专题6.20 反比例函数和一次函数综合（培优篇）

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，直线y= x与反比例函数y= (x>0)的图象交与点A(4，2)，直线y= x+b(b>0)与反比例函数y= (x>0)的图象交与点C，与y轴交与点B．记y= (x>0)的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是(　　　)

A． ≤b≤2 B． <b≤2 C．2≤b< D．2≤b≤

2．如图，直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点，过点B作 轴，交y轴于点D，直线 交反比例函数 的图象于另一点C，则 的值为（　　）

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知函数y＝ （x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝ x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点，则b的取值范围是（　　）

A．﹣ ＜b≤﹣ B． ＜b≤

C．﹣ ≤b＜﹣ 或 ＜b≤ D．﹣ ＜b≤﹣ 或 ≤b＜

4．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，与反比例函数 图像交于点 ．点 为 轴上一点（点 在点 右侧），连接 ，以 ， 为边作 ， 点刚好在反比例函数图像上，设 ，连接 ， ，若 ，则 的值为（   ）

A．8 B．10 C．12 D．16

5．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线 ， 将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．

则下面叙述中正确的是（    ）

A．点A的横坐标有可能大于3

B．矩形1是正方形时，点A位于区域②

C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小

D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

6．如图，在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝ 的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝ 的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S_△BOC＝ ；③S_△CDF＝ S_△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（　　）

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④

二、填空题

7．如图，已知点A是一次函数 图象上一点，过点A作 轴的垂线 ， 是 上一点 在A上方 ，在 的右侧以 为斜边作等腰直角三角形 ，反比例函数 的图象过点 ， ，若 的面积为 ，则 的面积是______．

8．平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设 为双曲线 上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则 的值为______．

9．如图，设双曲线 与直线y＝x交于A，B两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限内的一支沿射线BA方向平移，使其经过A点，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当k＝6时，“眸径”PQ的长为______．

10．如图，矩形 的顶点坐标分别为 、 、 、 ，动点 在边 上（不与 、 重合），过点 的反比例函数 的图象与边 交于点 ，直线 分别与 轴和 轴相交于点 和 ，给出下列命题：①若 ，则 的面积为 ；②若 ，则点 关于直线 的对称点在 轴上；③满足题设的 的取值范围是 ；④若 ，则 ．其中正确的命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）

11．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数 的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是 ，则点B的坐标为____．

12．在平面直角坐标系 中， ， 是函数 图像上异于 的点，直线 与直线 垂直，分别交 轴， 轴于点 ， ．现给出以下结论：① ；② 可能是直角；③ 为定值；④ 的面积可能为 ．其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）

13．如图，已知正比例函数 与反比例函数 交于 、 两点，点 是第三象限反比例函数上一点，且点 在点 的左侧，线段 交 轴的正半轴于点 ，若 的面积是 ，则点 的坐标是______．

14．如图，点 为直线 上的两点，过 两点分别作 轴的平行线交双曲线 于点 ，若 ，则 的值为________．

15．如图，正比例函数 与反比例函数 的图像交于点A，另有一次函数 与 、 图像分别交于B、C两点（点C在直线 的上方），且 ，则 __________．

16．如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，连接 、 ， 轴于 ， 轴于 ，设 ， 的解析式分别为 ， ，现有以下结论：① ；② ；③若 ，则 ；④ 有最小值．其中正确的是 _____．(写出所有正确结论的序号)

三、解答题

17．已知一次函数 与反比例函数 的图像交于A(－4，3)、B(2， )两点．

1. 求一次函数和反比例函数的表达式；

2. 求 AOB的面积；

3. 点P在 轴上，当 PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

18．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 两点．

(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：

(2)根据图象，直接写出满足 的 的取值范围；

(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求 ABC的面积．

19．已知：如图1，点 是反比例函数 图象上的一点．

(1)求 的值和直线 的解析式；

(2)如图2，将反比例函数 的图象绕原点 逆时针旋转 后，与 轴交于点 ，求线段 的长度；

(3)如图3，将直线 绕原点 逆时针旋转 ，与反比例函数 的图象交于点 ，求点 的坐标．

20．在同一个平面直角坐标系中，已知一次函数 的图像与反比例函数 的图象相交于点 与点 ．

(1)分别求出 与 的解析式；

(2)如图1，有一点 在反比例函数 的图像上，且 ，求点 的坐标；

(3)如图2，平面内是否存在一点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，直线 与双曲线 （k为常数， ）在第一象限内交于点 ，且与x轴，y轴分别交于B，C两点．

