专题5.2 菱形的判定与性质

【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；

（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出v的值．

【 思路点拨】

（1）分四种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；

（2）分两种情形分别求解即可解决问题．

【 解题过程】

解：（1）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，

∵AP∥BQ，

∴当AP＝BQ时，四边形APQB为平行四边形．

此时，t＝22﹣3t，t ．

当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，

∵PD∥QC，

∴当PD＝QC时，四边形PQCD为平行四边形．

此时，16﹣t＝3t，t＝4，

∵线段PQ为平行四边形的一边，

故当t 或4时，线段PQ为平行四边形的一边．

（2）当四边形PBQD能成为菱形时，设PA＝x，

在Rt△APB中，则有8²+x²＝（16﹣x）²，

解得x＝6，

∴PD＝16﹣6＝10．

∴BQ＝PD＝10，

∴QC＝BC﹣BQ＝22﹣10＝12，

∴v 米/秒；

当四边形AQCP是菱形时，可得AP＝AQ＝CQ＝y．

在Rt△ABQ中，则有8²+（22﹣y）²＝y²，

解得y ，

∴AP ．

∴QC＝AP ，

∴v 1米/秒；

综上所述，v的值为2或1时，满足条件．

1．（孝义市期中）如图，△ABC中，AC ，BC＝4，AB ，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（　　）

A． B．8 C． D．

【思路点拨】

先证明四边形CEBD是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形CEBD是菱形，进而可以解决问题．

【解题过程】

解：∵EB∥CD，EC∥AB，

∴四边形CEBD是平行四边形，

在△ABC中，

∵AC ，BC＝4，AB ，

∴（ ）²+4²＝2+16＝18＝（3 ）²，

∴AC²+BC²＝AB²，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝90°，

∵点D是AB的中点，

∴DC＝AD＝DB AB ，

∴四边形CEBD是菱形，

四边形CEBD的周长＝4DB＝4 6 ．

故选：C．

2．（温江区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（　　）

A．4 B．3 C． D．2

【思路点拨】

连接DE，因为AB＝AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．

【解题过程】

解：连接DE．

在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．

∵AB＝AD，AE平分∠BAD，

∴AE⊥BD，

∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．

∴DE＝BE＝5．

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE＝5，

∴BC＝BE+EC＝8，

∴四边形ABED是菱形，

由勾股定理得出BD ，

∴BO BD＝2 ，

故选：D．

3．（新华区月考）问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．

几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　）

甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；

乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；

丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．

A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错

C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错

【思路点拨】

由全等三角形的性质证出BF＝DF＝BE＝DE，则四边形FBED是菱形，故甲对；再由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，则OF＝OE，得四边形FBED是平行四边形，然后由AC⊥BD，得平行四边形FBED是菱形，故乙对，即可得出结论．

【解题过程】

解：甲：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，

∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，

在△BAF和△DAF中，

，

∴△BAF≌△DAF（SAS），

∴BF＝DF，

同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），

∴BE＝DE，BF＝BE，

∴BF＝DF＝BE＝DE，

∴四边形FBED是菱形；

乙：连接BD交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∵AF＝CE，

∴OA+AF＝OC+CE，

即OF＝OE，

∴四边形FBED是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴平行四边形FBED是菱形；

综上所述，甲对、乙对，丙错，

故选：A．

4．（垦利区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：

①OG AB；②S_{四边形ODGF}＞S_△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S_△ACD＝4S_△BOG．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④

【思路点拨】

①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG AB，①正确；

③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；

④证OG是△ACD的中位线，得OG∥CD∥AB，OG CD，则S_△ACD＝4S_△AOG，再由S_△AOG＝S_△BOG，则S_△ACD＝4S_△BOG，④正确；

②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S_△BDF＝S_△ABF＝2S_△BOF＝2S_△DOF＝S_{四边形ODGF}，则S_{四边形ODGF}＝S_△ABF，②错误；即可得出结论．

