专题10反比例函数与几何图形综合压轴题五种模型全攻略

【类型一反比例函数与三角形综合】

例题：（全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y （k＞0）的图象上．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)把△OAB向上平移得到△O'A'B'，当点B'恰好经过反比例函数图象时，求△OAB和△O'A'B'重叠部分的面积．

【答案】(1)y

(2)

【解析】

【分析】

（1）过点A作AH⊥OB于点H，利用等边三角形的性质可得出A点坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）先利用平移得出B′的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即为CE的长，再利用AE＝CE得出EF为△AOB的中位线，即可求出重叠面积．

(1)

解：如图，过点A作AH⊥OB于点H，

∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB，B（4，0），

∴C为OB中点，OA＝OB＝4，

∴OH OA＝2，

在Rt△AOH中，

AH²＝OA²﹣OH²，即

AH 2 ，

∴A（2，2 ），

将A（2，2 ）代入y 中，

可得：k＝4 ，

∴反比例函数解析式为： ．

(2)

如图，△OAB向上平移得到△O′A′B′，点B′在反比例函数上，O′B′分别交OA，AC，AB于点D，E，F，

∴B′的横坐标为4，

将x＝4代入y 中，得

y ，

∴B′（4， ），

∴△OAB向上平移了 ，

∴CE ，

∵AC＝2 ，

∴点E为AC中点，

∴DF为△OAB中位线，

∴DF OB＝2，

∴S_△ADF DF•AE 2 ，

∴△OAB和△O'A'B'重叠部分的面积为 ．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，掌握等边三角形的性质，平移的性质是解题的关键．

【变式训练1】（河南南阳·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 的图象上，过点B作 轴于点A，连接 ，将 向右平移，得到 交双曲线于点 ．

(1)求k，a的值；

(2)求 向右平移的距离；

(3)连接 ，则 的面积为____________．

【答案】(1)k=12，a=2

(2)

(3)9

【解析】

【分析】

（1）把点B的坐标代入到反比例函数解析式求出反比例函数解析式即可求出k、a的值；

（2）先求出直线OB的解析式，从而求出OB上与点C对应点的坐标，即可求出平移距离；

（3）根据 进行求解即可．

(1)

解：∵点 在反比例函数 的图象上，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ；

∵点 在反比例函数图象上，

∴ ，

解得 或 （舍去）；

(2)

解：设直线OB的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴直线OB的解析式为 ，

由（1）得点C的坐标为（6，2），

∴OB上与点C对应的点的纵坐标为2，

∴OB上与点C对应的点的横坐标为 ，

∴平移距离为 ；

(3)

解：如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵B（3，4），C（6，2），

∴OA=3，AB=4，OD=6，CD=2，

∴AD=3

∵B、C都在反比例函数图象上，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，图形的平移等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．

【变式训练2】（广东·江门市新会东方红中学二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y （x＞0）的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝3．

(1)若点D的坐标为（4，n）．

①求反比例函数y 的表达式；

②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；

(2)在（1）的条件下，设点E是x轴上的点，使△CDE为以CD为直角边的直角三角形，求E点的坐标．

【答案】(1)①反比例函数的解析式为y ；②经过C，D两点的直线所对应的函数解析式为y x+3

(2)E点的坐标为（1，0）或（ ，0）

【解析】

【分析】

（1）①根据线段中点的概念求出点C的坐标，解方程组求出k，得出反比例函数的解析式；

②利用待定系数法求出经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；

（2）根据勾股定理表示出CD、CE、DE，分∠CED=90°、∠CDE=90°两种情况，根据勾股定理解答即可．

(1)

解：①∵点D的坐标为（4，n），AD＝3，

∴点A的坐标为（4，n+3），

∵点C是AO的中点，

∴点C的坐标为（2， ），

把点C、D的坐标代入y ，

得 ，

解得： ，

则反比例函数的解析式为：y ；

②设经过C，D两点的直线所对应的函数解析式为：y＝ax+b，

由①可知，点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1），

则 ，

解得： ，

∴经过C，D两点的直线所对应的函数解析式为：y x+3；

(2)

解：设点E的坐标为（x，0），

由勾股定理得：CD²＝（4﹣2）²+（1﹣2）²＝5，CE²＝（x﹣2）²+（0﹣2）²＝x²﹣4x+8，DE²＝（x﹣4）²+（0﹣1）²＝x²﹣8x+17，

当∠CED＝90°时，CD²+CE²＝DE²，

∴x²﹣4x+8+5＝x²﹣8x+17，

解得：x＝1，

此时，点E的坐标为（1，0）；

当∠CDE＝90°时，CD²+DE²＝CE²，

∴x²﹣8x+17+5＝x²﹣4x+8，

解得：x ，

此时，点E的坐标为（ ，0），

综上所述：△CDE为以CD为直角边的直角三角形时，E点的坐标为（1，0）或（ ，0）．

【点睛】

本题考查的是反比例函数知识的综合运用、勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

【变式训练3】（江西抚州·九年级期末）在如图中，A、B两点在反比例函数y＝ 的图象上，AB过O点，△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．

