第04讲一元二次方程章节分类总复习
一一元二次方程及其解法
知识点睛:
一元二次方程的一般形式:
判断一元二次方程的特征:
一元二次方程的解法:
解法 |
适用范围 |
步骤 |
直接 开方法 |
符合 型 的一元二次方程 |
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因式 分解法 |
化成一般形式后,“=”左边可以因式分解的一元二次方程 |
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配 方 法 |
适用二次项系数为1的一元二次方程 |
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公 式 法 |
适用所有一元二次方程 |
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类题训练
1.(西城区校级期中)若方程(m﹣1)x|m|+1﹣2x=3是关于x的一元二次方程,则m的值为(B )
A.1 B.﹣1 C.±1 D.不存在
【分析】根据“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”可得:|m|+1=2,且m﹣1≠0,再解即可.
【解答】解:由题意得:|m|+1=2,且m﹣1≠0,
解得:m=﹣1,
故选:B.
2.(宁乡市期末)把方程2x(x﹣1)=3x化成一元二次方程的一般形式,则二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B)
A.2,5,0 B.2,﹣5,0 C.2,5,1 D.2,3,0
【分析】方程整理为一般形式,找出所求即可.
【解答】解:方程2x(x﹣1)=3x,
整理得:2x2﹣5x=0,
则二次项系数为2,一次项系数为﹣5,常数项为0.
故选:B.
3.(亳州期末)把方程x2+2(x﹣1)=3x化成一般形式,正确的是(A )
A.x2﹣x﹣2=0 B.x2+5x﹣2=0 C.x2﹣x﹣1=0 D.x2﹣2x﹣1=0
【分析】根据一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),可得出答案.
【解答】解:将一元二次方程x2+2(x﹣1)=3x化成一般形式有:x2﹣x﹣2=0,
故选:A.
4.(温岭市期中)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则﹣6m2+9m﹣13的值为(A )
A.﹣16 B.﹣13 C.﹣10 D.﹣8
【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1=0,再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13=3(2m2﹣3m)﹣13,即可求解.
【解答】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,
∴2m2﹣3m﹣1=0,
∴2m2﹣3m=1,
∴﹣6m2+9m﹣13=﹣3(2m2﹣3m)﹣13=﹣3×1﹣13=﹣16,
故选:A.
5.用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19=0,配方后的方程为(A )
A.(x﹣ )2= B.(x+ )2= C.(x﹣9)2=62 D.(x+9)2=62
【分析】将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可.
【解答】解:∵x2﹣9x+19=0,
∴x2﹣9x=﹣19,
∴x2﹣9x+ =﹣19+ ,即(x﹣ )2= ,
故选:A.
6.解方程:
(1)2(x﹣3)2=x2﹣9;(2)x2﹣ x﹣ =0;(3)(x﹣5)2=16;
(4)2y2+4y=y+2;(5)x2﹣2x﹣4=0;(6)x2+5x+4=0.
【分析】(1)先移项,变形为2(x﹣3)2﹣(x+3)(x﹣3)=0,再利用提公因式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可;
(2)利用公式法求解即可.
(3)开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(4)分解因式后即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;
(5)配方后开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
(6)分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:(1)∵2(x﹣3)2=x2﹣9,
∴2(x﹣3)2﹣(x+3)(x﹣3)=0,
则(x﹣3)(x﹣9)=0,
∴x﹣3=0或x﹣9=0,
解得x1=3,x2=9;
(2)∵a=1,b=﹣ ,c=﹣ ,
∴Δ=(﹣ )2﹣4×1×(﹣ )=4>0,
则x= = ,
∴x1= ,x2= .
(3)(x﹣5)2=16,
开方得:x﹣5=±4,
∴x1=9,x2=1;
(4)2y2+4y=y+2,
2y2+3y﹣2=0,
(2y﹣1)(y+2)=0,
∴2y﹣1=0或y+2=0,
∴y1= ,y2=﹣2;
(5)x2﹣2x﹣4=0,
x2﹣2x=4,
x2﹣2x+1=1+4,即(x﹣1)2=5,
∴x﹣1= ,
∴x1=1+ ,x2=1﹣ .
