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【324293】2024八年级数学下册 专题突破 第04讲 一元二次方程章节分类总复习(含解析)(新版

时间:2025-01-15 21:53:55 作者: 字数:32514字


04讲一元二次方程章节分类总复习

一一元二次方程及其解法

知识点睛:

  1. 一元二次方程的一般形式:Shape1

判断一元二次方程的特征:Shape2

  1. 一元二次方程的解法:

解法

适用范围

步骤

直接

开方法

符合

的一元二次方程

  1. 边分别开方,得:

  2. 两边同除以系数 ,得,

因式

分解法

化成一般形式后,“=”左边可以因式分解的一元二次方程

  1. 将一元二次方程化成一般是

  2. 将“=”左边的部分因式分解

  3. 让各部分因式分别=0

  4. 各部分因式分别=0x的值即为方程的解



适用二次项系数为1的一元二次方程

  1. 将一般形式的常数项移到“=”右边

  2. 两边同时加上一次项系数一半的平方,得到 式的一元二次方程

  3. 利用直接开方法求解方程









适用所有一元二次方程

  1. 将方程写成一般式

  2. 分别写出abc的表达式,带入求出根的判别式 的值;

  3. 将数据带入公式 ,得到方程的两个解

【易错警示】

  • 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断;

  • 一元二次方程的解,要么无解,有解必有2个,所以最后的方程的解一定要写明x1x2

  • 一元二次方程公式法也称万能公式,但是利用万能公式时一定要先写清楚其abc以及b2-4ac的值,之后再带入计算;

类题训练

1.(西城区校级期中)若方程(m﹣1x|m|+1﹣2x3是关于x的一元二次方程,则m的值为(B )

A1 B.﹣1 C±1 D.不存在

【分析】根据“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”可得:|m|+12,且m﹣1≠0,再解即可.

【解答】解:由题意得:|m|+12,且m﹣1≠0

解得:m=﹣1

故选:B

2.(宁乡市期末)把方程2xx﹣1)=3x化成一元二次方程的一般形式,则二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B

A250 B2,﹣50 C251 D230

【分析】方程整理为一般形式,找出所求即可.

【解答】解:方程2xx﹣1)=3x

整理得:2x2﹣5x0

则二次项系数为2,一次项系数为﹣5,常数项为0

故选:B

3.(亳州期末)把方程x2+2x﹣1)=3x化成一般形式,正确的是(A )

Ax2x﹣20 Bx2+5x﹣20 Cx2x﹣10 Dx2﹣2x﹣10

【分析】根据一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c0abc是常数且a≠0),可得出答案.

【解答】解:将一元二次方程x2+2x﹣1)=3x化成一般形式有:x2x﹣20

故选:A

4.(温岭市期中)若m是方程2x2﹣3x﹣10的一个根,则﹣6m2+9m﹣13的值为(A )

A.﹣16 B.﹣13 C.﹣10 D.﹣8

【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣10,再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣1332m2﹣3m)﹣13,即可求解.

【解答】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣10的一个根,

2m2﹣3m﹣10

2m2﹣3m1

∴﹣6m2+9m﹣13=﹣32m2﹣3m)﹣13=﹣3×1﹣13=﹣16

故选:A

5.用配方法解一元二次方程x2﹣9x+190,配方后的方程为(A )

A.(x 2 B.(x+ 2 C.(x﹣9262 D.(x+9262

【分析】将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可.

【解答】解:∵x2﹣9x+190

x2﹣9x=﹣19

x2﹣9x+ =﹣19+ ,即(x 2

故选:A

6.解方程:

12x﹣32x2﹣92x2 x 0;(3)(x﹣5216



42y2+4yy+25x2﹣2x﹣406x2+5x+40





【分析】(1)先移项,变形为2x﹣32x+3)(x﹣3)=0,再利用提公因式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可;

2)利用公式法求解即可.

3)开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;

4)分解因式后即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;

5)配方后开方即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.

6)分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.

