【324245】2024八年级数学下册 专题6.20 反比例函数和一次函数综合(培优篇)(新版)浙教版
专题6.20
反比例函数和一次函数综合(培优篇)
一、单选题
1.在平面直角坐标系中,直线y=
x与反比例函数y=
(x>0)的图象交与点A(4,2),直线y=
x+b(b>0)与反比例函数y=
(x>0)的图象交与点C,与y轴交与点B.记y=
(x>0)的图象在点A,C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域(不含边界)为W,若区域W内恰有4个整点,则b的取值范围是( )
A.
≤b≤2 B.
<b≤2 C.2≤b<
D.2≤b≤
2.如图,直线
与反比例函数
的图象交于A,B两点,过点B作
轴,交y轴于点D,直线
交反比例函数
的图象于另一点C,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点叫做整点,已知函数y=
(x>0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=
x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W,若区域W内恰有4个整点,则b的取值范围是( )
A.﹣
<b≤﹣
B.
<b≤
C.﹣
≤b<﹣
或
<b≤
D.﹣
<b≤﹣
或
≤b<
4.如图,直线
与
轴,
轴分别交于点
,
,与反比例函数
图像交于点
.点
为
轴上一点(点
在点
右侧),连接
,以
,
为边作
,
点刚好在反比例函数图像上,设
,连接
,
,若
,则
的值为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
5.如图1,矩形的一条边长为x,周长的一半为y.定义
为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中,直线
,
将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中.
则下面叙述中正确的是( )
A.点A的横坐标有可能大于3
B.矩形1是正方形时,点A位于区域②
C.当点A沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小
D.当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等
6.如图,在反比例函数y=
(x>0)的图象上有动点A,连接OA,y=
(x>0)的图象经过OA的中点B,过点B作BC∥x轴交函数y=
的图象于点C,过点C作CE∥y轴交函数y=
的图象于点D,交x轴点E,连接AC,OC,BD,OC与BD交于点F.下列结论:①k=1;②S△BOC=
;③S△CDF=
S△AOC;④若BD=AO,则∠AOC=2∠COE.其中正确的是( )
A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
二、填空题
7.如图,已知点A是一次函数
图象上一点,过点A作
轴的垂线
,
是
上一点
在A上方
,在
的右侧以
为斜边作等腰直角三角形
,反比例函数
的图象过点
,
,若
的面积为
,则
的面积是______.
8.平面直角坐标系
中,直线
与双曲线
相交于A,B两点,其中点A在第一象限.设
为双曲线
上一点,直线AM,BM分别交y轴于C,D两点,则
的值为______.
9.如图,设双曲线
与直线y=x交于A,B两点(点在第三象限),将双曲线在第一象限内的一支沿射线BA方向平移,使其经过A点,将双曲线在第三象限的一支沿射线AB方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲线相交于P,Q两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为双曲线的“眸径”.当k=6时,“眸径”PQ的长为______.
10.如图,矩形
的顶点坐标分别为
、
、
、
,动点
在边
上(不与
、
重合),过点
的反比例函数
的图象与边
交于点
,直线
分别与
轴和
轴相交于点
和
,给出下列命题:①若
,则
的面积为
;②若
,则点
关于直线
的对称点在
轴上;③满足题设的
的取值范围是
;④若
,则
.其中正确的命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
11.如图,平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,点D(3,2)在对角线OB上,反比例函数
的图象经过C,D两点,已知平行四边形OABC的面积是
,则点B的坐标为____.
12.在平面直角坐标系
中,
,
是函数
图像上异于
的点,直线
与直线
垂直,分别交
轴,
轴于点
,
.现给出以下结论:①
;②
可能是直角;③
为定值;④
的面积可能为
.其中正确的是_____.(写出所有正确结论的序号)
13.如图,已知正比例函数
与反比例函数
交于
、
两点,点
是第三象限反比例函数上一点,且点
在点
的左侧,线段
交
轴的正半轴于点
,若
的面积是
,则点
的坐标是______.
14.如图,点
为直线
上的两点,过
两点分别作
轴的平行线交双曲线
于点
,若
,则
的值为________.