(1)求直线和双曲线的解析式；

(2)点P在坐标轴上，且 的面积等于8，求P点的坐标；

(3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想．

22．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

1. 当 时，求k的值；

2. 点B关于y轴的对称点为C，连接 ；

①判断 的形状，并说明理由；

②当 的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接 ，使 的面积等于 面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

23．如图，直线 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D．

(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；

(2)若点P在线段 上，且 ，请求出此时点P的坐标；

(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得 为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由．

24．如图1，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于 、 两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接 ， ．

(1)求反比例函数及一次函数的表达式；

(2)若 的面积为9，求点P的坐标；

(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线 上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B

【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为 ．再画出图象，考虑两种极限状态当 经过点(1，2)时和当 刚经过点(2，3)时，即可得出答案．

解：∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，

∴ ，

解得： ，

∴反比例函数解析式为 ．

如图，当 经过点(1，2)时，

即 时，区域W内有(1，1)，(2，2)，(3，2)三个点，

当直线向上平移时，区域W内出现第四个整点(1，2)，此时满足题意，

∴ ．

当直线再向上平移，经过点(2，3)时，

即 时，区域W内还是四个整点，

继续向上平移，即 时，出现第五个整点(2，3)，此时已经不符合意义，

∴ ．

综上可知 ．

故选B．

【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移．读懂题意，画出图象，找出两种极限状态是解题关键．

2．A

【分析】联立直线 与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由 轴可得出点D的坐标，由点A、D的坐标利用待定系数法可求出直线 的解析式，联立直线 与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出 的值．

解：联立直线 及反比例函数解析式成方程组， ，

解得： ， ，

∴点B的坐标为 ，点A的坐标为 ，

∵ 轴，

∴点D的坐标为 ．

设直线 的解析式为 ，

将A 、D 代入 ，

，解得： ，

∴直线 的解析式为 ，

联立直线 及反比例函数解析式成方程组， ，

解得： ， ，

∴点C的坐标为 ．

∴ ，

故选：A．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及待定系数法求一次函数解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A、B、C的坐标是解题的关键．

3．B

【分析】可知直线 与 平行；分两种情况：直线 在 的下方和上方，画图根据区域 内恰有4个整点，确定 的取值范围．

解：如图1，直线 在 的下方时，

当直线 过 时， ，且经过 点，区域 内有三点整点，

当直线 过 时， ，且经过 ，区域 内有5点整点，

区域 内没有4个整点的情况，

如图2，直线 在 的上方时，

点 在函数 的图象 ，

当直线 过 时， ，

当直线 过 时， ，

区域 内恰有4个整点， 的取值范围是 ．

综上所述，区域 内恰有4个整点， 的取值范围是 ．

故选：B．

【点拨】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．

4．C

【分析】由直线解析式求得 、 ，作 轴于 ，通过证得 ，得出 ， ，进而得出 ， ，由 ，求得 ，代入直线解析式求得横坐标，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征，即可求得 的值．

解： 直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，

， ，

作 轴于 ，如图所示：

四边形 是平行四边形，

， ，

，

在 和 中，

，

，

， ，

，

，

， ，

点刚好在反比例函数图像上，

，

，

设 的纵坐标为 ，

，

，

，

，

，

的纵坐标为 ，

代入 得， ，解得 ，

， ，

反比例函数 图像经过点 ，

，解得 ， （舍去），

，

故选：C．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，三角形的面积等，表示出 的坐标是解题的关键．

