【324243】2024八年级数学下册 专题6.18 反比例函数和一次函数综合（基础篇）（新版）浙教版

专题6.18 反比例函数和一次函数综合（基础篇）

一、单选题

【类型一】一次函数与反比例函数图象综合判断

1．函数 与函数 在同一坐标系中的图像可能是（    ）

A． B． C． D．

2．已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，则一次函数y＝－kx＋k的图象经过（    ）

A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限

C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限

3．如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集是（    ）．

A． B． 或 C． 或 D．

4．已知正比例函数 中， 的值随 的值的增大而增大，那么它和反比例函数 在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是(   )

A． B． C． D．

【类型二】一次函数与反比例函数交点问题

5．如图，反比例函数 与一次函数 相交于 ， 两点，若 ，则x的取值范围是（　　）

A． B．

C． D． 或

6．如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象，观察图象可得不等式 的解集为（    ）

A． B． 或 C． 或 D． 或

7．一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y= 的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（- ，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（    ）

A．3 B． C． D．

8．如图，反比例函数y＝ （x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）的解集为（　　）

A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜0

【类型三】一次函数与反比例函数的实际应用

9．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度 （微克/毫升）与服药时间 小时之间函数关系如图所示（当 时， 与 成反比例）．血液中药物浓度不低于 微克毫升的持续时间为（    ）

A． B． C． D．

10．小亮为了求不等式 >x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y= 与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ）

A． B． C． D． 或

11．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线 （k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（    ）

A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃

12．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（　　）

A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟

【类型四】一次函数与反比例函数其他综合应用

13．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a（a≠0）的图象与y轴交于点A．过点B（0，2a）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+a（a≠0）的图象、反比例函数y＝ 的图象分别交于点C、D．若CD≥BD，则a的取值范围是（　　）

A．a＜0 B．a≥3 C．a＜0或a≥3 D．0＜a≤3

14．如图，反比例函数 （x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A，B，连接AO，BO，作AF⊥y轴于点F，与OB交于点E，E为OB的中点，且 ，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

15．已知点A在函数 的图象上，点B在直线 上（ ，且为常数），若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数 图象上的一对“孪生点”．则这两个函数图象上的“孪生点”对数为（    ）

A．只有1对 B．只有2对 C．1对或2对 D．1对或2对或3对

16．已知正比例函数 与反比例函数 ，它们的图象的共同特征是（    ）

A．这两个函数的图象都在第一象限与第三象限；

B．当自变量 的值逐渐增大时， 的值则随着逐渐增大；

C．当自变量 的值逐渐增大时， 的值则随着逐渐减小；

D．点（ ， ）与点（ ， ）皆为这两个函数图象的公共点．

二、填空题

【类型一】一次函数与反比例函数图象综合判断

17．如图，若反比例函数 与一次函数 交于 、 两点，当 时，则 的取值范围是_________．

18．若双曲线 在第二、四象限，则直线y=kx-2不经过第_____象限．

19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 = 的图象与一次函数 =kx+b的图象交于A、B两点．若 ＜ ，则x的取值范围是_____．

20．若反比例函数 ( )的图象经过点 ，则一次函数 的图象不经过第______________象限．

【类型二】一次函数与反比例函数交点问题

21．反比例函数 与一次函数 交于点 ，则 的值为__________．

22．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 的图象交于点C．若AB＝BC，则k的值为_____．

23．在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于点 和点B，则点B的坐标为______．

24．在直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于 ， 两点．若点 ， 的横坐标分别为 ， ，则 的值为____________．

【类型三】一次函数与反比例函数的实际应用

25．点 是一次函数 与反比例函裂 图像的交点，其 _____________．

26．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当 时，y与x是正比例函数关系；当 时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是______．

27．反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝kx＋k的图象在第一象限交于点B(4，n)，则k＝_____，n＝_______．

28．设函数y＝ 与y＝3x﹣6的图象的交点坐标为(a，b)，则代数式 的值是_____．

【类型四】一次函数与反比例函数其他综合应用

29．如图，直线 与反比例函数 为常数， 的图象相交于 、 两点，其中 点的坐标为 ．

（1） 的值为______；

（2）若点 是该反比例函数图象上一点，点 是直线 在第二象限部分上一点，分别过点 、 作 轴的垂线，垂足为点 和 若 时，则 的取值范围是______．

30．已知点P（m，n）在直线y=-x+3上，也在双曲线y=- 上，则m²+n²=___________

31．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ，与y轴交于点C． 当 时， 的取值范围是_______．

