【324306】2024八年级数学下册 专题突破 期末复习2 选填压轴题训练(难度较大)(含解析)(新
选、填压轴题训练(难度较大)
1.(嘉兴期末)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E在BC上,且BE=1,作DF⊥AE于点F,FH平分∠DFE,分别交BD,CD于点O,H.则OF的长度是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】如图,过点C作CN⊥DF于点N,过点B作BP⊥CN于点P,交AE于点M,则四边形MFNP是正方形,利用弦图解决问题.
【解答】解:如图,过点C作CN⊥DF于点N,过点B作BP⊥CN于点P,交AE于点M,则四边形MFNP是正方形,
∵FH平分∠NFM,
∴点P在FH上,
∴点O是正方形ABCD的中心,
∴OF=OP,
∵AB=3,BE=1,∠ABE=90°,
∴AE=
=
=
,
∵BM⊥AE,
∴BM=
=
=
,
∴AM=
=
=
,
∵△ADF≌△BAM,
∴AF=BM=
,
∴FM=AM﹣AF=
,
∴FP=
,
∴FO=
FP=
.
故选:C.
2.(高青县二模)某数学小组在研究了函数y1=x与
性质的基础上,进一步探究函数y=y1+y2的性质,经过讨论得到以下几个结论:
①函数y=y1+y2的图象与直线y=3没有交点;
②函数y=y1+y2的图象与直线y=a只有一个交点,则a=±4;
③点(a,b)在函数y=y1+y2的图象上,则点(﹣a,﹣b)也在函数y=y1+y2的图象上.
以上结论正确的是( )
A.①② B.①②③ C.②③ D.①③
【分析】①根据题意得出y与x的函数关系式,当y=3时,解得x,若方程无解,说明两个函数图象无交点,
②当y=a时,得出一个一元二次方程,两个函数的图象只有一个交点,说明方程有一个解,或由两个相同的实数根,让根的判别式为0即可,
③将点(a,b)代入函数关系式中,得出b=a+
,再将x=﹣a代入函数关系式中,得出结论,和﹣b判断,即可得出结论.
【解答】解:①由题意得,y=x+
,
当y=3时,即:3=x+
,
也就是x2﹣3x+4=0,
∵△=9﹣16<0,
∴此方程无实数根,
故,y=x+
与y=3无交点,因此①正确,
②由①得,
当y=a时,即:a=x+
,
也就是x2﹣ax+4=0,
当△=a2﹣16=0时,函数y=y1+y2的图象与直线y=a只有一个交点,
此时,a=±4,因此②正确,
③将点(a,b)代入函数关系式中,得出b=a+
,将x=﹣a代入函数关系式中,得出﹣a﹣
=﹣(a+
)=﹣b,
则点(﹣a,﹣b)也在函数y=y1+y2的图象上.
因此③正确,
故选:B.
3.(北仑区期末)如图,正方形ABCD的边长为4,E,F,G分别是边AB,BC,AD上的动点,且AE=BF,将△BEF沿EF向内翻折至△B′EF,连结BB′,B′G,GC,则当BB′最大时,B′G+GC的最小值为( )
A.
﹣2 B.5.6 C.2
D.3
【分析】由折叠的性质可求∠EBF=∠DB'F=90°,则可知E、B、F、B'四点共圆,圆心是EF的中点,直径是EF,当BB'经过圆心时,BB'最长,此时∠BEB'=90°,延长EB'交边CD于点H,作C点关于AD的对称点C',连接B'C'与AD交于点G,GB'+GC的最小值为B'C'的长,在Rt△B'C'H中,求出B'C'=2
即可.
【解答】解:由折叠的性质可知,∠EBF=∠DB'F,EB=EB',BF=B'F,
∵∠EBF=∠DB'F=90°,
∴E、B、F、B'四点共圆,圆心是EF的中点,直径是EF,
∴当BB'经过圆心时,BB'最长,此时∠BEB'=90°,
∴四边形EBFB'是正方形,
∵AE=BF,
∴AE=BF,
∴AE=BE,
∵正方形ABCD的边长为4,
∴BE=2,
延长EB'交边CD于点H,作C点关于AD的对称点C',连接B'C'与AD交于点G,
∴GB'+GC=GB'+GC'=B'C',此时GB'+GC的值最小,
∵DH=2,
∴C'H=6,
∵BE=2,
∵B'H=2,
在Rt△B'C'H中,B'C'=2
,
故选:C.
4.(温州模拟)如图,矩形ABCD中,AB:AD=2:1,点E为AB的中点,点F为EC上一个动点,点P为DF的中点,连接PB,当PB的最小值为3
时,则AD的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时,PB取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2,故BP的最小值为为BP1的长,由勾股定理求解即可.
【解答】解:如图,
当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1=DP1,
当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2=DP2,
∴P1P2∥CE且P1P2=
CE.
且当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DP=FP.
由中位线定理可知:P1P∥CE且P1P=
CF,
∴点P的运动轨迹是线段P1P2,
.∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值.
∵矩形ABCD中,AB:AD=2:1,设AB=2t,则AD=t,
∵E为AB的中点,
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形,CP1=t,
∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°,∠DEC=90°.
∴∠DP2P1=90°.
∴∠DP1P2=45°.
∴∠P2P1B=90°,即BP1⊥P1P2,
∴BP的最小值为BP1的长.
在等腰直角△BCP1中,CP1=BC=t,
∴BP1=
t=3
,
∴t=3.
故选:B.
5.(鄞州区校级期末)在平面直角坐标系中,对图形F给出如下定义:若图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上,在所有满足条件的角中,其度数的最小值称为图形的坐标角度,例如,如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°.现将二次函数y=ax2(1≤a≤3)的图象在直线y=1下方的部分沿直线y=1向上翻折,则所得图形的坐标角度α的取值范围是( )
A.30°≤α≤60° B.60°≤α≤90°
C.90°≤α≤120° D.120°≤α≤150°
【分析】分a=1和a=3两种情形画出图形,根据图形的坐标角度的定义即可解决问题.
【解答】解:当a=1时,如图1中,
∵角的两边分别过点A(﹣1,1),B(1,1),作BE⊥x轴于E,
∴BE=OE,
∴∠BOE=45°,
根据对称性可知∠AOB=90°
∴此时坐标角度m=90°;
当a=3时,如图2中,
角的两边分别过点A(﹣
,1),B(
,1),作BE⊥x轴于E,
∵tan∠BOE=
,
∴∠BOE=60°,
根据对称性可知∠AOB=60°
∴此时坐标角度α=60°,
∴60°≤α≤90°;
故选:B.
6.(鄞州区期末)如图,在正方形ABCD中,点P在对角线BD上,PE⊥BC,PF⊥CD,E,F分别为垂足,连结AP,EF,则下列命题:①若AP=5,则EF=5;②若AP⊥BD,则EF∥BD;③若正方形边长为4,则EF的最小值为2,其中正确的命题是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【分析】延长EP交AD于Q,利用SAS证明△AQP≌△FCE,可得AP=EF,即可判定①;由AP⊥BD可证得∠EFC=∠PAQ=45°,利用平行线的判定可证明②的正确性;当AP⊥BD时,AP有最小值,此时P为BD的中点,由勾股定理及直角三角形的性质可求得AP的最小值,进而求得EF的最小值,进而可判定③.