【解答】解:(1)∵2x﹣32x2﹣9

2x﹣32x+3)(x﹣3)=0

则(x﹣3)(x﹣9)=0

x﹣30x﹣90

解得x13x29

2)∵a1b=﹣ c=﹣

Δ=(﹣ 2﹣4×1×(﹣ )=40

x

x1 x2

3)(x﹣5216

开方得:x﹣5±4

x19x21


42y2+4yy+2

2y2+3y﹣20

2y﹣1)(y+2)=0

2y﹣10y+20

y1 y2=﹣2


5x2﹣2x﹣40

x2﹣2x4

x2﹣2x+11+4,即(x﹣125

x﹣1

x11+ x21﹣

6x2+5x+40

x+4)(x+1)=0

x+40x+10

x1=﹣4x2=﹣1

7.(昭阳区期中)阅读例题,解答问题:

例:解方程x2﹣|x|﹣20

解:原方程化为|x|2﹣|x|﹣20

y|x|

y2y﹣20

解得:y12y2=﹣1

|x|2x±2

|x|=﹣1时(不合题意,舍去)

原方程的解是x12x1=﹣2

仿照上例解方程(x+12﹣5|x+1|﹣60

【分析】原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣60,令y|x+1|,得y2﹣5y﹣60,再利用因式分解法求解即可.

【解答】解:原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣60

y|x+1|

y2﹣5y﹣60

解得y16y2=﹣1

|x+1|6x+1±6x5x=﹣7

|x+1|=﹣1时(不合题意,舍去),

原方程的解是x15x2=﹣7



二根的判别式

知识点睛:

对于一元二次方程的一般形式:Shape3

  1. Shape5 Shape4 方程有两个不相等的实数根

  2. Shape7 Shape6 方程有两个相等的实数根

  3. Shape9 Shape8 方程没有实数根

【易错警示】

  • 在应用跟的判别式时,若二次项系数中含有字母,注意二次项系数不为0这一条件;

  • Shape10 时,可得方程有两个实数根,相等不相等未知

类题训练

1.(永春县期中)不解方程,判别方程x2﹣3x+20的根的情况是(  )

A.有两个不等实根B.有两个相等实根 C.没有实根D.无法确定

【分析】由方程的系数结合根的判别式Δb2﹣4ac,可得出Δ1,进而可得出该方程有两个不相等的实数根.

【解答】解:a1b=﹣3c2

Δb2﹣4ac=(﹣32﹣4×1×210

方程x2﹣3x+20有两个不相等的实数根.

故选:A

2.(雨花区一模)已知关于x的一元二次方程x22m﹣1x+m20有实数根,则m的取值范围是(  )

Am≠0 Bm Cm Dm

【分析】由方程有实数根即Δb2﹣4ac≥0,从而得出关于m的不等式,解之可得.

【解答】解:根据题意得,Δb2﹣4ac[﹣2m﹣1]2﹣4m2=﹣4m+1≥0

解得:m

故选:B

3.(河池)关于x的一元二次方程x2+mxm﹣20的根的情况是(  )

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.实数根的个数由m的值确定

【分析】先计算判别式的值,再配方得到Δ=(m+22+40,从而可判断方程根的情况.

【解答】解:∵Δm2﹣4(﹣m﹣2

m2+4m+8

=(m+22+40

方程有两个不相等的实数根.

故选:A

4.关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n0无实数根,则一次函数y=(2﹣nx+n的图象不经过(  )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac0,代入数据即可得出关于n的一元一次不等式,解不等式即可得出n的取值范围,再根据n的取值范围来确定一次函数系数kb的范围,由此即可得出一次函数经过的象限,此题得解.

【解答】解:由已知得:Δb2﹣4ac=(﹣42﹣4×1×2n)=16﹣8n0

解得:n2

一次函数y=(2﹣nx+n中,k2﹣n0bn0

该一次函数图象在第一、二、四象限,

故选:C

5.(寿光市期中)等腰三角形三边长分别为ab3,且ab是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m0的两根,则m的值为  

【分析】讨论:当a3b3时,把x3代入方程x2﹣8x﹣1+m0得到m的值;当ab时,利用判别式的意义得到Δ82﹣4(﹣1+m)=0,解得m17

【解答】解:当a3b3时,

x3代入方程x2﹣8x﹣1+m09﹣24﹣1+m0,解得m16

此时方程为x2﹣8x+150,解得x13x25

ab时,Δ82﹣4(﹣1+m)=0,解得m17

此时方程为x2﹣8x+160,解得x1x24

综上所述,m的值为1617

故答案为:1617

6.(安居区期末)已知关于x的方程x2m+3x+4m﹣40的两个实数根.