(1)在图1中，在x轴上画出点F，使四边形ADBF为矩形；

(2)在图2中，画出菱形ACBF．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）连接BD并延长BD交反比例函数图象于M，连接MO，并延长MO交反比例函数图象于N，连接AN交x轴于F，连接BF，则四边形ADBF即为所要求作的矩形；

（2）连接OC，并延长CO到F，使OF=OC，连接AF、BF，则四边形ADBF是所要求作的菱形．

(1)

解：连接BD并延长BD交反比例函数图象于M，连接MO，并延长MO交反比例函数图象于N，连接AN交x轴于F，连接BF，如图，

∵A、B两点在反比例函数y＝ 的图象上，AB过O点，

∴点A、B关于原点对称，

∴OA=OB，

由作图可知：点M、N关于原点对称，

∴AN与BM关于原点对称，

∵BM与x轴交于D，AN与x轴交于F，

∴点D、F关于原点对称，

∴OD=OF，

∴四边形ADBF是平行四边形，

∵D是AC的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴BD⊥AC，

∴∠ADB=90°

∴四边形ADBF是矩形，

∴四边形ADBF即为所要求作的矩形；

(2)

解：连接OC，并延长CO到F，使OF=OC，连接AF、BF，

∵点A、B关于原点对称，

∴OA=OB，

由作图知：OC=OF，

∴四边形ADBF是平行四边形，

∵△ABC是等边三角形，OA=OB，

∴OC⊥AB，

∴四边形ADBF是菱形，

∴四边形ADBF是所要求作的菱形．

【点睛】

本题考查复杂作图，涉及反比例函数的对称性质，等边三角形的性质，中心对称作图，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，本题综合性较强，属压轴题目．

【类型二反比例函数与平行四边形综合】

例题：（辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ， 是 轴正半轴上的一个动点，且四边形 是平行四边形．

(1)求 和 的值；

(2)若点 落在反比例函数 的图象上，则边 的长为________；

(3)当 的中点落在反比例函数的图象上时， 的面积是________．

【答案】(1) ，

(2)

(3)10

【解析】

【分析】

（1）先将点 代入一次函数解析式，求出一次函数解析式；再将点 代入一次函数解析式得到m的值；最后将点 代入反比例函数解析式求出k的值；

（2）根据四边形 是平行四边形，可得由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，用含n的代数式表示出点C的坐标，代入反比例函数解析式求出n的值，利用勾股定理求出AD的长度即可求解；

（3）用含n的代数式表示出AC中点的坐标，代入反比例函数解析式求出n的值，利用割补法即可求出面积．

(1)

将点 代入一次函数解析式，可得 ，

解得， ，即一次函数解析式为 ；

将点 代入一次函数解析式，可得 ；

将点 代入反比例函数解析式，可得 ；

(2)

∵四边形 是平行四边形，

∴由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，

∵ ， ， ，

∴ ，

∵点 落在反比例函数 的图象上，

∴ ，即 ，

∴此时 ，

∴ ；

故答案为： ．

(3)

∵四边形 是平行四边形，

∴由A到B的平移方式与由D到C的平移方式相同，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴AC的中点为 ，

∵ 的中点落在反比例函数的图象上，

∴ ，解得 ，

此时 ， ，

根据割补法可得 ．

故答案为：10．

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数综合、平行四边形的性质、割补法求面积，通过两函数图象的交点即可找到两个函数之间的联系．

【变式训练1】（全国·九年级专题练习）如图，平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y （k＞0）的图象上，已知点B的坐标为（8，4），点C的横坐标为2．

(1)求反比例函数y （k＞0）的解析式；

(2)求平行四边形OABC的面积S．

【答案】(1)y

(2)16

【解析】

【分析】

（1）根据题意C（2， ），利用平行四边形的性质得到A（6，4 ），代入y （k＞0）即可求得k＝6；

（2）作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S_△COD＝S_△AOE |k|，利用S＝S_△COD+S_梯形BCDF﹣S_△AOE﹣S_梯形AEFB＝S_梯形BCDF﹣S_梯形AEFB即可求得．

(1)

解：∵平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y （k＞0）的图象上，点C的横坐标为2，

∴C（2， ），

∵点B的坐标为（8，4），

∴A（6，4 ），

∴ ，

解得k＝6，

∴反比例函数的解析式为y ．

(2)

作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，则S_△COD＝S_△AOE |k|，

∵k＝6，

∴C（2，3），A（6，1），B（8，4），

∴CD＝3，AE＝1，BF＝4，

∴S＝S_△COD+S_梯形BCDF﹣S_△AOE﹣S_梯形AEFB

＝S_梯形BCDF﹣S_梯形AEFB

（3+4）（8﹣2） （1+4）（8﹣6）

＝21﹣5

＝16

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．

【变式训练2】（广东肇庆·二模）如图，平行四边形 的顶点 在 轴的正半轴上，点 在对角线 上，反比例函数 （ ， ）的图象经过 、 两点．

(1)求直线 的解析式；

(2)若点 的坐标为 ，求平行四边形 的面积．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法直接求解析式；

