【324287】2024八年级数学下册 专题20 反比例函数与一次函数的交点问题（含解析）（新版）浙教

专题20 反比例函数与一次函数的交点问题

阅卷人		一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分

1．（2分）（灌云期末）如图，一次函数 、 为常数， 与反比例函数 的图象交于A（1，m），B（n，2）两点，与坐标轴分别交于 ， 两点．则△AOB的面积为（　　）

A．3 B．6 C．8 D．12

【答案】A

【规范解答】解：把A（1，m），B（n，2）分别代入y= ，

得m=4，n=2，

∴A（1，4），B（2，2），

将点A（1，4）和B（2，2）代入一次函数y=kx+b，

得 ，解得 ．

∴一次函数的表达式y=-2x+6，

令x=0，则y=-2x+6=6，

∴M（0，6），

∴S△AOB=S△BOM-S△AOM= ×6×2- ×6×1=3，

故答案为：A．

【思路点拨】先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，再求出点M的坐标，最后利用割补法求出△AOB的面积即可。

2．（2分）（东营期末）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB交y轴于点F， 轴，垂足是C，反比例函数 的图象分别交BC，AB于点 ，E，若 ，则△ABC的面积为（　　）

A． B．8 C．9 D．10

【答案】C

【规范解答】解：∵点D（-4，1）在反比例函数 的图象上，BC⊥x轴，

∴k=-4×1=-4，C（-4，0），

∴ ，OC=4，

过点E作EH⊥x轴于H，则EH∥BC∥y轴，

∴OA：OH：HC=AF：EF：BE，

∵ ，OC=4，

∴OA=OH=HC=2，即AC=6，

∴点E的横坐标为-2，又点E在反比例函数 的图象上，

将x=-2代入 得y=2，∴EH=2，

∵EH∥BC，

∴∠AHE=∠ACB，又∠EAH=∠BAC，

∴△AHE∽△ACB，

∴ 即 ，

∴BC=3，

∴△ABC的面积为 ×3×6=9，

故答案为：C.

【思路点拨】先求出AC=6，再求出△AHE∽△ACB，最后利用相似三角形的判定与性质求解即可。

3．（2分）（拱墅期末）要确定方程 的解，只需知道一次函数 和反比例函数 的图象交点的横坐标．由上面的信息可知， 的值为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【规范解答】解： 一次函数 和反比例函数 的图象交点的横坐标是方程 的解，

方程 整理得， ，

由题意可知， .

故答案为：C.

【思路点拨】联立反比例函数与一次函数的解析式可得x²+x-k=0，然后结合反比例函数与一次函数图象的交点的横坐标即为组成的一元二次方程的解进行解答.

4．（2分）（南京期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 和 ，则不等式 的解集是（　　）

A． 或 B． 或

C． 或 D． 或

【答案】A

【规范解答】解：∵B（-4，-3）在反比例函数 的图象上，

∴

即反比例函数的解析式为 ；

∵ 在 的图象上，

∴ ，

即 ；

观察图象知，不等式 的解集是 或 .

故答案为：A.

【思路点拨】由题意把点A、B的坐标代入反比例函数的解析式可求得a、m的方程组，解之求得a、m的值，然后根据不等式可知双曲线高于直线，再结合两函数图象的交点坐标即可求解.

5．（2分）（仁寿期中）如图，已知直线 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y= 的图象相交于A（－2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB.给出下列结论： ①k₁k₂＞0；②m＋ n=0；③S△AOP= S△BOQ；④不等式k₁x+b＞ 的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【规范解答】解：①由图象知， ， ，

，故①正确；

②把 、 代入 中得 ，

，故②正确；

③把 、 代入 得 ，

解得 ，

，

，

已知直线 与 轴、 轴相交于 、 两点，

， ，

， ，

， ，

，故③正确；

④由图象知不等式 的解集是 或 ，故④正确；

故答案为：D.

【思路点拨】①由图象知k₁<0，k₂<0，据此判断①；将A（-2，m）、B（1，n）代入y= 中可得-2m=n，据此判断②；将A（-2，m）、B（1，n）代入y=k₁x+b中可得k₁、b，根据-2m=n可得y=-mx-m，易得P（-1，0），Q（0，-m），则OP=1，OQ=m，然后结合三角形的面积公式可判断

③；根据图象，找出直线在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围，据此判断④.