【解答】解:延长EP交AD于Q,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=CD,∠ADC=∠C=90°,AD∥BC,∠BDC=45°,
∵PF⊥CD,
∴∠DPF=45°,
∴DF=PF,
∵PE⊥BC,
∴PQ⊥AD,四边形CEPF为矩形,
∴∠AQP=90°,EC=PF=DF,
∴∠AQP=∠C,AQ=FC,四边形PQDF为正方形,
∴DF=QP,
∴CE=QP,
在△AQP和△FCE中,
,
∴△AQP≌△FCE(SAS),
∴AP=EF,
若AP=5,则EF=5,故①正确;
若AP⊥BD,则∠PAQ=45°,
∵△AQP≌△FCE,
∴∠EFC=∠PAQ=45°,
∵∠BDC=45°,
∴∠EFC=∠BDC,
∴EF∥BD,故②正确;
当AP⊥BD时,AP有最小值,此时P为BD的中点,
∵AB=AD=4,
∴BD=
,
∴AP=
BD=
,
∵EF=AP,
∴EF的最小值为
,故③错误,
故选:A.
7.(温州期末)在正方形ABCD的对角线BD上取一点E,连结AE,过点E作EF⊥AE交BC于点F,将线段EF向右平移m个单位,使得点E落在CD上,F落在BC上,已知AE+EF+CF=24,CD=10,则m的值为( )
A.6 B.4
﹣2 C.4
D.2
+2
【分析】过点E作MN∥CD,交AD于点M,交BC于点N,利用一线三垂直模型证明△AME≌△ENF,列出关于m的方程,求出m即可.
【解答】解:过点E作MN∥CD,交AD于点M,交BC于点N,
∵E在正方形的对角线上,
∴EM=EE'=m,
∴AM=10﹣m,EN=10﹣m,
∵∠FEN+∠AEM=90°,∠FEN+∠EFN=90°,
∴∠AEM=∠EFN,
在△AME和△ENF中,
,
∴△AME≌△ENF(AAS),
∴FN=ME=m,
∴
,
解得m=
,
故选:B.
8.(永嘉县校级模拟)如图,已知点C是线段AB的中点,CD⊥AB且CD=
AB=a.延长CB至点E,使得BE=b,以CD,CE为边作矩形CEFD.连接并延长DB,交FE的延长线于点G,连接CF,AG.《几何原本》中利用该图解释了代数式(2a+b)2+b2=2[(a+b)2+a2]的几何意义,则
的值为( )
A.
B.2 C.
D.2
【分析】在直角三角形中,运用勾股定理分别计算出AG,CF,即可求出其比值.
【解答】解:
∵点C是线段AB的中点,CD⊥AB且CD=
AB=a;
∴AC=a,CB=a;
∴AD=DB=
a;
∵BE=b,BE垂直于FG;
∴BG=
b;
∴AG2=AD2+DG2;
∴AG2=(
a)2+(
a+
b)2=2a2+2a2+2b2+4ab=4a2+4ab+2b2;
∴CF2=(a+b)2+a2=2a2+2ab+b2;
∴AG2=2CF2;
∴AG=
CF;
∴则
的值为
.
故选:A.
9.(南浔区期末)如图,在直角坐标系xOy中,已知点A,点B分别是x轴和y轴上的点,过x轴上的另一点D作DC∥AB,与反比例函数y=
(k≠0)的图象交于C、E两点,E恰好为CD的中点,连结BE和BD.若OD=3OA,△BDE的面积为2,则k的值为( )
A.3 B.
C.2 D.1
【分析】先作辅助线,过点C作CF⊥x轴,过点E作EG⊥x轴,利用中点E,得出△DCF得中位线,再由反比例函数系数k的几何意义,得出OF与其他线段的数量关系;由AB||CD,得出S△BDE=S△ADE=2,再由OD=3OA,得到线段之间的倍数关系,从而求出k的值.
【解答】解:
过点C作CF⊥x轴,过点E作EG⊥x轴,
∴CF||EG,
∵E恰好为CD的中点,
∴EG为△DCF的中位线,
∵点C、E是反比例函数y=
(k≠0)的图象上的点,
设EG=m,CF=2m,DG=FG=n,
∴OF•CF=OG•EG=|k|,即OF•2m=(OF+n)•m,
∴OF=n.
∵DC∥AB,△BDE的面积为2,
∴S△BDE=S△ADE=2,
∵OD=3OA,DG=FG=OF=n,
∴OA=DG=FG=OF=n,AD=4OA,
∴S△ADE=
•AD•EG=
•4n•m=2,即mn=1,
∴|k|=OG•EG=2mn=2,
∵反比例函数图象的一支在第一象限,
∴k=2.
故选:C.
10.(吴兴区期末)如图,已知四边形ABCD是正方形,点E为对角线AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交BC延长线上于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG.若AB=2
,则CE+CG的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】通过矩形和正方形的性质证明矩形DEFG是正方形,根据正方形的性质证明△ADE≌△CDG得到CG=AE,即:CE+CG=CE+AE=AC=4.
【解答】解:作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,
∴∠MEN=90°,
∵点E是正方形ABCD对角线上的点,
∴EM=EN,
∵∠DEF=90°,
∴∠DEN=∠MEF,
∵∠DNE=∠FME=90°,
在△DEN和△FEM中,
,
∴△DEN≌△FEM(ASA),
∴EF=DE,
∵四边形DEFG是矩形,
∴矩形DEFG是正方形;
∵正方形DEFG和正方形ABCD,
∴DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°,
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDG=∠ADE,
在△ADE和△CDG中,
,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG,
∴CE+CG=CE+AE=AC=
AB=
×2
=4,
故选:C.
11.(永嘉县校级期末)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,将△ABE沿AE折叠使点B落在点F处,连接CF,当△CEF为直角三角形时,BE的长是( )
A.4 B.3 C.4或8 D.3或6
【分析】当△CEF为直角三角形时,有两种情况:①当点F落在矩形内部时,如答图1所示.连接AC,先利用勾股定理计算出AC=10,根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°,而当△CEF为直角三角形时,只能得到∠EFC=90°,所以点A、F、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点F处,则EB=EF,AB=AF=6,可计算出CF=4,设BE=x,则EF=x,CE=8﹣x,然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x.②当点F落在AD边上时,如答图2所示.此时四边形ABEF为正方形.
【解答】解:当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:
①当点B′落在矩形内部时,如答图1所示.
连接AC,
在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC=
=10,
∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,
∴∠AB′E=∠B=90°,
当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,
∴点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,如图,
∴EB=EB′,AB=AB′=6,
∴CB′=10﹣6=4,
设BE=x,则EB′=x,CE=8﹣x,
在Rt△CEB′中,
∵EB′2+CB′2=CE2,
∴x2+42=(8﹣x)2,
解得x=3,
∴BE=3;
②当点B′落在AD边上时,如答图2所示.
此时ABEB′为正方形,
∴BE=AB=6.
综上所述,BE的长为3或6.
故选:D.
12.(永嘉县校级期末)如图,点A,B在反比例函数y=﹣
(x<0)的图象上,连接OA,AB,以OA,AB为边作▱OABC,若点C恰好落在反比例函数y=
(x>0)的图象上,此时▱OABC的面积是( )
A.3 B.
C.2
D.6
【分析】连接AC,BO交于点E,作AG⊥x轴,CF⊥x轴,设点A(a,﹣
),点C(m,
)(a<0,m>0),由平行四边形的性质和中点坐标公式可得点B[(a+m),(﹣
)],把点B坐标代入解析式可求a=﹣2m,由面积和差关系可求解.