（2）根据解析式求出B、C的坐标，进行求解即可．

(1)

设 的解析式为 ，

∵ 经过点 ，则

∴ ，

∴ 的解析式为

(2)

∵点 的坐标为 ，代入 得：

∴点 纵坐标为3，设

∵反比例函数 （ ， ）的图象经过点 、 ，

∴ ，∴

∴

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．

【变式训练3】（江西萍乡·一模）如图，已知平行四边形 的对角线相交于点 ，其中 ，反比例函数 的图象经过点 ．

(1)求 的值；

(2)若点 恰好落在反比例函数 的图象上，求平行四边形 的面积；

(3)当 时，判断反比例函数 的图象是否经过 的中点，若经过，请说明理由，若不经过，求出 与反比例函数图象的交点坐标．

【答案】(1)

(2)平行四边形 的面积为144

(3)反比例函数的图象经过 的中点；理由见解析

【解析】

【分析】

（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；

（2）由平行四边形的性质可用m表示出D点的坐标，从而可表示用m表示出E点的坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，则可求得C点坐标，再利用平行四边形的面积进行计算即可；

（3）由（2）可求得D点坐标，从而可求得CD的中点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

(1)

解：将点 代入 ，得 ．

(2)

过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图所示：

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

过点 作 于 ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴点 的坐标为 ，代入 ，得： ，

所以，平行四边形 的面积为 ．

(3)

∵四边形 平行四边形， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

设 的中点为 ，过点 作 轴于点 ，

∴ ， ，

∴ 的中点 ，

∵当 时， ，

∴反比例函数的图象经过 的中点．

【点睛】

本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键，在（3）中求得C、D两点的坐标是解题的关键．

【类型三反比例函数与矩形综合】

例题：（河南濮阳·一模）如图，矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴的正半轴上，且 单位长， 单位长（单位长指坐标长度），反比例函数 与AD、BC分别相交于点E、F．

(1)若点A的横坐标为2，且E是AD的中点，求k；

(2)在（1）确定的反比例函数关系式下，推动矩形ABCD在x轴的正半轴上移动，当 时，求点A的坐标．

【答案】(1)

(2)点A的坐标为

【解析】

【分析】

（1）先根据矩形的性质得到AD=6，从而求出点E的坐标，把点E的坐标代入到反比例函数解析式求解即可；

（2）设点A的坐标为 ，则点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，再根据 列出式子求解即可．

(1)

解：∵四边形ABCD是矩形， ，

∴ ．

∵E是AD的中点，

∴ ．

∵点A的横坐标为2，

∴ ．

将 代入 得： ．

(2)

解：设点A的坐标为 ，则点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得： 或 （不符合题意，舍去）

经检验， 是所列方程的根．

∴点A的坐标为 ．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．

【变式训练1】（广东广州·三模）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），双曲线 （x＞0）与矩形的对角线OB交于点D，与AB、BC分别交于点E、F，且点F是BC的中点．

(1)求点E的坐标；

(2)连接AD，求△ABD的面积．

【答案】(1)（1，4）；

(2)4﹣

【解析】

【分析】

（1）利用矩形性质和坐标与图形性质，通过B点确定F点坐标，进而可确定反比例函数表达式，即可确定E点坐标；

（2）求直线OB表达式，与反比例函数表达式联立求交点D，进而求出三角形面积．

(1)

解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），F为BC中点，

∴点F（2，2），代入 得，2＝ ，k＝4．

∴反比例函数的表达式为 ，

由图知E点横坐标为4，∴纵坐标y＝ ＝1，

∴E点坐标为（1，4）；

(2)

解：设直线OB：y＝mx，将B（4，2）代入得，2＝4m，

解得：m＝ ，

直线OB的表达式为 ．

联立得： ，

解得 ，

∴ ，

＝4﹣ ．

【点睛】

本题考查矩形性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的综合、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

【变式训练2】（浙江湖州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b，3），点D，C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足CD∥AB．

(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；

(2)若OD＝1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；

(3)若点M是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．

【答案】(1)a＝2，b＝3，

(2)平行四边形ABCD是矩形，见解析

(3)（5，1.2），

【解析】

【分析】

（1）把A和B分别代入y＝﹣x+5，得：a＝2，b＝3，再把A（3，2）代入 ，得：k＝6，故反比例函数解析式为 ；

（2）由于CD∥AB，可设CD的解析式为y＝﹣x+m，由OD＝1得D的坐标为（1，0），将D代入直接CD解析式得：y＝﹣x+1，得C的坐标为（0，1），由A，B，C，D可算出 ，由AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形，过点B作BE⊥y轴于点E得E，由△BEC和△COD都等腰直角三角形证出∠BCD＝90°，即可得平行四边形ABCD是矩形；

