《第5章 二元一次方程组》
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程2x+y=7的正整数解有（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
2．当
与
都是方程ax+3y=b的解时，a，b的值为（ ）
A．a=3，b=﹣1 B．a=﹣21，b=﹣6 C．a=1，b=﹣6 D．a=21，b=4
3．已知a是一位数，b是两位数，将a放在b的左边，所得的三位数是（ ）
A．ab B．a+b C．10a+b D．100a+b
4．4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
5．一套试卷共25道题，若做对一题得4分，不做或做错一题扣1分，小李做完此试卷后，得70分，则他做对了（ ）
A．18 题 B．17题 C．19题 D．20题
6．如果方程组
有无数组解，则b的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
7．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）
A．16 B．25 C．52 D．61
8．如果方程组
的解与方程组
的解相同，则a，b的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上．
9．已知
是关于x，y的二元一次方程，则a= ．
10．已知2x﹣6y=7，用含x的代数式表示y的式子是 ．
11．若3xm﹣1y4与﹣2x2yn是同类项，则m= ，n= ．
12．已知|3y+2x+2|+（x+2y﹣5）2=0，则x= ，y= ．
13．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知一束鲜花的价格是 元．
14．若直线y=﹣x+a和直线y=x+6的交点坐标为（m，8），则a+b= ．
15．小明现有5分、2分的硬币各若干枚，共6角7分．设5分硬币有x枚，2分硬币有y枚，可列方程为 ，x最大值为 ．
16．在方程kx﹣2y=7中，如果
是它的一个解，则k= ．
17．方程组
的解也是方程2x+3y=6的解，则k的值为 ．
18．若一次函数y=3x﹣5与y=2x+7的交点P坐标为（12，31），则方程组
的解为 ．
三、运算题：本大题共6小题，共48分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
19．（12分）解方程组：
（1）
（2）
（3）
（用图象法解）
20．如图所示，求直线l1、l2的交点坐标．
21．某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40㎏到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
品名 |
西红柿 |
豆角 |
批发价（单位：元/kg） |
1.2 |
1.6 |
零售价（单位：元/kg） |
1.8 |
2.5 |
22．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？
23．直角坐标系中有两条直线：y=
，y=
+6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B．
（1）求A、B两点坐标；
（2）用图象法解方程组
（3）求△PAB的面积．
24．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额﹣年销售产品总进价﹣年总开支），当销售单价为何值时年获利最大？并求这个最大值．
《第5章 二元一次方程组》
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程2x+y=7的正整数解有（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
【考点】解二元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】求方程2x+y=7的正整数解，可先令x=1，2，3，然后求出b的值即可．
【解答】解：由方程2x+y=7，要求其正整数解，
令x=1，代入得：y=5，
令x=2，代入得：y=3，
令x=3，代入得：y=1．
故满足题意的正整数解有三组．
故选C．
【点评】本题考查了解二元一次方程，属于基础题，关键是先给出其中一个的值，代入求对应的值．
2．当
与
都是方程ax+3y=b的解时，a，b的值为（ ）
A．a=3，b=﹣1 B．a=﹣21，b=﹣6 C．a=1，b=﹣6 D．a=21，b=4
【考点】二元一次方程的解．
【分析】把
与
代入方程即可得到一个关于a、b的方程组即可求解．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：
．
故选B．
【点评】本题考查了方程组的解的定义，理解定义是关键．
3．已知a是一位数，b是两位数，将a放在b的左边，所得的三位数是（ ）
A．ab B．a+b C．10a+b D．100a+b
【考点】列代数式．
【分析】a放在左边，则a在百位上，据此即可表示出这个三位数．
【解答】解：a放在左边，则a在百位上，因而所得的数是：100a+b．
故选D．
【点评】本题考查了利用代数式表示一个数，关键是正确确定a是百位上的数字．
4．4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】工程问题．
【分析】此题中的等量关系为：
①4辆板车运货量+5辆卡车运货量=27吨；②10辆板车运货量+3辆卡车运货量=20吨．
根据相等关系就可设未知数列出方程．
【解答】解：根据4辆板车运货量+5辆卡车运货量=27吨，得方程4x+5y=27；
根据10辆板车运货量+3辆卡车运货量=20吨，得方程10x+3y=20．
可列方程组为
．
故选：C．
【点评】由关键性词语“4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货”，“10辆板车和3车卡车一次能运货20吨”，找到等量关系是解决本题的关键．
5．一套试卷共25道题，若做对一题得4分，不做或做错一题扣1分，小李做完此试卷后，得70分，则他做对了（ ）
A．18 题 B．17题 C．19题 D．20题
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】设做对x道题，不做或做错y道题，根据试题数量及小李的得分，可得出方程组，解出即可．
【解答】解：设做对x道题，不做或做错y道题，
由题意得，
，
解得：
．
即他做对了19道题．
故选C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