【解答】解:如图,连接AC,BO交于点E,作AG⊥x轴,CF⊥x轴,
设点A(a,﹣
),点C(m,
)(a<0,m>0)
∵四边形ABCO是平行四边形
∴AC与BO互相平分
∴点E(
)
∵点O坐标(0,0)
∴点B[(a+m),(﹣
)]
∵点B在反比例函数y=﹣
(x<0)的图象上,
∴﹣
+
=﹣
∴a=﹣2m,a=m(不合题意舍去)
∴点A(﹣2m,
)
∴S△AOC=
(
)(m+2m)﹣
﹣1=
∴▱OABC的面积=2×S△AOC=3
故选:A.
13.(东阳市期末)将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=6
,E,F分别是边AC,BC上的动点,当四边形DEBF为平行四边形时,该四边形的面积是( )
A.3
B.6
C.
D.81
13.(婺城区校级期末)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCO的顶点O为坐标原点,边CO在x轴正半轴上,∠AOC=60°,反比例函数y=
(x>0)的图象经过点A,交菱形对角线BO于点D,DE⊥x轴于点E,则CE长为( )
A.1 B.
C.2
﹣
D.
﹣1
【分析】作AH⊥OC于H.分别求出OA、OE即可解决问题;
【解答】解:作AH⊥OC于H.
∵∠AOH=60°,设OH=m,则AH=
m,OA=2m,
∴A(m,
m),
∴
m2=2
,
∴m=
或﹣
(舍弃),
∴OA=2
,
∵四边形OABC是菱形,
∴∠DOE=
∠AOC=30°,设DE=n,则OE=
n,
∴D(
n,n),
∴
n2=2
,
∴n=
或﹣
(舍弃),
∴OE=
,
∴EC=OC﹣OE=2
﹣
,
故选:C.
14.(浦江县期末)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,AE⊥BF,交点为G,CH⊥BF,交BF于点H.若CH=HG,S△CFH=1,那么正方形的面积为( )
A.15 B.20 C.22 D.24
【分析】根据AE⊥BF,利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC,再根据AAS即可证出△ABG≌△BCH,得BG=CH,设CH=x,算出BC=
=
,设FH为y,分别在△CFH和△CFB中使用勾股定理得y=
x,再由S△CFH=1得x=2,即可求出正方形的面积.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∵AE⊥BF,∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠GBA=90°,∠FBC+∠GBA=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∵CH⊥BF,
∴∠BHC=90°=∠AGB,
在△ABG与△BCH中,
,
∴△ABG≌△BCH(AAS),
∴BG=CH,
设CH=x,则HG=BG=x,
∴BH=2x,
∴BC=
=
,
设FH为y,
∵CH⊥BF,
在△CFH中,CF2=FH2+CH2=x2+y2,
在△CFB中,CF2=BF2﹣BC2=(2x+y)2﹣5x2,
∴x2+y2=(2x+y)2﹣5x2,
解得:y=
x,
∴
=
=1,
∴x=2,
∴正方形的面积为BC2=(2
)2=20.
故选:B.
15.(金华期末)关于x的方程m2x2﹣8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【分析】根据公式法或因式分解法解方程,根据方程的解为正整数及m为整数,即可确定出m的值.
【解答】解:m2x2﹣8mx+12=0,
解法一:Δ=(﹣8m)2﹣4m2×12=16m2,
∴x=
=
,
∴x1=
,x2=
,
解法二:(mx﹣2)(mx﹣6)=0,
∴x1=
,x2=
,
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,
∴
>0,
>0,
∴m=1或2或3或6,
则满足条件的m的值的个数是4个,
故选:B.
16.(丽水期末)如图正方形ABCD的边长为a,P是对角线AC上的点,连结PB,过点P作PQ⊥BP交线段CD于点Q.当DQ=2CQ时,BP的长为( )
A.
a B.
a C.
a D.
a
【分析】作PE⊥AB于E,交CD于F,根据正方形的性质得∠PAE=∠PCF=45°,AB∥CF,再判断△PCF为等腰直角三角形得到PF=CF,接着利用等角的余角相等得到∠1=∠2,于是可证明△BEP≌△PQF,所以PE=FQ,设EP=FQ=x,则AE=x,CF=x+
,在△BEP中用勾股定理即可算出BP=
=
.
【解答】解:过P作PE⊥AB于E,交CD于F,如图,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠PAE=∠PCF=45°,AB∥CF,
∴PF⊥CF,
∴△PCF为等腰直角三角形,
∴PF=CF,
而CF=BE,
∴PF=BE,
∵PB⊥PQ,
∴∠1+∠BPE=90°,
而∠2+∠BPE=90°,
∴∠1=∠2,
在△BEP和△PQF中,
∴△BEP≌△PFQ(ASA),
∴EP=FQ,
正方形ABCD的边长为a,DQ=2CQ,
∴CQ=
,
设EP=FQ=x,则AE=x,CF=x+
,
∴AB=x+
+x=a,
∴x=
,
∴BP=
=
.
故选:C.
17.(衢江区校级期末)如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上一动点,以PA、PC为边作平行四边形PAQC,则对角线PQ的最小值为( )
A.6 B.8 C.2
D.4
【分析】以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,由平行四边形的性质可知O是AC中点,PQ最短也就是PO最短,所以应该过O作AB的垂线P′O,然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值.
【解答】解:∵四边形APCQ是平行四边形,
∴AO=CO,OP=OQ,
∵PQ最短也就是PO最短,
∴过O作OP′⊥AB与P′,
∵∠BAC=45°,
∴△AP′O是等腰直角三角形,
∵AO=
AC=4,
∴OP′=
AO=2
,
∴PQ的最小值=2OP′=4
,
故选:D.
18.(嘉兴期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=6.点D在AC边上,连结BD,将△ABD沿直线BD翻折得△A'BD,连结A'C.当四边形A'DBC为平行四边形时,该四边形的周长是 6+6
.
【分析】由平行四边形的性质得A′C=BD,A′D=BC=3,再由翻折的性质得AD=A′D=3,则CD=AC﹣AD=3,然后证△BCD是等腰直角三角形,得BD=
BC=3
,即可求解.
【解答】解:∵四边形A'DBC为平行四边形,
∴A′C=BD,A′D=BC=3,
由翻折的性质得:AD=A′D=3,
∴CD=AC﹣AD=6﹣3=3,
∴CD=BC,
∵∠ACB=90°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=
BC=3
,
∴四边形A'DBC的周长=2(BD+BC)=2×(3
+3)=6+6
,
故答案为:6+6
.
19.(嘉兴期末)已知两个关于x的一元二次方程x2+ax+b=0,x2+cx+d=0有一个公共解2,且a≠c,b≠d,b≠0,d≠0.下列结论:①
有唯一对应的值
;②
;③
是一元二次方程(b+d)x2+(a+c)x+2=0的一个解.其中正确结论的序号是 .