15.如图,正比例函数
与反比例函数
的图像交于点A,另有一次函数
与
、
图像分别交于B、C两点(点C在直线
的上方),且
,则
__________.
16.如图,直线
与双曲线
交于
、
两点,连接
、
,
轴于
,
轴于
,设
,
的解析式分别为
,
,现有以下结论:①
;②
;③若
,则
;④
有最小值.其中正确的是
_____.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题
17.已知一次函数
与反比例函数
的图像交于A(-4,3)、B(2,
)两点.
求一次函数和反比例函数的表达式;
求
AOB的面积;
点P在
轴上,当
PAO为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
18.如图,一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于点
两点.
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式:
(2)根据图象,直接写出满足
的
的取值范围;
(3)连接BO并延长交双曲线于点C,连接AC,求
ABC的面积.
19.已知:如图1,点
是反比例函数
图象上的一点.
(1)求
的值和直线
的解析式;
(2)如图2,将反比例函数
的图象绕原点
逆时针旋转
后,与
轴交于点
,求线段
的长度;
(3)如图3,将直线
绕原点
逆时针旋转
,与反比例函数
的图象交于点
,求点
的坐标.
20.在同一个平面直角坐标系中,已知一次函数
的图像与反比例函数
的图象相交于点
与点
.
(1)分别求出
与
的解析式;
(2)如图1,有一点
在反比例函数
的图像上,且
,求点
的坐标;
(3)如图2,平面内是否存在一点
,使以点
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
21.如图,直线
与双曲线
(k为常数,
)在第一象限内交于点
,且与x轴,y轴分别交于B,C两点.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)点P在坐标轴上,且
的面积等于8,求P点的坐标;
(3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D,与双曲线第三象限内的图像交于点E,猜想四边形ABED的形状,并证明你的猜想.
22.如图,在平面直角坐标系
中,直线
与双曲线
与相交于A,B两点(点A在点B的左侧).
当
时,求k的值;
点B关于y轴的对称点为C,连接
;
①判断
的形状,并说明理由;
②当
的面积等于16时,双曲线上是否存在一点P,连接
,使
的面积等于
面积?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
23.如图,直线
与反比例函数
的图象交于
,
两点,过点A作
轴于点C,过点B作
轴于点D.
(1)求a,b的值及反比例函数的解析式;
(2)若点P在线段
上,且
,请求出此时点P的坐标;
(3)在x轴正半轴上是否存在点M,使得
为等腰三角形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,说明理由.
24.如图1,一次函数
与反比例函数
在第一象限交于
、
两点,点P是x轴负半轴上一动点,连接
,
.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式;
(2)若
的面积为9,求点P的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,若点E为直线
上一点,点F为y轴上一点,是否存在这样的点E和点F,使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.B
【分析】根据题意可求出反比例函数解析式为
.再画出图象,考虑两种极限状态当
经过点(1,2)时和当
刚经过点(2,3)时,即可得出答案.
解:∵点A在反比例函数y=
(x>0)的图象上,
∴
,
解得:
,
∴反比例函数解析式为
.
如图,当
经过点(1,2)时,
即
时,区域W内有(1,1),(2,2),(3,2)三个点,
当直线向上平移时,区域W内出现第四个整点(1,2),此时满足题意,
∴
.
当直线再向上平移,经过点(2,3)时,
即
时,区域W内还是四个整点,
继续向上平移,即
时,出现第五个整点(2,3),此时已经不符合意义,
∴
.
综上可知
.
故选B.
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的综合,一次函数的平移.读懂题意,画出图象,找出两种极限状态是解题关键.
2.A
【分析】联立直线
与反比例函数解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,由
轴可得出点D的坐标,由点A、D的坐标利用待定系数法可求出直线
的解析式,联立直线
与反比例函数解析式成方程组,通过解方程组可求出点C的坐标,再结合两点间的距离公式即可求出
的值.
解:联立直线
及反比例函数解析式成方程组,
,
解得:
,
,
∴点B的坐标为
,点A的坐标为
,
∵
轴,
∴点D的坐标为
.
设直线
的解析式为
,
将A
、D
代入
,
,解得:
,
∴直线
的解析式为
,
联立直线
及反比例函数解析式成方程组,
,
解得:
,
,
∴点C的坐标为
.