32．如图为反比例函数 与一次函数 的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式 的解集，现将反比例函数 的图象向右平移 个单位，得函数 ，则直接写出不等式 的解集为______ ．

三、解答题

【类型一】一次函数与反比例函数图象综合判断

33．如图，一次函数 与反比例函数 的图像交于 ， 两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式：

(2)根据图象直接写出 时，x的取值范围：

(3)求 的面积．

34．如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点C（6，m）．

(1)求直线和反比例函数的表达式；

(2)连接OC，在x轴上找一点P，使S_△POC＝2S_△AOC，请求出点P的坐标．

【类型二】一次函数与反比例函数交点问题

35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y₁=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y₂= (m≠0)图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(4，1)，将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合．

1. 求一次函数与反比例函数的解析式；

2. 若点D是y轴上一点，且S_△ABD=6，求点D的坐标；

3. 当y₁>y₂时，直接写出自变量x的取值范围．

36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y= (k≠0)的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为(6，−1) ，DE=3．

1. 求反比例函数与一次函数的表达式；

2. 若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．

【类型三】一次函数与反比例函数的实际应用

37．疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需 ；完成2间办公室和3教室的喷洒共需 ．

1. 该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？

2. 消毒药物在一间教室内空气中的浓度 （单位： 与时间 （单位： 的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时 与 的函数关系式为 ，药物喷洒完成后 与 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点 ．当教室空气中的药物浓度不高于 时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至 班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明．

38．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与反比例函数图像交于第一象限内的点 ， 轴于点 ， ．

1. 求反比例函数的解析式；

2. 在直线 上是否存在点 ，使点 到正比例函数直线 的距离等于点 到点 的距离？若存在，求点 坐标，若不存在，请说明理由．

【类型四】一次函数与反比例函数其他综合应用

39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比例函数 图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知点 ，点B的横坐标为 ．

1. 求一次函数与反比例函数的解析式，

2. 若点D是x轴上一点，且 ，求点D坐标；

3. 当 时，直接写出自变量x的取值范围．

40．在平面直角坐标系中，反比例函数图象 与直线 交于点 ．

(1)求k的值，并在平面立角坐标系xOy中描点，画出反比例函数图象G和直线l；

(2)已知点 ，过点P作平行于x轴的直线，与图象G交于点B，与直线l交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AC、BC围成的区域（不含边界）为W．

①当 时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内的整数点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．

参考答案

1．A

【分析】先根据一次函数 可知，直线经过点 ，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知， 的符号，从而选出答案．

解： 函数 的图像经过点 ，

选项B、选项D不符合题意；

由A、C选项可知： ，

反比例函数 的图像在第一、三象限，

故选项A符合题意，选项C不符合题意；

故选：A．

【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像与性质是解答此题的关键．

2．C

【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的值，进而结合一次函数的性质得出答案．

解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象，在每一象限内，y的值随x值的增大而减少，

∴k＞0，

∴ ，

∴一次函数y=-kx+k的图象经过第一、二、四象限．

故选：C．

【点拨】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．

3．B

【分析】根据题意，得出不等式 的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时 的取值范围，然后再根据图象，即可得出答案．

解：根据图象，可得：不等式 的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时 的取值范围，

又∵直线 与双曲线 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，

∴不等式 的解集是 或 ．

故选：B

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求不等式的解集，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．

4．B

【分析】首先由“ 中y随x的增大而增大”判定 ，然后根据k的符号来判断函数 所在的象限．

解：∵函数 中y随x的增大而增大，

∴ ，该函数图象经过第一、三象限；

∴函数 的图象经过第一、三象限；

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数 的图象是双曲线；②当 时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当 时，它的两个分支分别位于第二、四象限．

5．D

【分析】把A点坐标代入 可求出m的值，进而可求出B点坐标，根据 ，即可求出答案．

解：把 代入 得，

，

解得： ，

∴反比例函数的解析式为 ，

把 代入得 ，

解得： ，

∴ ，

当 时，正比例函数图象在反比例图象下方，

∴ 或 ，

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据题意求出B点坐标是解题关键．

6．C

【分析】根据图象进行分析即可得结果；

解：∵ ，

∴ ，

由图象可知，函数 和 分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为1和 ，

由图象可以看出当 或 时，函数 在 下方，即 ，

故选：C．

【点拨】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．

7．D

【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．

解：∵A（- ，-2m）在反比例函数y= 的图像上，

∴m=(- ) • ( -2m)=2，

∴反比例函数的解析式为y= ，

∴B（2，1），A（- ，-4），

把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，

∴n=-3，

∴直线AB的解析式为y=2x-3，

直线AB与y轴的交点D（0，-3），

∴OD=3，

∴S△AOB=S△BOD+S△AOD

= ×3×2+ ×3×

= ．

故选：D．

．

【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．

8．B

【分析】关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）成立，则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再结合函数图象可得答案.

