专题11 多边形内角和

阅卷人		一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分

1．（2分）（宣化期末）下列角度不可能是多边形内角和的是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．900°

【答案】B

【规范解答】解：A、180°÷180°＝1，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；

B、270°÷180°＝1…90°，不是180°的倍数，故不可能是多边形的内角和；

C、360°÷180°＝2，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和；

D、900÷180＝5，是180°的倍数，故可能是多边形的内角和．

故答案为：B．

【思路点拨】利用多边形内角和计算方法计算求解即可。

2．（2分）（薛城期末）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（　　）

A．360° B．540° C．720° D．900°

【答案】C

【规范解答】解：∵从一个顶点可引对角线3条，

∴多边形的边数为3+3＝6．

多边形的内角和 ．

故答案为：C．

【思路点拨】先求出多边形的边数，再利用多边形的内角和公式求解即可。

3．（2分）（沈河期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么这个多边形的一个外角是（　　）

A．720° B．60° C．36° D．30°

【答案】D

【规范解答】解：设这个多边形是n边形，

根据题意得：（n﹣2）•180°=1800，

解得n=12；

那么这个多边形的一个外角是360÷12=30°，

即这个多边形的一个外角是30°．

故本题选：D．

【思路点拨】先求出（n﹣2）•180°=1800，再求出n=12，最后计算求解即可。

4．（2分）（甘孜期末）平行四边形 ​中， 的度数之比有可能是（　　）

A． ​ B． ​

C． ​ D． ​

【答案】B

【规范解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A=∠C，∠B=∠D，

A、设 ，

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴ ，故本选项不符合题意；

B、设 ，

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴ ，故本选项符合题意；

C、设 ，

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴ ，故本选项不符合题意；

D、设 ，

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴ ，故本选项不符合题意；

故答案为：B.

【思路点拨】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠B=∠D，由各个选项中的条件以及内角和求出∩A、∠B、∠C、∠D的度数，据此判断.

5．（2分）（晋中期末）如图1 ，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式建筑．经测量木塔建造在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形．如图2是台基底层正多边形的部分示意图，其外角为45°，则该正多边形是（　　）

A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形

【答案】D

【规范解答】解：设正多边形边数为n，根据正多边形外角和定理得

45n=360

解得：n=8，

所以该正多边形是正八边形，

故答案为：D．

【思路点拨】正多边形外角和等于360°，正多边形的各个外角都相等，利用360°除以外角的度数即得结论.

6．（2分）（杭州期末）如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是(　　)

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】D

【规范解答】解：根据题意得，

，

解得

故答案为：D.

【思路点拨】n边形的内角和公式为(n-2)×180°，n边形的外角和为360°，结合题意可得关于n的方程，求解即可.

7．（2分）（漳州期末）如图，点F在正五边形 的内部， 为等边三角形，则 等于（　　）

A．36° B．48° C．54° D．60°

【答案】B

【规范解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴ ，

∵△ABF为等边三角形，

∴ ，

∴ .

故答案为：B.

【思路点拨】根据内角和公式结合正五边形的性质可得∠BAE的度数，根据等边三角形的性质可得∠FAB的度数，然后根据∠EAF=∠EAB-∠BAF进行计算.

8．（2分）（余姚竞赛）如图，小华从点 A 出发向前走 10m，向右转 15°，然后继续向前走 10m，再向右转 15°，他以同样的方法继续走下去，当他第一次回到点 A 时共走了（　　）米.

A．200 米 B．240 米 C．280 米 D．300 米

【答案】B

【规范解答】解：根据题意得此几何体为正多边形，每个外角为15°，
∴这个多边形的边数为360°÷15=24，
∴当他第一次回到点A时共走了24×10=240m．
故答案为：B.

【思路点拨】根据外角相同，边长相同，得出此几何体为正多边形，求出正多边形的边数，共走的米数=10×边数，即可得出答案.