5．D

【分析】由图形可知：当 时， ，从而 可判断A；根据点A是直线 与双曲线的交点可判断B；求出 可判断C；由点A位于区域①可得 ，由形2落在区域④中可得 ，从而可判断D．

解：设点 （x，y均为正数），

A、设反比例函数解析式为： ，

由图形可知：当 时， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

即点A的横坐标不可能大于3，

故选项A不正确；

B、当矩形1为正方形时，边长为x， ，

则点A是直线 与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，

故选项B不正确；

C、当一边为x，则另一边为 ，

∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，

∴矩形1的面积会越来越大，

故选项C不正确；

D、当点A位于区域①时，

∵点 ，

∴ ，即另一边为： ，

矩形2落在区域④中， ，即另一边 ，

∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；

如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，

故选项D正确；

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题．

6．D

【分析】设 ，则 的中点 为 ， ，即可求得 ，即可判断①；表示出 的坐标，即可表示出 ，求得 ，即可判断②；计算出 ， ，即可求得 ，即可判断③；先证 是 的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，从而得到 ，即可判断④．

解： 动点 在反比例函数 的图象上，

设 ，

的中点 为 ， ，

的图象经过点 ，

，故①正确；

过点 作 轴交函数 的图象于点 ，

的纵坐标 ，

把 代入 得， ，

，

，

，故②正确；

如图，过点 作 轴于 ．      

， ， ， ，

过点 作 轴交函数 的图象于点 ，交 轴点 ，

，

直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，

由 ，解得 ，

， ，

，

，

，

，故③正确；

， ， ， ， ，

是 的中点，

，

，

轴，

，

，

若 ，则 ，

，

．故④正确；

故选：D．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．

7．

【分析】过 作 轴于 ，交 于 ，设 ，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得： ，设 ，则 ， ，因为 、 都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．

解：如图，过 作 轴于 ，交 于 ．

轴，

，

是等腰直角三角形，

，

设 ，则 ，

设 ，则 ， ，

， 在反比例函数的图象上，

，

解得 ，

，

，

，

，

．

故答案为： ．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．

8．2

【分析】设A，M，B，三点坐标，分别表示出AM，BM的解析式，令x=0可计算出OC和OD的长，相减即可得到结论．

解：设A（a，2a），M（m，1），则B（-a，-2a），

设直线BM的解析式为：y=nx+b，

则 ，

解得： ，

∴直线BM的解析式为： ，

∴ ，

设直线AM的解析式为：y=hx+z，

则 ，

解得： ，

∴直线AM的解析式为：     ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：2．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，掌握二者的基本性质是解决本题的关键．

9．12

【分析】先计算交点A，B的坐标，再确定从A到B的平移方式，设PQ=2m，根据中心对称性质，则PO= = ，确定P的坐标，根据平移规律，点P平移的对应点D是在反比例函数 上，确定m的值即可．

解：根据题意，得

，

解得 或 ，

∴点A的坐标( ， )，点B的坐标( ， )，

∴从A到B的平移方式是向右平移 个单位，再向上平移 个单位，

设PQ=2m，根据中心对称性质，则PO= = ，

∵PQ与直线y=x垂直，

∴PQ与y轴的夹角为45°，

∴点P的坐标为( ， )，

∴点D的坐标为( ， )，

∵点P平移的对应点D是在反比例函数 上，

∴( )( )=6，

解得m=12或m=-12(舍去)

故PQ=12，

故答案为：12．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，平移的规律，方程组的解法，熟练掌握反比例函数的性质，明确平移规律是解题的关键．

10．①②

【分析】①若k＝4，则计算S_△OEF＝ ，故命题①正确；

②若 ，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；

③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；

④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式 ，求出k＝1，故命题④错误．

解：命题①正确．理由如下：

∵k＝4，

∴E（ ，3），F（4，1），

∴CE＝4− ＝ ，CF＝3−1＝2．

∴S_△OEF＝S_矩形AOBC−S_△AOE−S_△BOF−S_△CEF

＝S_矩形AOBC− OA•AE− OB•BF− CE•CF＝4×3− ×3× − ×4×1− × ×2＝12−2−2− ＝ ，故命题①正确；

命题②正确．理由如下：

∵ ，

∴E（ ，3），F（4， ），

∴CE＝4− ＝ ，CF＝3− ＝ ．

如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝ ；

在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝ ，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN²＝EN²−EM²= ，

