第5章特殊平行四边形章末测试卷（培优卷）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（长沙期末）下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
【解题思路】由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答过程】解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．（3分）（陇县期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且2BP＝AC，则∠COP的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°
【解题思路】根据四边形ABCD是正方形，可得∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，再根据2BP＝AC，即可求出∠COP的度数．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，AC＝BD＝2OB，
∵2BP＝AC，
∴BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：B．
3．（3分）（路北区二模）求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．
求证：OB
AC．
证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，中间的证明过程排乱了：
①∵∠ABC＝90°；
②∵OD＝OB，OA＝OC；
③∴四边形ABCD是平行四边形；
④∴四边形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，∴OB
BD
AC．
则中间证明过程正确的顺序是（ ）
A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④
【解题思路】延长BO至点D，使OD＝OB，连接AD、CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是矩形，得AC＝BD，即可得出结论．
【解答过程】证明：延长BO至点D，使OD＝OB，连接AD、CD，
∵OD＝OB，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OB
ACBD
AC，
∴证明过程正确的顺序是②③①④；
故选：D．
4．（3分）（任丘市期末）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7 B．
C．8 D．9
【解题思路】根据直角三角形的性质求出DE，由EF＝1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
【解答过程】解：∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE
AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
5．（3分）（沂水县期末）如图所示，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O，∠ABC＝50°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ）
A．95° B．75° C．55° D．35°
【解题思路】由菱形的性质可得∠ABO＝25°，AC⊥BD，可得∠BAC＝65°，由三角形的外角性质可求解．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝50°，
∴∠ABO＝25°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝65°，
∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE，
∴65°≤∠BEC≤90°，
故选：B．
6．（3分）（五华区期末）如图所示，点O为矩形ABCD对角线的交点，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止．延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．一般平行四边形→正方形→一般平行四边形→矩形
B．一般平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．一般平行四边形→菱形→一般平行四边形→矩形
D．一般平行四边形→菱形→正方形→矩形
【解题思路】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【解答过程】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
7．（3分）（宁乡市期末）将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为2，则阴影部分的周长总和等于（ ）
A．4042 B．8076 C．8080 D．8084
【解题思路】先通过菱形的性质和三角形的中位线定理求得一个阴影菱形的边长，再计算2020个阴影菱形的周长总和便可．
【解答过程】解：根据题意知，将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2020个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，
如图，由题意知，OA＝OC，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝∠EOF，
由菱形的对角线平分一组对角可知∠EOC＝∠DAO，
∴OE∥AD，
∴OE是△ACD的中位线．
∴OE
AD＝1，
∴一个阴影菱形的周长为：1×4＝4，
∴2020个阴影菱形的周长和为：4×2020＝8080，
故选：C．
8．（3分）（临沧期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．AP＝EF B．AP⊥EF
C．PD＝2EC D．BP2+DP2＝2AP2
【解题思路】连接PC，延长AP，FP交EF，AB于点G，H，结合正方形的对称性和勾股定理进行求解．
【解答过程】解：连接PC，延长AP，FP交EF，AB于点G，H，如图，
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠FEC＝∠PCE，PF＝CE，
∴AP＝EF，故A选项不符合题意，
∵∠EPG+∠HPA＝∠HPA+∠BAP＝90°，
∴∠EPG＝∠BAP＝∠BCP＝∠FEC，
∵∠FEC+∠FEP＝90°，
∴∠EPG+∠GEP＝90°，
∴AP⊥EF，故B选项不符合题意，
在Rt△PFD中，PF＝DF，
∴PD
PF
CE，故C选项符合题意，
在Rt△PBE和Rt△PFD中，BE＝PE，PF＝DF，