6．（2分）（浙江）已知一次函数 与反比例函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是（　　）

A． B． 或

C． D．

【答案】B

【规范解答】解：从图象可知，y₁＝ax+b与y₂＝ 的图象交点坐标为（2，5），（5，2），
∵当y₁＜y₂时，即ax+b＜ 时，
∴一次例函数y₁＝ax+b的图象在反比例函数y₂＝ 的图象的下方，
x的取值范围是0＜x＜2或x＞5.
故答案为：B.
【思路点拨】根据图象得出两交点的横坐标，再由当y₁＜y₂时，一次例函数y₁＝ax+b的图象在反比例函数y₂＝ 的图象的下方，即可得出此时x的范围．

7．（2分）（乐山期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 、 两点，与 轴， 轴分别相交于 、 两点，连接 、 ．过点 作 轴于点 ，交 于点 ．设点 的横坐标为 ．若 ，则 的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】B

【规范解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，

∵一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，
∴DM=AM=BN=CN，
∴S_矩形AMOE=4，
∴S_△AOE=2=S_△AOF+S_△OEF，
设S_△AOF=s，
∴S_△OEF=2-s；
∵ ，
∴S_四边形EFBC=4-s，
∴△OBC和△OAD的面积都为6-2s，
∴△ADM的面积为2（2-s），
∴S_△ADM=2S_△OEF，
∵由对称性易证△AOM≌△BON，
∵DM=AM=BN=CN，
∴EF= AM= NB，
∴EF是△NBO的中位线，
∴点N（2，m，0），
将点B（2m， ）代入y=-x+m+ 得
，
整理得m= （取正值）.
故答案为：B.
【思路点拨】过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥y轴于点M，可得到一次函数y=-x+b与反比例函数 的图象都关于直线y=x对称，利用对称性可知AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，利用反比例函数的几何意义可得到矩形AMOE的面积，可推出S_△AOE=2=S_△AOF+S_△OEF，设S_△AOF=s，可表示出△OEF的面积，四边形EFBC，△OBC，△ADM的面积，由此可推出S_△ADM=2S_△OEF；由对称性易证△AOM≌△BON，再证明EF是△NBO的中位线，可表示出点N，B的坐标；然后将点B（2m， ）代入y=-x+m+ ，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.

8．（2分）（遂宁期末）如图，直线 与 轴、 轴相交于 ， 两点，与 的图象相交于 ， 两点，连接 ， .下列结论：① ；②不等式 的解集是 或 ；③ ；④ .其中正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④

【答案】C

【规范解答】解：①由图象可知： ，

∴ ，故正确；

②从图象上观察可得，不等式 的解集是 或 ，故错误；

④将 ， 两点代入 得： ，

即： ，则 ，故正确；

③将 ， 代入 得：

，解得： ，

∵ ，

∴ ，

令 ，解得： ，

令 ，解得： ，

∴ ， ， ， ，

∴ ， ， ，故正确；

∴正确的有：①③④

故答案为：C.

【思路点拨】利用函数图象可知 ，可对①作出判断；由点A，B的横坐标，观察函数图象可得到不等式 的解集，可对②作出判断；将点A，B的坐标代入两函数解析式，可得到 ，可对④作出判断；同时可得到 ，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点P，Q的坐标，即可得到OQ，OP的长；然后利用三角形的面积公式分别求出△AOP和△BOQ的面积，比较大小，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.