(6)x2+5x+4=0,
(x+4)(x+1)=0,
∴x+4=0或x+1=0,
∴x1=﹣4,x2=﹣1.
7.(昭阳区期中)阅读例题,解答问题:
例:解方程x2﹣|x|﹣2=0,
解:原方程化为|x|2﹣|x|﹣2=0.
令y=|x|,
∴y2﹣y﹣2=0
解得:y1=2,y2=﹣1
当|x|=2,x=±2;
当|x|=﹣1时(不合题意,舍去)
∴原方程的解是x1=2,x1=﹣2,
仿照上例解方程(x+1)2﹣5|x+1|﹣6=0.
【分析】原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6=0,令y=|x+1|,得y2﹣5y﹣6=0,再利用因式分解法求解即可.
【解答】解:原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6=0,
令y=|x+1|,
∴y2﹣5y﹣6=0,
解得y1=6,y2=﹣1,
当|x+1|=6,x+1=±6,x=5或x=﹣7,
当|x+1|=﹣1时(不合题意,舍去),
∴原方程的解是x1=5,x2=﹣7.
二根的判别式
知识点睛:
对于一元二次方程的一般形式: ,
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
【易错警示】
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类题训练
1.(永春县期中)不解方程,判别方程x2﹣3x+2=0的根的情况是( )
A.有两个不等实根B.有两个相等实根 C.没有实根D.无法确定
【分析】由方程的系数结合根的判别式Δ=b2﹣4ac,可得出Δ>1,进而可得出该方程有两个不相等的实数根.
【解答】解:a=1,b=﹣3,c=2,
∵Δ=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×2=1>0,
∴方程x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根.
故选:A.
2.(雨花区一模)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≠0 B.m≤ C.m< D.m>
【分析】由方程有实数根即Δ=b2﹣4ac≥0,从而得出关于m的不等式,解之可得.
【解答】解:根据题意得,Δ=b2﹣4ac=[﹣(2m﹣1)]2﹣4m2=﹣4m+1≥0,
解得:m≤ ,
故选:B.
3.(河池)关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.实数根的个数由m的值确定
【分析】先计算判别式的值,再配方得到Δ=(m+2)2+4>0,从而可判断方程根的情况.
【解答】解:∵Δ=m2﹣4(﹣m﹣2)
=m2+4m+8
=(m+2)2+4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
4.关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n=0无实数根,则一次函数y=(2﹣n)x+n的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac<0,代入数据即可得出关于n的一元一次不等式,解不等式即可得出n的取值范围,再根据n的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围,由此即可得出一次函数经过的象限,此题得解.
【解答】解:由已知得:Δ=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×(2n)=16﹣8n<0,
解得:n>2,
∵一次函数y=(2﹣n)x+n中,k=2﹣n<0,b=n>0,
∴该一次函数图象在第一、二、四象限,
故选:C.
5.(寿光市期中)等腰三角形三边长分别为a,b,3,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m=0的两根,则m的值为 .
【分析】讨论:当a=3或b=3时,把x=3代入方程x2﹣8x﹣1+m=0得到m的值;当a=b时,利用判别式的意义得到Δ=82﹣4(﹣1+m)=0,解得m=17.
【解答】解:当a=3或b=3时,
把x=3代入方程x2﹣8x﹣1+m=0得9﹣24﹣1+m=0,解得m=16,
此时方程为x2﹣8x+15=0,解得x1=3,x2=5;
当a=b时,Δ=82﹣4(﹣1+m)=0,解得m=17,
此时方程为x2﹣8x+16=0,解得x1=x2=4;
综上所述,m的值为16或17.
故答案为:16、17.
6.(安居区期末)已知关于x的方程x2﹣(m+3)x+4m﹣4=0的两个实数根.
(1)求证:无论m取何值,这个方程总有实数根.