∴
,
故选:A.
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及待定系数法求一次函数解析式,联立直线与反比例函数解析式成方程组,通过解方程组求出点A、B、C的坐标是解题的关键.
3.B
【分析】可知直线
与
平行;分两种情况:直线
在
的下方和上方,画图根据区域
内恰有4个整点,确定
的取值范围.
解:如图1,直线
在
的下方时,
当直线
过
时,
,且经过
点,区域
内有三点整点,
当直线
过
时,
,且经过
,区域
内有5点整点,
区域
内没有4个整点的情况,
如图2,直线
在
的上方时,
点
在函数
的图象
,
当直线
过
时,
,
当直线
过
时,
,
区域
内恰有4个整点,
的取值范围是
.
综上所述,区域
内恰有4个整点,
的取值范围是
.
故选:B.
【点拨】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,本题理解整点的定义是关键,并利用数形结合的思想.
4.C
【分析】由直线解析式求得
、
,作
轴于
,通过证得
,得出
,
,进而得出
,
,由
,求得
,代入直线解析式求得横坐标,然后根据反比例函数图像上点的坐标特征,即可求得
的值.
解:
直线
与
轴,
轴分别交于点
,
,
,
,
作
轴于
,如图所示:
四边形
是平行四边形,
,
,
,
在
和
中,
,
,
,
,
,
,
,
,
点刚好在反比例函数图像上,
,
,
设
的纵坐标为
,
,
,
,
,
,
的纵坐标为
,
代入
得,
,解得
,
,
,
反比例函数
图像经过点
,
,解得
,
(舍去),
,
故选:C.
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,考查了一次函数图像上点的坐标特征,反比例函数图像上点的坐标特征,三角形全等的判定和性质,三角形的面积等,表示出
的坐标是解题的关键.
5.D
【分析】由图形可知:当
时,
,从而
可判断A;根据点A是直线
与双曲线的交点可判断B;求出
可判断C;由点A位于区域①可得
,由形2落在区域④中可得
,从而可判断D.
解:设点
(x,y均为正数),
A、设反比例函数解析式为:
,
由图形可知:当
时,
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
即点A的横坐标不可能大于3,
故选项A不正确;
B、当矩形1为正方形时,边长为x,
,
则点A是直线
与双曲线的交点,如图2,交点A在区域③,
故选项B不正确;
C、当一边为x,则另一边为
,
∵当点A沿双曲线向上移动时,x的值会越来越小,
∴矩形1的面积会越来越大,
故选项C不正确;
D、当点A位于区域①时,
∵点
,
∴
,即另一边为:
,
矩形2落在区域④中,
,即另一边
,
∴当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等;
如矩形的两条邻边长分别为0.9,2.9时,两个矩形都符合题意且全等,
故选项D正确;
故选:D.
【点拨】本题考查了反比例函数图象和新定义,理解x和y的意义是关键,并注意用数形结合的思想解决问题.
6.D
【分析】设
,则
的中点
为
,
,即可求得
,即可判断①;表示出
的坐标,即可表示出
,求得
,即可判断②;计算出
,
,即可求得
,即可判断③;先证
是
的中点,然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出
,根据等腰三角形的性质得出
,从而得到
,即可判断④.
解:
动点
在反比例函数
的图象上,
设
,
的中点
为
,
,
的图象经过点
,
,故①正确;
过点
作
轴交函数
的图象于点
,
的纵坐标
,
把
代入
得,
,
,
,
,故②正确;
如图,过点
作
轴于
.
,
,
,
,
过点
作
轴交函数
的图象于点
,交
轴点
,
,
直线
的解析式为
,直线
的解析式为
,
由
,解得
,
,
,
,
,
,
,故③正确;
,
,
,
,
,
是
的中点,
,
,
轴,
,
,
若
,则
,
,
.故④正确;
故选:D.
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合,反比例函数系数
的几何意义,待定系数法求一次函数的解析式,直角三角形斜边上中线的性质,平行线的性质,解题的关键是利用参数解决问题,学会构建一次函数确定交点坐标.
7.
