第四章综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2024·济南期末]泉城济南，泉甲天下，将如图所示的济南旅游形象标识平移后可以得到(　　)

A B C D

2. 以下图案中，既是轴对称图案又是中心对称图案的是(　　)

A B C D

3.[2024·青岛月考]下列图形绕某点顺时针旋转90°后，能与原来的图形重合的是(　　)

A B C D

4.如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到△A'B'C'.若B'C＝2cm，则BC'的长是(　　)

(第4题)

A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm

5.如图，△A'B'C'是由△ABC经过轴对称得到的，△A'B'C'还可以看做是由△ABC经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转.其中所有正确结论的序号是(　　)

(第5题)

A.①② B.②③ C.①③ D.②

6.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为点D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是(　　)

(第6题)

A.△ABC≌△DEC B.∠ADC＝45°

C. AD＝ AC D. AE＝AB＋CD

7.[2023·青岛]如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是(　　)

(第7题)

A.(2，－3) B.(－2，3) C.(3，－2) D.(－3，2)

8.如图，已知四边形A'B'C'D'是由四边形ABCD平移得到的，若BB'＝3，A'D'＝8，则AD'的长可能是(　　)

(第8题)

A.3 B.5 C.8 D.11

9.如图，BO是等腰三角形ABC底边上的中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C中心对称，连接AP，则AP的长是(　　)

(第9题)

A.4 B. C. D.

10.[2024济宁期中新视角规律探究题]如图，长方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA＝OB＝ ，AD＝ ，将长方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次都旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为(　　)

(第10题)

A. B.

C. D.

二、填空题(每题3分，共18分)

11.如果点A(6，－1)与点B关于原点对称，那么点B的坐标是　　　　.

12.如图，已知∠DCE是由∠AOB经过平移得到的，OA与CE交于点F，若∠AOB＝30°，则∠AFC＝　　　　.

(第12题)

13.[2023 枣庄情境题自然科学]银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为(－3，2)，(4，3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A的对应点的坐标为　　　　.

(第13题)

14.[新趋势学科内综合]如图，将图中任意的一个白色方块涂色后，能使所有涂色方块构成的图形是中心对称图形的概率是　　　　.

(第14题)

15.[2024·烟台期中]如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁，则阴影部分的面积为　　　　.

(第15题)

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，4)，点B在第一象限内，将△OAB沿x轴正方向平移得到△O'A'B'，若点A的对应点A'在直线y＝ x上，则点B与其对应点B'之间的距离为　　　　.

(第16题)

三、解答题(共72分)

17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A(－1，4)，B(－3，1).

(1)画出线段AB向右平移4个单位长度后得到的线段A₁B₁；

(2)画出线段AB绕原点O旋转180°后得到的线段A₂B₂.

18.(6分)[母题教材P112习题T2]如图，在6×6的网格中已经将三个小正方形涂色，请按下列要求画图.

(1)在图①中将一个小正方形涂色，使涂色的四个小正方形组成一个轴对称图形；

(2)在图②中将一个小正方形涂色，使涂色的四个小正方形组成一个中心对称图形.

19.(8分)如图，将△ABC沿AB方向平移后得到△DEF.

(1)若∠A＝80°，∠E＝60°，求∠C的度数.

(2)若AC＝BC，BC与DF相交于点O，则OD与OB相等吗？说明理由.

20.(8分)如图，在△ABC中，D是BC的中点.

(1)画出△ABD关于点D对称的图形；

(2)若AB＝6，AD＝4，AC＝10，求证：∠BAD＝90°.

21.(10分)如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F.将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.

(1)若∠B＝50°，求∠DAF的度数；

(2)若∠E＝∠CAD，求证：AD＝CD.

22.(10分)[新视角存在性探究题]△ABC在平面直角坐标系中如图所示，每个顶点都在格点上.

(1)求△ABC的面积.

(2)若△ABC中任意一点P(x₀，y₀)平移后的对应点为P₁(x₀＋3，y₀＋4)，请画出△ABC平移后得到的△A₁B₁C₁，并写出点A₁，B₁，C₁的坐标.

(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在点Q，使以A₁，B，Q三点为顶点的三角形的面积为3？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(12分)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D是△ABC所在平面内任意一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AD，DE，BE.

(1)如图①，若点D为△ABC内一点，求证：AD＝BE；

(2)如图②，若点D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长.

24.(12分)[新视角过程探究题]综合与实践：

【问题情境】在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含30°角的三角板拼图间存在的关系.

如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AC＝DC＝4.

【操作探究】

(1)如图①，当点D，C，B在同一条直线上时，直线AB与直线DE的位置关系是　　　　；

(2)如图②，将图①中的三角板DEC绕点C顺时针旋转120°，边DE与边CB交于点G，请判断此时EC与AB的位置关系及△CDG的形状；

(3)如图③，将图①中的三角板DEC绕着点C顺时针旋转，边AB与边EC交于点M，当△CBM是以BM为腰的等腰三角形时，求AM的长.

答案及点拨

一、1. A　2. B　3. C

4. C　【点拨】∵将△ABC沿BC方向平移1cm得到△A'B'C'，

∴BB'＝CC'＝1cm.

又∵B'C＝2cm，

∴BC'＝BB'＋B'C＋CC'＝1＋2＋1＝4(cm).

5. D

6. D　【点拨】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，DE＝AB，△ABC≌△DEC，

∴∠DAC＝∠ADC.

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∴∠ACD＝90°，

∴AD＝ ＝ AC＝ CD，

∴AE＝AD＋DE＝ CD＋AB，

故A，B，C正确，D错误.

