专题6.14 “设参求值”解决反比例函数问题(基础篇)
一、单选题
1.已知反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示,则△AMN的面积为( )
A.3 B. C. D.4
2.如图,在直角坐标系中,点 ,点 在第一象限(横坐标大于 ), 轴于点 , ,双曲线 经过 中点 ,并交 于点 .若 ,则 的值为( ).
A. B. C. D.
3.如图,在平面直角坐标系中,过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线,分别交反比例函数 , 的图象于点A,B.若C是y轴上任意一点,则 的面积为( )
A.4 B.6 C.9 D.
4.如图,点 , 在双曲线 第一象限的分支上,若 , 的纵坐标分别是 和 ,连接 , , 的面积是 ,则 的值是( )
A. B. C. D.
5.如图,已知A是双曲线 上一点,过点A作 轴,交双曲线 于点B,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
6.如图,平行于y轴的直线l分别与反比例函数 (x>0)和 (x>0)的图象交于M、N两点,点P是y轴上一动点,若△PMN的面积为2,则k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图,反比例函数 (x<0)的图象经过正方形ABCD的顶点A,B,连接AO,BO,作AF⊥y轴于点F,与OB交于点E,E为OB的中点,且 ,则k的值为( )
A. B. C. D.
8.如图,直线AB交双曲线 于A、B两点,交 轴于点C,点B为线段AC的中点,若△OAC的面积为12,则 的值为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
9.如图,在平面直角坐标系中,点M为x轴正半轴上一点,过点M的直线l∥y轴,且直线l分别与反比例函数 和 的图象交于P、Q两点.若S△POQ=15,则k的值为( )
A.38 B.22 C.﹣7 D.﹣22
10.如图,在平面直角坐标系中,菱形 的边 轴,垂足为E,点B在y轴正半轴上,点C的横坐标为10, ,若反比例函数 的图象同时经过C、D两点,则k的值( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数 的图象上,顶点B在函数 的图象上,∠ABO=30°,则 _____.
12.如图,在反比例函数 的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C,B为线段 的中点,又D点在x轴上,且 ,则 的面积为__________.
13.如图, 、 是函数 上两点, 为一动点,作 轴, 轴,若 ,则 ______.
14.如图,点A在反比例函数 第二象限内的图象上,点 在 轴的负半轴上,若 ,则 的面积为___________.
15.如图, 是等腰三角形, 过原点O,底边 轴,双曲线 过A,B两点,过点C作 轴交双曲线于点D,若 ,则k的值是__________.
16.如图,已知点 是反比例函数 图象上的动点, 轴, 轴,分别交反比例函数 ( )的图象于点 、 ,交坐标轴于点 、 ,连接 .则 的面积是______.
17.如图,正方形 ,矩形 的顶点O,A,D,B在坐标轴上,点E是 的中点,点P,F在函数 图象上,则点F的坐标是__________.
18.如图,点A,B分别在函数 , 的图象上,点D,C在x轴上.若四边形 为正方形.则点A的坐标是______.
三、解答题
19.如图,点 在反比例函数 的图象上, 轴,且交y轴于点C,交反比例函数 的图象于点B,已知 .
(1)求反比例函数 的解析式;
(2)点D为反比例函数 图象上一动点,连接 交y轴于点E,当E为 中点时,求 的面积.
20.如图,A,B是双曲线y= (x>0)上任意两点,点P在△OAB内,且PB∥y轴,PA∥x,若△BOP的面积为4.
(1)求△AOP的面积;
(2)求△ABP的面积.
21.如图,矩形 的两边 的长分别为3、8.边BC落在x轴上,E是DC的中点,连接AE,反比例函数 的图象经过点E,与AB交于点F.
直接写出AE的长;
若 ,求反比例函数的解析式.
22.如图,矩形 的顶点 , 在 轴的正半轴上,点 在点 的右侧,反比例函数 = 在第一象限内的图象与直线 = 交于点 ,且反比例函数 = 交 于点 , .