【分析】过
作
轴于
,交
于
,设
,根据直角三角形斜边中线是斜边一半得:
,设
,则
,
,因为
、
都在反比例函数的图象上,列方程可得结论.
解:如图,过
作
轴于
,交
于
.
轴,
,
是等腰直角三角形,
,
设
,则
,
设
,则
,
,
,
在反比例函数的图象上,
,
解得
,
,
,
,
,
.
故答案为:
.
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积,熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键.
8.2
【分析】设A,M,B,三点坐标,分别表示出AM,BM的解析式,令x=0可计算出OC和OD的长,相减即可得到结论.
解:设A(a,2a),M(m,1),则B(-a,-2a),
设直线BM的解析式为:y=nx+b,
则
,
解得:
,
∴直线BM的解析式为:
,
∴
,
设直线AM的解析式为:y=hx+z,
则
,
解得:
,
∴直线AM的解析式为:
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
故答案为:2.
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合题,掌握二者的基本性质是解决本题的关键.
9.12
【分析】先计算交点A,B的坐标,再确定从A到B的平移方式,设PQ=2m,根据中心对称性质,则PO=
=
,确定P的坐标,根据平移规律,点P平移的对应点D是在反比例函数
上,确定m的值即可.
解:根据题意,得
,
解得
或
,
∴点A的坐标(
,
),点B的坐标(
,
),
∴从A到B的平移方式是向右平移
个单位,再向上平移
个单位,
设PQ=2m,根据中心对称性质,则PO=
=
,
∵PQ与直线y=x垂直,
∴PQ与y轴的夹角为45°,
∴点P的坐标为(
,
),
∴点D的坐标为(
,
),
∵点P平移的对应点D是在反比例函数
上,
∴(
)(
)=6,
解得m=12或m=-12(舍去)
故PQ=12,
故答案为:12.
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合,平移的规律,方程组的解法,熟练掌握反比例函数的性质,明确平移规律是解题的关键.
10.①②
【分析】①若k=4,则计算S△OEF=
,故命题①正确;
②若
,可证明直线EF是线段CN的垂直平分线,故命题②正确;
③因为点F不经过点C(4,3),所以k≠12,故命题③错误;
④求出直线EF的解析式,得到点D、G的坐标,然后求出线段DE、EG的长度;利用算式
,求出k=1,故命题④错误.
解:命题①正确.理由如下:
∵k=4,
∴E(
,3),F(4,1),
∴CE=4−
=
,CF=3−1=2.
∴S△OEF=S矩形AOBC−S△AOE−S△BOF−S△CEF
=S矩形AOBC−
OA•AE−
OB•BF−
CE•CF=4×3−
×3×
−
×4×1−
×
×2=12−2−2−
=
,故命题①正确;
命题②正确.理由如下:
∵
,
∴E(
,3),F(4,
),
∴CE=4−
=
,CF=3−
=
.
如图,过点E作EM⊥x轴于点M,则EM=3,OM=
;
在线段BM上取一点N,使得EN=CE=
,连接NF.
在Rt△EMN中,由勾股定理得:MN2=EN2−EM2=
,
∴MN=
,
∴BN=OB−OM−MN=4−
−
=
.
在Rt△BFN中,由勾股定理得:NF2=BN2+BF2=
,
∴NF=
.
∴NF=CF,
又EN=CE,
∴直线EF为线段CN的垂直平分线,即点N与点C关于直线EF对称,
故命题②正确;
命题③错误.理由如下:
由题意,得点F与点C(4,3)不重合,所以k≠4×3=12,故命题③错误;
命题④正确.理由如下:
设k=12m,则E(4m,3),F(4,3m).
设直线EF的解析式为y=ax+b,
则
,解得
,
∴y=
x+3m+3.
令x=0,得y=3m+3,
令y=0,得x=4m+4,
∴D(0,3m+3),G(4m+4,0).
如图,过点E作EM⊥x轴于点M,则OM=AE=4m,EM=3.
在Rt△ADE中,AD=OD−OA=3m,AE=4m,由勾股定理得:DE=5m;
在Rt△MEG中,MG=OG−OM=(4m+4)−4m=4,EM=3,由勾股定理得:EG=5.