【解题过程】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∴∠BAG＝∠EDG，

∵CD＝DE，

∴AB＝DE，

在△ABG和△DEG中，

，

∴△ABG≌△DEG（AAS），

∴AG＝DG，

∴OG是△ABD的中位线，

∴OG AB，故①正确；

∵AB∥CE，AB＝DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵∠BCD＝∠BAD＝60°，

∴△ABD、△BCD是等边三角形，

∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，

∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；

∵OA＝OC，AG＝DG，

∴OG是△ACD的中位线，

∴OG∥CD∥AB，OG CD，

∴S_△ACD＝4S_△AOG，

∵S_△AOG＝S_△BOG，

∴S_△ACD＝4S_△BOG，故④正确；

连接FD，如图：

∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，

∴F到△ABD三边的距离相等，

∴S_△BDF＝S_△ABF＝2S_△BOF＝2S_△DOF＝S_{四边形ODGF}，

∴S_{四边形ODGF}＝S_△ABF，故②错误；

正确的是①③④，

故选：C．

5．（澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；

③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【思路点拨】

由SAS证得△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，易证FH是△ABC的中位线，得出FH BC，再由BC AB，AB＝BD，推出BD＝4FH，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，然后由AAS证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，证出四边形ADFE为平行四边形，最后由平行四边形的性质得出AD＝4AG，从而得到答案．

【解题过程】

解：∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAC＝60°，AE＝AC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，

∵F为AB的中点，

∴AB＝2AF，

∴BC＝AF，

在△ABC和△EFA中，

，

∴△ABC≌△EFA（SAS），

∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，

∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴EF⊥AC，故①正确，

∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，

∴FH∥BC，

∵F是AB的中点，

∴FH是△ABC的中位线，

∴FH BC，

∵BC AB，AB＝BD，

∴BD＝4FH，故④正确；

∵AD＝BD，BF＝AF，

∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，

∵∠FAE＝90°，

∴∠DFB＝∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF＝30°，

∴∠BDF＝∠FEA，

在△DBF和△EFA中，

，

∴△DBF≌△EFA（AAS），

∴AE＝DF，

∵FE＝AB＝AD，

∴四边形ADFE为平行四边形，

∵AB＞AC，

∴AD＞AE，

∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；

∵AG AF，

∴AG AB，

∵AD＝AB，

则AD＝4AG，故③正确，

故选：C．

6．（宜兴市校级月考）如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为　2　．

【思路点拨】

过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝1，证平行四边形ABCD是菱形，得AD＝CD，再求出CD＝AD＝2AF＝2，然后由菱形面积公式即可求解．

【解题过程】

解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

则AE＝AF＝1，

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝CD×AF，

∴BC＝CD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，

∵∠ADC＝α＝30°，∠AFD＝90°，

∴CD＝AD＝2AF＝2，

∴菱形ABCD的面积＝CD×AF＝2×1＝2，

故答案为：2．

7．（寿光市二模）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于　7.8　．

【思路点拨】

证四边形ABCD是菱形，得CD＝AD＝5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN＝4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案．

【解题过程】

解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，

∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD于点O，

∴平行四边形ABCD是菱形，AD 5，

∴CD＝AD＝5，

连接PD，如图所示：

∵S_△ADP+S_△CDP＝S_△ADC，

∴ AD•PM DC•PN AC•OD，

即 5×PM 5×PN 8×3，

∴5×（PM+PN）＝8×3，

∴PM+PN＝4.8，

∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，

由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，

∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，

故答案为：7.8．

8．（葫芦岛模拟）如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S_{四边形BCDE}＝6S_△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是　①③⑤　

【思路点拨】

根据直角三角形的性质得到∠BAC＝60°，AC AB，根据等边三角形的性质得到∠ACD＝60°，求得CD∥AB，得到BF＝AF AB，推出四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到CF＝AF AB，推出四边形ADCF是菱形；故③正确；根据垂直的定义得到AC⊥DF，故①正确；根据三角形的三边关系得到DA+DF＞BE，故②错误；设AC＝x，则AB＝2x，求得 ，故④错误．

【解题过程】

解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝60°，AC AB，

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD＝60°，

∴∠ACD＝∠BAC，

∴CD∥AB，

∵F为AB的中点，

∴BF＝AF AB，

∴BF∥CD，CD＝BF＝AF，

∴四边形BCDF为平行四边形，故⑤正确；四边形ADCF是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，AF＝BF，