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=5,另两边b,c的长度恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出:Δ=(m+3)2﹣4(4m﹣4)=m2﹣10m+25=(m﹣5)2≥0,由此即可证得结论;
(2)由等腰三角形的性质可知b=c或b、c中有一个为5,①当b=c时,根据根的判别式Δ=0,解之求出m值,将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解,再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适;②当方程的一根为5时,将x=5代入原方程求出m值,将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解,再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边,结合三角形的周长即可得出结论.
【解答】(1)证明:Δ=(m+3)2﹣4(4m﹣4)=m2﹣10m+25=(m﹣5)2≥0,
∴无论m取何值,这个方程总有实数根;
(2)∵△ABC为等腰三角形,
∴b=c或b、c中有一个为5.
①当b=c时,Δ=(m﹣5)2=0,
解得:m=5,
∴原方程为x2﹣8x+16=0,
解得:b=c=4,
∵b+c=4+4=8>5,
∴4、4、5能构成三角形.
该三角形的周长为4+4+5=13.
②当b或c中的一个为5时,将x=5代入原方程,得:25﹣5m﹣15+4m﹣4=0,
解得:m=6,
∴原方程为x2﹣9x+20=0,
解得:x1=4,x2=5.
∵4、5、5能组成三角形,
∴该三角形的周长为4+5+5=14.
综上所述,该三角形的周长是13或14.
7.(亳州模拟)已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)当m为正整数时,求方程的根.
【分析】(1)根据根的判别式Δ=b2﹣4ac>0列出关于m的不等式,根据这两个不等式解答m的取值范围;
(2)由(1)中m的取值范围求出整数m的值,然后将其代入关于x的方程(m2﹣m)x2﹣2mx+1=0,得到关于一元二次方程的解析式,然后把m代入该方程,求出方程的根.
【解答】解:(1)∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(﹣2m)2﹣4(m2+m﹣2)>0.
解得m<2;
(2)由(1)知,m<2.
有m为正整数,
∴m=1,
将m=1代入原方程,得
x2﹣2x=0
x(x﹣2)=0,
解得x1=0,x2=2.
8.(沁阳市月考)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.
(1)当b=a+3时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的a、b的值,并求此时方程的根.
【分析】(1)由方程的系数结合根的判别式、b=a+3,可得出Δ=(a+1)2+8>0,进而可找出方程ax2+bx+1=0有两个不相等实数根;
(2)由根的判别式Δ=b2﹣4a=0,可得出:若b=2,a=1,则原方程为x2+2x+1=0,解之即可得出结论.
【解答】解:(1)Δ=b2﹣4a×1=b2﹣4a,
∵b=a+3,
∴Δ=(a+3)2﹣4a
=a2+6a+9﹣4a
=(a+1)2+8>0,
∴原方程有两个不相等的实数根;
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴b2﹣4a=0,即b2=4a,
取a=1,b=2,
则方程为x2+2x+1=0,
∴x1=x2=﹣1.
9.(台州期中)关于x的方程x2﹣x+m=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为5,求m的值及方程的另一个根.
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围;
(2)代入x=5可求出m的值,再解方程,即可求出方程的另一个根.
【解答】解:(1)∵方程有两个实数根,
∴b2﹣4ac≥0,
∴1﹣4m≥0,
∴m≤ ;
(2)把x=5代入方程x2﹣x+m=0得25﹣5+m=0,
∴m=﹣20,
解x2﹣x﹣20=0得x1=5,x2=﹣4,
所以m=﹣20,另一个根为﹣4.
三根与系数的关系(韦达定理)
知识点睛:
1.若一元二次方程 的两个根为 ,则有 ,
2.两根关系的常见变形:
类题训练
1.(义马市期中)已知m,n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个不相等的实数根,则m2+mn+n2的值为( )
A.﹣1 B.9 C.27 D.23
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m+n与mn的值,原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值.
【解答】解:∵m,n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个不相等的实数根,
∴m+n=5,mn=﹣2,
则原式=(m+n)2﹣mn=52﹣(﹣2)=25+2=27.
故选:C.
2.(遵义一模)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x12+x22的值是( )
A.﹣7 B.7 C.2 D.﹣2
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2=3,x1x2=1,再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=1,
所以x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×1=7.
故选:B.