6．如果方程组
有无数组解，则b的值是（ ）
A．1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】计算题．
【分析】根据方程组有无数组解得到两方程为同一个方程，即可求出b的值．
【解答】解：根据题意得：b=4．
故选C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
7．一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）
A．16 B．25 C．52 D．61
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】数字问题．
【分析】这是一道数字问题的应用题，等量关系有两个，即十位数字与个位数字之和等于7，原两位数+45=新两位数，根据这两个等量关系列出方程组．
【解答】解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），
由题意，得
，
解得
．
所以这个两位数是：10×1+6=16．
故选A．
【点评】此题的关键是掌握两位数的表示方法．
8．如果方程组
的解与方程组
的解相同，则a，b的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】同解方程组．
【分析】由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是
，把
代入方程中其余两个方程，得关于a、b的方程组，解答即可．
【解答】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是
，
把
代入方程中其余两个方程得
，
解得
．
故选B．
【点评】此题考查了对方程组解的理解，另外此题还有一巧办法，把两个方程相加得7a+7b=7，∴a+b=1，只有答案B满足此条件，因此选B．
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，把答案填写在题中横线上．
9．已知
是关于x，y的二元一次方程，则a= ．
【考点】二元一次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答】解：根据题意，得
，
解得，a=﹣2；
故答案是：﹣2．
【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
10．已知2x﹣6y=7，用含x的代数式表示y的式子是 ．
【考点】解二元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】将x看做已知数，求出y即可．
【解答】解：2x﹣6y=7，
变形得：y=
．
故答案为：y=
．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，y看做未知数．
11．若3xm﹣1y4与﹣2x2yn是同类项，则m= ，n= ．
【考点】解一元一次方程；同类项．
【专题】计算题．
【分析】根据同类项的定义列出方程，求出方程的解即可得到m与n的值．
【解答】解：根据题意得：m﹣1=2，n=4，
解得：m=3，n=4．
故答案为：3；4
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
12．已知|3y+2x+2|+（x+2y﹣5）2=0，则x= ，y= ．
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题．
【分析】根据几个非负数和得性质得到
，再利用①﹣②×2可求出y，然后利用代入法求出y得值．
【解答】解：根据题意得
，
①﹣②×2得3y﹣4y+2+10=0，
解得y=12，
把y=12代入②得x+24﹣5=0，
解得x=﹣19．
故答案为﹣19，12．
【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元法或加减消元法把二元一次化为一元一次方程求解．也考查了非负数得性质．
13．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知一束鲜花的价格是 元．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】本题可设一束鲜花x元，一个礼盒y元，由图示可列方程组求解．
【解答】解：设一束鲜花x元，一个礼盒y元，由题意可知：
，
解得
，
所以一束鲜花15元．
故填15．
【点评】此类题目属于数形结合，需仔细分析图形，然后利用方程组即可解决问题．
14．若直线y=﹣x+a和直线y=x+6的交点坐标为（m，8），则a+b= ．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题．
【分析】直接把（m，8）代入两个解析式分别用m表示a和b，然后计算a+b即可．
【解答】解：把（m，8）分别代入y=﹣x+a和y=x+b得﹣m+a=8，m+b=8
所以a=8+m，b=8﹣m，
所以a+b=16．
故答案为16．
【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1（k1≠0）和直线y=k2x+b2（k2≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．
15．小明现有5分、2分的硬币各若干枚，共6角7分．设5分硬币有x枚，2分硬币有y枚，可列方程为 ，x最大值为 ．
【考点】二元一次方程的应用．
【分析】先设5分硬币有x枚，2分硬币有y枚，根据有5分、2分的硬币各若干枚，共6角7分，列出方程，再根据
≥0，x只能取整数，即可求出x的最大值．
【解答】解：设5分硬币有x枚，2分硬币有y枚，根据题意可列方程为：5x+2y=67；
∵y=
，
∴
≥0，
x≤
，
∵x只能取整数，
∴x最大值为13．
故答案为：5x+2y=67，13．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程，注意x，y只能取整数．
16．在方程kx﹣2y=7中，如果
是它的一个解，则k= ．
【考点】二元一次方程的解．
【分析】把
代入方程得到一个关于k的方程，即可求得k的值．
【解答】解：把
代入方程得：3k+2=7，
解得：k=
．
故答案是：
．
【点评】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
17．方程组
的解也是方程2x+3y=6的解，则k的值为 ．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将k看做已知数，表示出x与y，代入方程2x+3y=6中即可求出k的值．
【解答】解：方程组解得：x=7k，y=﹣2k，