（3）分∠MAD＝90°或∠AMD＝90°两种情况计算，当∠MAD＝90°时，通过作辅助线构造△MAQ≌△ADP得PD＝AQ＝2，QM＝AP，设M的坐标为（5，n），由M在反比例函数得5n＝6，得n＝1.2，得M（5，1.2）；当∠AMD＝90°时，同理可求．

(1)

把A（3，a）和B（2，b）分别代入y＝﹣x+5，

得：a＝2，b＝3，

把A（3，2）代入 ，得：k＝6，

∴反比例函数解析式为 ；

(2)

∵CD∥AB，

∴设CD的解析式为y＝﹣x+m，

∵OD＝1，D在x轴的正半轴上，

∴D的坐标为（1，0），

∴-1+m=0，得m=1，

∴直线CD的解析式是y=-x+1，

当x=0时，y＝﹣x+1=1，

∴C的坐标为（0，1），

以点A、B、C、D构成的四边形是矩形，理由如下：

∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），

∴ ，

又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

如图，过点B作BE⊥y轴于点E，则E（0，3），

∴BE＝CE＝2，

∴△BEC和△COD都等腰直角三角形，

∴∠ECB＝∠OCD＝45°，

∴∠BCD＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形；

(3)

①当∠MAD＝90°时，

过点A作直线l∥x轴，过点M作MQ⊥直线l于点Q，过点D作DP⊥直线l于点P，

∵∠MAD＝90°，

∴∠MAQ+∠PAD＝90°，

∵DP⊥直线l于点P，

∴∠PAD+∠PDA＝90°，

∴∠AQM＝∠PDA，

在△MAQ与△ADP中，

，

∴△MAQ≌△ADP（AAS），

∴PD＝AQ＝2，QM＝AP，

设M的坐标为（5，n），

∴5n＝6，则n＝1.2，

∴M（5，1.2）；

②当∠AMD＝90°时，同理，过点M作直线l∥y轴，过点A作AP⊥直线l于点P，过点D作DQ⊥直线l于点Q，

可得：△MAP≌△DMQ，

∴PM＝DQ，QM＝AP，

设M的坐标为（3+n，n），

∴n（3+n）＝6，

解得： ， （舍去），

∴ ，

综上所述：M的坐标为（5，1.2）， ．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

【变式训练3】（江苏·景山中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝ （k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝ 的另一个交点．

(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；

(2)动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝ S△ODE．

①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．

【答案】(1)（8，3），（4，6）

(2)①P的坐标为（5， ）；②Q₁（5，-3 ），Q₂（5，3 ），Q₃（5，6+3 ），Q₄（11，3）

【解析】

【分析】

（1）先求得C（8，6），再根据中点坐标公式可得点D的坐标为（8，3），根据待定系数法可求双曲线y= 的解析式，把y=6代入双曲线y= 的解析式，即可求得点E的坐标；

（2）①设点P的横坐标为m，则S_△PBO= BO•m=3m，根据S_△ODE=S_梯形EOAC-S_△CDE-S_△ODA，求出S_△ODE，再根据S_△PBO= S_△ODE，得到关于m的方程，解方程求出m，进一步求出点P的坐标；

②根据两点间的距离公式和菱形的性质即可求解．

(1)

∵在平面直角坐标系中，A(8，0)、B(0，6)是矩形OACB的两个顶点，

∴C(8，6)，

∵D是AC的中点，

∴点D的坐标为：(8，3)，

依题意有：3= ，

解得：k=24．

故双曲线：y= ，

当y=6时，6= ，

解得x=4．

故点E的坐标为(4，6)；

(2)

①设点P的横坐标为m，则 ，

∵ ，

因为 ，

∴ ，所以 ，

∴ .

又∵点 在双曲线 上，

∴ ，

②设P点坐标为(5，p)时，P点在第一象限，则p＞0，

当点P在点Q的上方时，

∵PC=AC，

∴(5-8)²+(p-6)²=6²，

解得p=6±3 ，

6±3 -6=±3 ，

则Q₁(5，3 )，Q₂(5，-3 )；

当点P在点Q的下方时，

∵PA=AC，

∴(5-8)²+(p-0)²=6²，

解得p=±3 （负值舍去）

∴Q₃(5，6+3 )；

当P点坐标为(5，3)时，由对称性知Q₄(11，3)．

综上所述，Q₁（5，-3 ），Q₂（5，3 ），Q₃（5，6+3 ），Q₄（11，3）

【点睛】

此题是反比例函数综合题，涉及待定系数法，三角形面积计算，两点间的距离公式，矩形的性质和菱形的性质，一元二次方程的解法等知识点，有一定的难度．

【类型四反比例函数与菱形综合】

例题：（安徽亳州·九年级期末）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，点B的坐标为 ．

(1)求此菱形的边长；

(2)若反比例函数 的图象经过点A，并且与BC边相交于点D，求点D的坐标．

【答案】(1)菱形的边长为5；

(2)点D坐标为（ ， ）．

【解析】

【分析】

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，则CE=8-x，BE=4，根据勾股定理求出x的值；

（2）由（1）可得出A点坐标，可求得反比例函数的解析式，求出直线CB的解析式与反比例函数的解析式列出方程组，解方程组即可求得交点D的坐标．

(1)