∴DE•EG=5m×5=25m=
,解得m=
,
∴k=12m=1,故命题④错误.
综上所述,正确的命题是:①②,
故答案为:①②.
【点拨】本题综合考查函数的图象与性质,反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点,本题计算量较大,正确的计算能力是解决问题的关键.
11.(
,3)##(4.5,3)
【分析】根据点D求出k和直线OD的表达式,再用OA和
算面积,将OA用
表示出来,
用
表示出来,B点坐标用
表示出来,最后将B点代入直线OD表达式,解出
,算出B点坐标,即可
解:∵D(3,2)在反比例函数上
∴
解得:
反比例函数解析式为:
设直线OD表达式为:
将D点坐标带入得:
解得:
故直线OD:
设C(
,
)
∵B点在直线OD上
∴
解得:yC=3
故B(
,3)
故答案为:(
,3)
【点拨】本题考查反比例函数,平行四边形,正比例函数;难点在于将B点坐标用一个未知数表示出来
12.①③##③①
【分析】①根据题意画出图象,作
,设
,根据反比例函数的性质可知,点Q与点P的坐标x、y恰好相反,设
,表示出
即可得结论;②由AQ=AP,代入值判断即可;③
,根据
、mn=1,即可得结论;④假设直线MN过A点时,计算出
的面积即可判断;
解:由题意,图如下,作
,
①∵直线
与直线
垂直,
∴OM=ON,
设
,
根据反比例函数的性质可知,点Q与点P的坐标x、y恰好相反,
设
则
∴
故①正确;
②若
是直角;
则AQ=AP,
即
则m=n,此时P、Q与A点重合,不成立,
故②错误;
③
,
∵
∴
∵mn=1
∴
故③正确;
④当直线MN过A点时,
,则
的面积为:
,
根据题意,不可能过A点,
∴
的面积必然大于2;
故④错误;
故答案为:①③.
【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、勾股定理,掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.
13.
【分析】过
作
轴的平行线交
于点
,联立正比例函数
与反比例函数
求得
,
,得到
的解析式为
,利用
的面积即可求得点
的坐标
解:联立
,
解得:
,
,
设
,
:
,
则
,
解得:
,
,
:
过
作
轴的平行线交
于点
,
则
,
,
即:
,
解得,
,
.
【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题,考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积,熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键
14.4
【分析】延长
交
轴于
,延长
交
轴于
,设
的横坐标分别是
,点
为直线
上的两点,
的坐标是
,
的坐标是
,则
,
,根据
得到
的关系,然后利用勾股定理,即可用
表示出所求的式子,从而求解.
解:如图所示,延长
交
轴于
,延长
交
轴于
,
设
的横坐标分别是
,
点
为直线
上的两点,
的坐标是
,
的坐标是
,
则
,
,
两点在双曲线
上,
则
,
,
,
,
,
两边平方得:
,
即
,
在直角
中,
,
同理可得,
,
,
故答案为:4.
【点拨】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理,正确利用
得到
的关系是解题的关键.
15.
【分析】设直线
与
轴交于点
,过点
作
轴于点
,过点
作
于点
,易得
是等腰三角形,
是含
的直角三角形,设
,则可表达点
的坐标,根据题干条件,建立方程,再根据点
在反比例函数上,可得出结论.
解:如图,设直线
与
轴交于点
,过点
作
轴于点
,
令
,则
,
∴
,
令
,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
是等腰三角形,
∵
,
,
∴
,
∴
,
∴
,
过点
作
于点
,
∴
,
设
,则
,
,
∴
,
∵
,
∴
,
则
,即:
,
∵点
在反比例函数
上,
∴
;
故答案为:
.
【点拨】本题属于反比例函数与一次函数交点问题,等腰三角形的判定与性质,含
的直角三角形等相关知识,设出参数,得出方程是解题关键.
