△ECD＝12，
故S△AEF＝12．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定以及全等三角形的性质与判定，熟练其性质与判定定理通过条件作出辅助线逐步推理是解题关键．
30．（拱墅区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若
＝m（0＜m＜1），AC＝4
，连接OE；
①若m＝
，求平行四边形ABCD的面积；
②设
＝k，试求k与m满足的关系．
【分析】（1）根据▱ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
（2）①根据
＝m＝
，可得AB＝
BC，证明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB的长，进而可得平行四边ABCD的面积；
②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝
S△BCD，由△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵
＝m＝
，
∴AB＝
BC，
∴AE＝BE＝
BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4
时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×
AB•AC＝4×4
＝16
；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝
S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝
×bh，S△OBE＝
×
×mb＝
，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝
﹣
＝（
﹣
）bh，
∵S△AOD＝
×b＝
，
∴
＝（
﹣
）bh×
＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键．