第11章 三角形

类型一 新考法

1.（2023盐城） 小华将一副三角板(∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°)按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为(　　)

A．45° B．60° C．75° D．105°

2. （2023山西) 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　)

A．45° B．50° C．55° D．60°

3．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 如图，已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC.

方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB.

类型二 情境题

4．把平板电脑放在如图所示的一个支架上面，就可以非常方便地使用它上网课，这样做的数学道理是(　　)

A．对顶角相等 B．垂线段最短

C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短

(第4题)　　　 (第5题)

　　　

5．在一次中学生创客比赛中，某八年级学生设计了一款机器狗，机器狗运行的程序如图所示．将该机器狗放置在平面上运行至结束，它的移动距离为(　　)

A．12米 B．8米 C．6米 D．不能确定

6. ,2023衢州) 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角， 则图中与∠O相等的角是(　　)

(第6题)

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO

类型三 数学文化

7.(2023安徽) 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，

证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝.当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝________．

8. (2023株洲) 《周礼考工记》中记载有“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”，即：1宣＝矩，1欘＝1宣(其中1矩＝90°)，问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝________度．

类型四 新定义

9．在多边形中若各个内角度数之比是连续正整数，那么这个多边形我们称之为“特质多边形”，例如三个内角度数之比为1：2：3的三角形就叫做“特质三角形”，1，2，3就是这个三角形的“特质数”．如果一个“特质三角形”有一个内角是50°，那么这个三角形的“特质数”是____________________．

10．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．

例如：如图①，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是BC和B′C′边上的高线，且AD＝A′D′，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．

【性质探究】如图①，用S_△ABC，S_{△A′B′C′}分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，

则S_△ABC＝BC·AD，S_{△A′B′C′}＝B′C′·A′D′.

∵AD＝A′D′，

∴S_△ABC：S_{△A′B′C′}＝BC：B′C′.

【性质应用】

(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S_△ABD：S_△ADC＝________．

(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S_△ABC＝1，则S_△BEC＝________，S_△CDE＝________.

(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S_△ABC＝a，则S_△CDE＝________．

第11章 三角形

1．C　2.C

3．证明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.

∵∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，

∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.

方法二：∵CD∥AB，

∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°，

即∠B＋∠ACB＋∠ACD＝180°.

∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°.

(任选一种即可)

4．C　5.B　6.B　7.1　8.22.5

9．5，6，7　点拨：设这个“特质三角形”的三个内角度数之比是n(n＋1)(n＋2)．

当50°角是最小角时，由题意得

×180°＝50°，解得n＝5.

则n＋1＝6，n＋2＝7.

当50°角是中间度数的角时，由题意得

×180°＝50°，

此方程无解．

因为三角形内角和是180°，

所以50°不会是三个角中最大的角．

故这个三角形的“特质数”是5，6，7.

10．(1)34

(2)；　点拨：∵△BEC和△ABC是等高三角形，

∴S_△BECS_△ABC＝BEAB＝12，

∴S_△BEC＝S_△ABC＝×1＝.

∵△CDE和△BEC是等高三角形，

∴S_△CDES_△BEC＝CDBC＝13，

∴S_△CDE＝S_△BEC＝×＝.

(3)　点拨：∵△BEC和△ABC是等高三角形，

∴S_△BECS_△ABC＝BEAB＝1m，

∴S_△BEC＝S_△ABC＝×a＝.

∵△CDE和△BEC是等高三角形，

∴S_△CDES_△BEC＝CDBC＝1n，

∴S_△CDE＝S_△BEC＝×＝.