∴BP2+DP2＝2PE2++2PF2＝2（PE2+PF2）＝2PC2＝2AP2.故选项D不符合题意，
故选：C．
9．（3分）（淮阳区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（ ）
A．5 B．3或5 C．
D．
或5
【解题思路】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答过程】解：①当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5cm2，
∴
x•3＝5，
解得：x
；
当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5cm2，
∴S矩形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，
∴3×4
（3+4﹣x）×2
2×3
4×（x﹣4）＝5，
解得：x＝5；
③当P在CE上时，
∵△APE的面积为5cm2，
∴
（4+3+2﹣x）×3＝5，
解得：x
（不合题意舍去），
综上所述，x的值为
或5，
故选：D．
10．（3分）（德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（ ）
A．1
B．1
C．3 D．
【解题思路】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE
，OE＝1，再根据OC≤CE+OE＝1
，即可得到点C到原点O距离的最大值是1
．
【解答过程】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，
∵∠AOB＝90°，
∴Rt△AOB中，OE
AB＝1，
又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，
∴Rt△CBE中，CE
，
又∵OC≤CE+OE＝1
，
∴OC的最大值为1
，
即点C到原点O距离的最大值是1
，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（长春期末）如图，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径作圆弧，两弧相交于点C、D．连结AC、BC、AD、BD，则四边形ADBC一定是 BD ．
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
【解题思路】根据题意得出AC＝AD＝BC＝BD，进而解答即可．
【解答过程】解：由题意可知：AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ADBC是菱形，也是平行四边形，
故答案为：BD．
12．（3分）（老河口市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为 8 ．
【解题思路】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【解答过程】解：∵ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝6，AO＝CO，S菱形ABCD
，
∴AC＝16，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝8，
∴OH
AC＝8．
故答案为：8．
13．（3分）（河东区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝3．则AC的长为 6 ．
【解题思路】根据等腰三角形的性质求出AF⊥BC，根据直角三角形斜边上的中线得出EF
AC，代入求出答案即可．
【解答过程】解：连接AF，
∵AB＝AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
即∠AFC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴EF
AC，
∵EF＝3，
∴AC＝6，
故答案为：6．
14．（3分）（霍林郭勒市期末）如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠APD＝ 150 度．
【解题思路】等边三角形内角为60°，且△ABP为等腰三角形，故可以求∠BAP，再求∠DAP，同理求∠ADP．根据三角形内角和为180°就可求∠APD．
【解答过程】解：∵△BCP为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，AB＝BP＝BC＝CD，
∴∠ABP＝30°，
∴∠BAP＝75°，
∴∠DAP＝15°，同理∠ADP＝15°
∴∠APD＝150°．
故答案为：150．
15．（3分）（米易县期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为 4
．
【解题思路】先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解．
【解答过程】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴AC＝2AO＝2，BO
2
，
∴BD＝2BO＝4
，
∴菱形ABCD的面积
AC×BD
2×4
4
，
故答案为：
．
16．（3分）（昭通期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点E是CD的中点．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C匀速运动，最终到达点C．若点P的运动时间为t秒时，三角形APE的面积为4cm2，则t＝ 
或6 秒．
【解题思路】分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可．
【解答过程】解：①如图1，
当P在AB上时，
∵△APE的面积等于4，
∴
x•3＝4，
∴x
；
②当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5，
∴S长方形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝4，
∴3×4
（3+4﹣x）×2
2×3
4×（x﹣4）＝4，
∴x＝6；
③当P在CE上时，
∴
（4+3+2﹣x）×3＝4，
∴x
3+4，此时不符合；
故答案为：
或6．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．
【解题思路】连接DM，DN，根据直角三角形的性质得到DM
BC，DN
BC，可得到DM＝DN，根据等腰三角形的性质即可证明．
【解答过程】证明：如图，连接DM，DN，
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DM
BC，DN
BC，
∴DM＝DN，
又∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN．