16.①③##③①
【分析】①联立直线
与双曲线
,依题意得出方程
有两个不相等的实数根,得出
,得出
,即可判断①,作直线
,交
于
,则
,设点
,证明
,
,同理可得,
,进而根据
即可判断③,当
时,
,
,即可判断②;根据题意得出
,根据一元二次方程根与系数的关系得出
即可判断④
解:令
,整理得:
,
直线
与双曲线
交于
、
两点,
方程
有两个不相等的实数根,
,
或
,
,
,故①正确;
如图
,作直线
,交
于
,则
,
设点
,
点
、
在双曲线
上,
,
将
代入
中,整理得:
,
,
又
,
,
,
,
在
和
中,
,
,
,
,
直线
是由直线
平移之后所得,直线
是第二、四象限的角平分线,
,
,
,
,
,
,
在
和
中,
,
,
同理可得,
,
,
,
1,故③正确;
,
当
时,
,
,
、
、
、
不再彼此全等,
,故②错误;
,
的解析式分别为
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
没有最小值,故④错误;
综上所述:结论正确的是①③.
故答案为:①③.
【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合,反比例函数与一次函数综合,掌握反比例函数的性质,将两函数交点问题转化为一元二次方程的解的情况是解题的关键.
17.(1)
,
;(2)9;(3)(-8,0)或(-5,0)或(5,0)或(
,0)
【分析】(1)首先把
,
代入
中,就可以确定m和
n的值,再把A、B两点的坐标代入
,可以求得一次函数与反比例函数的表达式;
(2)分别过点A,B作AD⊥
轴于点D,BE⊥
轴于点E,设直线AB与
轴交于点C,求出点C的坐标,求出OC、AD、BE的值,然后利用面积的分割法求出△AOB的面积;
(3)根据AO=OP,AP=AO,AP=OP三种情况,结合两点间的距离公式分类讨论,得出点
的坐标.
解:(1)把A(-4,3)代入
,得
∴
∴反比例函数的表达式为
把B(2,
)代入
,得
,
∴B(2,-6),
把A(-4,3),B(2,-6)代入
,得
, 解得
∴一次函数的表达式为
;
(2)如图,分别过点A,B作AD⊥
轴于点D,BE⊥
轴于点E,
设直线AB与
轴交于点C,
把
代入
,
得,
解得
,
∴C(-2,0)
∴OC=2
∵A(-4,3),B(2,-6)
∴AD=3,BE=6
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=
OC●AD+
OC●BE=
×2×3+
×2×6=9
即△AOB的面积是9;
(3)设P(x,0)
∵A(-4,3)
∴
,
当OP=OA时,
∵
,
∴
,
∴x=-5,或x=5,
当AP=AO时,
∵
∴
,
,
∴x=0(舍去),或x=-8,
当PA=PO时,
,
∴8x+25=0,
∴
∴点P的坐标.为(-8,0)或(-5,0)或(5,0)或(
,0)
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合,解决问题的关键是熟练掌握一次函数性质和反比例函数性质,两点间的距离公式,等腰三角形的性质,分类讨论.
18.(1)反比例函数解析式为
,次函数解析式为
;(2)x≥4或-1≤x<0;(3)
【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式,即可求反比例函数的解析式,把B的坐标代入求出B的坐标,把A、B的坐标代入一次函数
即可求出函数的解析式;
(2)根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案;
(3)过C点作CD
y轴,交直线AB于D,求出D的坐标,即可求得CD,然后根据
即可求出答案.
(1)解:∵反比例函数y=
的图象经过点A(4,1),
∴
,
∴反比例函数解析式为
,
又点B(﹣1,n)在反比例函数
上,
∴
,
∴B的坐标为(-1,-4),
把A(4,1),B(﹣1,-4)代入
,
得
,
解得
,
∴一次函数解析式为
;
(2)解:由图象及交点坐标可知:
当x≥4或-1≤x<0时,k1x+b≥﹣
;
(3)解:过C点作CD
y轴,交直线AB于D,
∵B(-1,-4),B、C关于原点对称,
∴C(1,4),
把x=1代入y=x-3,得y=-2,
∴D(1,-2),CD=6,
∴
.
【点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题,用待定系数法求一次函数的解析式,三角形的面积等知识点的综合运用,主要考查学生的计算能力和观察图形的能力,以及数形结合思想的运用.