7. A

8. C　【点拨】连接DD'.

∵四边形A'B'C'D'是由四边形ABCD平移得到的，BB'＝3，A'D'＝8，

∴AD＝A'D'＝8，DD'＝BB'＝3，

∴8－3＜AD'＜8＋3，即5＜AD'＜11.

9. D　【点拨】∵BO是等腰三角形ABC底边上的中线，∴AO＝CO＝ AC＝1，∠BOA＝∠BOC＝90°，

∴BO＝ ＝ ＝ .

∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，

∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝ ，∴AQ＝AC＋CQ＝3，

∴AP＝ ＝ ＝ .

10. A　【点拨】如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，则∠BEC＝90°.

∵OA＝OB＝ ，∠AOB＝90°，

∴∠ABO＝∠BAO＝45°.

又∵∠ABC＝90°，

∴∠CBE＝45°，

∴∠BCE＝∠CBE，∴CE＝BE.

∵BC＝AD＝ ，

∴在Rt△CBE中，BC＝ ＝ ，

∴CE＝BE＝1，

∴OE＝OB＋BE＝ ，∴C .

∵长方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次都旋转90°，

∴第1次旋转结束时，点C的坐标为 ；

第2次旋转结束时，点C的坐标为 ；

第3次旋转结束时，点C的坐标为 ；

第4次旋转结束时，点C的坐标为 ；….

发现规律：点C的坐标旋转4次为一个循环.

∵2025÷4＝506……1，

∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为 .

二、11.(－6，1)　12.150°　13.(－3，1)　14.

15.16　【点拨】∵在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁，

∴△ABC≌△A₁BC₁，∠A₁BA＝30°，

∴A₁B＝AB＝8， ＝S_△ABC.

过点A₁作A₁D⊥AB于点D，则∠A₁DB＝90°，

∴A₁D＝ A₁B＝4，∴ ＝ ×8×4＝16.

易知S_阴影＝ ＋ －S_△ABC，

＝S_△ABC，

∴S_阴影＝ ＝16.

16.5　【点拨】设点B与其对应点B'之间的距离为a，则△OAB沿x轴正方向平移a个单位长度得到△O'A'B'.∵点A的坐标为(0，4)，

∴点A的对应点A'的坐标为(a，4).

又∵点A'在直线y＝ x上，

∴ a＝4，解得a＝5，

即点B与其对应点B'之间的距离为5.

三、17.【解】(1)如图，线段A₁B₁即为所求.

(2)如图，线段A₂B₂即为所求.

18.【解】(1)如图①.(答案不唯一)

(2)如图②.(答案不唯一)

19.【解】(1)∵将△ABC沿AB方向平移后得到△DEF，

∴∠ABC＝∠E＝60°.

在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－80°－60°＝40°.

(2)OD＝OB.理由如下：

∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC.

由平移的性质得∠A＝∠EDF，

∴∠ABC＝∠EDF，∴OD＝OB.

20.(1)【解】画出图形如图，△ECD即为所作图形.

(2)【证明】由中心对称图形的性质得△ECD≌△ABD，

∴CE＝AB＝6，DE＝AD＝4，∠CED＝∠BAD，

∴AE＝8.在△ACE中，AE²＋CE²＝8²＋6²＝10²＝AC²，

∴∠CED＝90°，∴∠BAD＝90°.

21.(1)【解】∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，∴AD＝AB，∴∠ADF＝∠B.

又∵∠B＝50°，∴∠ADF＝50°.

∵AF⊥BC，∴在Rt△ADF中，∠DAF＝90°－50°＝40°.

(2)【证明】∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△ADE，

∴∠C＝∠E.

又∵∠E＝∠CAD，∴∠C＝∠CAD，∴AD＝CD.

22.【解】(1)△ABC的面积为3×4－ ×3×1－ ×3×2－ ×4×1＝5.5.

(2)如图，△A₁B₁C₁即为所作.

A₁(2，3)，B₁(5，5)，C₁(1，6).

(3)存在.点Q的坐标为(－1，0)或(5，0).

23.(1)【证明】∵△ABC是等腰直角三角形，

∠ACB＝90°，∴AC＝BC.

∵CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，

∴∠DCE＝90°＝∠ACB，CD＝CE，

∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，

即∠ACD＝∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.

(2)【解】∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠ABC＝45°.

同(1)易证△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠A＝45°，AD＝BE＝5，

∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°.

在Rt△BDE中，由勾股定理得BD²＋BE²＝DE²，

∴DE²＝BD²＋AD²＝12²＋5²＝169，

∴DE＝13.

24.【解】(1)垂直

(2)由旋转的性质得∠ACE＝120°.

∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝30°.

∵∠B＝30°，∴∠BCE＝∠B，∴CE∥AB.

∵∠DCE＝90°，∴∠DCG＝∠DCE－∠BCE＝60°.

∵△ABC≌△DEC，∴∠E＝∠B＝30°.

∴∠D＝90°－∠E＝60°，∴∠DGC＝180°－∠DCG－∠D＝60°，∴∠DCG＝∠D＝∠DGC，

∴△CDG是等边三角形.

(3)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，

∴AB＝2AC＝8.

△CBM是以BM为腰的等腰三角形，分以下两种情况：

当BC＝BM时，

易知BC＝ ＝ ，

∴AM＝AB－BM＝AB－BC＝8－ .

当CM＝BM时，∠MCB＝∠B，

∴∠MCA＝90°－∠MCB＝90°－∠B＝∠A，

∴CM＝AM，

∴AM＝CM＝BM＝ AB＝4.

综上，AM的长为8－ 或4.