9．（2分）（上虞期末）我们知道，方程x²+2x-1=0的解可看作函数y=x+2的图象与函数y= 的图象交点的横坐标。那么方程kx²+x-4=0(k≠0)的两个解其实就是直线y=kx+1与双曲线y= 的图象交点的横坐标。若这两个交点所对应的坐标为(x₁， )、(x₂， )，且均在直线y=x的同侧，则实数k的取值范围是(　　)

A． <k< B． <k<

C． <k<0或0<k< D． <k< 或 <k<0

【答案】D

【规范解答】解：∵函数y= 的图象与直线y=x的交点为：
A（2，2），B（-2，-2）；
当函数y=kx+1的图象过点A（2，2）时，
2=2k+1
k=
当函数y=kx+1的图象过点B（-2，-2）时，
-2=-2k+1
k=
当k＞0时，
又∵点 ，均在直线y=x的同侧，
∴实数k的取值范围是： ，
当k＜0时，△＞0解得：
故 ，
故答案为：D。
【思路点拨】根据题意可以求出y=x与 双曲线y= 的图象交点的坐标为A（2，2），B（-2，-2），由两点坐标可以求出y=kx+1的k值，要求两交点在y=x的同侧，分 kx²+x-4=0的k＞0和k＜0两种情况，进而求出k的取值范围。

10．（2分）（射阳期末）如图，若双曲线 与它的一条对称轴 交于A、B两点，则线段AB称为双曲线 的“对径”．若双曲线 的对径长是 ，则 k的值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．

【答案】B

【规范解答】解：过A作AM⊥x轴，交x轴于点M，如图所示：

设A(a，a)，a>0，可得出AM=OM=a，

又∵双曲线的对径AB= ，

∴OA=OB= ，

在Rt△AOM中，根据勾股定理得：AM²+OM²=OA²，

则a²+a²=( )²，

解得：a=2或a=−2(舍去)，

则A(2，2)，

将x=2，y=2代入反比例解析式得：2= ，

解得：k=4.

故选B.

【思路点拨】根据题中的新定义：可得出对径AB=OA+OB=2OA，由已知的对径长求出OA的长，过A作AM垂直于x轴，设A（a，a）且a>0，在直角三角形AOM中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值．

阅卷人		二、填空题(共10题；每空2分，共22分)
得分

11．（2分）（灌云期末）如图，直线 与双曲线 的图象交于 点，点 是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP=∠1+∠2，则点 的坐标为　 　．

【答案】（ ， ）

【规范解答】解：将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，

∵∠AOP=∠1+∠2，

∴∠AOP=∠+∠2=45°，

∴∠BOP=45°，

∴∠2+∠BOF=45°，

∴∠1=∠BOF，

∵∠AEO=∠BFO=90°，OA=OB，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

∴OE=OF，AE=BF，

解 得： 或 ，

∴点A的坐标为（2，3）．

∴BF=AE=2，OF=OE=3，

∴B（3，-2），

设直线AB的解析式为y=kx+b，则 ，

解得k=-5，

∵OA=OB，∠AOP=∠BOP=45°，

∴OP⊥AB，

∴直线OP为y= x，

由 得： ， ，

∴ （ ， ），

故答案为：（ ， ）．

【思路点拨】将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB和直线OP的解析式，最后联立方程组求解即可。

12．（2分）（偃师期末）正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 、 两点， 轴于点 ， 轴于点 （如图），则四边形 的面积为　 　．

【答案】4

【规范解答】解：联立正比例函数和反比例函数可得，

，即 ，解得， ，

由此可得点A的坐标为（ ， ），点C的坐标为（- ，- ），

∵ 轴于点B， 轴于点

∴点B的坐标为（ ，0），点D的坐标为（- ，0），

故BD=2 ，AB=CD= ，

∴

故答案为：4.

【思路点拨】联立正比例函数和反比例函数解析式求出x、y，可得点A、C的坐标，根据AB⊥x轴、CD⊥x轴可得B、D的坐标，然后求出BD、AB、CD的值，再根据S_四边形ABCD=S_△ABD+S_△BCD进行计算.

13．（2分）（诸暨期末）如图，直线AC与反比例函数y= （k>0）的图像相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函y= （k>0）的图像于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB=AC，且BC恰好平行于x轴．若S_△DCE=1，则k的值为　 　．

【答案】6

【规范解答】解：如图，过C作CH⊥x轴于H，连接EH，

设A（m， ），C（n， ），
∵AB=AC，BC∥x轴，
∴n=2m，
∴C（2m， ），
设直线AC的解析式为：y=px+b，
∴ ，
∴ ，
∴y= x+ ，
当y=0时，x=3m，
∴E（3m， ），
∵ED∥CH，
∴S_△DCE=S_△DEH=1，
S_△DEH= （OD-OH）×ED= （3m-2m）× =1，
解得：k=6.
故答案为：6.