19.(1)
;
;(2)4;(3)
【分析】(1)先把点A(4,n)代入
,求得n值,从而得出点A坐标,然后用待定系数法求解可;
(2)将y轴顺时针旋转45o,交
的图象于点N,则OM=ON,且线ON的解析式为y
= x,联立解析式可求得点N坐标,即可求得ON长,从而求得OM长;
(3)作A点关于直线OB的对称点A1,则OA=OA1,AA1⊥OB,
作A1C⊥y轴于点C,作AD⊥x轴于点D,易证
,即可求出A1坐标,从而求得直线AA1的解析式为:
和直线OB的解析式为:
,联立解析式,即可求得交点B坐标.
(1)解:把点A(4,n)代入
,得
;
设直线OA为
,把
代入,得
4k=2,解得:
,
∴直线OA的解析式为
;
(2)如图1,将y轴顺时针旋转45°,交
的图象于点N,
则OM=ON,
直线ON的解析式为y = x,
由
,解得:
或
(舍去)
∴点N(
)
∴OM=ON=
;
(3)解:如图2,作A点关于直线OB的对称点A1,
则OA=OA1,AA1⊥OB,
作A1C⊥y轴于点C,作AD⊥x轴于点D,
易证
,
∴OC=OD,A1C=AD,
∵A的坐标为(4,2),
∴
的坐标为
,
∴直线AA1的解析式为:
,
∴直线OB的解析式为:
,
由
,解得
或
(负解舍去)
∴点
.
【点拨】本题考查待定系数法求函数解析式,函数交点问题,旋转的性质,本题属一次函数与反比例函数综合题目,熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键.
20.(1)
,
;(2)
;(3)
,
,
【分析】(1)直接利用待定系数法求得两个函数解析式即可;
(2)如图:作矩形
,由题意可得
、
、
进而得到
,
,
,
,
,
,然后根据
列关于x的方程求解即可;
(3)分
为平行四边形的边和对角线两种情况,分别根据平行四边形的性质和平移的性质即可解答.
(1)解:分别把点
与点
代入解析式可得:
,解得:
所以
,
.
(2)解:如图:作矩形
,
∵点
在反比例函数
的图像上
∴
由题意可得:
,
,
∴
,
,
,
,
,
∵
∴
∴
,解得
或
(舍)
∴
∴点
的坐标为
.
(3)解:①如图:当
为平行四边形的边时,
∵
,
,
∴
,
②当AB为对角线时
∵
,
,
∴线段
的中点坐标为
设
,则
,
,解得:
∴
.
综上,点M的坐标为
,
,
可使以点
、
、
、
为顶点的四边形为平行四边形.
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等知识点,掌握数形结合思想成为解答本题的关键.
21.(1)
,
;(2)
,
,
或
;(3)平行四边形,理由见分析
【分析】(1)将点
代入直线
与双曲线
求出k、b的值,即可得出解析式;
(2)利用解析式求出B、C的坐标,分类讨论:当P在x轴、y轴上时,可求出P点的坐标;
(3)根据:对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证.
(1)解:把
代入双曲线
(k为常数,
),可得
,
∴双曲线的解析式为
把
代入直线
,可得
,
∴直线的解析式为
;
(2)在
中,令
,则
;令
,则
,
,
①当P在x轴上时,设P点的坐标为
,
∵
的面积等于8
,解得
或
,
∴P点的坐标为
或
;
②当P在y轴上时,同理可得P点的坐标为
或
综合①②,P点的坐标为
,
,
或
.
(3)四边形ABED为平行四边形.
理由如下:
,
绕原点旋转
后对应的的坐标为
,
,
设旋转后的直线解析式为
解得
∴旋转后的直线解析式为
,
由反比例函数的对称性可知:
,
即
,
,
∴四边形ABED为平行四边形.
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形的判断、旋转,涉及数形结合、分类讨论思想,熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键.
22.(1)
;(2)①
为直角三角形,理由见分析;②点P的坐标为
或
或
或
.
【分析】(1)设点B的坐标为
,则点
,则
,即可求解;
(2)①点A、C的横坐标相同,
轴,点B关于y轴的对称点为C,故
轴,即可求解;②过点C作直线
,交反比例函数于点P,则点P符合题设要求,同样在
下方等间隔作直线
交反比例函数于点P,则点P也符合要求,进而求解.