(1)求 点的坐标及反比例函数的关系式;
(2)连接 ,若矩形的面积是 ,求出 的面积.
23.如图,在 中, , 轴,垂足为A.反比例函数 的图象经过点C,交 于点D.已知 .
(1)若 ,求k的值;
(2)连接 ,若 ,求 的长.
24.如图,菱形OABC的点B在y轴上,点C坐标为(8,6),双曲线 的图像经过点A.
菱形OABC的边长为;
求双曲线的函数关系式;
点B关于点O的对称点为D点,过D作直线l垂直于y轴,点P是直线l上一个动点,
①将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q,当点Q落在双曲线上时,求点Q的坐标.
②点E在双曲线上,当P、E、A、B四点构成平行四边形时,求点E的坐标.
参考答案
1.B
【分析】设点 ,则点 ,点 ,可得 , ,再由△AMN的面积为 ,即可求解.
解:设点 ,则点 ,点 ,
∴ , ,
∴△AMN的面积为 .
故选:B
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解题时注意:在反比例函数 图象上任一点的横坐标与纵坐标的乘积等于k.
2.B
【分析】设 的坐标为 ,根据 , ;得到 , 的坐标;根据 是 的中点, ,得 的坐标为 ,根据点在反比例函数图象上,代入 ,即可.
解:设 的坐标为 ,则 , ,
∵ ,
∴ ,
∵ 是 的中点, ,
∴ 的坐标为 ,
∵点 、 在 上,
∴
联立 可得 ,
∴ .
故选:B.
【点拨】本题考查反比例函数的知识,解题的关键是掌握勾股定理,中点坐标,反比例函数的性质.
3.A
【分析】根据题意,设点 ,则 ,从而得出点C到直线 的距离为a, ,最后根据三角形的面积公式即可求解.
解:如图:设点 ,
∵直线 轴,
∴点B的横坐标为a,则 ,
∴点C到直线 的距离为a,
∵ ,
∴ ,
故选:A.
【点拨】本题主要考查反比例函数图象k的几何意义,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义.
4.B
【分析】如图所示,过点 作 轴于点 , 轴于点 ,可求出 ,再根据 即可求解.
解:如图所示,过点 作 轴于点 , 轴于点 ,
点 , 在反比例函数 的图像上, , 的纵坐标分别是 和 ,
∴ , ,即 , ,
∴ , ,即 , ,且 , ,
, ,则 ,
,
,解得 ,
故选: .
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的变换,掌握反比例函数图形的性质,几何图形的面积计算方法是解题的关键.
5.C
【分析】首先根据 、 点所在位置设出 、 两点的坐标,再利用勾股定理表示出 , 以及 的长,再表示出 ,进而可得到 .
解:
解: 点在双曲线 上一点,
设 , ,
轴, 在双曲线 上,
设 , ,
, ,
,
,
,
,
,
,
故选:C.
【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点,以及勾股定理的应用,关键是表示出 、 两点的坐标.
6.B
【分析】由题意易得点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高,点M、N的横坐标相等,设点 ,则有 ,进而根据三角形面积公式可求解.
解:由平行于y轴的直线l分别与反比例函数 (x>0)和 (x>0)的图象交于M、N两点,可得:点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高,点M、N的横坐标相等,
设点 ,
∴ ,
∵△PMN的面积为2,
∴ ,
解得: ;
故选B.
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合,熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键.
7.D
【分析】过点B作BG⊥y轴交于点G,得到EF是△BOG的中位线,EF= BG,设A(a, ),B(b, ),得到E点坐标为( , ),设OB的解析式为y=k1x,代入E,B坐标得到a=2b,根据S△AOE= 得到S△AOE= ,故可求出k的值.
解:过点B作BG⊥y轴交于点G,
∵AF⊥y轴,BG⊥y轴,
∴AF BG
∵E点是OB的中点
∴EF是△BOG的中位线
∴EF= BG
设A(a, ),B(b, ),
∴BG=-b,EF=
则E点坐标为( , ),
设OB的解析式为y=k1x,(k1≠0),过E点
∴ = k1
∴k1=
∴OB的解析式为y= x,
代入B点,即 = ×b
∴a=2b
∴S△AOE=
把a=2b代入得S△AOE= =3
∴k=-8
故选D.
