3.3 轴对称与坐标变化

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）

2．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（　　）

A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）

3．将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于原点对称 D．无任何对称关系

4．若某四边形顶点的横坐标变为原来的相反数，而纵坐标不变，此时图形位置也不变，则这四边形不是（　　）

A．矩形 B．直角梯形 C．正方形 D．菱形

5．已知点M与点P关于x轴对称，点N与点M关于y轴对称，若点N（1，2），则点P的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）

6．坐标平面上有一个轴对称图形， 、 两点在此图形上且互为对称点．若此图形上有一点C（﹣2，﹣9），则C的对称点坐标为何（　　）

A．（﹣2，1） B． C． D．（8，﹣9）

7．点P（a﹣1，b﹣2）关于x轴对称与关于y轴对称的点坐标相同，则P点坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，0） C．（0，﹣2） D．（0，0）

8．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，﹣1）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P₁，作P₁关于点B的对称点P₂，作点P₂关于点C的对称点P₃，作P₃关于点D的对称点P₄，作点P₄关于点A的对称点P₅，作P₅关于点B的对称点P₆┅，按如此操作下去，则点P₂₀₁₁的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）

　

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

9．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=　　　　　　．

10．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A的对应点D的坐标是　　　　　　．

11．如图，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为　　　　　　．

12．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　　　　　　．

　

三、解答题（共4小题，满分52分）

13．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．请画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并求出A₁、B₁、C₁三点的坐标．

14．在直角坐标系中，将坐标是（3，0），（3，2），（0，3），（3，5），（3，2），（6，3），（6，2），（3，0），（6，0）的点用线段依次连接起来形成一个图案．

（1）作出原图案关于x轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？

（2）作出原图案关于y轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？

15．在图（1）中编号①②③④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为　　　　　　；关于x轴对称的两个三角形的编号为　　　　　　．在图（2）中，画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁，并分别写出点A₁，B₁，C₁的坐标．

16．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．

（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是△A₂B₂C₂，写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标；

（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P₁，点P₁关于直线l的对称点是P₂，求PP₂的长．

　

北师大新版八年级数学上册同步练习：3.3 轴对称与坐标变化

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．

【解答】解：∵点A（2，3），

∴点A关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．

故选：B．

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．

　

2．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），则点D的坐标为（　　）

A．（﹣4，6） B．（4，6） C．（﹣2，1） D．（6，2）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．

【解答】解：∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（﹣4，6），

∴D（4，6）．

故选：B．

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，准确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

　

3．将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于原点对称 D．无任何对称关系

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于y轴对称．

【解答】解：∵横坐标乘以﹣1，∴横坐标相反，又纵坐标不变，∴关于y轴对称．故选B．

【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

　

4．若某四边形顶点的横坐标变为原来的相反数，而纵坐标不变，此时图形位置也不变，则这四边形不是（　　）

A．矩形 B．直角梯形 C．正方形 D．菱形

【考点】坐标与图形性质；直角梯形．

【分析】本题可根据题意可知答案必须是轴对称图形，对四个选项分别讨论，看是否满足条件，若不满足则为本题的答案．

【解答】解：∵四边形顶点的横坐标变为原来的相反数，而纵坐标不变，此时图形位置也不变，

∴该图形必须是轴对称图形，直角梯形不是轴对称图形，所以这四边形不是直角梯形．

故选B．

【点评】主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要把点的坐标有机的和图形结合起来求解．要掌握坐标变化时图形的变化特点，并熟悉轴对称图形的特点．

　

5．已知点M与点P关于x轴对称，点N与点M关于y轴对称，若点N（1，2），则点P的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【专题】数形结合．

【分析】作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么可得点P的坐标．

【解答】解：∵点M与点P关于x轴对称，点N与点M关于y轴对称，

∴点N与点P关于原点对称，

∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），

故选C．

【点评】考查关于坐标轴对称的点的规律；用到的知识点为：两点是关于一次x轴对称，又关于y轴一次对称得到的点，那么这两点关于原点对称．

　

