《第1章 勾股定理》
一、选择题
1．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或
C．13或15 D．15
2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
3．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ）
A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+1
4．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ）
（1）3，4，5；（2）
，
，
；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13 B．8 C．25 D．64
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5
8．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
9．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．50a元 B．600a元 C．1200a元 D．1500a元
10．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．13
二、填空题
11．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米．
12．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
13．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．
15．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m．
16．如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于 ．
17．如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是 ．
18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
三、解答题
19．如图，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．
20．如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4．求这个三角形各边的长．
21．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
22．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
23．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
《第1章 勾股定理》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13 B．13或
C．13或15 D．15
【考点】勾股定理．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：当12是斜边时，第三边是
=
；
当12是直角边时，第三边是
=13．
故选B．
【点评】如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解．
2．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32=13≠42，故A选项构成不是直角三角形；
B、32+42=25≠62，故B选项构成不是直角三角形；
C、52+122=169=132，故C选项构成是直角三角形；
D、42+62=52≠72，故D选项构成不是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（ ）
A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+1
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理直接解答即可．
【解答】解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：
=
=
=n2+1．
故选D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是正确对（n2﹣1）2+（2n）2进行分解因式．
4．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ）
（1）3，4，5；（2）
，
，
；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】符合勾股定理的逆定理是直角三角形．
【解答】解：（1）∵32+42=52，∴是直角三角形，故（1）正确；
（2）∵
，∴不是直角三角形，故（2）错误；
（3）∵
，∴不是直角三角形，故（3）错误；
（4）∵0.032+0.042=0.052，∴是直角三角形，故（4）正确．
根据勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正确．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：当三角形的三边之间有a2+b2=c2时，则它是直角三角形．
5．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13 B．8 C．25 D．64
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，
解得：x=8．
故选B．
【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
7．如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5
【考点】三角形的面积．
【专题】网格型．
【分析】根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
【解答】解：如图：小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF•FG=5×5=25
S△AED=
DE•AE=
×1×2=1，
S△DCH=
•CH•DH=
×2×4=4，
S△BCG=
BG•GC=
×2×3=3，
S△AFB=
FB•AF=
×3×3=4.5．
S四边形ABCD=S□EFGH﹣S△AED﹣S△DCH﹣S△BCG﹣S△AFB=25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的运用，根据图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答．
8．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
9．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（ ）
A．50a元 B．600a元 C．1200a元 D．1500a元
【考点】勾股定理的应用．
【分析】此题首先由已知△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，根据勾股定理求出另一条直角边BC，再求出面积，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，
∴BC=
=40米，
共需要资金为：
×40×30•a=600a元．
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是先由已知结合勾股定理求出另一条直角边，再求出面积即得答案．
10．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．13
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】探究型．
【分析】先根据△BCE等腰直角三角形得出BC的长，进而可得出BD的长，根据△ABD是等腰直角三角形可知AB=BD，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，
∴BC=5，
∵CD=17，
∴DB=CD﹣BE=17﹣5=12，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=BD=12，
在Rt△ABC中，
∵AB=12，BC=5，
∴AC=
=
=13．
故选D．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键．
二、填空题
11．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 7 米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度=
=4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4=7米．
故答案为7．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
12．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= 8 ．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 24 cm．
【考点】勾股定理．
【分析】设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．
【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
【点评】本题主要考查了运用直角三角形的性质的能力，关键在于运用勾股定理得出三边之间的关系，根据题意求出三边的边长．周长=三边之和，求出周长．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是 
．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理求出斜边，即可求出半圆的半径，求出面积即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴由勾股定理得：AB=5，
即半圆的半径为
，
所以半圆的面积为
×π×（
）2=
π，
故答案为：
π．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是求出半圆的半径，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
15．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 13 m．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：两棵树高度相差为AE=13﹣8=5m，之间的距离为BD=CE=12m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=
=13m，即小鸟至少要飞13m．
【点评】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可．
16．如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于 4 ．
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．
【解答】解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，
∴BD=AD=5，
∵BC=8，
∴CD=BC﹣BD=3，
∴AC=
=4，
故答案是：4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线定理以及勾股定理．求得AD=BD是解题的关键．
17．如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是 19 ．
【考点】勾股定理；正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】在直角三角形ABE中，由AE与BE的长，利用勾股定理求出AB的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．
【解答】解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
根据勾股定理得：AB=
=5，
则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣
×3×4=25﹣6=19，
故答案为：19．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．
三、解答题
19．如图，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】由AB=4，BC=3，∠B=90°可得AC=5．可求得S△ABC；再由AC=5，AD=13，CD=12，可得△ACD为直角三角形，进而求得S△ACD，可求S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC=
=5．
∴S△ABC=
AB•BC=
×4×3=6．
在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．
∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169．
∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，
∴S△ACD=
AC•CD=
×5×12=30．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36．
【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．
20．如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4．求这个三角形各边的长．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】由于等腰三角形中底边上的高平分底边，故周长的一半为AB与BD的和，可设出未知数，利用勾股定理建立方程求解．
【解答】解：设BD=x，则AB=8﹣x
由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是（8﹣x）2=x2+42，
∴x=3，
∴AB=AC=5，BC=6．
【点评】本题利用了等腰三角形的性质：底边上的高平分底边，及勾股定理求解．
21．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
【考点】勾股定理的应用；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】连接AC，根据直角△ACD可以求得斜边AC的长度，根据AC，BC，AB可以判定△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差即可．
【解答】解：连接AC，
已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，
根据AD2+CD2=AC2，可以求得AC=15m，
在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，
∴存在AC2+CB2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，
S=S△ABC﹣S△ACD=
AC•BC﹣
CD•AD，
=
×15×36﹣
×9×12，
=270﹣54，
=216m2，
答：这块地的面积为216m2．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定△ABC是直角三角形是解题的关键．
22．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1=CB1﹣CB即可求得BB1的长度．
【解答】解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，
则AC=
=2.4m，
∵AC=AA1+CA1
∴CA1=2m，
∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB1=
=1.5m，
∴BB1=CB1﹣CB=1.5﹣0.7=0.8m
答：梯足向外移动了0.8m．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB1的长度是解题的关键．
23．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算；再根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，然后求出时间段即可．
【解答】解：∵AB=100km，AD=60km，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD=
=80km，
则台风中心经过80÷20=4小时从B移动到D点；
如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD﹣DE=80﹣30=50km，
∴游人在
=2.5小时内撤离才可脱离危险．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是利用勾股定理求出BD的长度，难度一般．