【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合,解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法、三角形中位线的性质.
8.B
【分析】设 点坐标为 , 点坐标为 ,根据线段中点坐标公式得到 点坐标为 , ,利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 ,得到 ,然后根据三角形面积公式得到 ,即可求得 的值.
解:设 点坐标为 , 点坐标为 ,
恰为线段 的中点,
点坐标为 , ,
点在反比例函数图象上,
,
,
,
,
,
,
故选:B.
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数与一次函数的交点问题,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.
9.D
【分析】设点P(a,b),Q(a, ),则OM=a,PM=b,MQ= ,则PQ=PM+MQ= ,再根据ab=8,S△POQ=15,列出式子求解即可.
解:设点P(a,b),Q(a, ),则OM=a,PM=b,MQ= ,
∴PQ=PM+MQ= .
∵点P在反比例函数y= 的图象上,
∴ab=8.
∵S△POQ=15,
∴ PQ•OM=15,
∴ a(b﹣ )=15.
∴ab﹣k=30.
∴8﹣k=30,
解得:k=﹣22.
故选:D.
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合,熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键.
10.A
【分析】由菱形的性质结合题意可知 ,设 ,则 .根据勾股定理可求出 ,从而可求出 ,即得出 ,再代入反比例函数解析式即可解出k的值.
解:根据题意可知 ,设 .
∵菱形 的边 轴,
∴ 轴,
∴ .
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
将 代入 ,得: ,
解得: .
故选:A.
【点拨】本题考查反比例函数与几何的综合.涉及菱形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,勾股定理等知识.利用数形结合的思想是解题关键.
11.﹣3
【分析】设AC=a,则OA=2a,可得OC= a,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标,写出A和B两点的坐标,代入解析式求出 和 的值,相比即可.
解:如图,
Rt△AOB中,∠B=30°,∠AOB=90°,
∴∠OAB=60°,
∵AB⊥x轴,
∴∠ACO=90°,
∴∠AOC=30°,
设AC=a,则OA=2a,
∴OC= a,
∴A( a,a),
∵顶点A在函数 (x>0)的图象上,
∴ a×a= a2,
在Rt△BOC中,OB=2OC=2 a,
∴BC= =3a,
∴B( a,﹣3a),
∵顶点B在函数 (x>0)的图象上,
∴ ﹣3a× a=﹣3 ,
∴ =﹣3,
故答案为:﹣3.
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质,熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半,正确写出A、B两点的坐标是关键.
12.6
【分析】设 ,则有 , ,根据函数解析式可知 ,再根据三角形的面积公式求解.
解:设 ,
∵ ,
∴ , ,
由反比例函数 可知: ,
∵B为线段 的中点, ,
∴ , ,
∴ .
故答案为:6.
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标与系数的关系,反比例函数的系数与图象面积的关系.关键是明确线段之间的关系.
13.
【分析】设 、 ,根据 找到 、 之间的关系,最后表述出 ,整体代入求值即可.
解:设 、 ,
∴
∴ , ,
∴ ,整理得 ,
∴ ,
故答案为:4.
【点拨】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式,掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键.
14.8
【分析】设点A的坐标为 ,过点A作 轴,垂足为 ,得到 , ,根据 得到 ,根据三角形的面积公式得 ,再根据点 在反比例函数 的图象上得到 ,从而得到答案.
解:设点A的坐标为 ,过点A作 轴,垂足为 ,
由题意得 , ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∵点A在反比例函数 的图象上,
∴ ,
∴ ,
,
故答案为:8.
【点拨】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等,熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键.
15.6
【分析】过点A作 于点E,设点 ,则点 ,根据△ABC是等腰三角形,可得BC=4a,从而得到点C的坐标为 ,点D的纵坐标为 ,进而得到 ,再由 ,即可求解.
