第十一章综合素质评价

八年级数学 上(R版)　　时间：90分钟　满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分)

1. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的(　　)

A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性

(第1题)　　 (第2题)

　　

2．如图表示三角形的分类，则A表示的是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形

3．如图，在△ABC中，边AB上的高是(　　)

A．AD B．GE C．CH D．EF

(第3题)　　 (第4题)

4．如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16 m，OB＝12 m，那么A，B间的距离不可能是(　　)

A．5 m B．15 m C．20 m D．30 m

5.（2023北京顺义区模拟）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是(　　)

A．三角形 B．六边形 C．五边形 D．四边形

6．一个正多边形的内角和是1 260°，则这个正多边形的一个外角等于(　　)

A．60° B．45° C．40° D．72°

7.（2024北京大兴区月考)在锐角三角形ABC中，∠A＝50°，则∠B的取值范围是(　　)

A．0°<∠B<90° B．40°<∠B<90°

C．40°≤∠B≤90° D．40°<∠B<130°

8. 如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4.若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　)

A．30° B．35° C．40° D．45°

(第8题)　　 (第9题)

9．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD＋∠ACD＝(　　)

A．50° B．60° C．90° D．40°

10.（2023南京秦淮区模拟)如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于点G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG.其中正确的结论是(　　)

A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④

二、填空题(每题3分，共18分)

11．△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝________．

12. 若a，b，c满足(a－8)²＋|b－5|＋|c－10|＝0，则以a，b，c为边长________(填“能”或“不能” )构成三角形，若能构成三角形，则此三角形的周长为________．

13．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝________°.

(第13题)　　 (第14题)

14.（2024南昌三中开学考)如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则∠1的度数为________．

15．如图，分别以四边形的四个顶点为圆心，以2 cm为半径作圆，则图中阴影部分面积为________cm²(结果用含π的式子表示)．

　　 (第15题)　　 (第16题)

16．一个正三角形和一副三角板(分别含30°和45°)摆放成如图所示的形状，且AB∥CD，则∠1＋∠2＝________．

三、解答题(共8小题，满分72分)

17. (8分)在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶7，求△ABC三个内角的度数．

18．(8分)（2024周口期末)一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A增加或减少多少度？

19.(8分)（2024北京海淀外国语实验学校期中)如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD是BC边上的高线，∠DAE＝40°，AE平分∠BAC，求∠ACB的度数．

20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝6 cm，D是BC的中点，E点在边AB上．若△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．

21．(8分)如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．

22．(10分)如图，AE，BE分别是∠DAC，∠CBD的平分线，它们相交于点E，AE与BD相交于点F，BE与AC相交于点G.写出∠C，∠D与∠E的等量关系，并证明．(要写出每一步的依据)

23. (10分)研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？

【回顾】如图①，请直接写出∠ACD与∠A，∠B之间的数量关系：________；

【探究】如图②，∠DCE是四边形ABCD的外角，求证：∠DCE＝∠A＋∠B＋∠D－180°；

【结论】若n边形(n≥3，且n为正整数)的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n之间的数量关系是________．

24．(12分)在△ABC中，∠BAC＝α，点D在边AC所在的直线上，作DE垂直直线BC，垂足为E.BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G.

(1)如图①，延长AB交DG的延长线于点F，若BM∥DG，∠F＝30°.

①∠ABC＝________°；

②求证：AC⊥AB；

(2)如图②，当α<90°，DG与BM的反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD＝________；

(3)当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．

答案

一、1.B　2.D　3.C　4.D　5.D　6.C　7.B　8.C

9．A　10.C

二、11.60°　12.能；23　13.30　14.115°　15.4π

16．75°　【点拨】如图，连接AC，

∵AB∥CD，

∴∠BAC＋∠ACD＝180°.

∵∠BAG＝30°，∠ECD＝60°，

∴∠EAC＋∠ACE＝180°－30°－60°＝90°.

∴∠AEC＝90°.

又∵∠CED＝60°，∴∠GEF＝180°－90°－60°＝30°.

同理∠EGF＝180°－∠1－90°＝90°－∠1，∠GFE＝180°－45°－∠2＝135°－∠2.

∵∠GEF＋∠EGF＋∠GFE＝180°，∴30°＋90°－∠1＋135°－∠2＝180°，解得∠1＋∠2＝75°.