3.(眉山)若α,β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,则 + 的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣ 、αβ=﹣3,将其代入 + = 中即可求出结论.
【解答】解:∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根,
∴α+β=﹣ ,αβ=﹣3,
∴ + = = = =﹣ .
故选:C.
4.若x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,且x1+x2=1﹣x1x2,则m的值为( )
A.﹣1或2 B.1或﹣2 C.﹣2 D.1
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=1﹣x1x2,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,再根据方程有实数根结合根的判别式,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,从而可确定m的值.
【解答】解:∵x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=2m,x1•x2=m2﹣m﹣1.
∵x1+x2=1﹣x1x2,
∴2m=1﹣(m2﹣m﹣1),即m2+m﹣2=0,
解得:m1=﹣2,m2=1.
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根,
∴Δ=(﹣2m)2﹣4(m2﹣m﹣1)=4m+4≥0,
解得:m≥﹣1.
∴m=1.
故选:D.
5.(广东)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是( )
A.x1≠x2 B.x12﹣2x1=0 C.x1+x2=2 D.x1•x2=2
【分析】由根的判别式Δ=4>0,可得出x1≠x2,选项A不符合题意;将x1代入一元二次方程x2﹣2x=0中可得出x12﹣2x1=0,选项B不符合题意;利用根与系数的关系,可得出x1+x2=2,x1•x2=0,进而可得出选项C不符合题意,选项D符合题意.
【解答】解:∵Δ=(﹣2)2﹣4×1×0=4>0,
∴x1≠x2,选项A不符合题意;
∵x1是一元二次方程x2﹣2x=0的实数根,
∴x12﹣2x1=0,选项B不符合题意;
∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两个实数根,
∴x1+x2=2,x1•x2=0,选项C不符合题意,选项D符合题意.
故选:D.
6.若关于x的方程x2+(m+1)x+m2=0的两个实数根互为倒数,则m的值是( )
A.﹣1 B.1或﹣1 C.1 D.2
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:Δ=(m+1)2﹣4m2=﹣3m2+2m+1,
由题意可知:m2=1,
∴m=±1,
当m=1时,Δ=﹣3+2+1=0,
当m=﹣1时,Δ=﹣3﹣2+1=﹣4<0,不满足题意,
故选:C.
已知x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+1=0的两个实数根,则x12+x22= .
【分析】根据根与系数的关系得x1+x2=5,x1x2=1,再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:根据根与系数的关系得x1+x2=5,x1x2=1,
所以x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=52﹣2×1=23.
故答案为:23.
8.(越秀区校级期中)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,求:
(1) + 的值;
(2)m2﹣mn+n2的值.
【分析】(1)根据m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,由根与系数的关系得出m+n和mn的值,再把要求的式子进行变形,再把m+n和mn的值代入即可;
(2)先把m2﹣mn+n2变形为(m+n)2﹣3mn,再根据(1)得出的m+n和mn的值,代入进行计算即可.
【解答】解:(1)∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,
∴m+n= ,mn=﹣ ,
∴ + = = =﹣ ;
(2)m2﹣mn+n2
=(m+n)2﹣3mn
=( )2﹣3×(﹣ )
= +
=10 .
9.(惠安县校级期中)已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1=2x2,求k的值.
【分析】(1)根据题意可得Δ≥0,从而可以求得k的取值范围;
(2)根据根与系数的关系和x1=2x2,可以求得k的值.
【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k=0有两个实数根,
∴Δ=b2﹣4ac=(﹣9)2﹣4k≥0,
解得k≤ ,
即k的取值范围是k≤ ;
(2)∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k=0有两个实数根x1,x2.
∴x1+x2=9,x1x2=k,
∵x1=2x2,
∴3x2=9,
∴x2=3,
∴x1=6,
∴k=18.
四一元二次方程的实际应用
类题训练:
1.如图,在南河公园有一个矩形的花坛,长10米,宽7米(阴影部分).在花坛的周围是等宽度的石子路,路的面积为84平方米.则石子路的宽度为( )
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米
【分析】设石子路的宽度为x米,将四周的路面计算在内,则新矩形的长和宽分别为(10+2x)米和(7+2x)米,可知新矩形的面积减去花坛的面积等于路的面积,列方程求出x的值即可.