(1)解:设点B的坐标为
,则点
,则:
,
解得
(负值已舍去),
故点B的坐标为
,
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶
,
解得∶
;
(2)解:①
为直角三角形,理由∶
设点
,则点
,
∵点A、C的横坐标相同,
∴
轴,
∴点B关于y轴的对称点为C,
∴
轴,
∴
,
∴
为直角三角形;
②由①得∶
,
则
的面积
,
解得
(负值已舍去),
∴点B的坐标为
,C的坐标为
,
将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶
,解得
,
∴反比例函数表达式为
①;
过点C作直线
,交反比例函数于点P,则点P符合题设要求,
同样在AB下方等间隔作直线
交反比例函数于点P,则点P也符合要求.
∵
,
∴设直线m的表达式为
,
将点C的坐标代入
,解得
,
故直线m的表达式为
②,
根据图形的对称性,则直线n的表达式为
③,
联立①②并解得∶
或
,
联立①③并解得∶
或
,
∴点P的坐标为
或
或
或
.
【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用,涉及到待定系数法求函数解析式,同底等高的三角形的面积等知识,综合性较强.
23.(1)
,
,
;(2)
或
;(3)存在,
或
【分析】(1)根据点
和点
在一次函数上可算出
和
的值,根据点
和点
也在反比例函数上即可算出
的值.
(2)连接
、
,作
,垂足为
,
,垂足为
,设
,用含
的式子可表示出
和
的面积,根据面积相等列出等式,可算出
的值
,即可得到点
的坐标.
(3)设点
,则
,
,
,若
使得等腰三角形,则
或
或
,求解出
即可得点
的坐标,注意
.
(1)解:∵直线
与反比例函数
的图象交
,
两点,
∴
,
∴
,
,
∴
,
,
∵点
在反比例函数
上,
∴
∴反比例函数解析式为
;
(2)连接
、
,作
,垂足为
,
,垂足为
,
设
∵
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
.
∵
∴
,
∴
或
,
∴
或
(3)设
,
∵
,
,
∴
,
,
,
∵
是等腰三角形,
∴①当
时,
,
∴
(舍)
②当
时,
,
∴
或
(舍),
∴
③当
时,
,
∴
或
(舍),
∴
即:满足条件的
或
.
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的交点问题和等腰三角形的性质,主要利用待定系数法,三角形面积的求法,用方程的思想解决问题是解本题的关键.
24.(1)
;
;(2)
;(3)存在,点
的坐标为
,
,
.
【分析】(1)将
代入
中即可得到反比例函数的表达式,再结合
即可得到一次函数的表达式;
(2)根据
的面积为9,面积的和差关系即
建立等式,即可求出点P的坐标;
(3)先求
的表达式为
,表达E的坐标,然后进行分类讨论当
为对角线和当
为边两种情况进行讨论,根据平行四边形的性质进行列式即可.
(1)解:将
代入
中
得
∴反比例函数解析式为
将
代入
中
解得
∴
将点
、
分别代入
得
∴
∴一次函数解析式为
.
(2)解:如图1,由直线
:
得
∵
∴
得
∴
或
∵点
是
轴负半轴上一动点
∴
(3)解:存在以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
,
,
.理由如下:
设
的表达式为
,把
、
代入得到
则
,所以
设
、
当
为对角线时,如图2所示
,得到
,所以
当
为边时,
如图3 所示:
,
向下平移3个单位、向右平移3个单位得到
,那么
向下平移3个单位、向右平移3个单位得到
,
,
如图4所示:
,
向下平移3个单位、向右平移3个单位得到
,那么
向下平移3个单位、向右平移3个单位得到
,即
,
综上:
,
,
.
【点拨】本题考查反比例函数和一次函数、三角形面积、平行四边形的性质,根据条件准确作图是解题的关键.
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- 6【330919】直角三角形全等的判定
- 7【330918】直角三角巷的性质和判定(Ⅰ)
- 8【330917】正方形
- 9【330916】正比例函数的图象和性质
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- 14【330912】一次函数知识点归纳
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