9．（2分）在平面上将边长相等的四边形、五边形和六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（　　）

A．32° B．36° C．40° D．42°

【答案】D

【规范解答】解：由n边形内角和为
∴四边形、五边形和六边形 内角和分别为
所以正四边形，正五边形，正六边形每个内角分别为
∴
故答案为：D.
【思路点拨】利用多边形内角和公式 ，得到四边形、五边形和六边形的内角和，从而得到每个内角的度数，由一周360度，得到结果。

10．（2分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．540°

【答案】C

【规范解答】解：连接AD，如图

由8字型，可以得出 ∠E+∠F = ∠DAF+∠ADE
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠DAF+∠ADE=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA=360°
故答案为：C.
【思路点拨】利用8字形，添出辅助线，得出 ∠E+∠F = ∠DAF+∠ADE，再利用等量替换，四边形的内角和为360°，得出结果。

阅卷人		二、填空题(共10题；每题1分，共10分)
得分

11．（1分）（阜新期末）如一个正n边形的每个内角是每个外角的3倍，则n=　 　．

【答案】8

【规范解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得

（n-2）•180=360×3，

解得：n=8．

即这个多边形是正八边形．

故答案为：8．

【思路点拨】设多边形的边数是n，根据题意列出方程（n-2）•180=360×3，求出n的值即可。

12．（1分）（平谷期末）如图，已知 ，那么 的度数为 　 　

【答案】80°

【规范解答】解：根据多边形外角和的性质可得，

又∵

∴ ．

故答案为：80°．

【思路点拨】利用多边形的外角和求解即可。

13．（1分）（甘孜期末）已知一个多边形的内角和再加上一个外角共 ， 则这个多边形的边数是　 　

【答案】5

【规范解答】解：设多边形的边数是 ，加的外角为 ，

则（n－2）•180°+ =600°，
∴n=5， =60°，

即这个多边形的边数是 5．

故答案为：5.

【思路点拨】设多边形的边数是n，加的外角为α，由题意可得(n-2)•180°+α=600°，据此求解.

14．（1分）（顺义期末）如图所示的多边形中，根据标出的各内角度数，求出x的值是　 　．

【答案】100

【规范解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，

由题意得，140°+4x°＝540°，

解得x＝100．

故答案为：100．

【思路点拨】根据题意列出方程140°+4x°＝540°，再求出x的值即可。

15．（1分）（南山期末）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，则∠D＝　 　．

【答案】110°

【规范解答】解：如图所示：

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，

∴∠5=360°-290°=70°，

∴∠CDE=180°-70°=110°，

故答案为：110°．

【思路点拨】根据题意先求出∠5=360°-290°=70°，再计算求解即可。

16．（1分）（宝鸡期末）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是　 　．

【答案】10

【规范解答】解：设这个多边形的外角的度数为x，
x+4x=180°，
解之：x=36°，
∴这个多边形的边数为360°÷36°=10.
故答案为：10.

【思路点拨】利用一个多边形的外角加商相邻内角的度数等于180°及它的一个内角恰好是一个外角的4倍可求出这个多边形的外角的度数，然后可求出这个正多边形的边数.

17．（1分）（娄星期末）已知一个正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的内角和是　 　.

【答案】1440°

【规范解答】解：∵这个正多边形的边数为360°÷36°＝10.

∴这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°.

故答案为：1440°.

【思路点拨】利用外角和360°除以外角的度数可得多边形的边数，然后根据内角和公式(n-2)×180°进行计算.

18．（1分）（井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为　 　．

【答案】540°

【规范解答】解：如图，连接BF，

∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
【思路点拨】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

19．（1分）如图所示，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P=　 　。

【答案】60°

【规范解答】解：∵∠A+∠B+∠E=300°
∴∠EDC+∠BCD=540°-（∠A+∠B+∠E）=240°
∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD
∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD
∴∠PDC+∠PCD= ∠EDC+ ∠BCD= （∠EDC+∠BCD）=120°
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=60°
故答案为：60°
【思路点拨】利用五边形内角和为540°，得出∠EDC+∠BCD=240°，利用角平分线的定义，得出∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，得出∠PDC+∠PCD=120°，再利用三角形内角和为180°，得出结果。

20．（1分）（霞山月考）如图所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 　 　

【答案】540

【规范解答】解：如图2，连接BE，

由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB．∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°．故答案为540．

【思路点拨】解决本题的关键是做辅助线构造“对顶三角形”以及五边形，并得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，解题时要注意，五边形的内角和为540°