∴MN＝ ，

∴BN＝OB−OM−MN＝4− − ＝ ．

在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF²＝BN²＋BF²= ，

∴NF＝ ．

∴NF＝CF，

又EN＝CE，

∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，

故命题②正确；

命题③错误．理由如下：

由题意，得点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题③错误；

命题④正确．理由如下：

设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．

设直线EF的解析式为y＝ax＋b，

则 ，解得 ，

∴y＝ x＋3m＋3．

令x＝0，得y＝3m＋3，

令y＝0，得x＝4m＋4，

∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．

如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．

在Rt△ADE中，AD＝OD−OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；

在Rt△MEG中，MG＝OG−OM＝（4m＋4）−4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．

∴DE•EG＝5m×5＝25m＝ ，解得m＝ ，

∴k＝12m＝1，故命题④错误．

综上所述，正确的命题是：①②，

故答案为：①②．

【点拨】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键．

11．( ，3)##（4.5,3）

【分析】根据点D求出k和直线OD的表达式，再用OA和 算面积，将OA用 表示出来， 用 表示出来，B点坐标用 表示出来，最后将B点代入直线OD表达式，解出 ，算出B点坐标，即可

解：∵D(3，2)在反比例函数上

∴

解得：

反比例函数解析式为：

设直线OD表达式为：

将D点坐标带入得：

解得：

故直线OD：

设C( ， )

∵B点在直线OD上

∴

解得：yC=3

故B( ，3)

故答案为：( ，3)

【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，正比例函数；难点在于将B点坐标用一个未知数表示出来

12．①③##③①

【分析】①根据题意画出图象，作 ，设 ，根据反比例函数的性质可知，点Q与点P的坐标x、y恰好相反，设 ，表示出 即可得结论；②由AQ=AP，代入值判断即可；③ ，根据 、mn=1，即可得结论；④假设直线MN过A点时，计算出 的面积即可判断；

解：由题意，图如下，作 ，

①∵直线 与直线 垂直，

∴OM=ON，

设 ，

根据反比例函数的性质可知，点Q与点P的坐标x、y恰好相反，

设

则

∴

故①正确；

②若 是直角；

则AQ=AP，

即

则m=n，此时P、Q与A点重合，不成立，

故②错误；

③ ，

∵

∴ ∵mn=1

∴

故③正确；

④当直线MN过A点时， ，则

的面积为： ，

根据题意，不可能过A点，

∴ 的面积必然大于2；

故④错误；

故答案为：①③．

【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．

13．

【分析】过 作 轴的平行线交 于点 ，联立正比例函数 与反比例函数 求得 ， ，得到 的解析式为 ，利用 的面积即可求得点 的坐标

解：联立 ，

解得： ， ，

设 ， ： ，

则 ，

解得： ， ，

：

过 作 轴的平行线交 于点 ，

则 ，

，

即： ，

解得， ，

．

【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键

14．4

【分析】延长 交 轴于 ，延长 交 轴于 ，设 的横坐标分别是 ，点 为直线 上的两点， 的坐标是 ， 的坐标是 ，则 ， ，根据 得到 的关系，然后利用勾股定理，即可用 表示出所求的式子，从而求解．

解：如图所示，延长 交 轴于 ，延长 交 轴于 ，

设 的横坐标分别是 ，

点 为直线 上的两点，

的坐标是 ， 的坐标是 ，

则 ， ，

两点在双曲线 上，

则 ，

， ，

，

，

两边平方得： ，

即 ，

在直角 中，

，

同理可得， ，

，

故答案为：4．

【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，正确利用 得到 的关系是解题的关键．

15．

【分析】设直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，易得 是等腰三角形， 是含 的直角三角形，设 ，则可表达点 的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点 在反比例函数上，可得出结论．

