第13章 全等三角形　等腰三角形中的分类讨论

一、腰或底边不确定时需讨论

1．等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是(　　)

A．11 cm B．13 cm

C．11 cm或13 cm D．以上答案都不正确

2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)²＝0，则此等腰三角形的周长为(　　)

A．7或8 B．6或10

C．6或7 D．7或10

二、顶角或底角不确定时需讨论

3．等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为(　　)

A．50° B．65° C．80° D．50°或80°

4．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________．

5．已知△ABC中，∠A＝40°，则当∠B＝_________________时，△ABC是等腰三角形．

三、三角形形状不确定时需讨论

6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是(　　)

A．30° B．60°

C．150° D．30°或150°

7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为____________．

8．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．

四、由题目条件的不确定性引起的分类讨论

9．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(　　)

A．7 B．11 C．7或11 D．7或10

10．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．

11．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4.求CB的长．

答案：

1. C

2. A

3. D

4. 80°或20°

5. 70°或100°或40°

6. D

7. 63°或27°

8. 两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，

如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，

∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，

在△BMD和△ACD中，

∴△BMD≌△ACD(A.A.S.)，

∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°

当∠ABC为钝角时，如图2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，

∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，

∴△BMD≌△ACD(A.A.S.)，∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，则∠ABC＝135°

.∴综上所述，∠ABC＝45°或135°

9. C

10. 当F在线段DA的延长线上，如图1，作OM∥AB交

AD于M，∵O为等边△ABD的边BD的中点，∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°，∴△ODM为等边三角形，∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°，∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°，∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠FOM，而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，∴△OMF≌△OBE，∴BE＝MF＝3；

当F点在线段AD上，如图2，同理可证明△OMF≌△OBE，则BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.∴综上所述，BE＝3或1

11. 此题分以下两种情况：①如图1，过P作PN⊥CA于N，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NPA＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，∴BC＝7；

②如图2，过P作PN⊥CA于N，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NPA＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9.综上所述，CB＝7或9