【324290】2024八年级数学下册 专题突破 第01讲 二次根式的运算专题复习（含解析）（新版）浙

第01讲二次根式的运算专题复习

类型一二次根式的计算

1．计算：

（1） ；

解：原式＝

＝ ；

2. ．

解：原式＝

＝9．

2. ．

解：原式＝ ﹣ +1

＝3 ﹣ +1

＝2 +1．

（4） ﹣| ﹣2|．

解：原式＝ + + + ﹣2

＝ + +4 + ﹣2

＝ ﹣2．

（5） ；

解：原式＝

＝

＝36；

（6）（2 ﹣5 ）（2 +5 ）；

解：原式＝（2 ）²﹣（5 ）²

＝12﹣50

＝﹣38；

（7） ；

解：原式＝3 ﹣2 +3

＝ +3 ；

（8）（2 ﹣3 ）× ．

解：原式＝（4 ﹣ ）×

＝3 ×

＝3×3

＝9 ．

（9）（ ）（ ）﹣（ ）²．

解：原式＝

＝3﹣（3+2 +2）

＝3﹣3﹣2 ﹣2

＝﹣2 ﹣2．

（10） ；

解：原式＝1﹣16+2

＝﹣13；

（11） ．

解：原式＝

＝3．

（12） ；

解：原式＝3﹣1﹣（ ÷ ﹣ ÷ ）

＝3﹣1﹣（ ﹣2）

＝3﹣1﹣ +2

＝4﹣ ；

（13） ．

解：原式＝ ﹣ +

＝2 ﹣ +

＝ ．

（14） ．

解：原式＝ +4× ﹣

＝3 + ﹣3﹣2

＝2 ﹣3．

（15）（3+ ）²﹣（2﹣3 ）（2+3 ）；

解：原式＝9+6 +5﹣（4﹣45）

＝9+6 +5﹣（﹣41）

＝9+6 +5+41

＝55+6 ；

（16）（ ﹣2 + ）÷（2 ）．

解：原式＝（2 ﹣ +4 ）÷（2 ）

＝ ÷2

＝ ．

（17） ﹣ × ；

解：原式＝ ﹣

＝ ﹣2

＝4﹣2

＝2；

（18） ．

解：原式＝2+2 +1﹣（3﹣1）

＝2+2 +1﹣2

＝2 +1．

类型二与二次根式有关的化简求值

【直接型化简求值】

1．（雨花区校级期末）已知x＝3+ ，y＝3﹣ ，求下列各式的值：

（1）x²+y²；

（2） ．

【解答】解：（1）原式＝（x+y）²﹣2xy，

∵x＝3+ ，y＝3﹣ ，

∴x+y＝（3+ ）+（3﹣ ）＝3+ +3﹣ ＝6，

xy＝（3+ ）（3﹣ ）＝9﹣7＝2，

∴原式＝6²﹣2×2

＝36﹣4

＝32；

（2）原式＝ ，

当xy＝2，x²+y²＝32时，

原式＝ ＝16．

2．（惠安县期末）先化简，再求值：（x+ ）（x﹣ ）+x（x﹣1），其中x＝2 ．

【解答】解：原式＝x²﹣2+x²﹣x

＝2x²﹣2﹣x，

当x＝2 时，

原式＝2×（2 ）²﹣2﹣2

＝2×12﹣2﹣2

＝24﹣2﹣2

＝22﹣2 ．

【利用其非负性化简求值】

3．（西湖区校级期末）已知：y＝ + +5，化简并求 的值．

【解答】解：∵x﹣4≥0且4﹣x≥0，

∴x＝4，

∴y＝5，

∴原式＝ +

＝

＝

＝

＝﹣4．

4．（永春县期中）若y＝ ﹣1，化简求值[（2x+y）²﹣y（x+y）﹣4xy]÷2x．

【解答】解：原式＝（4x²+4xy+y²﹣xy﹣y²﹣4xy）÷2x

＝（4x²﹣xy）÷2x

＝2x﹣ y，

∵y＝ ，

∴x﹣2≥0且2﹣x≥0，

∴x＝2，y＝﹣1，

当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣ ＝ ．

【新定义型化简求值】

5．（薛城区期末）对于任意的正数m，n，定义新运算“※”为：m※n＝ ，请依据新运算计算：（3※2）×（8※12）．

【解答】解：∵3＞2，8＜12，

∴（3※2）×（8※12）

＝（ ）×（ ）

＝（ ）×（ ）

＝2（ ）×（ ）

＝2．

6．（临渭区校级月考）对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝ ，求 ★（ ★ ）的值

【解答】解：∵ ＜ ，

∴ ★ ＝ ，

则原式＝ ★

＝

＝

＝

＝2

【利用整体思想化简求值】

7．（锦江区校级期末）已知 ，b＝ ．

求：（1）ab﹣a+b的值；

（2）求a²+b²+2的值．

【解答】解：（1）a＝ ＝ ，

b＝ ＝ ，

∴ab＝（ ）（ ）＝6﹣5＝1，

a﹣b＝（ + ）﹣（ ）＝ + ﹣ + ＝2 ，

∴原式＝ab﹣（a﹣b）

＝1﹣2 ，

即ab﹣a+b的值为1﹣2

（2）原式＝（a﹣b）²+2ab+2

＝（2 ）²+2×1+2

＝20+2+2

＝24，

即a²+b²+2的值为24．

8．（尤溪县期中）已知x＝2﹣ ，y＝2+ ，求代数式x²+2xy+y²的值．

【解答】解：∵x＝2﹣ ，y＝2+ ，

∴x²+2xy+y²

＝（x+y）²

＝（2﹣ +2+ ）²

＝4²

＝16．

9．（鼓楼区校级期末）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知a＝ ，求2a²﹣8a+1的值．他是这样解答的：

∵a＝ ＝ ＝2﹣ ，

∴a﹣2＝﹣ ．

∴（a﹣2）²＝3，a²﹣4a+4＝3．

∴a²﹣4a＝﹣1．

∴2a²﹣8a+1＝2（a²﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1） ＝　 ﹣ 　；

（2）化简 + + +……+ ；

（3）若a＝ ，求a⁴﹣4a³﹣4a+3的值．

【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣ ；

故答案为 ﹣ ；

（2）原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣

＝ ﹣1

＝13﹣1

＝12；

（3）∵a＝ ＝ +2，

∴a﹣2＝ ，

∴（a﹣2）²＝5，即a²﹣4a+4＝5．

∴a²﹣4a＝1．

∴a⁴﹣4a³﹣4a+3＝a²（a²﹣4a）﹣4a+3

＝a²×1﹣4a+3

＝a²﹣4a+3

＝1+3

＝4．

【综合应用】

10．（大邑县期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2 ，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b （其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m²+2n²，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）若a+b ，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　m²+7n²　，b＝　2mn　．

（2）若a+6 ，当a，m，n均为正整数时，求a的值．

（3）化简： 和 ．

【解答】解：（1）∵a+b ，

∴a+b ＝m²+2mn +7n²（a，b，m，n均为整数），

∴a＝m²+7n²，b＝2mn，

故答案为：m²+7n²，2mn；

（2）∵a+6 ，

∴a+6 ＝m²+2nm +3n²（a，b，m，n均为整数），

∴a＝m²+3n²，2mn＝6，

∴mn＝3，

①m＝1，n＝3，a＝28，

②m＝3，n＝1，a＝12，

综上所述：a＝28或12；

（3）∵ ＝4﹣2×2× +3＝7﹣4 ，

＝3+2 +3＝5+2 ，

∴ ＝ ＝2﹣ ，

＝ ＝ + ，

∴ ．