阅卷人		三、解答题(共8题；共70分)
得分

21．（7分）（定南期中）

（1）（3分）如图，已知 ，求证 ；

（2）（4分）一个多边形的内角和是 ，求多边形的边数．

【答案】（1）证明： ，

又∵ ．

．

（2）解：

解得： ．

故该多边形的边数为8．

【思路点拨】（1）利用“SAS”证明 即可；
（2）利用多边形的内角和可得 ，再求出n的值即可。

22．（10分）（义乌月考）在△ABC中，∠A＝70°，点D、E分别是边AC、AB上的点（不与A、B、C重合）点P是平面内一动点（P与D、B不在同一直线上），设∠PEB＝∠1，∠DPE＝∠2，∠PDC＝∠3．

（1）（1分）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠2＝　 　；（用含有∠1、∠3的代数式表示）

（2）（4分）若点P在△ABC的外部，如图（2）所示，则∠1、∠2、∠3之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．

（3）（5分）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，直接写出对应的∠1、∠2、∠3之间的关系式．

【答案】（1）∠1+∠3﹣70°

（2）解：结论：∠3＝∠1+∠2﹣70°．

如图：

根据三角形外角的性质可知，

∠4＝∠1﹣70°，∠3＝∠5+∠2，

由对顶角可知：∠5＝∠4＝∠1﹣70°，

∴∠3＝∠1﹣70°+∠2＝∠1+∠2﹣70°．

（3）解：如图①，

∴∠1＝∠3﹣70°+∠2＝∠3+∠2﹣70°．

∠3＝∠1+∠2+70°．

综上：∠1＝∠3+∠2﹣70°或∠3＝∠1+∠2+70°．

【规范解答】解：（1）∵∠AEP=180°-∠1，∠ADP=180°-∠3，∠AEP+∠ADP+∠2+∠A=360°，
∴180°-∠1+180°-∠3+∠2+70°=360°，
即∠2=∠1+∠3-70°，
故答案为：∠1+∠3-70°；

【思路点拨】（1） 根据∠AEP=180°-∠1，∠ADP=180°-∠3和四边形AEPD的内角和为360°，列式进行化简，即可得出∠3，∠1，∠2之间的关系；
（2）根据三角形外角的性质∠4=∠1-70°，∠3=∠5+∠2，根据对顶角性质得出求出∠5＝∠4＝∠1﹣70°，即可得出∠3，∠1，∠2之间的关系；
（3）画出符合条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可．

23．（7分）（遂宁期末）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．

（1）（3分）求六边形ABCDEF的内角和；

（2）（4分）求∠BGD的度数．

【答案】（1）解：六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°．

（2）解：∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°，

∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°-470°＝250°，

∴∠BGD＝360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）＝110°．

【思路点拨】（1）n边形内角和公式：(n-2)×180°，据此计算；
（2）根据六边形的内角和结合已知条件可得∠GBC+∠C+∠CDG＝720°-470°＝250°，然后根据四边形内角和为360°进行计算.

24．（10分）（府谷期末）如图，在 中， ，点 在 上运动，点 在 上， 始终保持与 相等， 交 于点 .

（1）（5分）求证：点 在 的垂直平分线上；

（2）（5分）若 ，
①求 的度数；(用含 的式子表示)
②当 时，求 的度数.

【答案】（1）证明：在△ABC中，∠C=90°，
∴∠B=90°-∠A，
∵DE⊥PD，
∴∠PDE=90°，
∴∠EDB=90°-∠PDA，
∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∴∠B=∠EDB，
∴ED=EB，
∴点E在BD的垂直平分线上；

（2）①由题可知∠PDE=∠C=90°，
∵四边形CPDE的内角和为360°，
∴∠CPD+∠CED=180°，
∵∠DEB+∠CED=180°，
∴∠CPD=∠DEB=α；
②当α=110°，由①得∠CPD=110°，
∵PA=PD，
∴∠A=∠ADP= ∠CPD=55°.

【思路点拨】（1）先根据直角三角形两个锐角互余得出∠B=90°-∠A，再根据DE⊥PD，得∠EDB=90°-∠PDA，根据PD=PA，再通过等量代换证明ED=EB，即可证点E在BD的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上）；
（2）①通过（1）可知∠PDE=∠C=90°，结合四边形内角和为360°，求出∠CPD+∠CED=180°，结合同角的补角相等可证∠CPD=∠DEB=α；②由①得∠CPD=110°，根据三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）和等腰三角形的性质（等边对等角）可求出∠A=∠ADP= ∠CPD=55°.

