【324209】2024八年级数学下册 专题5.5 四边形中的最值问题专项训练（含解析）（新版）浙教版

专题5.5四边形中的最值问题专项训练（30道）

考卷信息：

本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！

1．（德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为（　　）

A．1 B．1 C．3 D．

【解题思路】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE ，OE＝1，再根据OC≤CE+OE＝1 ，即可得到点C到原点O距离的最大值是1 ．

【解答过程】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，

∵∠AOB＝90°，

∴Rt△AOB中，OE AB＝1，

又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，

∴Rt△CBE中，CE ，

又∵OC≤CE+OE＝1 ，

∴OC的最大值为1 ，

即点C到原点O距离的最大值是1 ，

故选：A．

2．（西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）

A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2

【解题思路】AM EF AP，所以当AP最小时，AM最小，根据垂线段最短解答．

【解答过程】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，

∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，

∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，

此时AM AP，由勾股定理知BC 5，

∵S_△ABC AB•AC BC•AP，

∴AP ，

∴AM AP 1.2，

故选：D．

3．（龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（　　）

A． B． C．4 D．3

【解题思路】连接BP，根据PE⊥AB，PF⊥BC得到四边形PEBF为矩形，得EF＝BP，BP最短时即BP⊥AC，即可求解．

【解答过程】解：连接BP，如图，

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，

∵PE⊥AB，PF⊥BC，

∴四边形PEBF为矩形，

∴EF＝BP，

当BP⊥AC，BP最短，

在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，

根据勾股定理可解得BP＝3 ，

∴EF得最小值为3 ．

故选：B．

4．（重庆期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值是（　　）

A． B．2 C． D．4

【解题思路】根据正方形的性质得到∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO，证得△AOE≌△DOF，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．

【解答过程】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；

∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，

∴∠AOE＝∠DOF；

在△AOE与△DOF中，

，

∴△AOE≌△DOF（ASA），

∴OE＝OF（设为λ）；

∴△EOF是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

EF²＝OE²+OF²＝2λ²；

∴EF OE λ，

∵正方形ABCD的边长是4，

∴OA＝2 ，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），

由题意可得：2≤λ≤2 ，

∴2 EF≤4．

所以线段EF的最小值为2 ．

故选：C．

5．（马鞍山期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°， ，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（　　）

A． B． C． D．1

【解题思路】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH AF，求出AF的最小值即可解决问题．

【解答过程】解：连接AF，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝2 ，

∵G，H分别为AE，EF的中点，

∴GH是△AEF的中位线，

∴GH AF，

当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，

则∠AFB＝90°，

∵∠B＝45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AF AB 2 ，

∴GH ，

即GH的最小值为 ，

故选：B．

6．（潜山市期末）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（　　）

A．2 B． C．2 D．4

【解题思路】连接DG，可证△AGD≌△AEB，得到G点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解．

【解答过程】解：连接DG，如图，

，

∵四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，

∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AG＝AE，

∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠AE，

∴∠GAD＝∠BAE，

∵AB＝AD，AG＝AE，

∴△AEB≌△AGD（SAS），

∴∠PDG＝∠ABE＝45°，

∴G点轨迹为线段DH，

当PG⊥DH时，PG最短，

在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，

设PG＝x，则DG＝x，由勾股定理得，

x²+x²＝4²，

解得x ，

故选：C．

7．（蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5 ，则AD的值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【解题思路】F点在运动时，P点轨迹为平行EC的线段，BP最短为点到直线的最短距离．