【解答】解:设石子路的宽度为x米,
根据题意得(10+2x)(7+2x)﹣10×7=84,
整理得2x2+17x﹣42=0,
解得x1=2,x2=﹣10.5(不符合题意,舍去),
∴石子路的宽度为2米,
故选:C.
2.在疫情期间,口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只,如果要在第二季度总共生产728000只口罩,设生产口翠月平均增长的百分率为x,则可根据题意列出的方程是( )
A.200000(1+x)2=728000
B.200000(1+x)3=728000
C.200000(1+x)+200000(1+x)2=72800
D.200000+200000(1+x)+200000(1+x)2=728000
【分析】设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x,根据第二季度完成728000个零件的生产任务,即可得出关于x的一元二次方程.
【解答】解:设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x,
根据题意得:200000+200000(1+x)+200000(1+x)2=728000.
故选:D.
3.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病,如果有一人患病,经过两轮传染后有81人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列列式正确是( )
A.x+x(1+x)=81 B.1+x+x2=81
C.1+x+x(1+x)=81 D.x(1+x)=81
【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染了x个人,第二轮传染了x(1+x)人,根据经过两轮传染后有81人患病,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:若设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染了x个人,第二轮传染了x(1+x)人,
依题意得:1+x+x(1+x)=81.
故选:C.
4.有一人患了新型冠状病毒肺炎,经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A.8人 B.9人 C.10人 D.11人
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,则第一轮传染了x人,第二轮传染了x(1+x)人,根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,则第一轮传染了x人,第二轮传染了x(1+x)人,
依题意得:1+x+x(1+x)=100,
整理得:x2+2x﹣99=0,
解得:x1=9,x2=﹣11(不合题意,舍去).
故选:B.
5.如图是一个长20cm,宽15cm的矩形图案,其中有两条宽度相等,互相垂直的彩条,彩条所占面积是图案面积的 ,设彩条的宽度为xcm,则下列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】设彩条的宽度为xcm,表示出两条彩条的面积,根据彩条所占面积是图案面积的四分之一列出方程即可.
【解答】解:设彩条的宽度为xcm,根据题意列方程得,
,
故选:B.
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是( )
A.2秒钟 B.3秒钟 C.4秒钟 D.5秒钟
【分析】设出动点P,Q运动t秒,能使△PBQ的面积为15cm2,用t分别表示出BP和BQ的长,利用三角形的面积计算公式即可解答.
【解答】解:设动点P,Q运动t秒后,能使△PBQ的面积为15cm2,
则BP为(8﹣t)cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得,
×(8﹣t)×2t=15,
解得t1=3,t2=5(当t=5时,BQ=10,不合题意,舍去).
∴动点P,Q运动3秒时,能使△PBQ的面积为15cm2.
故选:B.
7.如图,幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园(墙长为15m),则与墙垂直的边x为( )
A.10m或5m B.5m或8m C.10m D.5m
【分析】设与墙垂直的边长x米,则与墙平行的边长为(30﹣2x)米,根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论.
【解答】解:设与墙垂直的边长x米,则与墙平行的边长为(30﹣2x)米,
根据题意得:(30﹣2x)x=100,
整理得:x2﹣15x+50=0,
解得:x1=5,x2=10.
当x=5时,30﹣2x=20>15,
∴x=5舍去.
故选:C.
8.工人师傅给一幅长为120cm,宽为40cm的矩形书法作品装裱,作品的四周需要留白如图所示,已知左、右留白部分的宽度一样,上、下留白部分的宽度也一样,而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍,使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2,设上面留白部分的宽度为xcm,可列得方程为 .
【分析】根据题意表示出装裱后的长与宽,进而得出等式求出答案.
【解答】解:设上面留白部分的宽度为xcm,则左右空白部分为2x,可列得方程为:
(120+4x)(40+2x)=7000.
故答案为:(120+4x)(40+2x)=7000.
9.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm.