代入方程2x+3y=6得：14k﹣6k=6，
解得：k=
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
18．若一次函数y=3x﹣5与y=2x+7的交点P坐标为（12，31），则方程组
的解为 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】本题根据一次函数和二元一次方程组的关系即可直接求出方程组的解．
【解答】解：∵一次函数y=3x﹣5与y=2x+7的交点P坐标为（12，31），
根据一次函数和二元一次方程组的关系可知一次函数y=3x﹣5与y=2x+7的交点坐标正好是它们组成的方程组的解，
∴方程组
的解为
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的关系，解题时要注意一次函数的交点坐标正好是它们组成的方程组的解．
三、运算题：本大题共6小题，共48分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
19．（12分）解方程组：
（1）
（2）
（3）
（用图象法解）
【考点】一次函数与二元一次方程（组）；解二元一次方程组．
【分析】（1）首先把②×2，再减①可消去未知数x，解方程可得y的值，然后再求出x的值即可；
（2）首先把①变形为3x﹣2y=8③，再用②+③可消去未知数y，解方程可得x的值，进而得到方程组的解；
（3）首先在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点就是方程组的解．
【解答】解：（1）
，
②×2得：2x+8y=26③，
③﹣①得：5y=10，
解得y=2，
把y=2代入②得：x+8=13，
解得：x=5，
∴
；
（2）
，
由①得：3x﹣2y=8③，
②+③得：x=3，
把x=3代入②得：y=
，
方程组的解为
；
（3）在平面直角坐标系中画y=2x和2x+y=4，
两直线交于点（1，2）点，
方程组的解为
．
【点评】此题主要考查了解方程组，关键是正确把握加减消元的思想．
20．如图所示，求直线l1、l2的交点坐标．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】求两条直线的交点，要先根据待定系数法确定两条直线的函数式，从而得出．
【解答】解：由图象可知l1过（0，5）和（5，0）两点．
l2过（﹣2，0）和（0，1）．
根据待定系数法可得出l1的解析式应该是：y=﹣x+5，
l2的解析式应该是：y=
x+1，
两直线的交点满足方程组
，
解得：
直线l1、l2的交点坐标（
，
）．
【点评】本题可用待定系数法来确定两条直线的解析式，再联立求得交点的坐标．
21．某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40㎏到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
品名 |
西红柿 |
豆角 |
批发价（单位：元/kg） |
1.2 |
1.6 |
零售价（单位：元/kg） |
1.8 |
2.5 |
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】图表型．
【分析】通过理解题意可知本题的两个等量关系，西红柿的重量+豆角的重量=40，1.2×西红柿的重量+1.6×豆角的重量=60，根据这两个等量关系可列出方程组．
【解答】解：设西红柿的重量是xkg，豆角的重量是ykg，
依题意有
解得
10×（1.8﹣1.2）+30×（2.5﹣1.6）=33（元）
答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚33元．
【点评】注意要先求出西红柿和豆角的重量，再计算利润．
22．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设x张制盒身，则可用（150﹣x）张制盒底，那么盒身有16x个，盒底有43（150﹣x）个，然后根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒就可以列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设x张制盒身，则可用（150﹣x）张制盒底，
列方程得：2×16x=43（150﹣x），
解方程得：x=86．
答：用86张制盒身，64张制盒底，可以正好制成整套罐头盒．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
23．直角坐标系中有两条直线：y=
，y=
+6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B．
（1）求A、B两点坐标；
（2）用图象法解方程组
（3）求△PAB的面积．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】（1）分别令y=0，求出x的值即可得到点A、B的坐标，
（2）建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；
（3）求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）令y=0，则
=0，
解得x=﹣3，
所以点A的坐标为（﹣3，0），
令
+6=0，
解得x=4，
所以，点B的坐标为（4，0）；
（2）如图所示，方程组的解是
；
（3）AB=4﹣（﹣3）=4+3=7，
△PAB的面积=
×7×3=
．
【点评】本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函数与方程组之间的关系．
24．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额﹣年销售产品总进价﹣年总开支），当销售单价为何值时年获利最大？并求这个最大值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设直线为y=kx+b，把已知坐标代入求出k，b的值后可求出函数解析式；
（2）根据题意可知W=yx﹣40y﹣120，把x=100代入解析式即可；
【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0），它过点（60，5），（80，4），
，
解得：
，（2分）
∴y=﹣
x+8；（3分）
（2）W=yx﹣40y﹣120=（﹣
x+8）（x﹣40）﹣120=﹣
x2+10x﹣440
∴当x=100元时，最大年获利为60万元；（6分）
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，考生应学会数形结合解答二次函数的相关题型．