解：如图，设直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，

令 ，则 ，

∴ ，

令 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 是等腰三角形，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

过点 作 于点 ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

则 ，即： ，

∵点 在反比例函数 上，

∴ ；

故答案为： ．

【点拨】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含 的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键．

16．①③##③①

【分析】①联立直线 与双曲线 ，依题意得出方程 有两个不相等的实数根，得出 ，得出 ，即可判断①，作直线 ，交 于 ，则 ，设点 ，证明 ， ，同理可得， ，进而根据 即可判断③，当 时， ， ，即可判断②；根据题意得出 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出 即可判断④

解：令 ，整理得： ，

直线 与双曲线 交于 、 两点，

方程 有两个不相等的实数根，

，

或 ，

，

，故①正确；

如图 ，作直线 ，交 于 ，则 ，

设点 ，

点 、 在双曲线 上，

，

将 代入 中，整理得： ，

，

又 ，

，

， ，

在 和 中，

，

，

， ，

直线 是由直线 平移之后所得，直线 是第二、四象限的角平分线，

，

，

，

， ，

，

在 和 中，

，

，

同理可得， ，

，

，

1，故③正确；

，

当 时， ， ，

、 、 、 不再彼此全等，

，故②错误；

， 的解析式分别为 ， ， ，

， ，

，

，

，

，

，

，

没有最小值，故④错误；

综上所述：结论正确的是①③．

故答案为：①③．

【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数的性质，将两函数交点问题转化为一元二次方程的解的情况是解题的关键．

17．(1) ， ；(2)9；(3)(-8，0)或(-5，0)或(5，0)或( ，0)

【分析】（1）首先把 ， 代入 中，就可以确定m和 n的值，再把A、B两点的坐标代入 ，可以求得一次函数与反比例函数的表达式；

（2）分别过点A，B作AD⊥ 轴于点D，BE⊥ 轴于点E，设直线AB与 轴交于点C，求出点C的坐标，求出OC、AD、BE的值，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积；

（3）根据AO=OP，AP=AO，AP=OP三种情况，结合两点间的距离公式分类讨论，得出点 的坐标．

解：（1）把A（-4，3）代入 ，得

  ∴

∴反比例函数的表达式为

把B（2， ）代入 ，得 ，

∴B（2，-6），

把A（-4，3），B（2，-6）代入 ，得

，  解得

∴一次函数的表达式为 ；

（2）如图，分别过点A，B作AD⊥ 轴于点D，BE⊥ 轴于点E，

设直线AB与 轴交于点C，

把 代入 ，

得， 解得 ，

∴C（-2，0）

∴OC=2

∵A（-4，3），B（2，-6）

∴AD=3，BE=6

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= OC●AD+ OC●BE= ×2×3+ ×2×6=9

即△AOB的面积是9；

（3）设P（x，0）

∵A（-4，3）

∴ ，

当OP=OA时，

∵ ，

∴ ，

∴x=-5，或x=5，

当AP=AO时，

∵

∴ ， ，

∴x=0（舍去），或x=-8，

当PA=PO时， ，

∴8x+25=0，

∴

∴点P的坐标.为（-8，0）或（-5，0）或（5，0）或（ ，0）

【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，解决问题的关键是熟练掌握一次函数性质和反比例函数性质，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，分类讨论．

18．(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为 ；(2)x≥4或-1≤x＜0；(3)

【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数 即可求出函数的解析式；

（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；

（3）过C点作CD y轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案．

（1）解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（4，1），

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

又点B（﹣1，n）在反比例函数 上，

∴ ，

∴B的坐标为（-1，-4），

把A（4，1），B（﹣1，-4）代入 ，

得 ，

解得 ，

∴一次函数解析式为 ；

（2）解：由图象及交点坐标可知：

当x≥4或-1≤x＜0时，k₁x+b≥﹣ ；

（3）解：过C点作CD y轴，交直线AB于D，

∵B（-1，-4），B、C关于原点对称，

∴C（1，4），

把x=1代入y=x-3，得y=-2，

∴D（1，-2），CD=6，

∴ ．

【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．

19．(1) ； ；(2)4；(3)