三、17.解：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶7，

∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝7x，

由题意得，x＋2x＋7x＝180°，

解得x＝18°，则2x＝36°，7x＝126°.

∴∠A的度数是18°，∠B的度数是36°，∠C的度数是126°.

18．解：延长CD交AB于点E，

∵∠ADC＝∠A＋∠CEA，∠CEA＝∠B＋∠C，

∴∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C.

∵∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，

∴∠ADC＝20°＋90°＋35°＝145°.

∵根据需要∠ADC为140°，∴145°－140°＝5°.

即可将∠A减少5°.

19．解：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝90°.

∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－90°－30°＝60°.

∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝60°－40°＝20°.

又∵AE平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAE＝2×20°＝40°.

在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝40°，

∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－30°－40°＝110°.

20．解：由题图可知△BDE的周长＝BE＋BD＋DE，四边形ACDE的周长＝AE＋AC＋DC＋DE.

又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点，

∴BD＝DC，BE＋BD＋DE＝AE＋AC＋DC＋DE.

∴BE＝AE＋AC.

又∵BE＝AB－AE，

∴AB－AE＝AE＋AC.

∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，

∴10－AE＝AE＋6，解得AE＝2 cm.

21．解：连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.

∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.又∵∠C＝120°，

∴∠BAD＋∠ADC＝150°.∵CD∥AF，

∴∠CDA＝∠DAF.

又∵∠CDE＝∠BAF，∴∠BAD＝∠ADE.

∴∠ADE＋∠DAF＝∠BAD＋∠ADC＝150°.

在四边形ADEF中，

∵∠DAF＋∠EDA＋∠F＋∠E＝360°，

∴∠F＋∠E＝210°.

又∵∠E＝80°，∴∠F＝130°.

22．解：2∠E＝∠C＋∠D，证明：

如图，设AC交BD于点O.

∵AE，BE分别是∠DAC，∠CBD的平分线(已知)，

∴∠DAC＝2∠DAE，∠CBD＝2∠CBE(角平分线的定义)．

∵∠D＋∠DAC＋∠AOD＝∠C＋∠CBD＋∠BOC(三角形内角和定理)，∠AOD＝∠BOC(对顶角相等)，

∴∠D＋∠DAC＝∠C＋∠CBD(等式的性质)．

∴∠D＋2∠DAE＝∠C＋2∠CBE(等量代换)．

∴∠CBE－∠DAE＝(∠D－∠C)(等式的性质)．

∵∠E＝360°－∠BFE－∠AGE－∠COD(四边形内角和定理)，∠BFE＝∠AFD＝180°－∠D－∠DAE(对顶角相等及三角形内角和定理)，∠AGE＝∠BGC＝180°－∠C－∠CBE(对顶角相等及三角形内角和定理)，∠COD＝∠D＋∠DAC(三角形外角的性质)，

∴∠E＝360°－(180°－∠D－∠DAE)－(180°－∠C－∠CBE)－(∠D＋∠DAC)(等量代换)．

∴∠E＝∠DAE＋∠C＋∠CBE－∠DAC＝∠C＋∠CBE－∠DAE＝∠C＋(∠D－∠C)(等量代换)．

∴2∠E＝∠C＋∠D(等式的性质)．

23．【回顾】∠ACD＝∠A＋∠B

【探究】证明：∵∠A＋∠B＋∠D＋∠BCD＝360°，∠DCE＋∠BCD＝180°，

∴360°－(∠A＋∠B＋∠D)＝180°－∠DCE.

∴∠DCE＝∠A＋∠B＋∠D－180°.

【结论】y－x＝180(n－3)

24．(1)①60

②证明：∵BM∥DG，∠F＝30°，BM为△ABC的角平分线，

∴∠CBM＝∠ABM＝30°.

∴∠DGC＝∠CBM＝30°.

∵DE⊥BC，∴∠DEG＝90°.

∴∠EDG＝60°.

∵∠ADE的平分线交直线BC于点G，

∴∠ADF＝∠EDG＝60°.

∴∠A＝180°－30°－60°＝90°.∴AC⊥AB.

(2)45°－α

(3)∠BND＝45°＋α或135°±α.