解：∵反比例函数y＝ （x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1

∴关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）成立，

则当x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，

观察图象可知，当﹣3＜x＜﹣1时，满足条件，

∴关于x的不等式 ＜x＋4（x＜0）的解集为：﹣3＜x＜﹣1．

故选B．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生观察图象的能力，用了数形结合思想．

9．A

【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案．

解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，

将（4，8）代入得：8＝4k，

解得：k＝2，

故直线解析式为：y＝2x，

当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝ ，

将（4，8）代入得：8＝ ，

解得：a＝32，

故反比例函数解析式为：y＝ ；

因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4），

下降阶段的函数关系式为y＝ （4≤x≤10）．

当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3，

当y＝6，则6＝ ，解得：x＝ ，

∵ −3＝ （小时），

∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间 小时

故选A．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．

10．D

【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集．

解：观察函数图像，发现：

当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方，

∴不等式 >x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1．

故选：D．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式．

11．C

【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．

解：∵点B（12，18）在双曲线 上，

∴ ，

解得：k=216．

当x=16时，y= =13.5，

所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．

故选：C．

【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．

12．C

【分析】分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出y=8时，x的值，从而得到有效消毒时间．

解：当0≤x≤6时，设y=mx，

将点（6，16）代入，得：16=6m，解得m= ，

∴y= ；

当x＞6时，设y= ，

将点（6，16）代入，得：16= ，

解得：n=96，

∴y= ；

综上，y= ；

当0≤x≤6时，若y=8，则 x=8，

解得x=3；

当x＞6时，若y=8，则 ，

解得x=12；

∴12-3=9（分钟），

故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟．

故选：C．

【点拨】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．

13．C

【分析】用a表示出CD和BD的值，列出不等式，解得即可．

解：过点B（0，2a）平行于x轴的直线与反比例函数y＝ 的图象交于点D，

∴D的纵坐标为2a，

∴将纵坐标代入y＝ 得，x= ，

∴D ，

过点B（0，2a）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+a（a≠0）的图象交于点C，

∴C的纵坐标为2a，

∴将纵坐标代入y＝x+a得，x=a，

∴C（a,2a），

∴BD= ,CD= ，

∵CD≥BD，

∴ ,

∴当 时， ;当 时，a<0；

综上所述，a<0或 ；

故选：C．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，正确表示出线段的长度分情况讨论是解题的关键．

14．D

【分析】过点B作BG⊥y轴交于点G，得到EF是△BOG的中位线，EF= BG，设A（a， ），B（b， ），得到E点坐标为（ ， ），设OB的解析式为y=k₁x，代入E，B坐标得到a=2b，根据S_△AOE= 得到S_△AOE= ，故可求出k的值．

解：过点B作BG⊥y轴交于点G，

∵AF⊥y轴，BG⊥y轴，

∴AF BG

∵E点是OB的中点

∴EF是△BOG的中位线

∴EF= BG

设A（a， ），B（b， ），

∴BG=-b，EF=

则E点坐标为（ ， ），

设OB的解析式为y=k₁x，（k₁≠0），过E点

∴ = k₁

∴k₁=

∴OB的解析式为y= x，

代入B点，即 = ×b

∴a=2b

∴S_△AOE=

把a=2b代入得S_△AOE= =3

∴k=-8

故选D．

【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法、三角形中位线的性质．

15．C

【分析】设A点坐标为 ，由于A，B关于原点对称，则可设B点坐标为 ．得到方程 ，整理方程得 ，讨论方程即可得到答案．

解：设A点坐标为 ，由于A，B关于原点对称，则可设B点坐标为 ．

∵A、B两点纵坐标互为相反数，

∴ ，整理得 ，

∵ ，

∴当 时，有1对“孪生点”；

当 时，有两对“孪生点”，

故选C．

【点拨】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，“孪生点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．