解：如图，

点B作BE⊥x轴于点E，设菱形的边长为x，

∵B（8，4），

∴CE=8-x，BE=4，

在Rt△CBE中，CB²=CE²+BE²，

即x²=（8-x）²+4²，解得x=5，

∴菱形的边长为5；

(2)

解：∵菱形的边长为5，

∴A（3，4），

∴k=3×4=12，反比例函数解析式为y= ．

（2）∵点C（5，0），B（8，4），

设直线CB的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得 ，

∴直线CB的解析式为： ，

由

解得 或 （不合题意，舍去），

∴点D坐标为（ ， ）．

【点睛】

本题考查的是菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知菱形的性质，反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，学会用解方程组的思想求交点坐标的方法．

【变式训练1】（河南漯河·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点D的坐标为(8，6)．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标．

【答案】(1)y= ；

(2)E(4 ，0)

【解析】

【分析】

（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标为（8，6），得到OF=8，DF=6，求得点A坐标为（8，16），于是得到结论；

（2）求得OA的表达式为y=2x，设E点坐标为（m，0），则M点坐标（m，2m），F点坐标(m， )，得到P（m，4m），根据题意列方程即可得到结论．

(1)

解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，

∵四边形ABOD是菱形，

∴AD∥BO，

∴A、D、O在同一直线上，

∵点D的坐标为（8，6），

∴OF=8，DF=6，

∴OD=10，

∴AD=10，

∴点A坐标为（8，16），

∴k=xy=8×16=128，

∴反比例函数表达式为y= ；

(2)

解：∵点A坐标为（8，16），

∴OA的表达式为y=2x，

设E点坐标为（m，0），则M点坐标（m，2m），F点坐标（8，0），

∵M点正好是线段EP中点，

∴P（m，4m），

∴ ，

解得：m=4 或m=−4 (不合题意，舍去)，

∴E(4 ，0)．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

【变式训练2】（四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 与原点 重合，点D在反比例函数 （ ， ）的图象上， ，设 所在直线解析式为 （ ）．

（1）求 的值；

（2）若将菱形 沿 轴正方向平移 个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边 始终有交点，求 的取值范围．

【答案】（1）32；（2）

【解析】

【分析】

（1）延长 交 轴于 ，根据直角坐标系和菱形的性质，得 轴；结合勾股定理，计算得 ，再根据菱形和反比例函数的性质计算，即可得到答案；

（2）根据题意，得将菱形 沿 轴正方向平移 个单位，使得点 落在函数 （ ）的图象 点处，根据平移的性质，得点 的坐标为 ，再将 的坐标代入到反比例函数解析式计算，即可得到答案．

【详解】

（1）延长 交 轴于 ，

∵菱形

∴

∵ 轴，

∴ 轴，

∵点D的坐标为

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴点A的坐标为

∴ ；

（2）将菱形 沿 轴正方向平移 个单位，使得点 落在函数 （ ）的图象 点处，

∴点 的坐标为 ，

∵点 在 的图像上，

∴

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题考查了直角坐标系、菱形、勾股定理、反比例函数、平移、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标、菱形、勾股定理、反比例函数、平移的性质，从而完成求解．

【变式训练3】（浙江温州·二模）如图：在平面直角坐标系中，菱形 的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为 ，直线 ： 与双曲线； 交于C， 两点．

(1)求双曲线 的函数关系式及m的值；

(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；

【答案】(1)双曲线 的函数关系式为 ，

(2)点 在双曲线上，理由见解答

【解析】

【分析】

（1）因为点 在双曲线 上，所以代入 点坐标即可求出双曲线 的函数关系式，又因为点 在 双曲线上，代入即可求出 的值；

（2）先求出点 的坐标，判断即可得出结论．

(1)

解：将点 代入 中，得 ，

反比例函数的解析式为 ，

将点 代入 中，得 ；

(2)

解：因为四边形 是菱形， ， ，

， ，

，

由（1）知双曲线的解析式为 ；

，

点 在双曲线上．

【点睛】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用 表示出点 的坐标．

【类型五反比例函数与矩形综合】

例题：（广东·湖景中学一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两个顶点A、B分别在双曲线 和 的一支上，点A的坐标为 ．

(1)求两个双曲线的解析式；

(2)双曲线 与正方形的边OC交于点D，求点D的坐标．

【答案】(1) ， ；

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接OB，先由点A 可求出k₁=12；再根据正方形的性质可得 ， ，然后设点B（x，y），可得 ，从而求出点B的坐标，即可求解；

（2）先求出直线AB的解析式，可得直线OC的解析式为 ，可设点D（m， ），再根据双曲线 经过点D，求出m，即可求解．

(1)