【分析】根据题意找到等量关系列出方程组,转化为一元二次方程求解即可.
【解答】解:设底面长为acm,宽为bcm,正方形的边长为xcm,根据题意得:
,
解得a=10﹣2x,b=6﹣x,
代入ab=24中,得:
(10﹣2x)(6﹣x)=24,
整理得:x2﹣11x+18=0,
解得x=2或x=9(舍去),
答:剪去的正方形的边长为2cm.
故答案为:2.
10.如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=8cm,动点P,Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/S的速度向B移动,一直到达B为止;点Q以2cm/s的速度向D移动.当P、Q两点从出发开始到 秒时,点P和点Q的距离是10cm.
【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时,点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=(16﹣2x)cm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:设当P、Q两点从出发开始到x秒时,点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=(16﹣2x)cm,
根据题意得:(16﹣2x﹣3x)2+82=102,
解得:x1=2,x2= .
答:当P、Q两点从出发开始到2秒或 秒时,点P和点Q的距离是10cm.
故答案为:2或 .
11.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.
【分析】由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/s,S= QC×PB,所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在B点左侧运动,达到一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分条回答.
【解答】解:(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10﹣t,
∴S= ×t(10﹣t)= (10t﹣t2),
当t>10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQ=t,PB=t﹣10,
∴S= ×t(t﹣10)= (t2﹣10t).
(2)∵S△ABC= ,
∴当t<10秒时,S△PCQ= ,
整理得t2﹣10t+100=0,此方程无解,
当t>10秒时,S△PCQ= ,
整理得t2﹣10t﹣100=0,解得t=5±5 (舍去负值),
∴当点P运动 秒时,S△PCQ=S△ABC.
(3)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
证明:过Q作QM⊥AC,交直线AC于点M,
易证△APE≌△QCM,
∴AE=PE=CM=QM= t,
∴四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.
又∵EM=AC=10 ∴DE=5
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
同理,当点P在点B右侧时,DE=5
综上所述,当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
12.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
【分析】(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;
(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.
【解答】解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.
故答案为:26;
(2)设每件商品应降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.
根据题意,得(40﹣x)(20+2x)=1200,
整理,得x2﹣30x+200=0,
解得:x1=10,x2=20.
∵要求每件盈利不少于25元,
∴x2=20应舍去,
∴x=10.
答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.
13.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
-
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费﹣月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是 元;当每个公司租出的汽车为 辆时,两公司的月利润相等;
(2)求租出汽车多少辆时,两公司月利润差恰为18400元?
【分析】(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金,再乘以10,减去维护费用可得甲公司的月利润;设每个公司租出的汽车为x辆,根据月利润相等得到方程,解之即可得到结果;
(2)设两公司的月利润分别为y甲,y乙,月利润差为y,由(1)可得y甲和y乙的表达式,再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况,列出y关于x的表达式,根据题意列出方程,并解答.
【解答】解:(1)[(50﹣10)×50+3000]×10﹣200×10=48000元,
当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元;
设每个公司租出的汽车为x辆,
由题意可得:[(50﹣x)×50+3000]x﹣200x=3500x﹣1850,
解得:x=37或x=﹣1(舍),
∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等.
故答案是:48000;37;
(2)设每个公司租出的汽车为x辆,两公司的月利润分别为y甲,y乙,
则y甲=[(50﹣x)×50+3000]x﹣200x,
y乙=3500x﹣1850.
当甲公司的利润大于乙公司时,0<x<37,
y甲﹣y乙=18400,即[(50﹣x)×50+3000]x﹣200x﹣(3500x﹣1850)=﹣50x2+1800x+1850=18400,
整理,得x2﹣36x+331=0
此方程无解.故此情况不存在;
当乙公司的利润大于甲公司时,37<x≤50,
y乙﹣y甲=18400,即3500x﹣1850﹣[(50﹣x)×50+3000]x+200x=50x2﹣1800x﹣1850=18400,
整理,得(x﹣45)(x+9)=0,
解得x1=45,x2=﹣9(舍去)
所以当每个公司租出的汽车为45辆时,两公司月利润差恰为18400元.