16．D

【分析】根据函数图象经过的象限，增减性即函数的性质分别判断．

解：A、正比例函数 的图象在第一、三象限且过原点，反比例函数 的两个分支在第一、第三象限但不过原点，故该项错误；

B、正比例函数 ，当自变量 的值逐渐增大时， 的值则随着逐渐增大；反比例函数 ，当自变量 的值逐渐增大时， 的值则随着逐渐减小，故该项错误；

C、正比例函数 ，当自变量 的值逐渐增大时， 的值则随着逐渐增大；反比例函数 ，当自变量 的值逐渐增大时， 的值则随着逐渐减小，故该项错误；

D、正比例函数 ，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（ ， ）与点（ ， ）在此函数图象上；反比例函数 ，当x=1时y=2；当x=-1时y=-2，故点（ ， ）与点（ ， ）在此函数图象上；故点（ ， ）与点（ ， ）皆为这两个函数图象的公共点．

故选：D．

【点拨】此题考查了正比例函数与反比例函数的性质，熟记两者的性质是解题的关键．

17．

【分析】根据反比例函数与一次函数的图象性质分析判断即可；

解：观察图象可知，当 时，则 的取值范围是 ， ；

故答案是 ， ．

【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．

18．一

【分析】先根据反比例函数的性质求出k的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；

解：∵双曲线 在第二、四象限，

∴k<0，

∴直线y=kx-2经过二、三、四象限，不经过第一象限．

故答案为：一．

【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，以及反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．

19．x<0或1<x<3

【分析】根据题意观察图象即可得到解答．

解：观察函数图象，当x＜0或1＜x＜3时，反比例函数图象都在一次函数图象下方，

故答案为：x＜0或1＜x＜3．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断题，解决本题的关键是读懂题目意思．

20．三

【分析】根据题意求得反比例函数的比例系数 ，得出一次函数 ，根据一次函数的性质即可求解．

解：∵反比例函数 ( )的图象经过点 ，

∴ ，

∴一次函数 即 的图象不经过第三象限，

故答案为：三

【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据一次函数解析式判断所经过的系数，求得 是解题的关键．

21．6

【分析】将点 ，代入 ，求得 ，进而即可求解．

解：将点 ，代入 ，

即 ，

，

，

故答案为：6．

【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点 的坐标是解题的关键．

22．8

【分析】求出A， B两点坐标，根据点B为线段AC的中点，求出 点坐标，然后代入反比例函数解析式求 即可．

解：∵一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于A， B两点，

∴

设

∵

∴点B为线段AC的中点，

∴

解得 ，

∴

将 代入 得

解得

故答案为：8．

【点拨】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键在于熟练掌握中点坐标公式．

23．

【分析】先将A点坐标分别代入两个解析式中求解得到正比例函数与反比例函数的解析式，然后联立求解即可得到交点坐标．

解：将 代入 得

解得

∴

将 代入 得

解得

∴

联立直线与双曲线得

∴

整理得

解得 或

∴方程组的解为 或

∴

故答案为： ．

【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数与反比例函数的交点坐标．解题的关键在于求出函数解析式．

24．0

【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.

解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，

∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，

∴ ，

故答案为：0.

【点拨】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.

25．-4

【分析】把点A（a，b）分别代入一次函数y=x-1与反比例函数 ，求出a-b与ab的值，代入代数式进行计算即可．

解：∵点A(a，b)是一次函数y=x+1与反比例函数 的交点，

∴b=a+1， ，即a−b=-1，ab=4，

∴ ．

故答案为：-4．

【点拨】反比例函数与一次函数的交点问题，对于本题我们可以先分别把点代入两个函数中，在对函数和所求的代数式进行适当变形，然后整体代入即可．

26．

【分析】根据函数图像求得正比例函数和反比例函数，进而根据题意求得 时的自变量x的取值范围．

解：根据题意设 时，正比例函数为 ， 时，反比例函数为 ，将点 代入，得

，

当 时，当 时，

当 时，当 时，

根据函数图像可知，则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是

故答案为：

【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．

27．          2

【分析】先把(4，n)代入y＝ ，即可求出n的值，再把(4，n)代入y＝kx＋k，即可求出k的值．

解：把(4，n)代入y＝ ，得

，

∴ .

把(4，2)代入y＝kx＋k，得

，

解得 .

故答案为 ，2.

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数图像上点的坐标特征，函数图像点的坐标满足相应的函数关系式.

