专题5.4四边形的判定与性质综合大题专项训练（30道）

1．（九江期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．

（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；

（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．

【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC＝∠C，和等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，则∠B＝∠GFC，得到AE∥FG．

（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°，结合∠FGC＝2∠EFB和∠GFC＝∠C，得到∠BFE+GFC＝90°．则∠EFG＝90°，于是得到结论．

【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∠B＝∠C，

∵GF＝GC，

∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，

∴AB∥GF，

即AE∥GF，

∵AE＝GF，

∴四边形AEFG是平行四边形．

（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，

理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180^o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，

∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，

∴∠BFE+∠GFC＝90°．

∴∠EFG＝90°．

∵四边形AEFG是平行四边形，

∴四边形AEFG是矩形．

2．（崂山区期末）如图，在▱ABCD中，AC⊥CD．

（1）延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；

（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AFCG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

【分析】（1）先证四边形ABEC是平行四边形，再证∠ACE＝90°，即可得出结论；

（2）先证四边形AFCG是平行四边形，再由矩形的性质得∠BAC＝90°，然后由直角三角形斜边上的中线性质得AF BC＝CF，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵CE＝CD，

∴AB＝CE，

∴四边形ABEC是平行四边形，

又∵AC⊥CD，

∴∠ACE＝90°，

∴平行四边形ABEC是矩形；

（2）解：四边形AFCG是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵点F，G分别是BC，AD的中点，

∴CF BC，AG AD，

∴CF＝AG，

∴四边形AFCG是平行四边形，

由（1）可知，四边形ABEC是矩形，

∴∠BAC＝90°，

∵F是BC的中点，

∴AF BC＝CF，

∴平行四边形AFCG是菱形．

3．（渝中区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F．

（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；

（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BCF，

∵DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F，

∴∠DEA＝∠BFC＝90°，

在△DEA与△BFC中，

，

∴△DEA≌△BFC（AAS），

∴DE＝BF，

∵∠DEA＝∠BFC＝90°，

∴∠DEO＝∠BFO＝90°，

∴DE∥BF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC＝20，AO＝OC＝10.5，

∵DE⊥AC，

在Rt△ADE中，AD²﹣AE²＝DE²，

在Rt△DEC中，DC²﹣EC²＝DE²，

即13²﹣AE²＝20²﹣（21﹣AE）²，

解得：AE＝5，

∴OE＝OA﹣AE＝10.5﹣5＝5.5，DE＝12，

∴△DOE的面积 ．

4．（沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．

（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；

（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，结合角平分线的定义可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，进而可求解；

（2）在FC上截取FH＝FG，连接BH，利用SAS证明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，结合三角形的内角和定理可得∠BFD＝∠BHC，结合等腰直角三角形的性质利用AAS证明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，进而可证明结论．

【解答】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABF＝∠BFC，

∵FB平分∠EFC，

∴∠EFB＝∠BFC，

∴∠ABF＝∠EFB，

∵AE＝2，EF＝5，

∴BE＝EF＝5，

∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；

（2）证明：在FC上截取FH＝FG，连接BH，

在△BGF和△BHF中，

，

∴△BGF≌△BHF（SAS），

∴∠BGF＝∠BHF，

∵∠GBF＝∠EFD，

∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，

∴∠BFH＝∠BGF，

∴∠BFH＝∠BHF，

∴∠BFD＝∠BHC，

∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，

∴∠BDF＝45°＝∠BCH，

∴BD＝BC，

在△BDF和△BCH中，

，

∴△BDF≌△BCH（AAS）

∴DF＝CH，

∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，

即FG+2FD＝AB．

5．（莱芜区期末）点E是▱ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．

（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；

（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．

【分析】（1）利用三角形的中位线可得AB∥MF，AB＝MF，结合平行四边形的性质可得MF∥CD，MF＝CD，进而可证明结论；

（2）连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，证明四边形AFBE是平行四边形，再利用平行四边形的性质可求解．