解:如图,过点A作 于点E,
设点 ,则点 ,
∴ ,
∵ 是等腰三角形,
∴ ,
∵底边 轴,
∴点C的坐标为 ,
∵ 轴,
∴点D的横坐标为 ,
∴点D的纵坐标为 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,解得: .
故答案为:6
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特点,能够利用k表示出 和 的长度是解决本题的关键.
16. ##
【分析】设点A的坐标为 ,可得点B的坐标为 ,点C的坐标为 , ,从而得到 ,即可求解.
解:设点A的坐标为 ,
∵ 轴, 轴,分别交反比例函数 ( )的图象于点 、 ,
∴点B的坐标为 ,点C的坐标为 , ,
∴ ,
∴ 的面积是 .
故答案为:
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
17. ##
【分析】设点P的坐标为 ,根据正方形的性质得到 ,求出 ,则 ,进而求出 ,再由矩形的性质得到点F的纵坐标为 ,由此即可得到答案.
解:设点P的坐标为 ,
∵四边形 是正方形,
∴ ,
∴ ,
∴ (负值舍去),
∴ ,
∵点E是 的中点,
∴ ,
∵四边形 是矩形,
∴点F的纵坐标为 ,
当 时, ,
∴ ,
故答案为: .
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合,正方形的性质,矩形的性质,正确求出点P的坐标是解题的关键.
18.
【分析】设点A的纵坐标为n,则点B的纵坐标为n,根据点A,B分别在函数 , 的图象上得 , ,根据四边形 为正方形得 ,解得 ,得点A的纵坐标为5,将 代入 ,进行计算即可得.
解:设点A的纵坐标为n,则点B的纵坐标为n,
∵点A,B分别在函数 , 的图象上,
∴ , ,
∵四边形 为正方形,
∴
,
, (舍),
∴点A的纵坐标为5,
将 代入 得, ,
,
∴ ,
故答案为: .
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,正方形的性质,解题的关键是理解题意,掌握这些知识点.
19.(1) ;(2)3
【分析】(1)把点A坐标代入反比例函数 求得点A坐标,根据AC=2BC求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入 中求得k的值,即可求出 的解析式.
(2)设 .根据AD的中点E在y轴上求出点D和点E坐标,然后根据三角形面积公式求解即可.
(1)解:∵点 在反比例函数 的图象上,
∴ .
∴a=2.
∴ .
∵ 轴,且交y轴于点C,
∴ .
∵ ,
∴ .
∴ .
∴把点B坐标代入 得 .
∴ .
∴该反比例函数的解析式为 .
(2)解:设 .
∵ ,点E为 的中点,
∴ .
∵点E在y轴上,
∴ .
∴ .
∴ , .
∴ .
∴ , .
∴ .
∴△OAD的面积为3.
【点拨】本题考查根据函数值求自变量,待定系数法求反比例函数解析式,中点坐标,熟练掌握这些知识点是解题关键.
20.(1)4;(2)8
【分析】(1)设B (m, ), A (n, ),则P(m, ),由△BOP的面积为4推出n=3m,利用三角形面积公式即可求解;
(2)同理,利用三角形面积公式即可求解.
(1)解:∵A,B是双曲线y= (x>0)上任意两点,
∴设B (m, ), A (n, ),则P(m, ),
∴AP=n-m,BP= - ,
∵△BOP的面积为4.
∴ BP•xP= ( - ) •m=4,
∴n=3m,
∴△AOP的面积= AP•yP= (n-m) • =4;
(2)解:同(1)△ABP的面积= AP•BP= (n-m)•( - )
= (3m-m)•( - )
= .
【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
21.(1)5;(2)
【分析】(1)根据勾股定理即可求解;
(2)设E点的坐标为(x,4),F点的坐标是(x−3,1),代入 求出x,再求出m,即可得出答案.
解:(1)∵矩形 的两边 的长分别为3、8,
∵点E为DC的中点,
∴CE=DE=4,
在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE= ;
(2)∵AF−AE=2,
∴AF=5+2=7,
∴BF=8−7=1,
设E点的坐标为(x,4),F点的坐标是(x−3,1),
代入 得:m=4x=(x−3)•1,
解得:x=−1,
即m=−4,
所以当AF−AE=2时反比例函数表达式是 .