6．坐标平面上有一个轴对称图形， 、 两点在此图形上且互为对称点．若此图形上有一点C（﹣2，﹣9），则C的对称点坐标为何（　　）

A．（﹣2，1） B． C． D．（8，﹣9）

【考点】坐标与图形变化-对称．

【专题】计算题．

【分析】根据A、B的坐标，求出对称轴方程，即可据此求出C点对称点坐标．

【解答】解：∵A、B关于某条直线对称，且A、B的横坐标相同，

∴对称轴平行于x轴，

又∵A的纵坐标为﹣ ，B的纵坐标为﹣ ，

∴故对称轴为y= ，

∴y=﹣4．

则设C（﹣2，﹣9）关于y=﹣4的对称点为（﹣2，m），

于是 =﹣4，

解得m=1．

则C的对称点坐标为（﹣2，1）．

故选：A．

【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣﹣对称，要知道，以关于x轴平行的直线为对称轴的点的横坐标不变，纵坐标之和的平均数为对称轴上点的纵坐标．

　

7．点P（a﹣1，b﹣2）关于x轴对称与关于y轴对称的点坐标相同，则P点坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，0） C．（0，﹣2） D．（0，0）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【专题】计算题．

【分析】点P（a﹣1，b﹣2）关于x轴对称点的坐标是（a﹣1，2﹣b），关于y轴对称的点坐标是（1﹣a，b﹣2），根据题意就可以得到关于a，b的方程，就可以求出a，b的值，从而求出点P的坐标．

【解答】解：点P（a﹣1，b﹣2）关于x轴对称点的坐标是（a﹣1，2﹣b），

关于y轴对称的点坐标是（1﹣a，b﹣2），

据题意得：a﹣1=1﹣a，2﹣b=b﹣2；

解得：a=1，b=2；

∴P点坐标为（0，0）；

故本题选D．

【点评】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数．

　

8．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A（1，1）、B（1，﹣1）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣1，1），y轴上有一点P（0，2）．作点P关于点A的对称点P₁，作P₁关于点B的对称点P₂，作点P₂关于点C的对称点P₃，作P₃关于点D的对称点P₄，作点P₄关于点A的对称点P₅，作P₅关于点B的对称点P₆┅，按如此操作下去，则点P₂₀₁₁的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）

【考点】坐标与图形变化-对称；正方形的性质．

【专题】规律型．

【分析】根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点P₂₀₁₁的坐标与P₃坐标相同，即可得出答案．

【解答】解：∵作点P关于点A的对称点P₁，作P₁关于点B的对称点P₂，作点P₂关于点C的对称点P₃，作P₃关于点D的对称点P₄，作点P₄关于点A的对称点P₅，作P₅关于点B的对称点P₆┅，按如此操作下去，

∴每变换4次一循环，

∴点P₂₀₁₁的坐标为：2011÷4=502…3，

点P₂₀₁₁的坐标与P₃坐标相同，

∴点P₂₀₁₁的坐标为：（﹣2，0），

故选：D．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点P₂₀₁₁的坐标与P₃坐标相同是解决问题的关键．

　

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

9．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=　0　．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．

【解答】解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，

∴m+2=4，3=n+5，

解得：m=2，n=﹣2，

∴m+n=0，

故答案为：0．

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

　

10．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A的对应点D的坐标是　（2，1）　．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】易得点A的坐标为（2，1），点A关于Y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为点A的横坐标的相反数即可求得点A关于x轴对称的点D的坐标．

【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，1），

∴点A关于y轴对称的点D的横坐标为2，纵坐标为1，

∴点A关于x轴对称的点D的坐标是（2，1）．

故答案为：（2，1）．

【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，用到的知识点为：关于Y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为点A的横坐标的相反数．

　

11．如图，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为　（2，﹣2 ）　．

【考点】等边三角形的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标；特殊角的三角函数值．

【分析】先求出A点的坐标，然后关于x轴对称x不变，y变为相反数．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴过A点作BC的垂线交于BC中点D，则D点坐标为（2，0）．