解：如图，连接OB，

∵点A 在双曲线 上，

∴ ，解得：k₁=12，

∴点A所在的函数解析式为 ；

∵点A的坐标为 ，

∴ ，

∵四边形OABC是正方形，

∴ ，

∴ ，

设点B（x，y），则x＜0，y＞0，

∴ ，解得： ，

∴点B（-1，7），

∵点B在双曲线 上，

∴ ，解得： ，

∴点B所在的双曲线的解析式为 ；

(2)

解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

把点A ，B（-1，7）代入得：

，解得： ，

∴直线AB的解析式为 ，

∵OC∥AB，

∴直线OC的解析式为 ，

设点D（m， ），

∵双曲线 经过点D，

∴ ，解得： 或 （舍去），

∴点D的坐标为 ．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，两点间的距离公式，正方形的性质，函数图象上点的坐标特征，函数解析式平移的规律，难度适中，求出B点坐标是解决第（1）小题的关键；设点D的坐标为（m， ），，列出关于m的方程是解决第（2）小题的关键．

【变式训练1】（福建·莆田第七中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点A坐标为 ，点M是AB的中点，反比例函数 的图象经过点M，交CD于点N．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)若反比例函数图象上的一个动点 在正方形ABCD的内部（含边界），求 面积的最小值．

【答案】(1)y=

(2)2

【解析】

【分析】

（1）先确定点M的坐标，再把点M点的坐标代入y= 中求出k得到反比例函数解析式；

（2）利用正方形的性质确定点C的坐标为（6，0），再利用反比例函数解析式确定点N的坐标为（6， ），利用反比例函数的性质得到当m=6时，n有最小值 ，然后计算出△POC面积的最小值．

(1)

∵点A坐标为（2，4），

∴OB=2，AB=4，

∵M是AB的中点，

∴点M的坐标是（2，2），

把点M（2，2）代入y= 得k=2×2=4，

∴反比例函数解析式为y= ；

(2)

∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（2，4），

∴点C的坐标是（6，0），

当x=6时，y= ；

∴点N的坐标是（6， ），

∵反比例函数y= 图象上的动点P（m，n）在正方形ABCD的内部（含边界），

∴n随m的增大而减少，且2≤m≤6，

∴当m=6时，n有最小值 ，

∴△POC面积的最小值为 =2．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y= （k为常数，k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k得到反比例函数解析式．也考查了反比例函数的性质和正方形的性质．

【变式训练2】（河南·淅川县基础教育教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，D为边BC上一点， ．反比例函数 的图象经过点B，反比例函数 的图象经过点D，与AB交于点E，连接OD，OE，DE．

(1)求k的值．

(2)求 的面积．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据反比例函数 的几何意义求出点 的坐标，在求出点 ，代入 求出k；

（2）求出点E坐标，用 进行计算；

(1)

反比例函数 图象过点 ，

，

，

，

， ，

反比例函数 图象过点 ，

；

(2)

设 ，

点E在 图象上，

，

即 ，

．

【点睛】

本题考查反比例函数的几何意义，反比例函数 图象上任意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于 ，灵活运用几何意义是解题关键．

【变式训练3】（山东济南·一模）如图，四边形AOBC是的正方形，D为BC中点，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标（0，4），过点D的反比例函数y＝ (k≠0)的图象与边AC交于E点，F是线段OB上的一动点．

备用图

(1)求k的值并直接写出点E的坐标；

(2)若AD平分∠CAF，求出F点的坐标；

(3)若△AFD的面积为S₁，△AFO的面积为S₂．若S₁：S₂=3：2，判断四边形AEFO的形状．并说明理由．

【答案】(1)k＝8，E（2，4）

(2)（3，0）

(3)四边形AOFE是矩形，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）求出点D坐标，进而可得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点求出点E的坐标；

（2）延长AD交x轴于G点，证明△BDG ≌△CDA（AAS），求出OG＝8，然后设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，在Rt△OAF中根据勾股定理列方程求出m即可；

（3）设△AFG的面积的为s₃，可得s₃＝2s₁，进而可得s₃：s₂＝3：1，则FG：FO＝3：1，求出FO，根据矩形的判定定理可得结论．

(1)

解：∵A点坐标（0，4），

∴C点坐标（4，4），

∵D为BC中点，

∴D点坐标（4，2），

∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数解析式为y＝ ，

当y＝ 时，x＝2，

∴E（2，4）；

(2)

解：延长AD交x轴于G点，如图1，

∵AC∥OB，

∴∠DAC＝∠BGD，

又∵CD＝BD，∠C＝∠DBG＝90°，

∴△BDG ≌△CDA（AAS），

∴BG＝AC＝4，

∴OG＝OB＋BG＝8，

∵DA平分∠CAF，

∴∠CAD＝∠GAF，

∴∠GAF＝∠DGB，

∴AF＝FG，

设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，

∵OA²＋OF²＝AF²，

∴4²＋m²＝（8－m）²，

∴m＝3   

∴F点的坐标为（3，0）；

(3)