【分析】将x=2代入方程,然后两式相减进行计算,从而判断①;设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m,x2+cx+d=0的另一个根为n,利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=﹣a,2m=b,n+2=﹣c,2n=d,然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②;将方程变形为(2m+2n)x2+(﹣m﹣2﹣n﹣2)x+2=0,然后x=
代入方程进行验证,从而判断③.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0,x2+cx+d=0有一个公共解2,
∴22+2a+b=0①,22+2c+d=0②,
②﹣①,得:2(c﹣a)+d﹣b=0,
2(c﹣a)=b﹣d,
∴
,故①正确;
设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m,x2+cx+d=0的另一个根为n,
∴m+2=﹣a,2m=b,n+2=﹣c,2n=d,
∴a2﹣4b=[﹣(m+2)]2﹣4×2m=(m﹣2)2≥0,
c2﹣4d=[﹣(n+2)]2﹣4×2n=(n﹣2)2≥0,
∴a2﹣4b+c2﹣4d≥0,
∴a2+c2≥4b+4d,
∴
,故②错误;
∵m+2=﹣a,2m=b,n+2=﹣c,2n=d,
∴一元二次方程(b+d)x2+(a+c)x+2=0可变形为:(2m+2n)x2+(﹣m﹣2﹣n﹣2)x+2=0,
当x=
时,左边=(2m+2n)×(
)2+(﹣m﹣2﹣n﹣2)×
+2=0=右边,
∴x=
是一元二次方程(b+d)x2+(a+c)x+2=0的一个解,故③正确,
故答案为:①③.
20.(嘉兴期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知菱形ABCD的顶点A(0,2
)和C(2,0),顶点B在x轴上,顶点D在反比例函数y=
的图象上,点E为边CD上的动点,过点E作EF∥x轴交反比例函数图象于点F,过点F作FG∥CD交x轴于点G,当CE=CG时,点F的坐标为 .
【分析】根据题意可得出三角形ABC是正三角形,进而得出AB=BC=CA=AD=CD=4,确定点D的坐标,得出反比例函数的关系式,由题意可知四边形CGFE是菱形,再根据菱形的性质,和直角三角形的边角关系,表示出点F的坐标,列方程求解即可.
【解答】解:连接AC,过点F作FM⊥x轴,垂足为M,
∵A(0,2
)),C(2,0),
∴OA=2
,OC=2,
∴AC=
=4,tan∠OCA=
=
=
,
∴∠OCA=60°,
∵菱形ABCD,
∴△ABC是正三角形,
∴AB=BC=CA=4=AD=CD,
∴D(4,2
),
∴反比例函数的关系式为y=
,
∵EF∥x轴,FG∥CD,CE=CG,
∴四边形CGFE是菱形,且∠ECG=60°,
在Rt△FMG中,∠GFM=30°,
设GM=x,则CG=GF=2x,FM=
x,
∴点F(2+3x,
x),
又∵点F(2+3x,
x)在y=
的图象上,
∴(2+3x)•
x=8
,
解得,x1=﹣2(舍去),x2=
,
∴点F(6,
),
故答案为:(6,
).
21.(西湖区校级期末)如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=8,∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F,若BE=6,则CF= .
【分析】过点A作AM∥FC,交BE与点O,由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC=90°,由平行线的性质可求∠AOE=∠BHC=90°,由平行线的性质和角平分线的性质可证AE=AB=5,由勾股定理可求AO的长,由“ASA”可证△ABO≌△MBO,可得AO=OM=4,通过证明四边形AMCF是平行四边形,可得CF=AM=8.
【解答】解:如图,设BE与FC的交点为H,过点A作AM∥FC,交BE与点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB+180°,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,
∴∠ABE=∠EBC,∠BCF=∠DCF,
∴∠CBE+∠BCF=90°,
∴∠BHC=90°,
∵AM∥CF,
∴∠AOE=∠BHC=90°,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC=∠ABE,
∴AB=AE=5,
又∵∠AOE=90°,
∴BO=OE=3,
∴AO=
=
=4,
在△ABO和△MBO中,
,
∴△ABO≌△MBO(ASA),
∴AO=OM=4,
∴AM=8,
∵AD∥BC,AM∥CF,
∴四边形AMCF是平行四边形,
∴CF=AM=8,
故答案为:8.
22.(北仑区期末)如图,已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴正轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1,分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线,与反比例函数y=
(x>0)的图象相交于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1,依次连结OB1、B1B2、OB2、B2B3、OB3、…、OBn、BnBn+1、OBn+1,记△OB1B2的面积为S1,△OB2B3的面积为S2,△OBnBn+1面积为Sn,则S1= ,Sn= .
【分析】设OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=m,可知B1(m,
)、B2(2m,
),B3(3m,
),B4(4m,
),、…、Bn+1{(n+1)m,
},再由三角形的面积和对应的梯形的面积的关系可得出S1、S2、S3、…、Sn的值,故可得出结论.
【解答】解:设OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=m,
∴B1(m,
)、B2(2m,
),B3(3m,
),B4(4m,
),…,Bn+1{(n+1)m,
},
∵过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线,与反比例函数y=
(x>0)的图象相交于点B2、B3、…、Bn、Bn+1,
∴S1=S△OA1B1﹣S△OA2B2+S梯形A1B1B2A2=S梯形A1B1B2A2,
S2=S
,
S3=
,
…、
Sn=S
,
∴S1=
=6,
S2=
(
+
)•m=
,
S3=
(
+
)•m=
,
S4=
(
+
)•m=
,
…、
Sn=
+
=
,
故答案为6,
.
23.(海曙区期末)如图,四边形ABCD的顶点B、D两点在反比例函数y=
(k1>0)的图象上,A、C两点在反比例函数y=
(k2<0)的图象上,AD∥x轴∥BC,AD=2BC,S△BCD=6,则k1﹣k2的值为 .
【分析】过点D作DE⊥BC交BC于点E,设点B的坐标为(a,
),点A的坐标为(b,
)根据AD∥x轴∥BC求出D,C的坐标,表示出DA,BC的长度,根据AD=2BC求出b与a的关系,进而求出DE的长度,表示出S△BCD,进而求解.
【解答】解:过点D作DE⊥BC交BC于点E,
设点B的坐标为(a,
),点A的坐标为(b,
),
∵AD∥x轴∥BC,
∴点D的坐标为(
,
),点C的坐标为(
,
),
∴DA=
﹣b,CB=
﹣a,
∵AD=2BC,
∴
﹣b=2(
﹣a),
整理得,b=﹣
,
DE=
﹣
=k2÷(﹣
)﹣
=﹣
,
∵S△BCD=
BC•DE=
(
﹣a)•(﹣
)=
(k1﹣k2)=6,
∴k1﹣k2=8,
故答案为:8
24.(鹿城区二模)图1是一个高脚杯截面图,杯体CBD呈抛物线状(杯体厚度不计),点B是抛物线的顶点,AB=9,EF=2
,点A是EF的中点,当高脚杯中装满液体时,液面CD=4
,此时最大深度(液面到最低点的距离)为12,将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体,当∠EFH=30°时停止,此时液面为GD,则液面GD到平面l的距离是 ;此时杯体内液体的最大深度为 .
【分析】以A为原点,直线EF为x轴,直线AB为y轴,建立平面直角坐标系,由待定系数法求得抛物线的解析式;将高脚杯绕点F倾斜后,仍以A为原点,直线EF为x轴,直线AB为y轴,建立平面直角坐标系,分别用待定系数法求得直线l的解析式和直线GD的解析式,过点M作MP⊥l于点P,用三角函数求得液面GD到平面l的距离;过抛物线最低点Q作QL∥l,再将QL的解析式与抛物线的解析式联立,得出关于x的一元二次方程,由判别式求得q,最后用三角函数求得答案.