【思路点拨】过C作CH⊥x轴于H，连接EH，设A（m， ），C（n， ），根据等腰三角形的性质得出n=2m，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再求出其与x轴的交点坐标，根据同底等高得出S_△DEH=1，依此建立等式，再化简，即可得出结果.

14．（2分）（南京期末）一次函数 与反比例函数 图象交于点 ，则当 时， 的取值范围是　 　．

【答案】1＜x＜4

【规范解答】解：如图，

一次函数 与反比例函数 图象交于点 ，
∴b=1+4=5，k=4，
∴y₁=-x+5，y₂= ，
∴-x+5= ，
解得：x=1或4，
∴一次函数y₁=-x+5与反比例函数y₂= 图象交于点 和 ，
观察图象，当 时， 的取值范围是1＜x＜4.

【思路点拨】先利用待定系数法求出两个函数关系式，再联立求出两个交点的坐标，观察图象，在第一象限内找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可.

15．（2分）（定海期末）已知函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 、 ，与双曲线 交于点 、 若 ，则 的值为　 　．

【答案】

【规范解答】解：已知函数 的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，

则B，C的坐标分别是 ， ，

则 ， ， ，

设点D的坐标是 ，

过D作 轴于E点，

则 ∽ ，

，由对称性可知 ，

则 ，

即： ，

解得 ， ，

点D的坐标是：

点D在双曲线 上，

，

故答案为： .

【思路点拨】易得B（0，1）、C（-1，0），则OB=1，OC=1，利用勾股定理得BC，设D（m，n），过D作DE⊥x轴于E点，则△CBO∽△DBE，由已知条件可知AB+CD=BC，由对称性可知AB=CD，据此可得AB、CD的值，然后根据相似三角形的性质可得m、n，据此可得点D的坐标，然后代入y= 中进行计算可得k的值.

16．（2分）（嘉兴期末）如图，直线l₁：y 交反比例函数y （x＞0）的图象于点A，交y轴于点B，将直线l₁向下平移 个单位后得到直线l₂，l₂交反比例函数y （x＞0）的图象于点C．若△ABC的面积为 ，则k的值为 　 　．

【答案】6

【规范解答】解：如图，作BH⊥l₂于H，

y 向下平移 个单位后得到直线l₂ ： y ，
∵直线 l₁：y 交y轴于点B点，
∴B（ ），
∵将直线l₁向下平移 个单位后得到直线l₂，
∴BM= ，
∴BH=BMsin∠BMH= × = ，
设A（m， ），（m>0），
∴AB= ，
∴S_△ABC= AB·BH= ，
则 ，
解得：m= ，
∴ ，
∴A ，
∴k= ×4=6.
故答案为：6.

【思路点拨】作BH⊥l₂于H，先求出l₁与y轴的交点坐标，根据直线的几何变换得出BM的长，再根据三角函数求出BH，设A（m， ），根据两点间距离公式把AB长表示出来，再根据△ABC的面积为 建立方程求出m值，从而求出A点坐标，再根据反比例函数的坐标特点求k值即可.

17．（2分）（泉州期末）如图，点A（1，3）为双曲线 上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为 轴正半轴一上点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为 ，则点N的坐标为　 　.

【答案】（ ， ）

【规范解答】解：将点A的坐标为（1，3）代入双曲线表达式 ，一次函数表达式y=mx， 解得k=3，m=3

所以双曲线表达式 ，一次函数表达式y=3x

两函数联立：

，解得 或

所以B（-1，-3）

设BN交y轴于D，如图，设N点坐标为( ， )

设BN为y=bx+c，将B(-1，-3)，N( ， )代入

解得

所以

当x=0时，

所以D（0， ）

设MN为y=px+q，将A(1，3)，N( ， )代入

解得

所以

当x=0时，

所以M（0， ）

所以MN=（ ）-( )=6

∵S△_MNB=S△_MND+S△_MBD，

∴ ，解得 ，

又∵N( ， )

∴点N的坐标为（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.