【解答过程】解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，

，

∵AB：AD＝2：1，

∴AD＝AE＝EB＝BC，

∴∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝∠ECB＝45°，

∴∠DEC＝90°，

BP的最距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合．

∵H为CD中点，

∴CH＝CB，∠GHB＝90°，

在Rt△HCB中，BH＝5 ，

∴CH＝CB＝5，

故选：A．

8．（南安市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．20

【解题思路】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．

【解答过程】解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，

∵AP＝CQ，

∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，

∴DP＝QB，DP∥BQ，

∴四边形DPBQ是平行四边形，

∴PB∥DQ，PB＝DQ，

则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，

在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，

则BE＝2AB＝8，

∵PA⊥BE，

∴PA是BE的垂直平分线，

∴PB＝PE，

∴PC+PB＝PC+PE，

连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，

∴CE 10，

∴PC+PB的最小值为10，

即PC+QD的最小值为10，

故选：B．

9．（连云港期末）如图，线段AB的长为8，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　）

A．5 B．4 C． D．

【解题思路】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．

【解答过程】解：连接AO，

∵四边形CDGH是矩形，

∴CG＝DH，OC CG，OD DH，

∴OC＝OD，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC＝AD，∠CAD＝60°，

在△ACO和△ADO中，

，

∴△ACO≌△ADO（SSS），

∴∠OAB＝∠CAO＝30°，

∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，

∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，

∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，

∴OB AB 8＝4，

即OB的最小值为4．

故选：B．

10．（惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　）

A．5 B．9 C．9 D．

【解题思路】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．

【解答过程】解：如图，

将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，

由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，

∴△ADM是等腰直角三角形，

∴AD AM，

∴当AM的值最大时，AD的值最大，

∵AM≤AC+CM，

∴AM≤9，

∴AM的最大值为9，

∴AD的最大值为 ．

故选：D．

11．（邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）

A．2 B．4 C． D．2

【解题思路】如图，作辅助线；证明△AOE≌△DOF，进而得到OE＝OF，此为解决该题的关键性结论；求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．

【解答过程】解：如图，连接EF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；

∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，

∴∠AOE＝∠DOF；

在△AOE与△DOF中，

，

∴△AOE≌△DOF（ASA），

∴OE＝OF（设为λ）；

∴△EOF是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

EF²＝OE²+OF²＝2λ²；

∴EF OE λ，

∵正方形ABCD的边长是4，

∴OA＝2 ，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），

由题意可得：2≤λ≤2 ，

∴2 EF≤4．

所以线段EF的最小值为2 ．

故选：D．

12．（宁蒗县模拟）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解题思路】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．

【解答过程】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，

∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，

∴BD⊥AC，

∵AM⊥AC，

∴AM∥BD，

∴AM∥EF，

∵AM＝EF，AM∥EF，

∴四边形AEFM是平行四边形，

∴AE＝FM，

∴AE+CF＝FM+FC＝CM，

根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°

∴BC＝AB，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝6，

在Rt△CAM中，CM

∴AE+CF的最小值为2 ．

故选：A．

13．（宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【解题思路】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．

【解答过程】解：连接AE，如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．

又BE＝CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS）．

∴AE＝BF．

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．

作点A关于BC的对称点H点，如图2，

连接BH，则A、B、H三点共线，

连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．

根据对称性可知AE＝HE，

所以AE+DE＝DH．

在Rt△ADH中，DH ，

∴BF+DE最小值为 ．

故选：D．

14．（重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　）

A．4 3 B．2 C．2 6 D．4

【解题思路】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．

【解答过程】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．

由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，

∴PC＝PF，

∵PB＝EF，

∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，

∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴tan∠ACB ，

∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4 ，

∵∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝90°，

∴AE 2 ，

故选：B．

15．（江阴市模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（　　）

A． 3 B．2 2 C．2 D．2 3

【解题思路】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EPF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI BE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值．

【解答过程】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，

∴四边形ADME是矩形，

∴EM＝AD＝AB，

∵BF＝EG，

∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），

∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，

∵AB∥CD

∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB

∵∠ABF+∠AFB＝90°

∴∠ABF+∠BEG＝90°

∴∠EIF＝90°，

∴BF⊥EG；

∵△EIB是直角三角形，

∴OI BE，

∵AB＝6，AE＝2，

∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，

∵OD﹣OI≤DI，

∴当O、D、I共线时，DI有最小值，

∵IO BE＝2，

∴OD 2 ，

∴ID＝2 2，即DI的最小值为2 2，

故选：B．

16．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为　4.8　．

【解题思路】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．

【解答过程】解：设AC与BD的交点为O，

∵点P是BC边上的一动点，

∴AP⊥BC时，AP有最小值，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO AC＝3，BO＝DO BD＝4，

∴BC 5，

∵S_菱形ABCD AC×BD＝BC×AP，

∴AP 4.8，

故答案为：4.8．

17．（椒江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，E为BD上一动点，P为CE中点，连接PA，则PA的最小值是　2 　．

【解题思路】P点运动轨迹为△CDB的中位线，即求A点到这条中位线的最短距离．

【解答过程】解：当点E运动时，P点轨迹为△CBD中位线GH，如图，

，

∵点A到直线GH的最短距离为AF，但是E点在运动中，P点轨迹为GH，

∴点A到线段GH的最短距离为AG，

∵G为CD中点，

∴DG＝4，

在Rt△ADG中，AD＝6，DG＝4，

∴AG 2 ．

故答案为2 ．

18．（宁德期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是CD上一个动点，点F，G分别是AB，AE的中点，则线段FG的最小值是　 　．

【解题思路】连接BE，可得FG是△ABE的中位线，要使线段FG最小，需BE最小，当点E与点C重合时，BE最小为3，进而可得线段FG的最小值．

【解答过程】解：如图，连接BE，

∵点F，G分别是AB，AE的中点，

∴FG是△ABE的中位线，

∴FG BE，

要使线段FG最小，

需BE最小，

当点E与点C重合时，BE最小为3，

则线段FG的最小值是 ．

故答案为： ．

19．（东海县期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10，对角线交于点O，点E在AD上，且DE AD，点F是OB的中点，点G为对角线AC上的一动点，则GE﹣GF的最大值为　 　．