1)求证:无论m取何值,这个方程总有实数根.

2)若等腰三角形ABC的一边长a5,另两边bc的长度恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出:Δ=(m+32﹣44m﹣4)=m2﹣10m+25=(m﹣52≥0,由此即可证得结论;

2)由等腰三角形的性质可知bcbc中有一个为5,①当bc时,根据根的判别式Δ0,解之求出m值,将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解,再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适;②当方程的一根为5时,将x5代入原方程求出m值,将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解,再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边,结合三角形的周长即可得出结论.

【解答】(1)证明:Δ=(m+32﹣44m﹣4)=m2﹣10m+25=(m﹣52≥0

无论m取何值,这个方程总有实数根;

2)∵△ABC为等腰三角形,

bcbc中有一个为5

bc时,Δ=(m﹣520

解得:m5

原方程为x2﹣8x+160

解得:bc4

b+c4+485

445能构成三角形.

该三角形的周长为4+4+513

bc中的一个为5时,将x5代入原方程,得:25﹣5m﹣15+4m﹣40

解得:m6

原方程为x2﹣9x+200

解得:x14x25

455能组成三角形,

该三角形的周长为4+5+514

综上所述,该三角形的周长是1314

7.(亳州模拟)已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣20有两个不相等的实数根.

1)求m的取值范围.

2)当m为正整数时,求方程的根.

【分析】(1)根据根的判别式Δb2﹣4ac0列出关于m的不等式,根据这两个不等式解答m的取值范围;

2)由(1)中m的取值范围求出整数m的值,然后将其代入关于x的方程(m2mx2﹣2mx+10,得到关于一元二次方程的解析式,然后把m代入该方程,求出方程的根.

【解答】解:(1)∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣20有两个不相等的实数根,

Δ=(﹣2m2﹣4m2+m﹣2)>0

解得m2


2)由(1)知,m2

m为正整数,

m1

m1代入原方程,得

x2﹣2x0

xx﹣2)=0

解得x10x22

8.(沁阳市月考)关于x的一元二次方程ax2+bx+10

1)当ba+3时,利用根的判别式判断方程根的情况;

2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的ab的值,并求此时方程的根.

【分析】(1)由方程的系数结合根的判别式、ba+3,可得出Δ=(a+12+80,进而可找出方程ax2+bx+10有两个不相等实数根;

2)由根的判别式Δb2﹣4a0,可得出:若b2a1,则原方程为x2+2x+10,解之即可得出结论.

【解答】解:(1Δb2﹣4a×1b2﹣4a

ba+3

Δ=(a+32﹣4a

a2+6a+9﹣4a

=(a+12+80

原方程有两个不相等的实数根;


2)∵方程有两个相等的实数根,

b2﹣4a0,即b24a

a1b2

则方程为x2+2x+10

x1x2=﹣1

9.(台州期中)关于x的方程x2x+m0有两个实数根x1x2

1)求m的取值范围;

2)若方程有一个根为5,求m的值及方程的另一个根.

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围;

2)代入x5可求出m的值,再解方程,即可求出方程的另一个根.

【解答】解:(1)∵方程有两个实数根,

b2﹣4ac≥0

1﹣4m≥0

m

2)把x5代入方程x2x+m025﹣5+m0

m=﹣20

x2x﹣200x15x2=﹣4

所以m=﹣20,另一个根为﹣4


三根与系数的关系(韦达定理)

知识点睛:

1.若一元二次方程Shape11 的两个根为Shape12 ,则有Shape13 Shape14

2.两根关系的常见变形:

Shape15 Shape16

Shape17 Shape18

类题训练

1.(义马市期中)已知mn是一元二次方程x2﹣5x﹣20的两个不相等的实数根,则m2+mn+n2的值为(  )

A.﹣1 B9 C27 D23

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m+nmn的值,原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值.

【解答】解:∵mn是一元二次方程x2﹣5x﹣20的两个不相等的实数根,

m+n5mn=﹣2

则原式=(m+n2mn52(﹣2)=25+227

故选:C

2.(遵义一模)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+10有两个不相等的实数根x1x2,则x12+x22的值是(  )

A.﹣7 B7 C2 D.﹣2

【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x23x1x21,再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x22﹣2x1x2,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解:根据根与系数的关系得x1+x23x1x21

所以x12+x22=(x1+x22﹣2x1x232﹣2×17

故选:B

3.(眉山)若αβ是一元二次方程3x2+2x﹣90的两根,则 + 的值是(  )

A B.﹣ C.﹣ D

【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣ αβ=﹣3,将其代入 + 中即可求出结论.

