专题05平行四边形的判定压轴题二种模型全攻略

【类型一平行四边形的判定与性质综合问题】

例1．（黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形， ，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的 的所有三角形．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）先证明 再证明 可得 从而有 于是可得结论；

（2）先证明 再证明 ，从而可得结论.

【详解】

证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，

，

四边形BEDF是平行四边形.

（2）由（1）得：

四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形，

，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练的运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是证明的关键，第（2）问先确定面积为平行四边形ABCD的 的三角形是解题的关键.

【变式训练1】（湖南·长沙市湘一立信实验学校八年级期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；

(2)若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；

（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据勾股定理得到CG＝AG＝ ，由∠B＝30°得到 ．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到 ，即可得到结论．

(1)

证明：∵AB CE，

∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．

∵F是AC中点，

∴AF＝CF．

在△AFD与△CFE中，

，

∴△AFD≌△CFE（AAS），

∴DF＝EF，

∴四边形ADCE是平行四边形；

(2)

解：过点C作CG⊥AB于点G，

∵∠CAB＝45°，

∴ ，

在△ACG中，∠AGC＝90°，

∴ ，

∵ ，

∴CG＝AG＝ ，

∵∠B＝30°,

∴ ,

∴ ,

在Rt△BCG中， ，

∴ ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

【变式训练2】（江苏·八年级专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点， 于E点， 于F．

(1)求证：四边形DEBF为平行四边形；

(2)若 ， ， ，求 的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)33

【解析】

【分析】

（1）先根据平行线的判定可得 ，再根据平行四边形的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，最后根据平行四边形的判定即可得证；

（2）先根据平行四边形的性质可得 ，再根据勾股定理可得 ，从而可得 ，结合 可得 ，然后根据线段的和差、勾股定理可得 ，最后根据直角三角形的面积公式即可得．

(1)

证明： ，

，

四边形 是平行四边形，

，

，

在 和 中， ，

，

，

又 ，

四边形 为平行四边形；

(2)

解： 四边形 是平行四边形， ，

，

，

，即 ，

，即 ，

①，

又 ②，

联立①、②得： ，

，

则 的面积为 ．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．

【变式训练3】（浙江杭州·八年级期末）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

【分析】

（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．

（2）利用等面积法求出CD长．

【详解】

（1）

证明：∵AD//BC，

∴∠BAD+∠B＝180°，

∵∠B＝∠D，

∴∠BAD+∠D＝180°，

∴AB//CD，

又∵AD//BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，

∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，

∵AF＝2AE，

∴BC＝2CD＝6，

∴CD＝3．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键．

【类型二平行四边形判定中动点问题】

例2.（广东中山·八年级期中）如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝acm，BC＝bcm，b满足 ，若动点P从A点出发，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，动点P、Q同时停止运动，回答下列问题：

（1）AD＝　　cm，BC＝　　cm．

（2）设点P、Q同时出发，并运动了x秒，求当x为多少秒时，四边形PQCD成为平行四边形？

（3）如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，以每秒0.5cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），求当t为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．

【答案】（1） ，8；（2）当x=2.4秒时，四边形PQCD为平行四边形；（3）当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．

【解析】

【分析】

（1）利用二次根式有意义的条件即可求解；

（2）由于PD//QC，所以当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形，根据PD=QC列出关于x的方程，解方程即可；

（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，设运动时间为t秒，分当①0＜t≤3，②3＜t≤6，③6＜t≤9，④9＜t≤12时列式求解即可．

【详解】

（1）∵ ，

∴ ， ，

∴ ，则 ，

∴AD=6(cm)，BC=8(cm)，

故答案为： ，8；

（2）根据题意得：PA=0.5x，CQ=2x，则PD=AD-PA=6-0.5x．

∵AD//BC，即PD//CQ，

∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，

即6-0.5x=2x，

解得x=2.4秒，

故当x=2.4秒时四边形PQCD为平行四边形；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴PD//BC，

若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD=BQ，

设运动时间为t秒，

①当0＜t≤3时，PD=6-0.5t，BQ=6-2t，

∴6-0.5t=6-2t，

解得：t=0（不合题意舍去）；

②当3＜t≤6时，PD=6-0.5t，BQ=2t-6，

∴6-0.5t=2t-6，

解得：t=4.8；

③当6＜t≤9时，PD=6-0.5t，BQ=18-2t，

∴6-0.5t=18-2t，

解得：t=8；

④当9＜t≤12时，PD=6-0.5t，BQ=2t-18，

∴6-0.5t=2t-18，

解得：t=9.6；

综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，平行四边形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质并进行分类讨论是解题的关键．

【变式训练1】（辽宁沈阳·八年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE＝ OD，BF＝ OB，连接AE、CE、CF、AF．