【思路点拨】设直线AB的解析式为y=mx，由题意把点A的坐标分别代入反比例函数和直线AB的解析式可求得m、k的值，根据反比例函数是中心对称图形可知点A、B成中心对称，于是可得点B的坐标；设BN交y轴于D，如图，设N点坐标为(a， ），设BN的解析式为y=bx+c，把B、N的坐标代入直线BN的解析式计算可将b、c用含a的代数式表示出来，令x=0可将点D的坐标用含a的代数式表示出来；设MN为y=px+q，把A、N的坐标代入直线MN的解析式，将p、q用含a的代数式表示出来，令x=0可将点M的坐标用含a的代数式表示出来；则线段MN可用含a的代数式表示出来，然后根据三角形面积的构成S_△MNB=S_△MND+S_△MBD可得关于a的方程，解方程可求解.

18．（4分）（浙江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于A，B两点.正方形ABCD的顶点C，D在第一象限，顶点 在反比例函数 的图象上，则 　 　，若正方形ABCD向左平移 个单位后，顶点 恰好落在反比例函数的图象上，则 的值是　 　.

【答案】5；3

【规范解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，

∵AB⊥AD，
∴∠BAO＝∠ADE，
∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴AE＝BO，DE＝OA，
易求A（1，0），B（0，4），
∴D（5，1），
∵顶点D在反比例函数y＝ 上，
∴k＝5，
∴y＝ ，
易证△CBF≌△BAO（AAS），
∴CF＝4，BF＝1，
∴C（4，5），
∵C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），
∴5（4﹣n）＝5，
∴n＝3.
故答案为：5；3.
【思路点拨】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS），从而求得D（5，1），C（4，5），进而确定反比例函数解析式y＝ ，由正方形ABCD向左平移n个单位可得C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），从而得5（4﹣n）＝5，进而求得n的值.

19．（2分）（余姚竞赛）如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，过点A（-1,0）的直线AB将这12个正方形面积相等的两部分，且直线与反比例函数y＝ （k<0）的图象交于点C，与y轴交于点B，若△AOB与△BOC的面积之比为1:3，则k的值为　 　．

【答案】-16

【规范解答】解：设直线AB与最上面一行的小正方形的交点为D，过点E作x轴、y轴的垂线EF、EH，过点C作CG⊥y轴于点G，如图所示，

设直线AB将这12个正方形面积相等的两部分的面积为S，
∴S_梯形ADEF=S+7，S_梯形DHOA=S+1，
设DE=m，则DH=5-m，
∵AF=4，AO=1，
∴S_梯形ADEF=2m+8，
S_梯形DHOA=12-2m，
∵S_梯形ADEF-S_梯形DHOA=S+7-S-1=6，
∴2m+8-（12-2m）=6，
解得 ，
∴ ，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把 ， A（-1,0） 代入得 ，
解得 ，
∴ ，
当x=0时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵△AOB与△BOC的面积之比为1:3，
∴S_△BOC=4，
设C（x，y），
∴CG=-x，
∴ ，
解得x=-3，
∵点C在直线AB的延长线上，
∴ ，
∴ ，
∴k=-16，
故答案为：-16.
【思路点拨】设直线AB与最上面一行的小正方形的交点为D，过点E作x轴、y轴的垂线EF、EH，过点C作CG⊥y轴于点G，设直线AB将这12个正方形面积相等的两部分的面积为S，再用S来表示S_梯形ADEF和S_梯形DHOA，设DE=m，则DH=5-m，再用m来表示S_梯形ADEF和S_梯形DHOA，结合题意即可求出m的值，进而求出点D的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，把 ， A（-1,0） 代入即可求出直线AB的解析式，进而求出点B的坐标，从而得到△AOB的面积，再根据题意得到△BOC的面积，设C（x，y），运用△BOC面积的求法即可求出点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数y＝ （k<0）即可求解.