【解答】解:∵αβ是一元二次方程3x2+2x﹣90的两根,

α+β=﹣ αβ=﹣3

+ =﹣

故选:C

4.若x1x2是方程x2﹣2mx+m2m﹣10的两个根,且x1+x21﹣x1x2,则m的值为(  )

A.﹣12 B1或﹣2 C.﹣2 D1

【分析】根据根与系数的关系结合x1+x21﹣x1x2,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,再根据方程有实数根结合根的判别式,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,从而可确定m的值.

【解答】解:∵x1x2是方程x2﹣2mx+m2m﹣10的两个根,

x1+x22mx1x2m2m﹣1

x1+x21﹣x1x2

2m1﹣m2m﹣1),即m2+m﹣20

解得:m1=﹣2m21

方程x2﹣2mx+m2m﹣10有实数根,

Δ=(﹣2m2﹣4m2m﹣1)=4m+4≥0

解得:m≥﹣1

m1

故选:D

5.(广东)已知x1x2是一元二次方程x2﹣2x0的两个实数根,下列结论错误的是(  )

Ax1x2 Bx12﹣2x10 Cx1+x22 Dx1x22

【分析】由根的判别式Δ40,可得出x1x2,选项A不符合题意;将x1代入一元二次方程x2﹣2x0中可得出x12﹣2x10,选项B不符合题意;利用根与系数的关系,可得出x1+x22x1x20,进而可得出选项C不符合题意,选项D符合题意.

【解答】解:∵Δ=(﹣22﹣4×1×040

x1x2,选项A不符合题意;

x1是一元二次方程x2﹣2x0的实数根,

x12﹣2x10,选项B不符合题意;

x1x2是一元二次方程x2﹣2x0的两个实数根,

x1+x22x1x20,选项C不符合题意,选项D符合题意.

故选:D

6.若关于x的方程x2+m+1x+m20的两个实数根互为倒数,则m的值是(  )

A.﹣1 B1或﹣1 C1 D2

【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案.

【解答】解:由题意可知:Δ=(m+12﹣4m2=﹣3m2+2m+1

由题意可知:m21

m±1

m1时,Δ=﹣3+2+10

m=﹣1时,Δ=﹣3﹣2+1=﹣40,不满足题意,

故选:C

  1. 已知x1x2是一元二次方程x2﹣5x+10的两个实数根,则x12+x22  

【分析】根据根与系数的关系得x1+x25x1x21,再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x22﹣2x1x2,然后利用整体代入的方法计算.

【解答】解:根据根与系数的关系得x1+x25x1x21

所以x12+x22=(x1+x22﹣2x1x252﹣2×123

故答案为:23

8.(越秀区校级期中)已知mn是方程2x2﹣5x﹣30的两根,求:

1 + 的值;

2m2mn+n2的值.

【分析】(1)根据mn是方程2x2﹣5x﹣30的两根,由根与系数的关系得出m+nmn的值,再把要求的式子进行变形,再把m+nmn的值代入即可;

2)先把m2mn+n2变形为(m+n2﹣3mn,再根据(1)得出的m+nmn的值,代入进行计算即可.

【解答】解:(1)∵mn是方程2x2﹣5x﹣30的两根,

m+n mn=﹣

+ =﹣


2m2mn+n2

=(m+n2﹣3mn

=( 2﹣3×(﹣

+

10

9.(惠安县校级期中)已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k0有两个实数根x1x2

1)求k的取值范围;

2)若x12x2,求k的值.

【分析】(1)根据题意可得Δ≥0,从而可以求得k的取值范围;

2)根据根与系数的关系和x12x2,可以求得k的值.

【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k0有两个实数根,

Δb2﹣4ac=(﹣92﹣4k≥0

解得k

k的取值范围是k

2)∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k0有两个实数根x1x2

x1+x29x1x2k

x12x2

3x29

x23

x16

k18



四一元二次方程的实际应用

类题训练:

1.如图,在南河公园有一个矩形的花坛,长10米,宽7米(阴影部分).在花坛的周围是等宽度的石子路,路的面积为84平方米.则石子路的宽度为(  )

A1 B1.5 C2 D2.5

【分析】设石子路的宽度为x米,将四周的路面计算在内,则新矩形的长和宽分别为(10+2x)米和(7+2x)米,可知新矩形的面积减去花坛的面积等于路的面积,列方程求出x的值即可.