28．-3

【分析】由两函数的交点坐标为（a，b），将x＝a，y＝b代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出b﹣3a＝﹣6，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及b﹣3a的值代入即可求出值．

解：把(a，b)代入函数y＝ 得到：ab＝2，

把(a，b)代入函数y＝3x﹣6得到：b﹣3a＝﹣6，

所以

故答案是：﹣3．

【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将x＝a，y＝b代入两函数解析式得出关于a与b的关系式是解本题的关键．

29．         

【分析】 根据直线 与反比例函数 为常数， 的图象相交于 ，可得 ，进而可求 的值；

解析式联立成方程组，解方程组求得 的坐标；观察图象即可得出结论．

解： 直线 与反比例函数 为常数， 的图象相交于 ，

，

，

由点 的坐标为 得 所以 ；

故答案为： ；

解 得 或 ，

；

观察图象可知，若 时， 的取值范围是 ．

故答案为： ．

【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

30．11

【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．

解：∵点P（m，n）在直线y=-x+3上，

∴n+m=3，

∵点P（m，n）在双曲线y=- 上，

∴mn=-1，

∴m²+n²=（n+m）²-2mn=9+2=11．

故答案为：11．

【点拨】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．

31． 或

【分析】观察两函数图象的上下位置关系，再结合点 和 ，由此即可得出不等式的解集．

解：观察函数图象可知：当 或 时，

一次函数图象在反比例函数图象上方，

∴当 时，x的取值范围是 或 ．

故答案为 或 ．

【点拨】本题考查了利用两函数图象的上下位置关系解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．

32． 或

【分析】求出平移后的反比例函数的图象与直线的两个交点坐标，再根据图象求解即可．

解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B，

令 ，

解得： ，

∴ ， ，

观察图象可知，不等式 的解集为 或 ，

故答案为： 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点．

33．(1) ， ；(2) 或 ；(3)8

【分析】（1）把 的坐标代入反比例函数解析式即可求得 的值，然后把 代入即可求得 的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；

（2）根据图象可得结论；

（3）求出点 的坐标，根据 即可求解．

解：（1） ， 在 的图象上，

，

反比例函数的解析式是 ．

．

， 在函数 的图象上，

，

解得： ．

则一次函数的解析式是 ．

所以一次函数的解析式是 ，反比例函数的解析式是 ；

（2）由图象得：当 或 时， ；

（3） 直线 与 轴相交于点 ，

的坐标是 ．

．

【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键．

34．(1) ； ；(2)（8,0）或（-8,0）

【分析】（1）用待定系数法直接求表达式即可．

（2）先求出△AOC的面积，再求出△POC，根据三角形的面积公式求解即可．

（1）解：将A（4，0）B（0，﹣2）代入y＝ax＋b得：

解得：

∴直线的表达式为：

点C（6，m）在直线上

∴k=6m=6

∴反比例函数的表达式为： ．

（2）解：设P点坐标为：（p，0）

S_△AOC= =

∵S_△POC＝2S_△AOC

∴ =

∴ =8

∴P点坐标为（8,0）或（-8,0）．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与反比例函数的表达式是解题的关键．

35．(1)一次函数的解析式为y₁= x-1；反比例函数的解析式为y₂= ；(2)点D(0，-3)或(0，1)；(3)x>4或-2＜x＜0

【分析】（1）先求得反比例函数的解析式，根据平移的性质得到点B(4-2a，1-a)，再代入反比例函数的解析式，可求得a，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）利用S_△ABD= S_△ACD+ S_△BCD列式求得CD=2，进一步计算即可求得点D的坐标；

（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．

（1）解：将A(4，1)代入y₂= 得：m=4 1=4，

∴反比例函数的解析式为y₂= ，

∵将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合，

∴点B(4-2a，1-a)，

把B(4-2a，1-a) 代入y₂= 得：

∴(4-2a) (1-a) =4，

解得：a=0(舍去)或a=3，

∴点B(-2，-2)，

将A(4，1)，B(-2，-2)代入y₁=kx+b得：

，解得： ，

∴一次函数的解析式为y₁= x-1；

（2）解：由题意得：S_△ABD= S_△ACD+ S_△BCD= CD 4+ CD 2=6，

解得：CD=2，

∵y₁= x-1，

当x=0时，y₁=-1，

∴点C(0，-1)，

∵CD=2，

∴点D(0，-3)或(0，1)；

（3）解：A(4，1)，B(-2，-2)，

当y₁>y₂时，自变量x的取值范围：x>4或-2＜x＜0．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有平移的性质，待定系数法求解析式，解方程组等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