【解答】（1）证明：∵AE＝AM，EB＝BN，

∴AB为△EMN的中位线，

∴AB∥MN，AB MN，

∵MF MN，

∴AB∥MF，AB＝MF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴MF∥CD，MF＝CD，

∴四边形MFCD为平行四边形；

（2）解：连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，

∴AF∥EB，AF＝EB，

∴四边形AFBE是平行四边形，

∴OF＝OE＝2，

∴EF＝4．

6．（市南区期末）已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

（1）求证：AF＝CG；

（2）连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

【分析】（1）要证明AF＝CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；

（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE²+DE²＝AD²时，∠BED＝90°，四边形BEDH是正方形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，

∴∠AEF＝∠CHG，

∵BE＝2AB，DH＝2CD，

∴BE＝DH，

∴BE﹣AB＝DH﹣DC，

∴AE＝CH，

∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°，

∴∠EAF＝∠GCH，

∴△EAF≌△HCG（ASA），

∴AF＝CG；

（2）当AD AB时，四边形BEDH是正方形，

理由：∵BE∥DH，BE＝DH，

∴四边形EBHD是平行四边形，

∵EH⊥BD，

∴四边形EBHD是菱形，

∴ED＝EB＝2AB，

当AE²+DE²＝AD²时，

则∠BED＝90°，

∴四边形BEDH是正方形，

即AB²+（2AB）²＝AD²，

∴AD AB，

∴当AD AB，四边形BEDH是正方形．

7．（砚山县期末）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，∠ECA＝60°．

（1）求证：四边形CEHF是菱形；

（2）已知四边形CEHF的周长为16cm，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）证CE＝CF＝EH＝FH，即可得出结论；

（2）连接BD，求出AC、BD的长，即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠AEC＝∠AFC＝90°，

∵∠ECA＝60°，

∴∠CAE＝30°，

∴CE AC，

∵点H为对角线AC的中点，

∴EH＝FH AC，

∴CE＝EH＝FH，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAC＝∠DAC，

又∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE＝CF，

∴CE＝CF＝EH＝FH，

∴四边形CEHF是菱形；

（2）解：连接BD，

∵四边形CEHF是菱形，周长为16cm，

∴CE＝4cm，

∴AC＝2CE＝8（cm），

∵四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，

∴AH AC＝4（cm），BH＝DH，AC⊥BD，

∴∠AHB＝90°，

∵∠CAE＝30°，BH AH （cm），

∴BD＝2BH （cm），

∴菱形ABCD的面积 AC×BD 8 （cm²）．

8．（寿光市期末）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．

（I）求证：DF∥AC；

（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．

【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF即可；

（2）先证△DFG≌△CEG（AAS），得FG＝EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论．

【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝DO，

∵BE＝EF，

∴OE是△BDF的中位线，

∴OE∥DF，

即DF∥AC；

（2）证明：如图所示：

由（1）得：DF∥AC，

∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，

∵G是CD的中点，

∴DG＝CG，

在△DFG和△CEG中，

，

∴△DFG≌△CEG（AAS），

∴FG＝EG，

∴四边形CFDE是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，

∵2AB＝BF，

∴2CD＝BF，

又∵EF＝BE，

∴CD＝EF，

∴平行四边形CFDE是矩形．

9．（成都期末）如图，在四边形ABCD中AD∥CB，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．

（1）求证；四边形ANCM为平行四边形；

（2）当MN平分∠AMC时，

①求证；四边形ANCM为菱形；

②当四边形ABCD是矩形时，若AD＝8，AC＝4 ，求DM的长．

【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AM＝CN，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）①根据角平分线的定义得到∠AMN＝∠CMN，根据平行线的性质得到∠AMN＝∠CNM，得到CM＝CN，根据菱形的判定定理得到平行四边形ANCM为菱形；

②根据菱形的性质得到∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，根据勾股定理得到即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，

∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，

在△AOM和△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS），

∴AM＝CN，

∵AM∥CN，

∴四边形ANCM为平行四边形；

（2）解：①∵MN平分∠AMC，

∴∠AMN＝∠CMN，

∵AD∥BC，

∴∠AMN＝∠CNM，

∴∠CMN＝∠CNM，

∴CM＝CN，

∴平行四边形ANCM为菱形；

②∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，

∴AB 4，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，

在Rt△ABN中，根据勾股定理，得

AN²＝AB²+BN²，

∴（8﹣DM）²＝4²+DM²，

解得DM＝3．

故DM的长为3．

10．（南岗区期末）已知：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．

（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；

（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．

【分析】（1）证△DOF≌△BOE（ASA），得到DF∥BE，DF＝BE，则四边形DEBF为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；

（2）证四边形ADFE是平行四边形，得AE＝DF，再证△ADE是等边三角形，得∠AED＝60°，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得∠EDB＝∠EBD ∠AED＝30°，同理∠FDB＝∠FBD＝30°．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠OBE＝∠ODF，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形DEBF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AD∥EF，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∴AE＝DF，

由（1）得：四边形DEBF是菱形，

∴DE＝DF＝BE，

∴AD＝DE，

∵AD＝AE，

∴AD＝AE＝DE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠AED＝60°，

∵DE＝BE，

∴∠EDB＝∠EBD ∠AED＝30°，

同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，

即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．

11．（和平县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．

（1）求证：CF＝AE；

（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，可证∠ADE＝∠CBF，然后通过SAS证△ADE≌△CBF即可证得结论；

（2）由BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠CBD，又因为∠ADB＝∠CBD，则∠ABD＝∠ADB，有AB＝AD，可证出AC⊥BD，然后证出四边形AFCE为平行四边形即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴CF＝AE；

（2）解：四边形AFCE是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵DE＝BF，

∴OD+DE＝OB+BF，

即OE＝OF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形．

12．（太平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．

（1）求证：CE＝AD；

（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）

【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；

（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；

（3）当∠A＝45°，四边形BECD是正方形．

【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE＝AD；

（2）解：四边形BECD是菱形，

理由是：∵D为AB中点，

∴AD＝BD，

∵CE＝AD，

∴BD＝CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴CD＝BD，

∴四边形BECD是菱形；

（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，

理由：∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°，

由（2）可知，四边形BECD是菱形，

∴∠ABC＝∠CBE＝45°，

∴∠DBE＝90°，

∴四边形BECD是正方形．

13．（法库县期末）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．

（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；

（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．

【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC AC，OB＝OD BD，再证出AC＝BD，即可得出结论；

（2）由勾股定理可求AC＝BD＝13，由面积法可求解．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC AC，OB＝OD BD，

∵OA＝OB，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）如图，连接OP，

∵AD＝12，AB＝5，

∴BD 13，

∴BO＝OD＝AO＝CO ，

∵S_△AOD S_矩形ABCD 12×5＝15，

∴S_△AOP+S_△POD＝15，

∴ FP EP＝15，

∴PE+PF ．

14．（兰州期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．

①△GAB≌△FAD吗？说明理由．

②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．

③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．

【分析】①由正方形的性质可知AB＝AD，∠ABG＝∠D，然后依据ASA证明两个三角形全等即可；

②依据SAS证明△AGE≌△AFE，从而可得到EF＝GE，然后再由GB＝DF可得到EF＝BE+DF；

③设EF＝x，则EC＝16﹣x，然后在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可．

【解答】解：①全等．

证明：∵四边形ABCD为正方形

∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，

在△ABG和△ADF中，∠GAB＝∠FAD，AB＝AD，∠ABG＝∠D

∴△GAB≌△FAD．

②解：∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°

∴∠DAF+∠BAE＝45°

∵△GAB≌△FAD

∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF

∴∠GAB+∠BAE＝45°

∴∠GAE＝45°

∴∠GAE＝∠EAF

在△GAE和△FAE中

∵AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE

∴△GAE≌△FAE（SAS）

∴EF＝GE．

∵△GAB≌△FAD

∴GB＝DF

∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝8+4＝12．

③设EF＝x，则BE＝GE﹣BG＝x﹣4．

∵EC＝BC﹣BE，

∴EC＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x．

在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：EF²＝FC²+EC²，即（16﹣x）²+8²＝x²，