∴CF＝AF AB，

∴四边形ADCF是菱形，故③正确；

∵四边形BCDF为平行四边形，

∴DF∥BC，

又∵∠ACB＝90°，

∴AC⊥DF，故①正确；

∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，

∴DA+DF＞BE，故②错误；

设AC＝x，则AB＝2x，

∴S_△ACD x²，S_△ACB x²，S_△ABE x²，

∴ ，故④错误；

故答案为：①③⑤．

9．（永州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC＝2EG；④∠DFC＝∠EFG．正确的有　①②③④　．（填序号）

【思路点拨】

根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，由线段中点的定义得到AF AD，BG BC，于是得到四边形ABGF是平行四边形，根据平行线的性质得到CE⊥FG；根据AD＝2AB，AD＝2AF，得到AB＝AF，于是得到四边形ABGF是菱形；延长EF，交CD延长线于M，根据全等三角形的性质得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，推出∠AEC＝∠ECD＝90°，根据直角三角形的性质得到结论．

【解题过程】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵点F、G分别是AD、BC的中点，

∴AF AD，BG BC，

∴AF＝BG，

∵AF∥BG，

∴四边形ABGF是平行四边形，

∴AB∥FG，

∵CE⊥AB，

∴CE⊥FG；故①正确；

∵AD＝2AB，AD＝2AF，

∴AB＝AF，

∴四边形ABGF是菱形，故②正确；

∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∵点G是BC的中点，

∴BC＝2EG，故③正确；

延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF＝FD，

在△AEF和△DFM中， ，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ECD＝90°，

∵FM＝EF，

∴FC＝EF＝FM，

∴CF EM，

∴∠ECM＝90°，

∴∠FCD＝∠M＝∠FCE＝∠FEC＝45°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∵AF＝DF，AD＝2AB，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝∠DFC，

∵DF＝AF AD，CD＝AB AD，

∴四边形CDFG是菱形，

∴FG∥CD，

∴∠DCF＝∠CFG，

∵FG⊥CE，

∴∠EFG＝∠CFG，

∴∠EFG＝∠DFC，故④正确，

故答案为：①②③④．

10．（中山市一模）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．

（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；

（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．

【思路点拨】

（1）证△ABE≌△CBF（ASA），得AB＝CB，即可得出平行四边形ABCD是菱形；

（2）由菱形的性质得AD＝AB＝13，设AE＝x，则DE＝13﹣x，在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得出方程：13²﹣x²＝10²﹣（13﹣x）²，解得x ，即可解决问题．

【解题过程】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，

∵BE⊥AD，BF⊥CD，

∴∠AEB＝∠CFB＝90°，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（ASA），

∴AB＝CB，

∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝13，

设AE＝x，则DE＝13﹣x，

在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE²＝AB²﹣AE²＝DB²﹣DE²，

即13²﹣x²＝10²﹣（13﹣x）²，

解得：x ，

∴BE ，

∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13 120．

11．（通川区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F．AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝6，AD＝9，∠ABC＝60°，求∠DCP的度数．

【思路点拨】

（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形；

（2）过P作PH⊥AD于H，交BC于G，由含30°角的直角三角形的性质得AP AB＝3，FP＝BP＝3 ，AH AP ，PH PF ，则DH＝AD﹣AH ，再由勾股定理求出PD、PC的长，证出△PCD是直角三角形，∠DCP＝90°，即可解决问题．

【解题过程】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE＝∠AEB．

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE＝∠BAE．

∴∠BAE＝∠AEB．

∴AB＝BE．

同理：AB＝AF．

∴AF＝BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB＝BE，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）解：过P作PH⊥AD于H，交BC于G，如图所示：