36．(1)反比例函数的关系式为y=- ；一次函数的关系式为y=- x+2；(2)点P的坐标是（- ，4）或（ ，-4）．

【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；

（2）设点P的坐标是（m，n），根据三角形面积公式求得即可．

（1）解：∵点C（6，-1）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，

∴k=6×（-1）=-6，

∴反比例函数的关系式为y=- ，

∵点D在反比例函数y=- 上，且DE=3，

∴y=3，代入求得：x=-2，

∴点D的坐标为（-2，3）．

∵C、D两点在直线y=ax+b上，则 ，解得 ，

∴一次函数的关系式为y=- x+2；

（2）解：设点P的坐标是（m，n）．

把y=0代入y=- x+2，解得x=4，

即A（4，0），则OA=4，

∵△POA的面积等于8，

∴ ×OA×|n|=8，

解得：|n|=4，

∴n₁=4，n₂=-4，

∴点P的坐标是（- ，4）或（ ，-4）．

【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

37．(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 和 ；(2)一班学生能安全进入教室，见分析

【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 和 ，根据“完成1间办公室和1间教室的喷洒共需 ；完成2间办公室和3教室的喷洒共需 ．

”，列出方程组，即可求解；

（2）由（1）可得一间教室的药物喷洒时间为 ，则11个房间需要 ，从而得到点 ，进而得到反比函数解析式，再把 代入，即可求解．

（1）解：设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 和 ，

则 ，

解得 ，

故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 和 ；

（2）解：一间教室的药物喷洒时间为 ，则11个房间需要 ，

当 时， ，

∴点 ，

设反比例函数表达式为： ，

将点 的坐标代入 ，解得： ，

故反比例函数表达式为 ，

当 时， ，

故一班学生能安全进入教室．

【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

38．(1) ；(2) ，

【分析】（1）已知正比例函数 与反比例函数图像交于第一象限内的点 ， 轴于点 ， ，可知点 的坐标，设反比例函数为 ，利用待定系数法即可求解；

（2）设 ，设点 到 距离为 ，根据已知条件可知 ，则 ， ，所以 ，即 ，由此即可求解．

（1）解：根据题意， ，则点 的纵坐标为 ，且点 在函数 ，

∴ ，解方程得， ，

∴ ，设反比例函数解析式为 ，

∴ ，解方程得， ，

∴反比例函数解析式为 ．

（2）解：设 ，设点 到 距离为 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，即 ，解方程得， ， ，

∴ ， ．

【点拨】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．

39．(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为 ；(2)（-2，0）或（6，0）；(3) 或

【分析】（1）把点 代入 可得反比函数解析式，从而得到点B的坐标为（-2，-2），再把点 ，B（-2，-2）代入 ，可求出一次函数解析式，即可求解，

（2）设直线AB交x轴于点E，根据 ，即可求解；

（3）根据图象即可求得．

（1）解：把点 代入 得： ，

∴反比例函数解析式为 ；

∵点B的横坐标为 ，

∴ ，

∴点B的坐标为（-2，-2），

把点 ，B（-2，-2）代入 ，得：

，解得： ，

∴一次函数解析式为 ；

（2）解： 如图，设直线AB交x轴于点E，

对于 ，当y₁=0时，x=2，

∴点E（2，0），

设点D的坐标为（a，0），则 ，

∵ ， ，

∴ ，

解得：a=-2或6，

∴点D的坐标为（-2，0）或（6，0）；

（3）解：观察图象得：当 或 时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方或两图象相交，

∴当 时，自变量x的取值范围为 或 ．

【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

40．(1) ；图象见详解；(2)①当 时，区域W内的整点有3个；② 或 ；

【分析】（1）将A点坐标代入函数 求出a的值，再将A点坐标代入函数 ，求出k的值即可；（2）①根据题目要求画出过P点平行与x轴的图象，根据图象可看出W内的整点有3个；②根据题目要求画图图像，根据图象分析可看出，如果区域W内的整数点恰好为3个，n的取值范围为： 或 ．

（1）解：将A点坐标代入函数 中得： ，

∴A点坐标为（3,2），

将（3,2）代入函数 中得： ，

解得： ，

故k的值为6，

反比例函数图象G和直线l的图象如下图所示：

（2）①解：当n=5时，

将y=5代入 得： ，

解得： ，

故B点坐标为 ，

同理将y=5代入 中，

解得： ，

C点坐标为 ，

∴如图1所示W区域内的整数点有三个，分别为： ， ， ．

②解：由图1，可知当P点在A点上方时，当 时区域W内的整数点恰好为3个，

由图2可知当在A点下方时，当 时区域W内的整数点恰好为3个，

综上所述，若区域W内的整数点恰好为3个，n的取值范围为： 或 ．

【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及用待定系数法求函数解析式，数形结合思想是解题的关键．