解得：x＝10．

∴EF＝10．

15．（安丘市期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．

（1）求证：△AMB≌△CND；

（2）若BD＝2AB，且AM＝3，DN＝4，求四边形DEMN的面积．

【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；

（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．

【解答】（本题满分12分）

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，

∴∠BAC＝∠DCA，

又点M，N分别为OA、OC的中点，

∴ ，

在△AMB和△CND中，

，

∴△AMB≌△CND（SAS）．

（2）解：BD＝2BO，又已知BD＝2AB，

∴BO＝AB，

∴△ABO为等腰三角形；

又M为AO的中点，

∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，

∴∠BMO＝∠EMO＝90°，

同理可证DN⊥CO，∠DNO＝90°，

∵∠EMO+∠DNO＝90°+90°＝180°，

∴EM∥DN，

∵△AMB≌△CND（SAS）

∴BM＝DN，

∵EM＝BM，

∴EM∥DN，

∵△AMB≌△CND（SAS）

∴BM＝DN，

∵EM＝BM，

∴EM＝DN，

∴四边形EMND为平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，又点M，N分别为OA、OC的中点，

∴AM＝MO﹣ON＝NC＝3，

∴MN＝MO+ON＝2AM＝6，

∴矩形DEMN的面积为：MN×DN＝6×4＝24．

16．（市南区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，G、H分别为DE、BF的中点．

（1）试判断四边形EHFG的形状，并证明；

（2）若∠ABC＝90°，试判断四边形EHFG的形状并加以证明．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由中点的性质BE＝DF，可证四边形BEDF是平行四边形，可得DE∥BF，DE＝BF，由中点的性质可得EG＝HF，可证四边形EHFG是平行四边形；

（2）由直角三角形的性质可证EH＝HF，可得结论．

【解答】解：（1）四边形EHFG是平行四边形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵点E、F分别为AB、CD的中点，

∴BE AB，DF CD，

∴BE＝DF，

又∵BE∥DF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴DE∥BF，DE＝BF，

∵G、H分别为DE、BF的中点，

∴EG DE BF＝HF，

∴四边形EHFG是平行四边形；

（2）四边形EHFG是菱形，理由如下：

如图，连接EF，

∵AE＝BE＝DF＝CF，AB∥DF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∵∠ABC＝90°，

∴∠BEF＝90°，

∵BH＝HF，

∴EH＝HF，

∴平行四边形EHFG是菱形．

17．（沈北新区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE AC，连接AE、CE．

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）若菱形ABCD的边长为8，∠BCD＝60°，则AE＝　4 　．

【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；

（2）先证△BCD是等边三角形，得BD＝BC＝8，再由勾股定理得OC＝4 ，则AC＝2OC＝8 ，然后由矩形的性质得CE＝OD＝4，∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝OC AC，

∴∠DOC＝90°，

∵DE∥AC，DE AC，

∴DE＝OC，DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

又∵∠DOC＝90°，

∴平行四边形OCED是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC AC，

∵∠BCD＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BD＝BC＝8，

∴OD＝OB＝4，

∴OC 4 ，

∴AC＝2OC＝8 ，

由（1）得：四边形OCED为矩形，

∴CE＝OD＝4，∠OCE＝90°，

在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE 4 ，

故答案为：4 ．

18．（冠县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．

（1）求证：EO＝OF；

（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，则EO＝CO，FO＝CO，即可得出结论；

（2）先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵EF∥BC，

∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，

∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，

∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴EO＝FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：

∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，

又∵EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵FO＝CO，

∴AO＝CO＝EO＝FO，

∴AO+CO＝EO+FO，

即AC＝EF，

∴平行四边形AECF是矩形，

即当点O沿AC移动时，四边形AECF能成为一个矩形，此时，点O在AC的中点．

19．（长兴县模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．

（1）求证：∠OBE ∠ADO；

（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，

①求证：△EFG是等腰三角形；

②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠ADB＝∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠OBE ∠OBC，进而可证明结论；

（2）①首先证明EG AB，再根据三角形中位线的性质可得EF CD，进而得到EG＝EF，可证明结论；

②由①得EF∥AB，由EF⊥EG，G是AB的中点，可证得AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，利用勾股定理可求解x值，进而可求解AC，BE，再利用平行四边形的面积公式可求解．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO BD，

∴∠ADB＝∠DBC，

∵BD＝2AD，

∴AD＝DO，

∴BC＝BO，

∵E是CO中点，

∴∠OBE ∠OBC，

∴∠OBE ∠ADO；

（2）①证明：∵BC＝BO，

∴△BOC是等腰三角形，

∵E是CO中点，

∴EB⊥CO，

∴∠BEA＝90°，

∵G为AB中点，

∴EG AB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，

∵E、F分别是OC、OD的中点，

∴EF CD

∴EG＝EF，

∴△EFG是等腰三角形；

②解：由①得EF∥AB，

∵EF⊥EG，

∴EG⊥AB，

∵G是AB的中点，

∴AE＝BE，

设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，

∴BE＝AE＝3x，

在Rt△BEC中，BC＝10，

∴EC²+BE²＝BC²，

即x²+（3x）²＝10²，

解得x ，

∴AC ，BE ，

∴S_▱ABCD＝2S_△ABC ．

20．（富平县期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．

①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；

②求证：CD＝CH．

【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；

（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4 ，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；

②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．

【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，

∴AD∥BC，BO＝DO，

∴∠ADB＝∠CBD，

在△BOE与△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴DF＝BE且DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，

∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，

∴EN＝CN＝2，

∴DN 4 ，

∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，

∴∠DBC＝∠BDN＝45°，

∴DN＝BN＝4 ，

∴BE＝BN﹣EN＝4 ，

②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，

∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，

∴∠EDN＝∠ECG，

∵DE＝DC，DN⊥EC，

∴∠EDN＝∠CDN，

∴∠ECG＝∠CDN，

∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，

∴∠CDB＝∠DHC，

∴CD＝CH．

21．（临沧期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE AC，连接EC．

（1）求证：四边形BECO是矩形；

（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长．

【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC AC，推出BE＝OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC＝90°，即可得出结论；

（2）由勾股定理求出OB＝4，则BD＝2OB＝8，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF＝EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BOC＝90°，OC＝OA AC，

∵BE AC，

∴BE＝OC，

∵BE∥AC，

∴四边形BECO是平行四边形，

∵∠BOC＝90°，

∴平行四边形BECO是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝AB＝5，OC AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，

在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB 4，

∴BD＝2OB＝8，

由（1）得：四边形BECO是矩形，

∴BE＝OC＝3，∠OBE＝∠ECO＝90°，OB＝CE，OB∥CE，

∴DE ，∠ODF＝∠CEF，OD＝CE，

∵∠DOF＝∠ECF＝90°，

∴△ODF≌△CEF（ASA），

∴DF＝EF，

∵∠DBE＝90°，

∴BF DE ．

22．（淮阳区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，M，N是对角线BD上的点，且BM＝DN，DE平分∠ADB交AB于点E，BF平分∠DBC交CD于点F．

（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；

（2）当四边形EMFN是菱形时，求证：四边形BEDF是菱形．

【分析】（1）连接EF交MN于O，证△ADE≌△CBF（ASA），得DE＝BF，再证DE∥BF，则四边形BEDF是平行四边形，得OE＝OF，OB＝OD，然后证OM＝ON，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得EF⊥MN，由（1）得四边形BEDF是平行四边形，即可得出结论．