【分析】（1）先把点A（4，n）代入 ，求得n值，从而得出点A坐标，然后用待定系数法求解可；

（2）将y轴顺时针旋转45o，交 的图象于点N，则OM＝ON，且线ON的解析式为y = x，联立解析式可求得点N坐标，即可求得ON长，从而求得OM长；

（3）作A点关于直线OB的对称点A₁，则OA=OA₁，AA₁⊥OB，

作A₁C⊥y轴于点C，作AD⊥x轴于点D，易证 ，即可求出A₁坐标，从而求得直线AA₁的解析式为： 和直线OB的解析式为： ，联立解析式，即可求得交点B坐标．

（1）解：把点A（4，n）代入 ，得 ；

设直线OA为 ，把 代入，得

4k=2,解得： ，

∴直线OA的解析式为 ；

（2）如图1，将y轴顺时针旋转45°，交 的图象于点N，

则OM＝ON，

直线ON的解析式为y = x，

由 ，解得： 或 （舍去）

∴点N（ ）

∴OM＝ON＝ ；

（3）解：如图2，作A点关于直线OB的对称点A₁，

则OA=OA₁，AA₁⊥OB，

作A₁C⊥y轴于点C，作AD⊥x轴于点D，

易证 ，

∴OC=OD，A₁C=AD，

∵A的坐标为（4，2），

∴ 的坐标为 ，

∴直线AA₁的解析式为： ，

∴直线OB的解析式为： ，

由 ，解得 或 （负解舍去）

∴点 ．

【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式，函数交点问题，旋转的性质，本题属一次函数与反比例函数综合题目，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键．

20．(1) ， ；(2) ；(3) ， ，

【分析】（1）直接利用待定系数法求得两个函数解析式即可；

（2）如图：作矩形 ，由题意可得 、 、 进而得到 ， ， ， ， ， ，然后根据 列关于x的方程求解即可；

（3）分 为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质和平移的性质即可解答．

（1）解：分别把点 与点 代入解析式可得：

，解得：

所以 ， ．

（2）解：如图：作矩形 ，

∵点 在反比例函数 的图像上

∴

由题意可得： ， ，

∴ ， ， ， ， ，

∵

∴

∴ ，解得 或 （舍）

∴

∴点 的坐标为 ．

（3）解：①如图：当 为平行四边形的边时，

∵ ， ，

∴ ，

②当AB为对角线时

∵ ， ，

∴线段 的中点坐标为

设 ，则 ， ，解得：

∴ ．

综上，点M的坐标为 ， ， 可使以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形．

【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．

21．(1) ， ；(2) ， ， 或 ；(3)平行四边形，理由见分析

【分析】（1）将点 代入直线 与双曲线 求出k、b的值，即可得出解析式；

（2）利用解析式求出B、C的坐标，分类讨论：当P在x轴、y轴上时，可求出P点的坐标；

（3）根据：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证．

（1）解：把 代入双曲线 （k为常数， ），可得 ，

∴双曲线的解析式为

把 代入直线 ，可得 ，

∴直线的解析式为 ；

（2）在 中，令 ，则 ；令 ，则 ，

，

①当P在x轴上时，设P点的坐标为 ，

∵ 的面积等于8

，解得 或 ，  

∴P点的坐标为 或 ；

②当P在y轴上时，同理可得P点的坐标为 或

综合①②，P点的坐标为 ， ， 或 ．

（3）四边形ABED为平行四边形．

理由如下： ， 绕原点旋转 后对应的的坐标为 ， ，

设旋转后的直线解析式为

解得

∴旋转后的直线解析式为 ，

由反比例函数的对称性可知： ，

即 ， ，

∴四边形ABED为平行四边形．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形的判断、旋转，涉及数形结合、分类讨论思想，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键．