【解答】解:设石子路的宽度为x米,

根据题意得(10+2x)(7+2x)﹣10×784

整理得2x2+17x﹣420

解得x12x2=﹣10.5(不符合题意,舍去),

石子路的宽度为2米,

故选:C

2.在疫情期间,口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只,如果要在第二季度总共生产728000只口罩,设生产口翠月平均增长的百分率为x,则可根据题意列出的方程是(  )

A2000001+x2728000

B2000001+x3728000

C2000001+x+2000001+x272800

D200000+2000001+x+2000001+x2728000

【分析】设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x,根据第二季度完成728000个零件的生产任务,即可得出关于x的一元二次方程.

【解答】解:设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x

根据题意得:200000+2000001+x+2000001+x2728000

故选:D

3.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病,如果有一人患病,经过两轮传染后有81人患病,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,下列列式正确是(  )

Ax+x1+x)=81 B1+x+x281

C1+x+x1+x)=81 Dx1+x)=81

【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染了x个人,第二轮传染了x1+x)人,根据经过两轮传染后有81人患病,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.

【解答】解:若设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染了x个人,第二轮传染了x1+x)人,

依题意得:1+x+x1+x)=81

故选:C

4.有一人患了新型冠状病毒肺炎,经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为(  )

A8 B9 C10 D11

【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,则第一轮传染了x人,第二轮传染了x1+x)人,根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.

【解答】解:设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,则第一轮传染了x人,第二轮传染了x1+x)人,

依题意得:1+x+x1+x)=100

整理得:x2+2x﹣990

解得:x19x2=﹣11(不合题意,舍去).

故选:B

5.如图是一个长20cm,宽15cm的矩形图案,其中有两条宽度相等,互相垂直的彩条,彩条所占面积是图案面积的 ,设彩条的宽度为xcm,则下列方程正确的是(  )

A

B

C

D

【分析】设彩条的宽度为xcm,表示出两条彩条的面积,根据彩条所占面积是图案面积的四分之一列出方程即可.

【解答】解:设彩条的宽度为xcm,根据题意列方程得,

故选:B

6.如图,在△ABC中,∠ABC90°AB8cmBC6cm.动点PQ分别从点AB同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是(  )

A2秒钟 B3秒钟 C4秒钟 D5秒钟

【分析】设出动点PQ运动t秒,能使△PBQ的面积为15cm2,用t分别表示出BPBQ的长,利用三角形的面积计算公式即可解答.

【解答】解:设动点PQ运动t秒后,能使△PBQ的面积为15cm2

BP为(8﹣tcmBQ2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得,

×8﹣t×2t15

解得t13t25(当t5时,BQ10,不合题意,舍去).

动点PQ运动3秒时,能使△PBQ的面积为15cm2

故选:B

7.如图,幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园(墙长为15m),则与墙垂直的边x为(  )

A10m5m B5m8m C10m D5m

【分析】设与墙垂直的边长x米,则与墙平行的边长为(30﹣2x)米,根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论.

【解答】解:设与墙垂直的边长x米,则与墙平行的边长为(30﹣2x)米,

根据题意得:(30﹣2xx100

整理得:x2﹣15x+500

解得:x15x210

x5时,30﹣2x2015

x5舍去.

故选:C

8.工人师傅给一幅长为120cm,宽为40cm的矩形书法作品装裱,作品的四周需要留白如图所示,已知左、右留白部分的宽度一样,上、下留白部分的宽度也一样,而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍,使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2,设上面留白部分的宽度为xcm,可列得方程为  

【分析】根据题意表示出装裱后的长与宽,进而得出等式求出答案.

【解答】解:设上面留白部分的宽度为xcm,则左右空白部分为2x,可列得方程为:

120+4x)(40+2x)=7000

故答案为:(120+4x)(40+2x)=7000

9.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为  cm

【分析】根据题意找到等量关系列出方程组,转化为一元二次方程求解即可.