20．（2分）（永春期末）如图，直线 与双曲线 相交于A、B两点，以AB为边作正方形ABCD，则正方形ABCD面积的最小值为　 　．

【答案】48

【规范解答】解：如图所示，过A点垂直于x轴作线段AE，过B点垂直于y轴作线段BE，AE、BE相交于点E，且∠AEB=90°，

设A（a， ），B（b， ），则E（a， ），

， ，

在直角三角形AEB中，根据勾股定理可得：

将y=x+m代入y= ，整理得x²+mx-6=0，

则a+b=-m，ab=-6，

∴ ．

∵正方形ABCD的面积=

∴当m=0时，正方形ABCD的面积有最小值48．

故答案为：48．

【思路点拨】图见解析，过A点垂直于x轴作线段AE，过B点垂直于y轴作线段BE，根据双曲线y= 过A，B两点，可设A（a， ），B（b， ），则E（a， ），用A、B、E的坐标分别求出AE、BE的长度，最后通过勾股定理求出正方形AB的长度，正方形形ABCD的面积 ．将y=x+m代入y= ，整理得x²+mx-6=0，由于直线y=x+m与双曲线y= 相交于A，B两点，所以a、b是方程x²+mx-6=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=-m，ab=-6，利用韦达定理化简正方形的面积表达式即可求出正方形的面积最小值．

阅卷人		三、解答题(共7题；共58分)
得分

21．（5分）（仁寿期中）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点.

Ⅰ 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

Ⅱ 连OB，在x轴上取点C，使 ，并求 的面积；

Ⅲ 直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.

【答案】解：（Ⅰ）∵把A(－2，1)代入y＝ 得：m＝－2×1＝－2，

∴y＝－ ；

∵把B(1，n)代入y＝－ 得：n＝－2，

∴B(1，－2)，

∵把A、B的坐标代入y＝kx＋b得： ，

∴ ，

∴y＝－x－1.

答：反比例函数的表达式是y＝－ ，一次函数的表达式是y＝－x－1.

(Ⅱ)作BD⊥x轴于D，

∵BO＝BC，

∴OD＝DC.

∴D(1，0)，C(2，0)

∴S△OBC＝ ×2×2＝2.

（Ⅲ）一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围是：x＜－2或0＜x＜1 .

【思路点拨】（Ⅰ）把A(-2，1)代入y= 中可得m的值，据此可得反比例函数的解析式，将B（1，n）代入可得n的值，得到点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得一次函数的解析式；
（Ⅱ）作BD⊥x轴于D，根据等腰三角形的性质可得OD＝DC，则D（1，0）、C（2，0），然后利用三角形的面积公式进行计算；（Ⅲ）根据图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.

22．（5分）（2019八下·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与函数 的图象相交于点 ， 轴于点B．平移直线 ，使其经过点B，得到直线l，求直线l所对应的函数表达式．

【答案】解：将 代入 中， ，∴

∵ 轴于点B， ．

将 代入 中， ，解得

∴设直线l所对应的函数表达式为 ．

将 代入上式，得 ，解得 ．

∴直线l所对应的函数表达式是 ．

故答案为： ．

【思路点拨】求出A点的坐标，求出B点的坐标，再用待定系数法求出正比例函数的解析式，最后求出一次函数的解析式即可．

23．（7分）（灌云期末）如图，平面直角坐标系中，直线 为常数， 分别与 ， 轴相交于点 ， ，与双曲线 为常数， 分别交于点 ， 点 在第一象限，点 在第三象限 ，作 轴于点 已知 ， ．

（1）（3分）求直线 和双曲线 的解析式；

（2）（4分）在 轴上是否存在一点 ，使 ？若存在，请求出 的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：在 中， ，OE=OB=4，

点 ， 的坐标分别为 ， ，

将点 ， 的坐标代入直线的表达式，得 ，

解得 ，

直线 的表达式为 ；

当 时， ，

点 的坐标为 ，

将点 的坐标代入 得： ，

解得 ，

反比例函数的表达式 ．

（2）解：存在，点 的坐标为 或（0，7）．理由如下：

设点 的坐标为

则 ，

∵ ，

∴ ，

解得 或 ，

点 的坐标为 或 ．

【思路点拨】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点C的坐标，最后将点C的坐标代入 求出m的值即可；
（2）设点 的坐标为 ，根据 可得 ，求出t的值，即可得到点P的坐标。