【解答】解:以A为原点,直线EF为x轴,直线AB为y轴,建立平面直角坐标系,如图:
由题意得:
A(0,0),B(0,9),C(﹣2
,21),D(2
,21),
设抛物线的解析式为:y=ax2+9,
将D(2
,21)代入得:
21=a×
+9,
解得:a=1,
∴y=x2+9.
将高脚杯绕点F倾斜后,仍以A为原点,直线EF为x轴,直线AB为y轴,建立平面直角坐标系,如图:
由题意得:
A(0,0),F(
,0),E(﹣
,0),B(0,9),C(﹣2
,21),D(2
,21),
由题可知,直线l与x轴的夹角为30°,GD∥l,
∵l经过点F(
,0),且∠EFH=30°,
∴设直线l的解析式为:y=
x+b,
将F(
,0)代入,解得b=﹣1,
∴y=
x﹣1,
又∵GD∥l,
∴kGD=kl=
,
∴设直线GD的解析式为y=
x+p,
将D(2
,21)代入,解得p=19,
∴y=
x+19,
∴M(0,19),N(0,﹣1),
过点M作MP⊥l于点P,
∵∠EFH=30°,∠FAN=90°,
∴∠ANF=60°,
∴MP=MN•sin60°
=[19﹣(﹣1)]×
=10
.
过抛物线最低点Q作QL∥l,L为QL于MP的交点,
设直线QL的解析式为y=
x+q,
由
得:
x2﹣
x+9﹣q=0,
∵只有一个交点Q,
∴Δ=0,
∴
﹣4(9﹣q)=0,
∴q=
,
∴ML=(19﹣
)×sin60°
=
.
故答案为:10
,
.
25.(翔安区模拟)如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数y=
(k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,垂足为D,连接OM、ON、MN.下列结论:
①△OCN≌△OAM;
②ON=MN;
③四边形DAMN与△MON面积相等;
④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0,
+1).
其中正确结论的有 .
【分析】设正方形OABC的边长为a,表示出A,B,C,M,N的坐标,利用SAS得到三角形OCN与三角形OAM全等,结论①正确;利用勾股定理表示出ON与MN,即可对于结论②做出判断;利用反比例函数的性质得到三角形OCN与三角形OAM全等,根据三角形MON面积=三角形OND面积+四边形ADNM面积﹣三角形OAM面积,等量代换得到四边形DAMN与△MON面积相等,结论③正确;过O作OH垂直于MN,如图所示,利用ASA得到三角形OCN与三角形OHN全等,利用全等三角形对应边相等得到CN=HN=1,求出a的值,确定出C坐标,即可对于结论④做出判断.
【解答】解:设正方形OABC的边长为a,
得到A(a,0),B(a,a),C(0,a),M(a,
),N(
,a),
在△OCN和△OAM中,
,
∴△OCN≌△OAM(SAS),结论①正确;
根据勾股定理,ON=
=
=
,MN=
=
|a2﹣k|,
∴ON和MN不一定相等,结论②错误;
∵S△ODN=S△OAM,
∴S△MON=S△ODN+S四边形DAMN﹣S△OAM=S四边形DAMN,结论③正确;
过点O作OH⊥MN于点H,如图所示,
∵△OCN≌△OAM,
∴ON=OM,∠CON=∠AOM,
∵∠MON=45°,MN=2,
∴NH=HM=1,∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.5°,
∴△OCN≌△OHN(ASA),
∴CN=HN=1,
∴
=1,即k=a,
由MN=
|a2﹣k|得,2=
|a2﹣a|,
整理得:a2﹣2a﹣1=0,
解得:a=
=1±
(舍去负值),
∴点C的坐标为(0,
+1),结论④正确,
则结论正确的为①③④,
故答案为:①③④
26.(鄞州区期末)如图,矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上,顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=
(k>0)在第一象限内的图象分别与边AB、BC相交于点D、E.连结OD,OE,恰有∠AOD=∠DOE,∠ODE=90°,若OA=3,则k的值是 .
【分析】过点D作DF⊥OE于点F,设AD=a,EB=b,OA=3,先证明△ADO≌△FDO(AAS),再证明△DFE≌△DEB(AAS),则可得到OF=3,DF=BD=a,BE=EF=3﹣b,则有OE=6﹣b,AB=2a,并能求得D(a,3),B(2a,b),由已知D、E在反比例函数y=
上,则有3a=2ab,求出b=
,在Rt△OEC中,根据勾股定理可求a=
,则可求k=
.
【解答】解:过点D作DF⊥OE于点F,
∵∠AOD=∠DOE,∠BAO=∠DFO=90°,OD=OD,
∴△ADO≌△FDO(AAS),
∴AD=DF,AO=OF,∠ADF=∠ODF,
∵∠ODE=90°,
∴∠ODF+∠FDE=∠ADO+∠AOD=90°,
∴∠FDE=∠AOD,
∵∠ADO+∠BDE=∠ADO+∠AOD=90°,
∴∠AOD=∠BDE,
∴∠FDE=∠BDE,
∵∠B=∠DFE=90°,
∴△DFE≌△DEB(AAS),
∴EF=BE,DB=DF,
设AD=a,EB=b,OA=3,
∴OF=3,DF=BD=a,BE=EF=3﹣b,
∴OE=6﹣b,AB=2a,
∴D(a,3),B(2a,b),
∵D、E在反比例函数y=
上,
∴3a=2ab,
∴b=
,
在Rt△OEC中,OC=2a,OE=6﹣b=
,EC=
,
∴a=
,
∴k=
,
故答案为
.
27.(乐清市期末)小李家大门上的矩形装饰物由金属丝焊接而成,该图形既是轴对称图形又是中心对称图形,如图,在矩形ABCD中,两个菱形由平行于AD的固定条固定,EF,IJ是中间的固定条,上下固定条都经过菱形各边中点,且所有固定条不经过菱形内部.已知F,M,G分别到AB,BC,AD的距离都是2cm,若对角线FH=AB=
FG,顶点H,K之间距离是EF的2倍,则金属丝总长(即图中所有线段之和)是 cm.
【分析】如图,作直线GM交BC于点Q,交AD于点P,连接FJ,TW.证明
=
,设FG=5k,OF=4k,则OG=3k,根据OP=OF,构建方程求出k,即可解决问题.
【解答】解:如图,作直线GM交BC于点Q,交AD于点P,连接FJ,TW.
∵四边形GFMH是菱形,
∴GM⊥FH,FO=OH,GO=OM,
∵FH=AB=
FG,
∴
=
,
设FG=5k,OF=4k,则GO=OM=3k,
∵四边形AEOP是矩形,
∴AE=OP,
∵AB=FH,
∴OF=AE=OP,
∴4k=3k+2,
∴k=2,
∴GF=10(cm),OF=OH=8(cm),
∴AB=CD=FH=16(cm),
∵TW是GFH的中位线,
∴TW=
FH=8(cm),
∴HK=2EF=4(cm),
∴AD=BC=2+16+4+16+2=40(cm),
∴金属丝总长2×16+4×40﹣4×8+4+8×10=244(cm),
故答案为:244.
28.(温州期末)图1是一款平衡荡板器材,示意图如图2,A,D为支架顶点,支撑点B,C,E,F在水平地面同一直线上,G,H为荡板上固定的点,GH∥BF,测量得AG=GH=DH,Q为DF上一点且离地面1m,旋转过程中,AG始终与DH保持平行.如图3,当旋转至A,Q,H在同一直线上时,连结G′Q,测得G′Q=1.6m,∠DQG′=90°,此时荡板G′H′距离地面0.6m,则点D离地面的距离为 m.