解：四边形AEFO是矩形．

理由：如图1，设△AFG的面积的为s₃，

∵AD＝DG，

∴s₃＝2s₁，

∵S₁：S₂＝3：2，

∴s₃：s₂＝3：1，

∴FG：FO＝3：1，

∵OG＝8，

∴FO＝ OG＝2，

∵AE＝2，

∴FO＝AE，

又∵FO∥AE，

∴四边形AEFO是平行四边形，

∵∠AOF＝90°，

∴四边形AEFO是矩形．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定以及矩形的判定等知识，通过作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

【课后训练】

一、解答题

1．（广东·九年级专题练习）如图①，已知点A（-2，0），B（0，-4），平行四边形ABCD的AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，反比例函数 的图象经过C、D两点．

（1）求反比例函数解析式；

（2）如图②，延长DC，交x轴与点F，连接OC，在反比例函数 的图象是否存在点P，使得S△PCE=S△OCF？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1） ；（2）存在， ，

【解析】

【分析】

（1）由题意可先确定D点的横坐标，然后设D点的坐标，根据平行四边形四点的相对位置关系得出C点的坐标，从而根据C、D两点均在双曲线上，可求出参数的值，进而得出结论；

（2）由（1）的结论确定出E点坐标，以及直线CD的解析式，从而确定F点的坐标，即可求出S△OCF，再根据S△PCE=S△OCF确定△PCE的高，然后根据不同象限进行分类讨论即可．

【详解】

（1）∵A（-2,0），E是AD的中点，

∴xD=2，

设D（2，t），

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴C（4，t-4），

∵反比例函数 的图象经过C、D两点，

∴2t=4t-16，

∴t=8，

∴D（2，8）；

∵点D在反比例函数 的图象上，

∴k=xy=16，

∴反比例函数解析式为 ；

（2）∵A（-2,0），D（2,8），E为AD中点，

∴E（0,4），

由（1）知C（4，4），

∴EC=4，

设直线DC的函数解析式为 ，

将C（4，4），D（2，8）代入得：

，解得 ，

∴直线DC解析式为 ，

当y=0时，x=6，

∴F（6，0），

∴S△OCF= ×6×4=12，

过P作PM⊥CE，

∵S△PCE=S△OCF=12，

∴PM=6，

①当P在第一象限中，

yP=4+6=10，代入 ，

得 ，

∴ ；

②当P在第三象限中，

yP=4-6=-2，代入 ，

得 ，

∴ ；

综上所述：点P的坐标为 或 ．

【点睛】

本题考查反比例函数综合运用，理解反比例函数图象上点坐标的特征，并且灵活分类讨论是解题关键．

2．（全国·九年级专题练习）设A（a，n）为双曲线 （k>0，x>0）上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，AB的垂直平分线交y轴于点C，交双曲线于点P．定义：P为A点的中垂点；特别的，当△ABP为等腰直角三角形时，又称P为A点的完美中垂点．

（1）若k=8，且A点存在完美中垂点，则A的坐标是________

（2）四边形ACBP一定为．（填字母）

A．平行四边形        B．   菱形             C．矩形               D．正方形

（3）若△AOP的面积为6时，则k=       ．

（4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且△APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达式．

【答案】（1） ；（2）B；（3）8；（4）

【解析】

【分析】

（1）利用等腰直角三角形和垂直平分线的性质求解即可；

（2）根据垂直平分线的性质得出 ，从而可判断四边形的形状；

（3）用含有k的式子表示出△AOP的面积，进而建立方程即可求解；

（4）根据A，P，Q的坐标，表示出 ，然后利用等腰三角形的定义分三种情况：① ；② ；③ ，分别进行讨论即可．

【详解】

解：（1）∵k=8，

．

∵A（a，n）为双曲线 上一点，

，

，

设AB，CP交于点D，

∵A点存在完美中垂点，

∴△ABP为等腰直角三角形，

．

∵CP垂直平分AB，

，

．

，P为A点的完美中垂点，

，

，

经检验：它们都是原方程的根，但 不符合题意，舍去，

；

（2）∵CP垂直平分AB，

．

， ，

，

．

，

，

，

∴四边形ACBP一定为菱形；

（3） ， ， ，

，

，

；

（4）∵P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，

， ， ，

，

，

．

∵△APQ是等腰三角形，

①

∴ ；

② ，无解；

③ ，无解；

综上所述， ．

【点睛】

本题主要考查反比例函数与等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，分情况讨论是关键．

3．（湖南株洲·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2， ），反比例函数 （x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝ ．