【解题思路】由菱形的性质可得AO＝CO＝12，BO＝DO＝5，AC⊥BD，在Rt△AOD中，由勾股定理可求AD的长，作点F关于AC的对称点F'，连接GF'，取AD中点H，连接OH，可得GF＝GF'，OF＝OF'，则GE﹣GF＝GE﹣GF'≤EF'，即当点G在EF'的延长线时，GE﹣GF有最大值为EF'的长，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可求解．

【解答过程】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO＝12，BO＝DO＝5，AC⊥BD，

∴AD 13，

如图，作点F关于AC的对称点F'，连接GF'，取AD中点H，连接OH，

∵AC⊥BD，点H是AD中点，

∴OH＝HD AD ，

∵点F与点F'关于AC对称，

∴GF＝GF'，OF＝OF'，

∴GE﹣GF＝GE﹣GF'≤EF'，

∴当点G在EF'的延长线时，GE﹣GF有最大值为EF'的长，

∵DE AD，HD AD，

∴DE＝EH，

∵点F是OB的中点，

∴OF OB＝OF' DO，

∴EF' OH ，

故答案为： ．

20．（淄博）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是　6 cm　．

【解题思路】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．

【解答过程】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，

∵∠α＝30°，DE＝3cm，

∴CD＝2DE＝6cm，

同理：BC＝AD＝6cm，

由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，

∴△P′BP是等边三角形，

∴BP＝PP'，

∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，

根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．

∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，

∴∠A′BC＝90°，

∴A′C 6 （cm），

因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6 cm，

故答案为6 cm．

21．（龙岩期末）如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是　4 4　．

【解题思路】过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，然后根据含30度角的直角三角形列式计算即可求出EP的最小值．

【解答过程】解：如图，过点E作EP⊥AC，交FC于点G，

当EP⊥AC时，EP取得最小值，

∵正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，

∴∠ACB＝60°，∠FCD＝90°，

∴∠ACF＝30°，

∴∠CGP＝∠EGF＝60°，

∵∠F＝90°，

∴∠FEG＝30°，

设PG＝x，则CG＝2x，

∴FG＝CF﹣CG＝8﹣2x，

∴EG＝2FG＝2（8﹣2x），

∵FG EF，

∴8﹣2x＝8 ，

∴x＝4 ，

∴EP＝EG+PG＝2（8﹣2x）+x＝16﹣3x＝4 4．

故答案为：4 4．

22．（茅箭区校级期末）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为　6　．

【解题思路】连接AM、CM、EM，根据四边形CDEF是矩形，和△ACD是等边三角形，证明△ADM≌△ACM，从而求出∠CAM＝30°，当BM⊥AM时，MB有最小值，然后用含有30°角的直角三角形的性质求出MB．

【解答过程】解：连接AM、CM、EM，如图：

∵矩形CDEF，M是DF的中点，

∴C、M、E共线，

∴DM DF CE＝CM，

∵△ACD是等边三角形，

∴∠DAC＝60°，AD＝AC，

在△ADM和△ACM中，

，

∴△ADM≌△ACM（SSS），

∴∠DAM＝∠CAM，

∵∠DAC＝60°，

∴∠CAM＝30°，

∴当BM⊥AM时，MB有最小值，

此时，BM AB 12＝6，

故答案为：6．

23．（北仑区二模）如图，△ABC的边AB＝3，AB边上的中线CM＝1，分别以AC，BC为边向外作正方形ACGH与正方形BCDE，连接GD，取GD中点N．则点N到线段AB的距离最大值为　 　．

【解题思路】当GD∥AB时，N点到AB的距离最大，则AC＝BC，∴N、C、M三点共线且MN⊥AB，通过证明△AMC≌△GOC，可以求出AM，然后再证明出OCNG是矩形，从而求出MN．

【解答过程】解：∵点N到AB的距离介于G、D到AB的距离之间，

∴当GD∥AB时，N点到AB的距离最大，

则AC＝BC，

∴N、C、M三点共线且MN⊥AB，

过点C作CP∥AB，作GO⊥CP，O为垂足，

∵PC∥AB，

∴∠PCA＝∠CAM，∠PCA+∠OCG＝90°，∠OGC+∠OCG＝90°，

∴∠OGC＝∠PCA＝∠CAM，

在△AMC和△GOC中，

，

∴△AMC≌△GOC（AAS），

∴GO＝AM AB ，

∵GO⊥PC，MN⊥AB，PC∥AB，

∴PC⊥MN，MN⊥GD，

∴四边形GDCN是矩形，

∴GO＝NC，

MN＝CM+CN，

∵CM＝1，GO＝NC ，

∴MN＝1 ．

故答案为： ．

24．（眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP PB的最小值是　 　．

【解题思路】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE PB，则MP PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．