【分析】先根据判断AG=GH=DH判断AH'垂直平分DG',再证明△DMQ≌△QNG',从而得MQ=G'N,再在△G'NQ中用勾股定理求出G'N,即可求得点D离地面的距离.
【解答】解:如图,过Q作G'H'的垂线交G'H'于N,交AD延长线于M,
连接AH',连接DG',
由图2得:AD=GH,
∵AG=GH=DH,
∴AD=AG',G'H'=DH',
∴AH'垂直平分DG',
∵A,Q,H'在同一直线上,
∴G'Q=DQ,
∵∠DQG′=90°,
∴∠G'QN+∠DQM=90°,
∵∠DQM+∠QDM=90°,
∴∠G'QN=∠QDM,
∴△DMQ≌△QNG'(AAS),
∴MQ=G'N,
∵Q为DF上一点且离地面1m,此时荡板G′H′距离地面0.6m,
∴QN=1﹣0.6=0.4m,
∴G'N=
=
m,
∴MQ=
m,
∴点D离地面的距离为(
+1)m.
故答案为:(
+1)m.
29.(永嘉县校级模拟)图1是上下都安装“摩擦铰链”的平开窗,滑轨MN固定在窗框,托悬臂CF安装在窗扇.A,D,E分别是MN,CF,AD上固定的点,且BC=DE.当窗户开到最大时,CF⊥MN,且点C到MN的距离为10cm,此时主轴AD与MN的夹角∠DAN=45°.如图2,窗户从开到最大到关闭(CF,AD,BC,BE与MN重合)的过程中,控制臂BC,带动MN上的滑块B向点N滑动了20
cm.则AD的长为 cm.
【分析】根据题意,分别求出DE,AE即可解决问题.
【解答】解:由题意四边形BCDE是平行四边形,
∴BC∥DM,
∵当窗户开到最大时,CF⊥MN,∠DAN=45°,
∴∠CBN=∠DAN=45°,
∵点C到MN的距离为10cm,
∴BC=
=10
(cm),
∴DE=BC=10
(cm),
∵户从开到最大到关闭,滑块B向点N滑动了20
cm,
由题意,AB+20
=AE+BE,
∵BE=AB,
∴AE=20
(cm),
∴AD=AE+DE=30
(cm),
故答案为:30
30.(南浔区期末)如图,已知有一张正方形纸片ABCD,边长为9cm,点E,F分别在边CD,AB上,CE=2cm.现将四边形BCEF沿EF折叠,使点B,C分别落在点B',C',上当点B'恰好落在边AD上时,线段BF的长为 cm;在点F从点B运动到点A的过程中,若边FB'与边AD交于点G,则点G相应运动的路径长为 cm.
【分析】连接BE、B'E,由翻折性质得:BE=B'E,BF=B'F,在△BEC与△B'DE中,由勾股定理得BF=5cm;连接EG,并作G关于EF的对称点G',连接EG',由对称性知,GE=G'E,由点到直线垂线段最短知EG'最小值为EH=9,从而DG最小值为
=
,AG最大值为9﹣
,再由于B'恰好落在边AD上G、B'重合时,AG=AB'=3,故G点在AD上先向上再向下运动,即可得相应运动的路径长为9﹣
﹣3+9﹣
=15﹣8
.
【解答】解:①当点B'恰好落在边AD上时,
如图,连接BE、B'E,
由翻折性质得:BE=B'E,BF=B'F,
在△BEC与△B'DE中,由勾股定理得:BE2=CE2+BC2=DE2+B'D2,
∵BC=9cm,CE=2cm,DE=7cm,
∴DB'=6cm,AB'=3cm,
设BF=xcm,则B'F=xcm,AF=(9﹣x)cm,
∵B'A2+AF2=B'F2,
∴32+(9﹣x)2=x2,
解得:x=5,
∴BF=5cm;
②如图,连接EG,并作G关于EF的对称点G',连接EG',
由对称性知,GE=G'E,
过点E作EH⊥AB于H,
∵点到直线垂线段最短,
∴EG'最小值为EH=9,
∵∠B=∠C=∠EHB=90°,
∴四边形EHBC为矩形,
∴EH=BC=9,
∴EG最小值为9,
∵DG2=EG2﹣ED2,
∴DG最小值为
=
,
∴AG最大值为9﹣
,
由①知,点B'恰好落在边AD上G、B'重合时,此时AG=AB'=3,
∴点G相应运动的路径长为9﹣
﹣3+9﹣
=15﹣8
.
故答案为:5cm,15﹣8
.
31.(吴兴区期末)如图,已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合,AF⊥AC交x轴于点F,反比例函数y=
(k<0,x<0)的图象经过点A,与AF交于点E,且AE=EF,△ADF的面积为6,则k的值为 .
【分析】通过菱形的性质,得BD⊥AC,又因为AF⊥AC,得AF||BD,从而将已知△DAF的面积转化成已知同底等高的△OAF的面积,由此转化成反比例函数的系数的几何意义的问题,再结合三角形中位线的知识,得到OH与其他边的数量关系,从而求出系数k的大小.
【解答】解:
过点E作EG⊥x轴,AH⊥x轴,
∵点E为AF的中点,
∴EG为△FAH的中位线,则EG=
AH,FG=HG,
设EG=a,AH=2a,FG=HG=b,
∵点A、E在反比例函数y=
(k<0,x<0)的图象上,
∴OH•2a=(OH+b)•a=|k|,
∴OH=b,
∴S四边形AEGO﹣S△AHO=S四边形AEGO﹣S△EGO,即:S梯形EGHA=S△OAE,
连接OE、BD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,
∵AF⊥AC,BD⊥AC,
∴AF||BD,
又∵△ADF的面积为6,
∴S△OAF=S△DAF=6,
∵AE=EF,
∴S△OAE=
S△OAF=3,
∵S梯形EGHA=S△OAE,
∴
•(a+2a)•b=
ab=3,即ab=2,
∴|k|=2ab=2×2=4,
∵反比例函数的一支图象在第二象限,所以k=﹣4,
故答案为﹣4.
32.(永嘉县校级期末)如图,已知反比例函数y=
(x>0)的图象经过点A(4,5),若在该图象上有一点P,使得∠AOP=45°,则点P的坐标是 .
【分析】作AE⊥y轴于E,将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′,作A′F⊥x轴于F,则△AOE≌△A′OF,可得OF=OE=4,A′F=AE=3,即A′(4,﹣3),求出线段AA′的中垂线的解析式,利用方程组确定交点坐标即可.
【解答】解:如图,作AE⊥y轴于E,将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′,作A′F⊥x轴于F,
则△AOE≌△A′OF,可得OF=OE=5,A′F=AE=4,即A′(5,﹣4).
∵反比例函数y=
(x>0)的图象经过点A(4,5),
所以由勾股定理可知:OA=
=
,
∴k=4×5=20,
∴y=
,
∴AA′的中点K(
,
),
∴直线OK的解析式为y=
x,
由
,解得
或
,
∵点P在第一象限,
∴P(6
,
),
故答案为(6
,
).
33.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,E是AB的中点,直线l平行于直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2,点F在矩形ABCD边上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点A恰好落在直线l上,则DF的长为 .