25．（5分）（铁锋期中）已知一个多边形的内角和为 ，请求出这个多边形的边数并直接写出这个多边形对角线的总条数．

【答案】解：设多边形的边数为n（ ），根据题意，得

，

解得 ．

则这个多边形的对角线条数为，

=27（条）．

答：这个多边形是九边形，对角线的总条数为27．

【思路点拨】设多边形的边数为n（ ），根据多边形内角和公式求解即可得出边数，由此得解。

26．（5分）（东海期末）如图， 是四边形ABCD的外角，已知 ．

求证：

【答案】证明： 是四边形ABCD的外角，

，

∵四边形的内角和为

【思路点拨】根据邻补角的性质，结合 ，得出 ，根据四边形的内角和为360°，列式计算，即可解答.

27．（13分）（台州月考）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．

（1）（4分）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；

（2）（4分）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；

（3）（5分）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．

【答案】（1）解：结论：
∵∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，
∠1=180°-∠ADC，∠2=180°-∠ABC，
∴∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+∠C.

（2）解：∵∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，
∴∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，
∴∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），
∵∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO）=360°-∠A-∠C=360°-58°-152°=150°，
∴∠CDO+∠CBO=75°，
∴∠BOD=360°-（∠CDO+∠CBO+∠C）=360°-（75°+152°）=133°

（3）2∠O=∠C-∠A

【规范解答】解：（3）结论：2∠O=∠C-∠A
理由如下：在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C，
∵ BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线，
∴∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，
∴∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，
∴360°-∠A-∠C=360°-2∠ODC-2∠OBC即∠A+∠C=2∠ODC+2∠OBC，
∴∠ODC+∠OBC= （∠A+∠C）；
在四边形ADOB中 ∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，
∴∠A+360°-∠A-∠C+ （∠A+∠C）+∠O=360°，
∴-∠C+ （∠A+∠C）+∠O=0 ，
∴2∠O=∠C-∠A

【思路点拨】（1）利用四边形的内角和为360°，可得到∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，利用平角的定义去证明∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，由此可得到∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系.

（2）利用角平分线的性质可知∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，可推出∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），利用四边形的内角和定理可求出∠CDO+∠CBO的值；然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠BOD的度数.
（3） 在四边形ABCD中，利用四边形的内角和为360°，可证得∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C；利用角平分线的定义可推出∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，利用平角的定义可证得∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，再代入可推出∠ODC+∠OBC= （∠A+∠C）；再在四边形ADOB中可得到∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，然后整体代入，可证得∠A、∠C与∠O的数量关系.

28．（13分）（资阳期末）已知：如图， 边形 .

（1）（4分）求证： 边形 的内角和等于 ；

（2）（4分）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；

（3）（5分）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 .

【答案】（1）证明：如图：

∵从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，

∴（n−3）条对角线把n边形分成（n−2）个三角形，

∵这（n−2）个三角形的内角和都等于180°，

∴n边形的内角和是（n−2）•180°，

∴∠A₁＋∠A₂＋∠A₃＋＋…＋∠An＝（n−2）•180°

（2）解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，

由题意，得（3α＋20）＋α＝180，

解得α＝40，

即多边形的每个外角为40°，

∵多边形的外角和为360°，

∴多边形的边数为360°÷40°＝9，

内角和为（9−2）×180°＝1260°，

答：这个多边形的内角和为1260°；

（3）解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则

（n−2）•180°＝1180°−α，

∵1180°＝6×180°＋100°，内角和应是180°的倍数，

∴小明多加的一个外角为100°，

∴这是6＋2＝8边形的内角和．

答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8．

【思路点拨】（1）过n边形的一个顶点引对角线，可以将n边形可分割成（n-2）个三角形，那么n边形的内角和就等于（n-2）个三角形的内角和，利用三角形的内角和定理（三角形的内角和等于180°）得出n边形的内角和是（n−2）•180°；
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）° ，根据内角与其相邻的外角的和是180°列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°求出此多边形的边数为360°÷α，然后根据多边形内角和公式求解；
（3）利用多边形内角和公式（n-2）×180°推断出内角和应是180°的倍数，进而计算出多加的外角度数为100°，再利用多边形内角和公式求出多边形的边数是8.