24．（10分）（内江期末）如图，在正方形ABCD中，B点的坐标为（2，﹣1），经过点A，D的一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y 的图象交于点D（2，a），E（﹣5，﹣2）．

（1）（3分）求一次函数及反比例函数的解析式；

（2）（3分）判断点C是否在反比例函数y 的图象上，并说明理由；

（3）（4分）当mx+n 时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）解：由E（﹣5，﹣2）可得反比例函数关系式为y ，

∴D（2，5），

∵一次函数y＝mx+n的图象经过D、E，

∴ ，解得 ，

∴一次函数函数解析式为y＝x+3，反比例函数的解析式为y ；

（2）解：连接DB，AC交于点F，如图，

∵四边形ABCD是正方形，B（2，﹣1），D（2，5），

∴AC＝BD＝6，DF＝CF＝3，

∴C（5，2），

当x＝5时，y 2，

∴点C在反比例函数y 的图象上；

（3）解：x≤﹣5或0＜x≤2

【规范解答】解：（3）由图象可得，当x≤﹣5或0＜x≤2时，直线在反比例函数下方，

∴x≤﹣5或0＜x≤2时，mx+n

【思路点拨】（1）将E（﹣5，﹣2）代入y 中求出k=10，即得y ，然后将D（2，a） 代入解析式中求出a=5，即得D（2，5） ，再根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）连接DB，AC交于点F，由正方形的性质及点B、D的坐标，可得AC＝BD＝6，DF＝CF＝3，即得C（5，2），将其代入 反比例函数解析式中进行检验即可；
（3）由图象可得，当x≤﹣5或0＜x≤2时，直线在反比例函数下方，据此即得结论.

25．（10分）（偃师期末）如图，在菱形 中， 轴，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 边所在直线 与 轴交于点 ，与双曲线 交于点 ．

（1）（3分）求直线 的函数表达式及 的值；

（2）（3分）把菱形 沿 轴的正方向平移多少个单位后，点 落在双曲线 上？

（3）（4分）直接写出使 的自变量 的取值范围．

【答案】（1）解：∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，

∴AB= ，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BC=AB=5，

∴D(-5，4)，C(-2，0)，

把C、D两点坐标代入直线解析式，可得 ，解得 ，

∴直线CD的函数表达式为 ，

∵D点在反比例函数的图象上，

∴

∴k=-20

（2）解：∵C(-2，0)，

把x=-2代入 (x<0)得， ，

∴把菱形ABCD沿y轴的正方向平移10个单位后，点C落在双曲线双曲线 上．

（3）x≤-5

【规范解答】解：（3）由图象可知：当x≤-5时，y₁≥y₂．
【思路点拨】（1）根据点A、B的坐标结合勾股定理可得AB=5，由菱形的性质可得AD=BC=AB=5，则D(-5，4)，C(-2，0)，利用待定系数法求出直线CD的解析式，将点D的坐标代入y₂= 中就可求出k的值；
（2）将x=-2代入反比例函数解析式中求出y的值，据此解答；
（3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分或重叠部分所对应的x的范围即可.

26．（10分）（乐山期末）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，反比例函数 的图象经过点 ，交 于点 ．

（1）（3分）求 的值及直线 的解析式；

（2）（3分）在 轴上找一点 ，使 的周长最小，求此时点 的坐标；

（3）（4分）在（2）的条件下，求 的面积．

【答案】（1）解：∵ ， ，

∴ ．

又∵点 是边 的中点，

∴ ，∴

反比例函数解析式为 ，

∵ 为 上一点，得 ．

∴ ，∴

设直线 解析式为 得

，解得 ，

∴直线 解析式为

（2）解： 关于 轴对称点为 ，

设直线 解析式为 得

，解得 ，

∴直线 解析式为

∴直线 与 轴交点为 ，

∴ 的周长最小时，

（3）解：由（1）知直线 解析式为 ，令其与 轴的交点为 ，

则易知 的坐标为 ，

∵ ，则 ，

又 ， ，

∴

∴

∴

【思路点拨】（1）利用AB，BC的长，可得到点B的坐标，利用点D是AB的中点，可得到点D的坐标，利用待定系数法求出k的值，可得到反比例函数解析式；利用反比例函数解析式求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线DE的函数解析式.
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得到点D′的坐标；利用待定系数法求出直线D′E的函数解析式，由y=0求出对应的x的值，可得到点P的坐标.
（3）利用直线DE的函数解析式求出点Q的坐标；从而可求出PQ的长，再利用三角形的面积公式求出△PQE的面积，△PQD的面积，由此可求出△PDE的面积.

