第十二章 学情评估卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.若分式有意义，则x应满足的条件是( )
A．x≠2 B．x＝2 C．x＞2 D．x≠0
2．下列各分式从左到右的变形正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝a D.＝
3．计算＋的结果为( )
A．1 B．－1 C. D.
4．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．无法确定
5．分式方程＋＝1的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
6．分式运算□的结果是x－1，则□处的运算符号是( )
A．＋ B．－ C．× D．÷
7．若关于x的分式方程＋＝1有增根，则m的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
8．若x为正整数，则表示÷的值的点落在如图所示的区域( )
A．① B．② C．③ D．④
9．若关于x的方程－＝1的解为整数，则满足方程的整数a的值的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知游客从绵阳某景区乘车到绵阳火车站，有两条路线可供选择，路线一：走直达低速，全程是25千米，交通比较拥堵；路线二：走环城高速，全程是30千米，平均速度是路线一的倍，到达绵阳火车站所用的时间比路线一少7分钟．则走路线一到达绵阳火车站需要( )
A．25分钟 B．26分钟 C．27分钟 D．28分钟
二、填空题(本大题共3小题，共4个空，每空4分，共16分)11.已知关于x的分式方程－2＝的解是非负数，则m的取值范围是____________．
12．如果a2－2a－1＝0，那么代数式·＝________．
13．观察下列等式：＝1－，＝－，＝－，将这三个等式的两边分别相加，得 ＋＋＝1－＋－＋－＝1－＝.
(1)猜想并写出：＝__________ ；
(2)分式方程＋＋＝1的解是________．
三、 解答题(本大题共4小题，共54分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(12分)(1)先化简，再求值：÷，其中m满足m2＋3m－6＝0.
(2)解方程：
①－＝1；②－＝1.
15.(12分)下面是小玲同学解分式方程2－＝的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：方程两边同乘2(x＋1)，得2×2(x＋1)－(x－3)＝2×3x，…第一步
4x＋1－x＋3＝6x，…第二步
4x－x－6x＝－1－3，…第三步
－3x＝－4，…第四步
x＝.…第五步
任务一：
(1)第一步的依据是________________________；
(2)从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________．
任务二：请写出正确的解答过程．
任务三：请你根据平时的解题经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提一条建议．
16．(14分)目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器(AED)，用来抢救心脏骤停的患者．某高校先后两次购置AED设备，第一次购置的总费用为88 000元，第二次购置的总费用为120 000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次的每台价格的.
(1)该校第一次购置AED设备多少台？
(2)该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，两种存储柜的售价如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7 000元，最多可购买立式存储柜多少个？
17．(16分)阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原来的两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的和与交换位置后两个新两位数的和相等，则称这样的两个两位数为“臻美数对”，例如：25＋41＝52＋14＝66，所以25与41、52与14都是“臻美数对”．
解决如下问题：
(1)请判断43与67是不是“臻美数对”，并说明理由；
(2)为探究“臻美数对”的本质，可设“臻美数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠D.试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并证明“臻美数对”的两数和是11的倍数；
(3)有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为.假设这两个数为“臻美数对”，求出这两个两位数．
答案
答案 速查 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
A |
A |
A |
B |
A |
D |
D |
B |
C |
A |
11.m≤5且m≠3 12.－1 13.(1)－ (2)x＝5
14．解：(1)÷
＝×
＝×
＝3m
＝3.
∵m满足m2＋3m－6＝0，∴m2＋3m＝6，
∴原式＝3＝3×6＝18.
(2)①－＝1，
方程两边同乘，
得x2－5x＋6－4x－12＝x2－9，解得x＝.
经检验，当x＝时，≠0，
∴x＝是原分式方程的解．
②－＝1，
方程两边同乘，
得2－4＝，
整理得2x－2＝0，解得x＝1.
经检验，当x＝1时，＝0，
∴x＝1是增根．∴原分式方程无解．
15．解：任务一：(1)等式的基本性质
(2)二；去括号时1没有乘4
任务二：方程两边同乘2(x＋1)，得2×2(x＋1)－(x－3)＝2×3x，去括号，得4x＋4－x＋3＝6x，
移项、合并同类项，得－3x＝－7，解得x＝.
经检验，当x＝时，2(x＋1)≠0，
∴x＝是原分式方程的解．
任务三：建议：去括号时，如果括号前是负号，括号里的每一项都要变号．(答案不唯一)
16．解：(1)设该校第一次购置AED设备x台，则该校第二次购置AED设备(x＋2)台，
根据题意，得 ＝×，解得x＝4.
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：该校第一次购置AED设备4台．
(2)设购买立式存储柜y个，则购买壁挂式存储柜(10－y)个，根据题意，得500(10－y)＋1 200y≤7 000，
解得y≤.
∵y为正整数，∴y的最大值为2.
答：最多可购买立式存储柜2个．
17．解：(1)是．理由：将43与67各自的十位数字和个位数字交换位置可得34，76.
∵43＋67＝34＋76＝110，∴43与67是“臻美数对”．
(2)a＋c＝b＋d.
由题意，得10a＋b＋10c＋d＝10b＋a＋10d＋c，
移项、合并同类项，可得9a－9b＋9c－9d＝0，
左右两边同时除以9，可得a－b＋c－d＝0，
即a＋c＝b＋d.
“臻美数对”的两数和为10a＋b＋10c＋d＝10(a＋c)＋(b＋d)＝10(a＋c)＋(a＋c)＝11(a＋c)．
易知a，c为正整数，∴“臻美数对”的两数和是11的倍数．
(3)∵这两个数为“臻美数对”，
∴＋＝(2x2＋＋3)＋，
即＋6＝＋5，解得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的解．
∴＝12＋1＋1＝3，＝2×1＋3＋3＝8，＝2×12＋2＋5＝9，＝12＋1＋2＝4，
∴这两个两位数分别为38，94.