（1）写出D点坐标，并求出反比例函数关系式；

（2）判断线段DE与AC的位置关系并说明理由；

（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．

【答案】（1）D（ ）， ；（2）DE//AC，理由见解析；（3）点G的坐标为 或G ，都在反比例函数 的图象上．

【解析】

【分析】

（1）先根据图象确定BC的长，再结合BD＝ ，求得CD,J进而确定点D的坐标，最后运用待定系数法求解即可；

（2）根据（1）可得 ，进而确定点E的坐标，然后求出AE、BE，再证 即可完成证明；

（3）分当点F在点C的下方和上方两种情况分别求解即可．

【详解】

解：(1)∵B（2， ），

∴BC=2，

又∵BD＝

∴ ，D（ ）

∴

∴

（2）DE//AC，理由如下：

由（1）得 ，当 时， ，

∴ ， ，

∵ ， ，

∴

∴DE//AC；

（3）①当点F在点C的下方，且点G在点F的右方时，如下图：

过点F作FH 于点H，

∵四边形BCFG是菱形，

∴BC=CF=FG=GB=2，

在 中，OA=BC=2，OC=AB= ，

∴AC=4，∠ACB=30°，

∴在 中，HF= ， ，

∴OH= ，

∴F（ （，G

当 时， ，

∴点G在反比例函数 的图象上；

②当点F在点C的上方，且点G在点F的右方时，

同理可得：G ，点G在反比例函数 的图象上．

综上：点G的坐标为 或G ，都在反比例函数 的图象上．

【点睛】

本题属于反比例函数综合题，主要考查了到菱形的性质、解直角三角形、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．

4．（四川成都·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，已知点 、 ，点 、 在第二象限内．

（1）求出点 的坐标；

（2）将正方形 以每秒2个单位的速度沿 轴向右平移 秒，若存在某一时刻 ，使在第一象限内点 、 两点的对应点 、 正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时 的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问是否存在 轴上的点 和反比例函数图象上的点 ，使得以 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 、 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） ；（2） ；（3）点 的坐标为： 或 ，点 的坐标为 或 ．

【解析】

【分析】

（1）过点 、 分别作 轴、 轴交于点 、 ，证明 进而即可求得点 的坐标；

（2）根据平移的性质列出一元一次方程，即可求得 的值，进而可求得点 以及这个反比例函数的解析式；

（3）设点 ，点 ， ，①当 为平行四边形一条边时，根据平行四边形的性质，利用平移的方法求得 的坐标，②当 为平行四边形对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，线段中点的坐标相等即可求得 的坐标

【详解】

解：（1）过点 、 分别作 轴、 轴交于点 、 ，

， ，

，

又 ， ，

，

， ，

点 坐标为 ，

故答案为 ；

（2） 秒后，点 、 ，

则 ，   

解得： ，则点 、 ；          

则 ，反比例函数的解析式为    

（3）存在，理由：

设点 ，点 ， ，

①当 为平行四边形一条边时，图示平行四边形 ，

点 向左平移8个单位、向上平移4个单位得到点 ，

同理点 向左平移8个单位、向上平移4个单位为 得到点 ，

即： ， ， ，

解得： ， ， ，

故点 、点 ；     

②当 为平行四边形对角线时，图示平行四边形 ，

、 中点坐标为 ，

该中点也是 的中点，

即： ， ， ，

解得： ， ， ，

故点 、 ；                                               

故点 的坐标为： 或 ，点 的坐标为 或 ．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，平移的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数的解析式，一元一次方程的应用，利用平移的性质求解是解题的关键．

5．（江苏淮安·八年级期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线 的图象经过点A．

(1)菱形OABC的边长为；

(2)求双曲线的函数关系式；

(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于x轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；

②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．

【答案】(1)5

(2)

(3)①当E点坐标为（ ，15）或（4，-3）或（ ，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；②点Q的坐标为（5， ）

【解析】

【分析】

（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（4，3），得到AJ=JC=4，OJ=BJ=3，则 ；

（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；

（3）①分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=9，则Q点的横坐标为5，由此求解即可．

(1)

解：如图所示，连接AC交y轴于J，

∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，

∵点C的坐标为（4，3），

∴AJ=JC=4，OJ=BJ=3，

∴ ，

故答案为：5；

(2)

解：∵AJ=JC=4，OJ=BJ=3，

∴点A的坐标为（-4，3），

∵反比例函数 经过点A（-4，3），

∴ ，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ；

(3)

解：①设E点坐标为（m， ），

∵OJ=BJ=3，

∴OB=6，

∴B点坐标为（0，6），

∴D点坐标为（0，-6），

∴直线l为 ，

设P点坐标为（a，-6）

当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，

∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，

∴ ，

∴ ，

∴点E的坐标为（ ，15）；

如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，

∵ 与 的中点坐标相同，

∴ ，

∴ ，

∴ 的坐标为（4，-3）；

同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时，点 的坐标为（ ，-9）；

综上所述，当E点坐标为（ ，15）或（4，-3）或（ ，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；

②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，

∵点A的坐标为（-4，3），直线l为 ，

∴AT=9，

∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，

∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，

∴∠APT=∠QAR，

又∵AP=QA，

∴△APT≌△QRA（AAS），

∴AT=RQ=9，

∴Q点的横坐标为5，

∵Q在反比例函数 上，

∴ ，

∴点Q的坐标为（5， ）．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．