【解答】证明：（1）连接EF交MN于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，

∴∠ADE＝∠EDB＝∠CBF＝∠FBD，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴DE＝BF，

∵∠EDB＝∠FBD，

∴DE∥BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴OE＝OF，OB＝OD，

∵BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，

即OM＝ON，

∴四边形EMFN是平行四边形；

（2）∵四边形EMFN是菱形，

∴EF⊥MN，

由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，

∴平行四边形BEDF是菱形．

23．（肥东县期末）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝14，∠BAD的平分线交BC于点E交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作▱ECFG．

（1）求EC的长；

（2）求证：▱ECFG是菱形；

（3）如图2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求DM的长．

【分析】（1）证∠BAE＝∠BEA，则BE＝AB＝8，即可求解；

（2）证∠CEF＝∠CFE，则CE＝CF，即可得出结论；

（3）过M作MH⊥DF于H，证四边形ECFG为正方形，则∠CEF＝45°，∠ECF＝90°，得BE＝AB＝8，则CE＝CF＝6，再证MH是△CEF的中位线，得CH＝FH CF＝3，MH CE＝3，则DH＝CD+CH＝11，然后由勾股定理求解即可．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝14，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BEA，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴BE＝AB＝8，

∴EC＝BC﹣BE＝14﹣8＝6；

（2）证明：∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF＝∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

又∵四边形ECFG是平行四边形，

∴▱ECFG是菱形；

（3）解：过M作MH⊥DF于H，如图2所示：

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝∠ECF＝90°，

由（2）可知：四边形ECFG为菱形，

∴四边形ECFG为正方形，

∴∠CEF＝45°，∠ECF＝90°，

∴∠AEB＝∠CEF＝45°，CE⊥CF，

∴BE＝AB＝8，

∴CE＝CF＝14﹣8＝6，

∵M是EF的中点，

∴EM＝FM，

∵MH⊥CF，

∴MH∥CE，

∴MH是△CEF的中位线，

∴CH＝FH CF＝3，MH CE＝3，

∴DH＝CD+CH＝8+3＝11，

∴DM ．

24．（大连期末）如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点E在BC的延长线上，且CE＜BC，连接BG并延长交DE于H．

（1）写出BH与DE的位置关系，并证明；

（2）求证：∠BHC＝45°．

【分析】（1）根据正方形的性质利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的对应边相等，得到∠CBG＝∠CDE，再根据角之间的关系可得到∠EHB＝90°，即BH⊥DE．

（2）过点C作CM⊥BH于M，过C作CN⊥DE于N，通过正方形的性质利用AAS证明△BCM≌△DCN，得到CM＝CN，进而得到CH平分∠BHE，进而可证∠BHC＝45°．

【解答】解：（1）BH⊥DE，理由如下：

∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，

∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，

∴∠CDE+∠DEC＝90°，

在△BCG和△DCE中，

，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴∠CBG＝∠CDE，

∴∠CBG+∠DEC＝90°，

∴∠EHB＝90°，

∴BH⊥DE．

（2）过点C作CM⊥BH于M，过C作CN⊥DE于N，

∴∠CMB＝∠CND＝90°，

在△BCM和△DCN中，

，

∴△BCM≌△DCN（AAS），

∴CM＝CN，

∵CM⊥BH，CN⊥DE

∴CH平分∠BHE，

∴∠BHC＝45°．

25．（法库县期末）如图，平行四边形ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，点F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．

（1）若BG＝1，BC ，求EF的长度；

（2）求证：△BCG≌△EAG；

（3）直接写出三条线段CD，CE，BE之间的数量关系．

【分析】（1）根据勾股定理得出CG，进而利用平行四边形的性质解答即可；

（2）延长AE交BC于H，根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠AHB＝∠HAD，推出∠GAE＝∠GCB，则可证明△BCG≌△EAG；