【分析】当直线l在直线CE上方时,连接DE交直线l于M,只要证明△DFM是等腰直角三角形即可利用DF=
DM解决问题,当直线l在直线EC下方时,由∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E,得到DF1=DE,由此即可解决问题.
【解答】解:如图,当直线l在直线CE上方时,连接DE交直线l于M,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=90°,AD=BC,
∵AB=4,AD=BC=2,
∴AD=AE=EB=BC=2,
∴△ADE、△ECB是等腰直角三角形,
∴∠AED=∠BEC=45°,
∴∠DEC=90°,
∵l∥EC,
∴ED⊥l,
∴EM=2=AE,
∴点A、点M关于直线EF对称,
∵∠MDF=∠MFD=45°,
∴DM=MF=DE﹣EM=2
﹣2,
∴DF=
DM=4﹣2
.
当直线l在直线EC下方时,
∵∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E,
∴DF1=DE=2
,
综上所述DF的长为2
或4﹣2
.
故答案为2
或4﹣2
.
34.(东阳市期末)在综合实践课上,小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开,如图1所示.然后固定纸片△ABC,把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′,连A′B,D′B,D′C,在平移过程中:
(1)四边形A′BCD′的形状始终是 ;
(2)A′B+D′B的最小值为 .
【分析】(1)利用平移的性质证明即可.
(2)如图2中,作直线DD′,作点C关于直线DD′的对称点C″,连接D′C″,BC″,过点B作BH⊥CC″于H.求出BC″,证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″,可得结论.
【解答】解:(1)如图2中,∵A′D′=BC,A′D′∥BC,
∴四边形A′BCD′是平行四边形,
故答案为:平行四边形.
(2)如图2中,作直线DD′,作点C关于直线DD′的对称点C″,连接D′C″,BC″,过点B作BH⊥CC″于H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=2,∠ABC=90°,
∴AC=
AB=2
,
∵BJ⊥AC,
∴AJ=JC,
∴BJ=
AC=
,
∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°,
∴四边形BHCJ是矩形,
∵BJ=CJ,
∴四边形BHCJ是正方形,
∴BH=CH=
,
在Rt△BHC″中,BH=
,HC″=3
,
∴BC″=
=
=2
,
∵四边形A′BCD′是平行四边形,
∴A′B=CD′,
∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″,
∴A′B+BD′≥2
,
∴A′B+D′B的最小值为2
,
故答案为:2
35.(长沙模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=
和y=
在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD⊥x轴于点D,交y=
的图象于点C,连接AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是 .
【分析】联立y=kx、y=
并解得:点A(
,2
),同理点B(
,3
),点C(
,
),分AB=BC、AC=BC两种情况分别求解即可.
【解答】解:联立y=kx、y=
并解得:点A(
,2
),同理点B(
,3
),
点C(
,
),∴AB≠AC,
①当AB=BC时,(
)2+(3
﹣2
)2=(3
﹣
)2,解得:k=±
(舍去负值);
②当AC=BC时,同理可得:(
﹣
)2+(
﹣2
)2=(3
﹣
)2,解得:k=
(舍去负值);
故答案为:
或
.
36.(婺城区校级期末)如图,点A是x轴上的一个动点,点C在y轴上,以AC为对角线画正方形ABCD,已知点C的坐标是C(0,4),设点A的坐标为A(n,0).
(1)当n=2时,正方形ABCD的边长AB= .
(2)连接OD,当OD=
时,n= .
【分析】(1)在Rt△AOC中,利用勾股定理求出AC的长度,然后再求得正方形的边长即可;
(2)先求得OD与y轴的夹角为45°,然后依据OD的长,可求得点D的坐标,过点D作DM⊥y轴,DN⊥x轴,接下来,再证明△DNA≌△DMC,从而可得到CM=AN,从而可得到点A的坐标.
【解答】解:(1)当n=2时,OA=2,
在Rt△COA中,AC2=CO2+AO2=20.
∵ABCD为正方形,
∴AB=CB.
∴AC2=AB2+CB2=2AB2=20,
∴AB=
.
故答案为:
.
(2)如图所示:过点D作DM⊥y轴,DN⊥x轴.
∵ABCD为正方形,
∴A、B、C、D四点共圆,∠DAC=45°.
又∵∠COA=90°,
∴点O也在这个圆上,
∴∠COD=∠CAD=45°.
又∵OD=
,
∴DN=DM=1.
∴D(﹣1,1).
在Rt△DNA和Rt△DMC中,DC=AD,DM=DN,
∴△DNA≌△DMC.
∴CM=AN=OC﹣MO=3.
∵D(﹣1,1),
∴A(2,0).
∴n=2.
如下图所示:过点D作DM⊥y轴,DN⊥x轴.
∵ABCD为正方形,
∴A、B、C、D四点共圆,∠DAC=45°.
又∵∠COA=90°,
∴点O也在这个圆上,
∴∠AOD=∠ACD=45°.
又∵OD=
,
∴DN=DM=1.
∴D(1,﹣1).
同理:△DNA≌△DMC,则AN=CM=5.
∴OA=ON+AN=1+5=6.
∴A(6,0).
∴n=6.
综上所述,n的值为2或6.
故答案为:2或6.
37.(浦江县期末)如图,矩形ABCD的四个顶点都在正三角形EFG的边上.已知△EFG的边长为6,记矩形ABCD的面积为S,则当AB= 时,S有最大值是 .
【分析】求出AF=BG=3﹣
x,解直角三角形求出AD,再根据矩形的面积公式求出面积S关于x的函数关系式,把解析式化成顶点式,再得出答案即可.
【解答】解:∵△EFG的正三角形,
∴∠G=∠F=60°,
∵四边形DABC是矩形,
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠CBA=90°,
∴∠DAF=∠CBG=90°,
在△FAD和△GBC中
,
∴△FAD≌△GBC(AAS),
∴AF=BG,
∵FG=6,AB=x,
∴AF=BG=
×(6﹣x)=3﹣
x,
∴AD=BC=(3﹣
x)tan60°=﹣
x+3
,
∴矩形ABCD的面积S=AD×AB=(﹣
x+3
)x,
即S关于x的函数表达式是:S=﹣
x2+3
x,
∵0<AB<FG,FG=6,
∴自变量x的取值范围是0<x<6,
S=﹣
x2+3
x
=﹣
(x2﹣6x)
=﹣
(x2﹣6x+9﹣9)
=﹣
(x﹣3)2+
,
∵﹣
<0,
∴开口向下,有最大值,
∴当x=3时,S的最大值是
,
故答案为:3,
.
38.(金东区期末)如图,在平面直角坐标系中,有点A(3,0),点B(3,5),射线AO上的动点C,y轴上的动点D,平面上的一个动点E,若∠CBA=∠CBD,以点B,C,D,E为顶点的四边形是矩形,则AC的长为 .
【分析】存在三种情况:①作辅助线,构建等腰△BDF,先根据三角形内角和得∠BDC=∠F,再由等腰三角形三线合一的性质得CD=CF,最后证明△DCO≌△FCA(AAS),可得结论.②如图2,同理构建直角三角形,利用勾股定理可得结论;③如图3,同理可得结论.
【解答】解:存在三种情况:
①如图1,延长BA和DC交于点F,
∵点A(3,0),点B(3,5),
∴AB⊥x轴,OA=3,
∵四边形DCBE是矩形,
∴∠DCB=90°,
∴∠BCF=∠DCB=90°,
∵∠CBD=∠CBF,
∴∠BDC=∠BFC,
∴BD=BF,
∴CD=CF,
在△DCO和△FCA中,
,
∴△DCO≌△FCA(AAS),
∴OC=AC,
∵AC=
OA=
.
