第13章 三角形中的边角关系

13.1 三角形中的边角关系

专题一 三角形边角关系的应用

1．若a、b、c是△ABC的三边，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.

2.已知a、b、c是三角形的三边，且满足a²+b²+c²－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.

3.一块模板如图所示，按规定AF与DE的延长线相交成70°，但交点不在模板上，不便测量，于是王师傅连接AD，测得∠FAD=34°,∠ADE=76°,请你根据这两个角度判断模板是否合格？并说明理由.

专题二 三角形中的探究题

4.已知△ABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a＞b＞c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个?

5.湖边上有A，B两个村庄（如图），从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B．试判别哪条路更短，并说明理由．

6.如图所示，已知∠xOy=90°，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？

【知识要点】

1.不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.

2.三角形的三边要满足:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

3.三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,按角分可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.

4.三角形的内角和等于180°.

【温馨提示】

1.不是任何三条线段首尾顺次连接都可以组成三角形,这三条线段必须满足三角形的三边关系定理.

2.三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又包含腰和底边不相等的等腰三角形和等边三角形.

3.三角形的角平分线、高、中线都是线段,在理解这些概念时,可以从画图入手,有助于理解三条角平分线、中线、高交于一点.

【方法技巧】

1.确定三角形个数时,要按照大小顺序或从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数或先固定一个顶点,再确定另外两个顶点来数.

2.判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法是:当三条线段互不相等时,只需要检验较短的两条线段之和是否大于较长线段,若大于则能组成,否则不能组成.

3.在解决与三角形内角有关的问题时,可通过已知条件,设其中的一个角的度数为x,再根据三角形的内角和等于180°列方程或方程组解决.

参考答案

1.由三角形三边间的关系,得a＜b＋c,b＜c＋a,c＜a＋b，即a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，故原式＝－（a－b－c）－（b－c－a）－（c－a－b）＝a＋b＋c.

2.因为a²+b²+c²－ab－bc－ca=0，则有2a²+2b²+2c²－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a－b）²+（ｂ－ｃ）²+（ｃ－a）²＝0.此时有非负数的性质知（a－b）²=0；（ｂ－ｃ）²=0；（ｃ－a）²＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a = b = c.所以此三角形是等边三角形.

3.延长AF、DE相交于点O，则在△ADO中,根据三角形三个内角和等于180°，可得∠AOD=180°－∠FAD－∠ADE=180°－34°－76°=70°,所以模板合格.

4.由三角形的三边关系,知b+c＞a,而b＞c,a=8,可知b＞4,且b＜8,又因为b是整数,所以b=5,6,7如此分类中得c,列表如下:

a	8	8	8
b	5	6	7
c	4	5,4,3	6,5,4,3,2

因此满足条件的三角形共有1+3+5=9(个).

5.A→Q→B更短，延长AQ交BP于E．△APE中，AP+PE>AQ+QE ①，△BEQ中，QE+BE>BQ ②，①+②得，AP+PE+QE+BE>AQ+QE+BQ，即AP+PB>AQ+BQ．

6.不会变化．∠ACB=45°．理由：因为∠OBA+∠OAB=90°，所以∠C= （180°-∠ABO-∠BAO）=45°