【解答过程】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，

∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠CBD＝30°，

∵PE⊥BC，

∴PE PB，

∴MP PB＝PM+PE，

∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，

∵AM＝3，

∴MC＝7，

∵sin∠ACB ，

∴ME ，

∴MP PB的最小值为 ，

故答案为 ．

25．（海安市二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E在边BC上运动，M、N在对角线BD上运动，且MN ，连接CM、EN，则CM+EN的最小值为　 　．

【解题思路】先作C点关于BD的对称点F，然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q，再过Q作QE⊥BC于E，交BD于N，连接BF，过F作FP⊥BC于P，以B为原点建立平面直角坐标系，求出F的坐标，再求出Q的坐标，即可得出答案．

【解答过程】解：先作C点关于BD的对称点F，然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q，再过Q作QE⊥BC于E，交BD于N，连接BF，过F作FP⊥BC于P，以B为原点建立平面直角坐标系，如图所示，

∵AB＝2＝CD，BC＝4，

∴C（4，0），BF＝BC＝4，

由勾股定理得：BD 2 ，

由三角形面积公式得： CR×BD BC×CD，

即CR ，

即CF＝2CR ，

由勾股定理得：BF²﹣BP²＝CF²﹣CP²，

∴4²﹣BP²＝（ ）²﹣（4﹣BP）²，

解得：BP ，

∴FP ，

∴F的坐标是（ ， ），

∴Q的坐标是（ ， ），

即CM+EN的最小值为 ，

故答案为： ．

26．（浙江自主招生）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为　2　，最小值为　 　．

【解题思路】连接AC、DP，根据三角形的面积公式得出S_△DPC＝S_△APC AP×CC′，根据S_{正方形ABCD}＝S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC，推出BB′+DD′+CC′ ，根据已知得出1≤AP ，

代入求出即可．

【解答过程】解：

连接AC、DP，

S_{正方形ABCD}＝1×1＝1，

由勾股定理得：AC ，

∵AB＝1，

∴1≤AP ，

∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，

∴S_△DPC＝S_△APC AP×CC′，

1＝S_{正方形ABCD}＝S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC AP（BB′+DD′+CC′），

BB′+DD′+CC′ ，

∵1≤AP ，

BB′+CC′+DD′≤2，

故答案为：2， ．

27．（乾县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上且PE+PA＝6，则AB长的最大值为　 　．

【解题思路】连接PC，CE，AC；由已知条件可以得出PE+PC＝PE+PA＝6≥CE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出CE AB，进而求出AB长的最大值．

【解答过程】解：连接PC，CE，AC，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AP＝PC，

∴PE+PC＝PE+PA＝6≥CE，

∵∠DAB＝120°，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点E为线段AB的中点，

∴AE＝BE，

∴∠AEC＝90°，∠BCE＝30°，

∴CE BC AB≤6，

所以AB ，

即AB长的最大值是 ，

故答案为： ．

28．（寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于　7.8　．

【解题思路】证四边形ABCD是菱形，得CD＝AD＝5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN＝4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．

【解答过程】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，

∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD于点O，

∴平行四边形ABCD是菱形，AD 5，

∴CD＝AD＝5，

连接PD，如图所示：

∵S_△ADP+S_△CDP＝S_△ADC，

∴ AD•PM DC•PN AC•OD，

即 5×PM 5×PN 8×3，

∴5×（PM+PN）＝8×3，

∴PM+PN＝4.8，

∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，

由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，

∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，

故答案为：7.8．

29．（河西区二模）已知正方形ABCD的边长为2，EF分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为　2 　．

【解题思路】连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，易得AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，利用勾股定理求解即可．

【解答过程】解：连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，

∵BE＝CF，

∴DF＝CE，

在△DCE与△ADF中，

，

∴△DCE≌△ADF（SAS），

∴DE＝AF，

∴AE+AF＝AE+DE，

作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，

则AE＝A′E，

即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，

当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，

AA′＝2AB＝4，

此时，在Rt△ADA′中，DA′ 2 ，

故AE+AF的最小值为2 ．

故答案为：2 ．

30．（鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP²+CP²＝BP²+DP²．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．

应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为　4 2　．

【解题思路】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，由矩形的性质得出AB＝DE，由题意得CD²+CE²＝CA²+CB²，求出CE＝4 ，当C、D、E三点共线时，DE最小，得出AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4 2．

【解答过程】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：

则AB＝DE，

由题意得：CD²+CE²＝CA²+CB²，

即2²+CE²＝4²+6²，

解得：CE＝4 ，

当C、D、E三点共线时，DE最小，

∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4 2；

故答案为：4 2．