②如图2,过点B作BM⊥y轴于M,则∠BMD=90°,
∵四边形CDBE是矩形,
∴∠CDB=90°,
∵∠CBA=∠CBD,∠CAB=90°,
∴BD=BA=5,AC=CD,
∵BM=3,
∴DM=4,
∴CD=5﹣4=1,
设AC=x,则OC=3﹣x,CD=x,
由勾股定理得:CD2=OD2+OC2,
即x2=12+(3﹣x)2,
解得:x=
,
∴AC=
;
③如图3,过点D作NL∥x轴,交AB的延长线于L,过C作CN⊥NL于N,则∠N=∠L=90°,
∵∠CDB=∠CBA=90°,∠CBA=∠CBD,
∴CD=AC,
设AC=b,则CD=b,OC=DN=b﹣3,
∵AB=BD=5,
∵DL=3,
∴BL=4,
∴CN=AL=5+4=9,
由勾股定理得:CN2+DN2=CD2,
即92+(b﹣3)2=b2,
解得:b=15,
综上,AC的长为
或
或15;
故答案为:
或
或15.
39.(金华期末)如图,已知线段AC=4,线段BC绕点C旋转,且BC=6,连接AB,以AB为边作正方形ADEB,连接CD.
(1)若∠ACB=90°,则AB的值是 ;
(2)线段CD长的最大值是 .
【分析】(1)由勾股定理可求AB的值;
(2)过点A作AE⊥CA,取AE=AC,连接BE,CE,由勾股定理可求EC的长,由“SAS“可证△EAB≌△CAD,可得CD=BE,由三角形的三边关系可求解.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,AC=4,BC=6,
∴AB=
=
=2
,
故答案为:2
,
(2)如图,过点A作AE⊥CA,取AE=AC,连接BE,CE,
∵AE⊥CA,AE=AC=4,
∴EC=4
,
∵∠EAC=90°=∠BAD
∴∠EAB=∠CAD,且AC=AE,AB=AD,
∴△EAB≌△CAD(SAS)
∴CD=BE
∵BE≤CE+BC=4
+6
∴BE的最大值为4
+6
∴CD的最大值为4
+6
故答案为4
+6.
40.(丽水期末)已知二次多项式x2﹣ax+a﹣5.
(1)当x=1时,该多项式的值为 ;
(2)若关于x的方程x2﹣ax+a﹣5=0,有两个不相等的整数根,则正数a的值为 .
【分析】(1)把x=1代入代数式化简即可;
(2)设x1,x2是方程两个不相等的整数根,于是得到x1+x2=a,x1x2=a5.求得Δ=(﹣a)2﹣4(a﹣5)=a2﹣4a+20=(a﹣2)2+16为完全平方数,列方程组即可得到结论.
【解答】解(1)当x=1时,x2﹣ax+a﹣5=1﹣a+a﹣5=﹣4,
故答案为﹣4;
(2)设x1,x2是方程两个不相等的整数根,
则x1+x2=a,x1x2=a﹣5.
∴a,a﹣5均为整数,
∴Δ=(﹣a)2﹣4(a﹣5)=a2﹣4a+20=(a﹣2)2+16为完全平方数,
设(a﹣2)2+16=t2(t为整数,且t≥0),
则(a﹣2)2﹣t2=﹣16.于是,(a﹣2﹣t)(a﹣2+t)=﹣16,
由于a﹣2﹣t,a﹣2+t奇偶性相同,且a﹣2﹣t≤a﹣2+t,
∴
或
或
,
解得
或
(舍去)或
,
经检验a=2,a=5符合要求,
∴a=2或a=5,
故答案为2或5.
41.(丽水期末)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A与原点O重合,点C在直线y=x上,点B的坐标为(2,1).将菱形ABCD沿直线y=x平移,当点B,D同时落在反比例函数y=
(x>0)的图象上时,菱形沿直线y=x平移的距离为 .
【分析】设菱形沿直线y=x平移t个单位,则平移后B坐标为(2+
t,1+
t),代入反比例函数y=
(x>0)得t=
或t=﹣4
(舍去),即菱形沿直线y=x平移
个单位,B落在反比例函数y=
(x>0)的图象上,由菱形和反比例函数y=
(x>0)的图象都关于直线y=x对称可知,此时D也落在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
【解答】解:设菱形沿直线y=x平移t个单位,B,D同时落在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
则相当于菱形向右平移
t个单位,再向上平移
t个单位,
∴平移后B坐标为(2+
t,1+
t),
代入反比例函数y=
(x>0)得1+
t=
,
解得t=
或t=﹣4
(舍去),即菱形沿直线y=x平移
个单位,B落在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
由菱形和反比例函数y=
(x>0)的图象都关于直线y=x对称可知,此时D也落在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
故答案为:
.
42.(永嘉县校级期末)如图,正方形ABCD的边长为2,M是BC的中点,N是AM上的动点,过点N作EF⊥AM分别交AB,CD于点E,F.
(1)AM的长为 ;
(2)EM+AF的最小值为 .
【分析】(1)根据正方形的性质求得AB与BM,再由勾股定理求得AM;
(2)过F作FG⊥AB于G,证明△ABM≌△FGE得AM=EF,再将EF沿EM方向平移至MH,连接FH,当A、F、H三点共线时,EM+AF=FH+AF=AH的值最小,由勾股定理求出此时的AH的值便可.
【解答】解:(1)∵正方形ABCD的边长为2,
∴AB=BC=2,∠ABC=90°,
∵M是BC的中点,
∴BM=
,
∴
,
故答案为:
;
(2)过F作FG⊥AB于G,则FG=BC=AB,∠ABM=∠FGE=90°,
∵EF⊥AM,
∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°,
∴∠BAM=∠GFE,
∴△ABM≌△FGE(SAS),
∴AM=EF,
将EF沿EM方向平移至MH,连接FH,则EF=MH,∠AMH=90°,EM=FH,
当A、F、H三点共线时,EM+AF=FH+AF=AH的值最小,
此时EM+AF=AH=
,
∴EM+AF的最小值为
,
故答案为:
.
43.如图,▱ABCD中,AB=2,BC=4,∠B=60°,点P是四边形上的一个动点,则当△PBC为直角三角形时,BP的长为 .
【分析】分两种情况:(1)当∠BPC=90°时,①由直角三角形的性质即可得出BP=2;
②当点P在边AD上,AP=DP=2时,由等边三角形的性质和勾股定理求出BP即可;
(2)当∠BCP=90°时,CP=
PD=
,由勾股定理求出BP即可.
【解答】解:分两种情况:
(1)当∠BPC=90°时,
①点P在AB边上时,
∵∠B=60°,
∴∠BCP=30°,
∴BP=
BC=2;
②点P在边AD上,AP=DP=2时,如图2所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=2,∠D=∠B=60°,
∴DP=CD,
∴△PCD是等边三角形,PC=CD=2,
∴BP=
=
=2
;
(2)当∠BCP=90°时,如图3所示:
则CPD=90°,
∵CD=AB=2,∠D=∠ABC=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=
CD=1,CP=
PD=
,
∴BP=
=
;
综上所述:当△PBC为直角三角形时,BP的长为2或2
或
.
故答案为:2或2
或
.
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