【解答】解:设底面长为acm,宽为bcm,正方形的边长为xcm,根据题意得:

解得a10﹣2xb6﹣x

代入ab24中,得:

10﹣2x)(6﹣x)=24

整理得:x2﹣11x+180

解得x2x9(舍去),

答:剪去的正方形的边长为2cm

故答案为:2

10.如图,ABCD为矩形的四个顶点,AB16cmAD8cm,动点PQ分别从点AC同时出发,点P3cm/S的速度向B移动,一直到达B为止;点Q2cm/s的速度向D移动.当PQ两点从出发开始到  秒时,点P和点Q的距离是10cm

【分析】设当PQ两点从出发开始到x秒时,点P和点Q的距离是10cm,此时AP3xcmDQ=(16﹣2xcm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.

【解答】解:设当PQ两点从出发开始到x秒时,点P和点Q的距离是10cm,此时AP3xcmDQ=(16﹣2xcm

根据题意得:(16﹣2x﹣3x2+82102

解得:x12x2

答:当PQ两点从出发开始到2秒或 秒时,点P和点Q的距离是10cm

故答案为:2

11.等腰△ABC的直角边ABBC10cm,点PQ分别从AC两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S

1)求出S关于t的函数关系式;

2)当点P运动几秒时,SPCQSABC

3)作PEAC于点E,当点PQ运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.

【分析】由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/sS QC×PB,所以求出QCPBt的关系式就可得出St的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在B点左侧运动,达到一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分条回答.

【解答】解:(1)当t10秒时,P在线段AB上,此时CQtPB10﹣t

S ×t10﹣t)= 10tt2),

t10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQtPBt﹣10

S ×tt﹣10)= t2﹣10t).


2)∵SABC

t10秒时,SPCQ

整理得t2﹣10t+1000,此方程无解,

t10秒时,SPCQ

整理得t2﹣10t﹣1000,解得t5±5 (舍去负值),

当点P运动 秒时,SPCQSABC


3)当点PQ运动时,线段DE的长度不会改变.

证明:过QQMAC,交直线AC于点M

易证△APE≌△QCM

AEPECMQM t

四边形PEQM是平行四边形,且DE是对角线EM的一半.

又∵EMAC10 DE5

当点PQ运动时,线段DE的长度不会改变.

同理,当点P在点B右侧时,DE5

综上所述,当点PQ运动时,线段DE的长度不会改变.



12.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.

1)若降价3元,则平均每天销售数量为  件;

2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?

【分析】(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×36件,即平均每天销售数量为20+626件;

2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.

【解答】解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×326件.

故答案为:26


2)设每件商品应降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.

根据题意,得(40﹣x)(20+2x)=1200

整理,得x2﹣30x+2000

解得:x110x220

要求每件盈利不少于25元,

x220应舍去,

x10

答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.

13.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:

甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.

说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费﹣月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:

1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是  元;当每个公司租出的汽车为  辆时,两公司的月利润相等;

2)求租出汽车多少辆时,两公司月利润差恰为18400元?

【分析】(1)用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金,再乘以10,减去维护费用可得甲公司的月利润;设每个公司租出的汽车为x辆,根据月利润相等得到方程,解之即可得到结果;

2)设两公司的月利润分别为yy,月利润差为y,由(1)可得yy的表达式,再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况,列出y关于x的表达式,根据题意列出方程,并解答.

【解答】解:(1[50﹣10×50+3000]×10﹣200×1048000元,

当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元;

设每个公司租出的汽车为x辆,

由题意可得:[50﹣x×50+3000]x﹣200x3500x﹣1850

解得:x37x=﹣1(舍),

当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等.

故答案是:4800037


2)设每个公司租出的汽车为x辆,两公司的月利润分别为yy

y[50﹣x×50+3000]x﹣200x

y3500x﹣1850

当甲公司的利润大于乙公司时,0x37

yy18400,即[50﹣x×50+3000]x﹣200x3500x﹣1850)=﹣50x2+1800x+185018400

整理,得x2﹣36x+3310

此方程无解.故此情况不存在;

当乙公司的利润大于甲公司时,37x≤50

yy18400,即3500x﹣1850﹣[50﹣x×50+3000]x+200x50x2﹣1800x﹣185018400

整理,得(x﹣45)(x+9)=0

解得x145x2=﹣9(舍去)

所以当每个公司租出的汽车为45辆时,两公司月利润差恰为18400元.


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