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,用待定系数法求反比例函数的解析式,矩形的性质等知识点,能求出E点的坐标是解此题的关键.
22.(1) ;(2)
【分析】(1)根据 ,得到点 的纵坐标为 ,代入 ,解之,求得点 的坐标,再代入 ,得到 的值,即可得到反比例函数的关系式,
(2)根据矩形的面积是 ,结合 ,求得线段 ,线段 的长度,得到点 ,点 的横坐标,代入反比例函数的解析式,得到点 的坐标,根据 ,代入求值即可得到答案.
(1)解:根据题意得:
点 的纵坐标为 ,
把 代入 得:
,
解得: ,
即点 的坐标为: ,
把点 代入 得:
,
解得: ,
即反比例函数的关系式为: ;
(2)解:设线段 ,线段 的长度为 ,
根据题意得: ,
解得: ,
即点 ,点 的横坐标为: ,
把 代入 得:
,
即点 的坐标为: ,
线段 的长度为 ,
.
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合,掌握反比例数的性质是解题的关键.
23.(1)5;(2)
【分析】(1)利用等腰三角形的性质得出 的长,再利用勾股定理得出 的长,得出C点坐标即可得出答案;
(2)连接 ,首先表示出D,C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标,再利用勾股定理得出 的长.
(1)解:作 ,垂足为E,
, ,
.
在 中, , ,
,
,
点的坐标为: ,
点C在 的图象上,
,
(2)解:设A点的坐标为 ,
,
,
,C两点的坐标分别为: , .
点C,D都在 的图象上,
,
,
点的坐标为: ,
作 轴,垂足为F,
, ,
在 中,
,
.
【点拨】本题属于反比例函数综合题,考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质,正确得出C点坐标是解题关键,学会利用特殊位解决问题.
24.(1)10;(2) ;(3)①Q(10,- );②当点E坐标为 或(8,-6)或 时,以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形
【分析】(1)连接AC交y轴于点J,根据菱形的性质得 , , ,根据点C的坐标得 , ,根据勾股定理即可得;
(2)先求出点A的坐标,然后用待定系数法即可求出反比例函数解析式;
(3)①过点A作 ,过点Q作 ,先求出AT=18,然后证明 得到 ,即可得点Q的横坐标;②分别以AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可得.
(1)解:如图所示,连接AC交y轴于点J,
∵四边形OABC是菱形,
∴ , , ,
∵点C的坐标为(8,6),
∴ , ,
∴ ,
即菱形OABC的边长为10,
故答案为:10.
(2)解:∵ , ,
∴点A的坐标为(-8,6),
∵反比例函数 经过点A(-8,6),
∴ ,
,
∴反比例函数解析式为 .
(3)解:①如图所示,过点A作 ,过点Q作 ,
∵ ,
∴ ,
∴点B的坐标为(0,12),
∴点D的坐标为(0,-12),
∴直线l为 ,
∵点A的坐标为(-8,6),直线l为 ,
∴AT=18,
∵ ,
∴ , ,
∴ ,
在 和 中,
∴ (AAS),
∴ ,
∴点Q的横坐标为10,
∵点Q在反比例函数 上,
∴ ,
∴点Q的坐标为 .
②设点E的坐标为 ,点P的坐标为(a,-12),
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时,
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同,
∴ ,
解得, ,
∴点E的坐标为 ,
如图所示,当AB为平行四边形的边时,即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时,
∵ 与 的中点坐标相同时,
∴ ,
解得,m=8,
∴ 的坐标为(8,-6),
同理可求出当AB为平行四边形的边时,即以P、E、A、B四点构成平行四边形为 时,点 的坐标为 ,
综上,当点E坐标为 或(8,-6)或 时,以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形.
【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合,菱形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质,坐标与图形,解题的关键是掌握这些知识点.