18．（6分）（老河口市期末）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD，BF的中点，AB＝AC．求证：四边形ADCF是矩形．
【解题思路】先证四边形ADCF是平行四边形，再由等腰三角形的性质得∠ADC＝90°，即可得出结论．
【解答过程】解：∵D是BC的中点，E是BF的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥FC，DE
FC，
∵E是AD的中点，
∴DE
AD，
∴AD＝FC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
19．（8分）（红塔区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO⊥AC于点O，点D是BO上一点，延长BO至点E，使OE＝OD，点C到AE的距离为d．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若四边形ADCE的周长为20，两条对角线的和等于14，求d的值．
【解题思路】（1）由线段垂直平分线的性质可得AO＝CO，AD＝CD，由菱形的判定可得结论；
（2）利用勾股定理先求AC，DE的值，由面积法可求d的值．
【解答过程】证明：（1）∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴AO＝CO，AD＝CD，
又∵OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）∵菱形ADCE的周长为20，
∴AE＝AD＝CD＝CE＝5，
∵AC与DE的和等于14，
∴AO+OE＝7，
∵AO2+OE2＝AE2，
∴（7﹣OE）2+OE2＝25，
∴OE＝4，或OE＝3，
∴OE＝8或6，
∴AC＝6或8，
∴菱形ADCE的面积
6×8＝5d，
∴d
．
20．（8分）（海东市期末）已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：AP＝CP；
（2）若∠DAP＝30°，PD
，求CP的长．
【解题思路】（1）证△ABP≌△CBP，推出AP＝CP即可；
（2）先根据△ABP≌△CBP得出∠BAP＝∠BCP＝60°，∠PCE＝30°，再证△PFB是等腰直角三角形，求出PE的长度，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
又∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP；
（2）解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∵PE⊥DC，
∴∠PED＝∠PEC＝90°，
∴∠DPE＝45°，
∴PE＝DE，
∵
且PE2+DE2＝PD2，
∴PE＝1，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP＝30°，
∴CP＝2PE＝2．
21．（8分）（迁安市期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．
（1）求证：四边形AECD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．
【解题思路】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AECD是平行四边形，进而理由等腰三角形的性质得出∠ADB＝90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝CD，进而利用正方形的判定得出即可．
【解答过程】证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，
∴CF＝FA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AECD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AECD是矩形，
∴矩形AECD是正方形．
22．（8分）（滨江区校级月考）已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AD上一点，点A关于BE的对称点G位于对角线BD上．
（1）求证：△EGD为直角三角形；
（2）若AB＝4，求线段EG的长．
【解题思路】（1）由轴对称的性质可得AE＝GE，∠BAE＝∠BGE＝120°，由等腰三角形的性质可求∠ADB＝∠ABD＝30°，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求解．
【解答过程】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
∵点A关于BE的对称点G位于对角线BD上．
∴AE＝GE，∠BAE＝∠BGE＝120°，
∴∠EGD＝60°，
∴∠GED＝90°，
∴△EGD为直角三角形；
（2）∵∠GED＝90°，∠ADB＝30°，
∴DE
EG
AE，
∵AB＝4，
∴AE
AE＝4，
∴AE＝2
2，
∴EG＝2
2．
23．（8分）（鞍山期末）如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN；
（1）则DN与CM的数量关系是 CM＝DN ，位置关系是 DN⊥CM ．
（2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长．
【解题思路】（1）证△BCM≌△CDN，得出CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，再证∠CDN+∠DCM＝90°即可；
（2）连CE并延长交AD于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可；
（3）过点B作BH⊥CM于点H，根据勾股定理求出BH＝PH
，CM
，PC
即可．
【解答过程】解：（1）如图1，设CM与DN相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°，
∵BM＝CN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
故答案为：CM＝DN，DN⊥CM；
（2）如图2，连CE并延长交AD于G，
∵BC∥AD，
∴∠ENC＝∠EDG，
∴NE＝DE，∠NEC＝∠GED，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴CE＝EG，NC＝GD＝1，
又∵MF＝CF，
∴EF
MG，
∵正方形的边长为3，BM＝CN＝1，
∴AM＝AG＝2，
∴GM
2
，
∴EF
；
（3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H，
∵CM2＝BC2+BM2，
∴CM
，
∵
CM•BH
BC•BM，
∴BH
，
∴CH
，
∴∠BPC＝45°，
∴PH＝BH
，
∴PC
，
∴PM＝PC﹣CM
．