则GH⊥BC，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝6，

∴AB＝AF＝6，AE⊥BF，BP＝FP，∠ABF＝∠AFB＝30°，

∴AP AB＝3，FP＝BP AP＝3 ，

∴AH AP ，PH PF ，

∴DH＝AD﹣AH＝9 ，

∴PD 3 ，

同理：PG＝PH ，BG PG ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝9，

∴CG＝BC﹣BG ，

∴PC 3 ，

∵PC²+CD²＝PD²，

∴△PCD是直角三角形，∠DCP＝90°．

12．（官渡区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．

【思路点拨】

（1）先证四边形AECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CE AB＝AE，即可得出结论；

（2）由勾股定理得AC＝20，再由菱形的性质得AD＝AE ，然后证S_菱形AECD＝S_△ABC，则AD•EF BC•AC，即可得出答案．

【解题过程】

（1）证明：AB∥CD，AD∥EC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，点E是AB的中点，

∴CE AB＝AE，

∴平行四边形AECD是菱形；

（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，

∴AC 20，

∵点E是AB的中点，

∴S_△ABC＝2S_△ACE，

由（1）得：AE AB ，四边形AECD是菱形，

∴AD＝AE ，

∴S_菱形AECD＝2S_△ACE，

∴S_菱形AECD＝S_△ABC，

∵EF⊥AD，

∴AD•EF BC•AC，

即 EF 15×20，

解得：EF＝12，

即线段EF的长为12．

13．（东台市月考）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．

（1）求证：四边形BCEF是菱形．

（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．

【思路点拨】

（1）先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC＝CE，即可得出结论；

（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．

【解题过程】

（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE BC，

∴EF∥BC，

∵BF∥CE，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∵DE CE，

∴BC＝CE，

∴平行四边形BCEF是菱形；

（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，

由（1）知BC＝CE，

∵∠BCE＝60°，

∴△BCE是等边三角形，

∴BE＝CE＝BC＝2，

∵EG⊥BC，

∴BG BC＝1，

在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG ，

∴S_菱形BCEF＝BC•EG＝2 2 ．

14．（白碱滩区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？

（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．

【思路点拨】

（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF＝DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；

（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可；

（3）根据直角三角形的性质得出AD＝5，进而利用菱形的性质解答即可．

【解题过程】

证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE∥AB，

∵AF∥BC，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AF＝BD，则AF＝DC，

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，

理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，

∴AD＝DC，

∴平行四边形ADCF是菱形；

（3）∵△ABC是直角三角形，AB＝6，BC＝10，BD＝DC，

∴AD＝DC＝5，AC ，

∵四边形ADCF是菱形，

∴AC⊥DF，

∴DE ，

∴ ，

即 ，

解得：DG ．

15．（拱墅区模拟）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F．

（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；

（2）若CE＝8，△ACE的面积为64，求菱形ABCD的面积．

【思路点拨】

（1）证CE＝CF＝EH＝FH，即可得出结论；

（2）由三角形面积求出AE＝16，设AB＝CB＝x，则BE＝16﹣x，再在Rt△BCE中，由勾股定理得出方程，求出AB＝10，即可解决问题．

【解题过程】

（1）证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠AEC＝∠AFC＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠CAE＝∠CAF ∠BAD＝30°，

∴CE AC，CF AC，

∵点H为对角线AC的中点，

∴EH＝FH AC，

∴CE＝EH＝FH＝CF，

∴四边形CEHF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CB，

∵CE⊥AB，△ACE的面积为64，

∴ AE•CE＝64，

即 AE×8＝64，

∴AE＝16，

设AB＝CB＝x，则BE＝16﹣x，

在Rt△BCE中，由勾股定理得：8²+（16﹣x）²＝x²，

解得：x＝10，

∴AB＝10，

∴S_菱形ABCD＝AB•CE＝10×8＝80．

16．（株洲期末）如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF BC，连接CD、EF和AF．

（1）求证：DE＝CF；

（2）求证：四边形CDEF为菱形．

（3）若BC＝2，求AF．

【思路点拨】

（1）根据三角形的中位线即可得结论；

（2）先证明四边形CDEF是平行四边形，再证明△DEC是等边三角形，进而可得结论；

（3）根据菱形的性质和等边三角形的性质可得∠EAF＝∠EFA＝30°，所以得∠AFC＝90°，再根据含30度角的直角三角形即可得结果．

【解题过程】

（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE BC，

∵CF BC，

∴DE＝CF；

（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，

∴四边形CDEF是平行四边形，

∵∠CAB＝∠B＝30°，

∴∠ACF＝60°，

∴∠CED＝60°，

∵DE BC，CE AC，BC＝AC，

∴DE＝CE，

∴△DEC是等边三角形，

∴DE＝DC，

∴平行四边形CDEF为菱形．

（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，

∴DE＝EF＝FC＝CD，

∵△DEC是等边三角形，

∴DE＝EC＝CD，

∴EF＝FC＝EC，

∵AE＝EC，

∴AE＝EF＝EC，

∵∠CEF＝60°，

∴∠EAF＝∠EFA＝30°，

∴∠AFC＝90°，

∵CF BC＝1，

∴AF CF ．

17．（宽城区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）连接EF，若∠CEF＝30°，AE ，直接写出四边形ABCD的周长．