运用勾股定理得AD=4×sin60°=2 ．

∴A的坐标是（2，2 ）．

又因为关于x轴对称，所以可得答案为（2，﹣2 ）．

【点评】考查点的坐标的确定及对称点的坐标的确定方法．

　

12．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　5　．

【考点】解直角三角形的应用．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】延长AC交x轴于B′．根据光的反射原理，点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．路径长就是AB′的长度．结合A点坐标，运用勾股定理求解．

【解答】解：如图所示，

延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB=CB′．

作AD⊥x轴于D点．则AD=3，DB′=3+1=4．

∴AB′=AC+CB′=AC+CB=5．

即光线从点A到点B经过的路径长为5．

【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键．

　

三、解答题（共4小题，满分52分）

13．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．请画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并求出A₁、B₁、C₁三点的坐标．

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，然后再作出对称图形．

【解答】解：

A₁（2，3）

B₁（3，2）

C₁（1，1）

【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

　

14．在直角坐标系中，将坐标是（3，0），（3，2），（0，3），（3，5），（3，2），（6，3），（6，2），（3，0），（6，0）的点用线段依次连接起来形成一个图案．

（1）作出原图案关于x轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？

（2）作出原图案关于y轴对称的图案．两图案中的对应点的坐标有怎样的关系？

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】（1）在坐标系内描出各点，用线段依次连接起来，作出原图案关于x轴对称的图案；

（2）作出原图案关于y轴对称的图案即可．

【解答】解：（1）如图所示，由图可知，两图案中对应点的坐标纵坐标相等等，横坐标互为相反数；

（2）如图所示，由图可知，两图案中对应点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数．

【点评】本题考虑查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

　

15．在图（1）中编号①②③④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为　①②或③④　；关于x轴对称的两个三角形的编号为　①③或②④　．在图（2）中，画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁，并分别写出点A₁，B₁，C₁的坐标．

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】根据轴对称图形的性质得出关于x轴或y轴对称的图形，再根据关于x轴对称的图形的特点画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁，并分别写出点A₁，B₁，C₁的坐标．

【解答】解：∵①与②，③与④图形中各对应点关于y轴对称，

∴①与②或③与④关于y轴对称；

∵①与③，②与④图形中各对应点关于x轴对称，

∴①与③或②与④关于x轴对称．

故答案为：①②或③④，①③或②④．

如图，由图可知，A₁（2，1），B₁（1，3），C₁（4，4）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

　

16．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．

（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是△A₂B₂C₂，写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标；

（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P₁，点P₁关于直线l的对称点是P₂，求PP₂的长．

【考点】坐标与图形变化-对称．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）根据关于y轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△A₁B₁C₁各点坐标，又关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△A₂B₂C₁的三个顶点的坐标；

（2）P与P₁关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出P₁的坐标，再由直线l的方程为直线x=3，利用对称的性质求出P₂的坐标，即可PP₂的长．

【解答】解：（1）△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标分别是A₂（4，0），B₂（5，0），C₂（5，2）；

（2）如图1，当0＜a≤3时，∵P与P₁关于y轴对称，P（﹣a，0），

∴P₁（a，0），

又∵P₁与P₂关于l：直线x=3对称，

设P₂（x，0），可得： =3，即x=6﹣a，

∴P₂（6﹣a，0），

则PP₂=6﹣a﹣（﹣a）=6﹣a+a=6．

如图2，当a＞3时，

∵P与P₁关于y轴对称，P（﹣a，0），

∴P₁（a，0），

又∵P₁与P₂关于l：直线x=3对称，

设P₂（x，0），可得： =3，即x=6﹣a，

∴P₂（6﹣a，0），

则PP₂=6﹣a﹣（﹣a）=6﹣a+a=6．

【点评】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，尤其是第（2）小题设置的问题既具有一定的开放性又重点考查了分类的数学思想，使试题的考查有较高的效度．