（3）根据全等三角形的性质得到AG＝CG，于是得到结论．

【解答】解：（1）∵CG⊥AB，

∴∠AGC＝∠BGC＝90°，

∵BG＝1，BC ，

∴ ，

∵∠ABF＝45°，

∴BG＝EG＝1，

∴EC＝1，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠GCD＝∠BGC＝90°，∠EFC＝∠GBE＝45°，

∴CF＝CE＝1，

∴ ；

（2）如图，延长AE交BC于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，AB＝CD，

∵AE⊥AD，

∴∠AHB＝∠HAD＝90°，

∴∠BAH+∠ABH＝∠BCG+∠CBG＝90°，

∴∠GAE＝∠GCB，

在△BCG与△EAG中，

，

∴△BCG≌△EAG（AAS），

（3）CD﹣CE BE，

∵△BCG≌△EAG，

∴BG＝GE，CG＝AG，

∵∠BGC＝90°，

∴BE BG GE，

（2）CE+BE CD，

∵△BCG≌△EAG（AAS），

∴AG＝CG，

∴AB＝BG+AG＝CE+EG+BG，

∵BG＝EG BE，

∴CE BE＝AB＝CD．

26．（迁安市期末）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）若四边形GEHF是菱形．

①线段AB和BD有何位置关系？请说明理由．

②若AB＝2，BD＝2AB时，求四边形GEHF的面积．

【分析】（1）由三角形中位线定理可得GF∥OA，GF OA，EH∥OC，EH OC，可得EH∥GF，EH＝GF，可得结论；

（2）①先证四边形ABHG是平行四边形，可得AB∥GH，由菱形的性质可得GH⊥BD，即可得结论；

②分别求出GH，EF的长，由菱形的面积公式可求解．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，

∴E，F分别为OB，OD的中点，

∵G是AD的中点，

∴GF为△AOD的中位线，

∴GF∥OA，GF OA，

同理EH∥OC，EH OC，

∴EH∥GF，EH＝GF，

∴四边形GEHF是平行四边形；

（2）①AB⊥BD，理由如下：

如图，连接GH，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵点G、H分别是AD、BC的中点，

∴AG AD，BH BC，

∴AG＝BH，

∴四边形AGHB是平行四边形，

∴AB∥HG，

∵四边形GEHF是菱形，

∴GH⊥EF，

∴AB⊥EF，即AB⊥BD；

②∵AB＝2，BD＝2AB，

∴BD＝4，

∵点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，

∴EO＝OF＝1，

∴EF＝2，

∵四边形AGHB是平行四边形，

∴GH＝AB＝2，

∵四边形GEHF是菱形，

∴四边形GEHF的面积 EF×GH 2×2＝2．

27．（上城区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．

（1）探究线段OE与OF的数量关系并说明理由．

（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE　不可能　是菱形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由．

【分析】（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△OEC与△OFC是等腰三角形，则可证得OE＝OF＝OC；

（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA＝OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB＝90°时，可满足其为正方形；

（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．

【解答】解：（1）OE＝OF．理由如下：

∵CE是∠ACB的角平分线，

∴∠ACE＝∠BCE，

又∵MN∥BC，

∴∠NEC＝∠ECB，

∴∠NEC＝∠ACE，

∴OE＝OC，

∵CF是∠BCA的外角平分线，

∴∠OCF＝∠FCD，

又∵MN∥BC，

∴∠OFC＝∠FCD，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴OF＝OC，

∴OE＝OF；

（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：

∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，

又∵EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵FO＝CO，

∴AO＝CO＝EO＝FO，

∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，

∴四边形AECF是矩形．

已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则

∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形；

（3）不可能．理由如下：

如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF ∠ACB ∠ACD （∠ACB+∠ACD）＝90°，