【思路点拨】

（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可证得结论；

（2）首先证得．△AEF是等边三角形，得到∠EAF＝60°，由平行线的性质求出∠DAF＝30°，即∠BAE＝30°，得到AB＝2BE，根据勾股定理求出BE，得到AB，即可求得菱形ABCD的周长．

【解题过程】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠ADF，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在△AEB和△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD（ASA），

∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：如图，

∵∠CEF＝30°，AE⊥BC，

∴∠AEF＝60°，

由（1）知，△AEB≌△AFD，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠EAF＝60°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB＝90°，

∴∠DAF＝∠DAE﹣∠EAF＝30°，

∴∠BAE＝30°，

∴BE AB，

∴AB＝2BE，

∵AB²＝BE²+AE²，AE＝2 ，

∴（2BE）²＝BE²+（2 ），

∴BE＝2，

∴AB＝4，

∵由（1）知，四边形ABCD是菱形，

∴四边形ABCD的周长＝4AB＝16．

18．（南岗区期末）已知：在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．

（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；

（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．

【思路点拨】

（1）证△DOF≌△BOE（ASA），得到DF∥BE，DF＝BE，则四边形DEBF为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；

（2）证四边形ADFE是平行四边形，得AE＝DF，再证△ADE是等边三角形，得∠AED＝60°，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得∠EDB＝∠EBD ∠AED＝30°，同理∠FDB＝∠FBD＝30°．

【解题过程】

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠OBE＝∠ODF，

在△BOE和△DOF中，

，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形DEBF是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AD∥EF，

∴四边形ADFE是平行四边形，

∴AE＝DF，

由（1）得：四边形DEBF是菱形，

∴DE＝DF＝BE，

∴AD＝DE，

∵AD＝AE，

∴AD＝AE＝DE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠AED＝60°，

∵DE＝BE，

∴∠EDB＝∠EBD ∠AED＝30°，

同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，

即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．

19．（市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．

（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；

（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．

【思路点拨】

（1）根据∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠B＝30°，AC＝6，即可求CE的长；

（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，根据菱形的判定即可判断四边形CEGF的形状，

【解题过程】

解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAB＝60°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝30°，

∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠BAF＝30°，

∴CE＝AE，

过点E用EH垂直于AC于点H，

∴CH＝AH

∵AC＝6，

∴CE＝2

答：CE的长为2 ；

（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，

∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，

在Rt△ACF与Rt△AGF中，

AF＝AF，CF＝GF，

∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），

∴∠AFC＝∠AFG，

∵CD⊥AB，FG⊥AB，

∴CD∥FG，

∴∠CEF＝∠EFG，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∴CE＝FG，

∴四边形CEGF是菱形

20．（昭通期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝CD＝AE＝6．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB＝18，F为AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，在直线AB上向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在直线CD上向左运动，设运动时间为t秒．当M，N运动时，是否存在以点M，F，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值和平行四边形的面积，若不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）首先证明是平行四边形，再证明邻边相等；

（2）过点D作AB的垂线，垂足为H，求出DH的长，再分情况讨论四边形MFND和四边形FMND为平行四边形的情况．

【解题过程】

（1）证明：∵AB∥CD，

∴AE∥CD，

∵CD＝AE，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵AD＝CD，

∴平行四边形AECD是菱形，

（2）存在，

由题意知AF AB＝9，过点D作AB的垂线，垂足为H，

∵AB∥CD，∠A＝60°，

∴在Rt△AHD中，∠ADH＝30°，

∴AH AD＝3，

∴DH 3 ，

∵运动时间为t秒，

①如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AF﹣AM＝9﹣3t，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，

若MF＝ND，则四边形MFND为平行四边形，

即9﹣3t＝6﹣t，

解得t ，

此时S_▱MFND＝MF×DH＝（9﹣3 ）×3 ；

②如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AM﹣AF＝3t﹣9，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，

若MF＝ND，则四边形FMND为平行四边形，

即3t﹣9＝6﹣t，

解得t ，

此时S_▱FMND＝MF×DH＝（3 9）×3 ；

综上：当t 时，四边形MFND为平行四边形，面积为 ；当t 时，四边形FMND为平行四边形，面积为 ．