22．(1) ；(2)① 为直角三角形，理由见分析；②点P的坐标为 或 或 或 ．

【分析】（1）设点B的坐标为 ，则点 ，则 ，即可求解；

（2）①点A、C的横坐标相同， 轴，点B关于y轴的对称点为C，故 轴，即可求解；②过点C作直线 ，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在 下方等间隔作直线 交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解．

（1）解：设点B的坐标为 ，则点 ，则：

，

解得 （负值已舍去），

故点B的坐标为 ，

将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶ ，

解得∶ ；

（2）解：① 为直角三角形，理由∶

设点 ，则点 ，

∵点A、C的横坐标相同，

∴ 轴，

∴点B关于y轴的对称点为C，

∴ 轴，

∴ ，

∴ 为直角三角形；

②由①得∶ ，

则 的面积 ，

解得 （负值已舍去），

∴点B的坐标为 ，C的坐标为 ，

将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶ ，解得 ，

∴反比例函数表达式为 ①；

过点C作直线 ，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，

同样在AB下方等间隔作直线 交反比例函数于点P，则点P也符合要求．

∵ ，

∴设直线m的表达式为 ，

将点C的坐标代入 ，解得 ，

故直线m的表达式为 ②，

根据图形的对称性，则直线n的表达式为 ③，

联立①②并解得∶

或 ，

联立①③并解得∶

或 ，

∴点P的坐标为 或 或 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强．

23．(1) ， ， ；(2) 或 ；(3)存在， 或

【分析】（1）根据点 和点 在一次函数上可算出 和 的值，根据点 和点 也在反比例函数上即可算出 的值．

（2）连接 、 ，作 ，垂足为 ， ，垂足为 ，设 ，用含 的式子可表示出 和 的面积，根据面积相等列出等式，可算出 的值 ，即可得到点 的坐标．

（3）设点 ，则 ， ， ，若 使得等腰三角形，则 或 或 ，求解出 即可得点 的坐标，注意 ．

（1）解：∵直线 与反比例函数 的图象交 ， 两点，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∵点 在反比例函数 上，

∴

∴反比例函数解析式为 ；

（2）连接 、 ，作 ，垂足为 ， ，垂足为 ，

设

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ．

∵

∴ ，

∴ 或 ，

∴ 或

（3）设 ，

∵ ， ，

∴ ， ， ，

∵ 是等腰三角形，

∴①当 时， ，

∴ （舍）

②当 时， ，

∴ 或 （舍），

∴

③当 时， ，

∴ 或 （舍），

∴

即：满足条件的 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的交点问题和等腰三角形的性质，主要利用待定系数法，三角形面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

24．(1) ； ；(2) ；(3)存在，点 的坐标为 ， ， ．

【分析】（1）将 代入 中即可得到反比例函数的表达式，再结合 即可得到一次函数的表达式；

（2）根据 的面积为9，面积的和差关系即 建立等式，即可求出点P的坐标；

（3）先求 的表达式为 ，表达E的坐标，然后进行分类讨论当 为对角线和当 为边两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质进行列式即可．

（1）解：将 代入 中

得

∴反比例函数解析式为

将 代入 中

解得

∴

将点 、 分别代入

得 ∴

∴一次函数解析式为 ．

（2）解：如图1，由直线 ： 得

∵

∴

得

∴ 或

∵点 是 轴负半轴上一动点

∴

（3）解：存在以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

， ， ．理由如下：

设 的表达式为 ，把 、 代入得到

则 ，所以

设 、

当 为对角线时，如图2所示

，得到 ，所以

当 为边时，

如图3 所示：

， 向下平移3个单位、向右平移3个单位得到 ，那么 向下平移3个单位、向右平移3个单位得到 ， ，

如图4所示：

， 向下平移3个单位、向右平移3个单位得到 ，那么 向下平移3个单位、向右平移3个单位得到 ，即 ，

综上： ， ， ．

【点拨】本题考查反比例函数和一次函数、三角形面积、平行四边形的性质，根据条件准确作图是解题的关键．