27．（11分）（长兴期末）在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y= （k≠0）的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点

（1）（5分）如图1，求反比例函数y= （k≠0）的解析式；

（2）（6分）如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y= （k≠0）图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4．

①求点F的坐标；

②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．

【答案】（1）解：∵直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∵B是AC的中点，
∴C（2，4），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y= .

（2）解：①设E点坐标为（m，m+2），
∵EF=4，
∴F点坐标为（m+4，m+2），
∵F点在反比例函数y= 的图象上，
∴（m+4）（m+2）=8
整理，解得：m₁=0，m₂=-6（舍去）
∴F点坐标为（4，2）；
②（Ⅰ）当点M在点C、F之间时，
如图，在MG左侧作出正方形GMNP，N在直线AB上，过点M作x轴的平行线交y轴于点R，交GF的延长线于点Q，过点N作y轴的平行线交QK于点K，交x轴于点W，

则∠NKM=∠GQM=90°
∵正方形GMNP，
∴MG=MN，∠NMG=90°，
∴∠NMK=∠MGQ，
∴△NKM≌△GQM，
∴GQ=MK，MQ=KN，
∵点M在反比例函数y= 图象上，
∴M（a， ），2＜a＜4，
∴GQ=MK= ，RK= -a，
∴N点的横坐标为a- ，
又∵点F（4，2），
∴MQ=KN=4-a，NW= -4+a，
∵N点在直线y=x+2的图象上，
∴N（ +a-6， -4+a，），
∴ +a-6=a-
整理，解得：a= ，
∴M点的横坐标为 ；
（Ⅱ）当点M在点C、B之间时，
如图，在MG左侧作出正方形GMNP，P在直线AB上，过点M作x轴的垂线交x轴于点Q，过点P作x轴的垂线交x轴于点K，

同（Ⅰ）法可证△PKG≌△GQM（AAS），
∴KP=GQ，KG=MQ，
∵点M在反比例函数y= 图象上，
∴M（a， ），0＜a＜2，
∴MQ=KG= ，
又∵点F（4，2），
∴KP=GQ=4-a，KO= -4，
∴P（4- ，a-4），
∵N点在直线y=x+2的图象上，
∴a-4=4- +2，
整理，得：a²-10a=-8，
解得：a=5+ （舍去）或a=5- ，
∴点M的橫坐标为5- ，
综上所述，点M的横坐标为 或5- .

【思路点拨】（1）由一次函数解析式求得A（-2，0），B（0，2），由B是AC的中点，易得C（2，4），由点C在反比例函数图象上，即可求出k值，进而得出反比例函数的解析式；
（2）①设E点坐标为（m，m+2），表示出F点坐标为（m+4，m+2），代入反比例函数解析式得到关于m的方程，解之即可求得F点的坐标；
②需分2种情况：（Ⅰ）当点M在点C、F之间时，如图，在MG左侧作出正方形GMNP，N在直线AB上，过点M作x轴的平行线交y轴于点R，交GF的延长线于点Q，过点N作y轴的平行线交QK于点K，交x轴于点W，设M（a， ），2＜a＜4，利用“双垂直模型”构造三角形全等，表示出点N横纵坐标，利用点N在直线AB上，列出关于a的方程，解得a即可得出点M的横坐标；（Ⅱ）当点M在点C、B之间时，如图，在MG左侧作出正方形GMNP，P在直线AB上，过点M作x轴的垂线交x轴于点Q，过点P作x轴的垂线交x轴于点K，同（Ⅰ）法，表示出P点的横纵坐标代入直线AB的解析式，得到关于a的方程，解之可求得M点的横坐标，即可求解.