若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，

但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．

故答案为不可能．

28．（酒泉期末）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．

（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）根据全等三角形的判定得到△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质得到AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，求出∠CBF+∠AEB＝90°，求出∠BHE＝90°即可；

（2）过点A作AM∥GE交BC于M，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△BCF，由全等三角形的性质得到AM＝BF，根据AM∥GE且AD∥BC推出AM＝GE即可．

【解答】解：（1）AE＝BF且AE⊥BF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，

在△ABE和△BCF中

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∵∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠CBF+∠AEB＝90°，

∴∠BHE＝180°﹣90°＝90°，

∴AE⊥BF．

（2）BF＝GE，

证明：过点A作AM∥GE交BC于M，

∵EG⊥BF，

∴AM⊥BF，

∴∠BAM+∠ABF＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴∠CBF+∠ABF＝90°，

∴∠BAM＝∠CBF，

在△ABM和△BCF中

，

∴△ABM≌△BCF（ASA），

∴AM＝BF，

∵AM∥GE且AD∥BC，

∴AM＝GE，

∴BF＝GE．

29．（鞍山期末）如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN；

（1）则DN与CM的数量关系是　CM＝DN　，位置关系是　DN⊥CM　．

（2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；

（3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长．

【分析】（1）证△BCM≌△CDN，得出CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，再证∠CDN+∠DCM＝90°即可；

（2）连CE并延长交AD于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可；

（3）过点B作BH⊥CM于点H，根据勾股定理求出BH＝PH ，CM ，PC 即可．

【解答】解：（1）如图1，设CM与DN相交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°，

∵BM＝CN，

∴△BCM≌△CDN（SAS），

∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，

∵∠BCM+∠MCD＝90°，

∴∠CDN+∠MCD＝90°，

∴∠COD＝90°，

∴DN⊥CM，

故答案为：CM＝DN，DN⊥CM；

（2）如图2，连CE并延长交AD于G，

∵BC∥AD，

∴∠ENC＝∠EDG，

∴NE＝DE，∠NEC＝∠GED，

∴△CNE≌△GDE（ASA），

∴CE＝EG，NC＝GD＝1，

又∵MF＝CF，

∴EF MG，

∵正方形的边长为3，BM＝CN＝1，

∴AM＝AG＝2，

∴GM 2 ，

∴EF ；

（3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H，

∵CM²＝BC²+BM²，

∴CM ，

∵ CM•BH BC•BM，

∴BH ，

∴CH ，

∴∠BPC＝45°，

∴PH＝BH ，

∴PC ，

∴PM＝PC﹣CM ．

30．（修水县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．

（1）若DE OD，BF OB，

①求证：四边形AFCE为平行四边形；

②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．

（2）若DE OD，BF OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE OD，BF OB呢？请直接写出结论．

【分析】（1）①由平行四边形的性质可知OA＝OC、OB＝OD，结合DE OD，BF OB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；

②根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD＝CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长；

（2）由DE OD，BF OB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立，同理可得DE OD，BF OB，四边形AFCE还是平行四边形．

【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵DE OD，BF OB，

∴DE＝BF，

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE为平行四边形；

②解：在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA．

∵CA平分∠BCD，

∴∠BCA＝∠DCA，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴AD＝CD．

∵OA＝OC，

∴OE⊥AC，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴AE＝CE．

∵∠AEC＝60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），

∴C_{四边形AECF}＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）；

（2）解：若DE OD，BF OB，四边形AFCE是平行四边形，

理由：∵DE OD，BF OB，OD＝OB，

∴DE＝BF，

∴OB+BF＝OD+DE，

即OF＝OE，

∵OA＝OC，

∴四边形AFCE为平行四边形．

若DE OD，BF OB，则四边形AFCE为平行四边形，

理由：∵DE OD，BF OB，OD＝OB．

∴DE＝BF，

∴OB+BF＝OD+DE，

即OF＝OE，

∵OA＝OC，

∴四边形AFCE为平行四边形．