（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．

（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为　．

【答案】（1）见解析；（2）8＋4 ．

【解析】

【分析】

（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD．再证OE＝OF，即可得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理证明△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，再由勾股定理得CF＝2 ，然后由平行四边形的对边相等即可求解．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵DE＝ OD，BF＝ OB，

∴DE＝BF，

∴OD＋DE＝OB＋BF，

即OE＝OF，

∴四边形AFCE为平行四边形；

（2）解：如图所示：

由（1）得：OA＝OC＝ AC＝3，OE＝OF＝ EF＝5，

∵AF＝4，

∴OA²＋AF²＝OF²，

∴△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，

∴CF＝ ＝ ＝2 ，

∵四边形AFCE是平行四边形，

∴CE＝AF＝4，AE＝CF＝2 ，

∴平行四边形AFCE的周长＝2（AF＋CF）＝8＋4 ，

故答案为：8＋4 ．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理和勾股定理逆定理的应用；熟练掌握平行四边形的判定和性质及勾股定理及逆定理是解题的关键．

【变式训练2】（全国·八年级专题练习）如图，在四边形 中 ， ， ， 是 的中点， 是 边上的一动点（ 与 ， 不重合），连接 并延长交 的延长线于 ．

（1）试说明不管点 在何位置，四边形 始终是平行四边形．

（2）当点 在点 ， 之间运动到什么位置时，四边形 是平行四边形？并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）PC=2时

【解析】

【分析】

（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得结论；

（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．

【详解】

解：（1）∵AD∥BC，

∴∠QDM=∠PCM，

∵M是CD的中点，

∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，

∴△PCM≌△QDM（ASA）．

∴DQ=PC，

∵AD∥BC，

∴四边形PCQD是平行四边形，

∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；

（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，

∵BC-CP=AD+QD，

∴9-CP=5+CP，

∴CP=（9-5）÷2=2．

∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．

【变式训练3】（江西九江·八年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．

（1）若DE＝ OD，BF＝ OB，

①求证：四边形AFCE为平行四边形；

②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．

（2）若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DE＝ OD，BF＝ OB呢？请直接写出结论．

【答案】（1）①见解析；②40；（2）都是，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）①由平行四边形的性质可知OA＝OC、OB＝OD，结合DE＝ OD，BF＝ OB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；

②根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD＝CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长；

（2）由DE＝ OD，BF＝ OB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立，同理可得DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE还是平行四边形．

【详解】

（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．

∵DE＝ OD，BF＝ OB，

∴DE＝BF，

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE为平行四边形；

②解：在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAC＝∠BCA．

∵CA平分∠BCD，

∴∠BCA＝∠DCA，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴AD＝CD．

∵OA＝OC，

∴OE⊥AC，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴AE＝CE．

∵∠AEC＝60°，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），

∴C_四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）；

（2）解：若DE＝ OD，BF＝ OB，四边形AFCE是平行四边形，

理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB，

∴DE＝BF，

∴OB+BF＝OD+DE，

即OF＝OE，

∵OA＝OC，

∴四边形AFCE为平行四边形．

若DE＝ OD，BF＝ OB，则四边形AFCE为平行四边形，

理由：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB．

∴DE＝BF，

∴OB+BF＝OD+DE，

即OF＝OE，

∵OA＝OC，

∴四边形AFCE为平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键．

【课后训练】

1．（江苏·淮安市洪泽实验中学八年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF．

(2)求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）只需要利用AAS证明两个三角形全等即可；

（2）根据△ABE≌△CDF，得到AE=CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD，得到AE∥CF，由此即可证明结论．

(1)

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（AAS）；

(2)

解：∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质与判定条件．

2．（海南三亚·八年级期末）如图，D是 的边AB上一点， ，DN交AC于点M，若MA=MC．

(1)求证：四边形ADCN是平行四边形；

(2)若AC DN，CAN 30，MN=1，求四边形ADCN的面积．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)由 ，MA=MC，易证得△ADM≌△CNM，则可得AD=CN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形；

(2)首先根据直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理可求得AM的长，即可求得 ，再由 即可求得．

(1)

证明：

在 与 中

又

四边形ADCN是平行四边形；

(2)

解： AC DN，CAN 30，MN=1，

四边形ADCN是平行四边形

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．

3．（安徽黄山·八年级期末）如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．

(1)求证：O是线段AC的中点：

(2)连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）证明四边形ABCD是平行四边形，则结论得出；

（2）证明△OAE≌△OCF，则OE＝OF，可得出结论．

(1)

证明：∵∠E＝∠F，

∴AD BC，

∵AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AC，BD互相平分，

即O是线段AC的中点；

(2)

证明：如图，

∵AD BC，

∴∠EAC＝∠FCA，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△OAE≌△OCF，

∴OE＝OF，

又AO=CO，

∴四边形AFCE是平行四边形．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质与判断，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

4．（山东烟台·八年级期末）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE//AB交AC于点F，CE//AM，连结AE．

(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）先判断出∠ECD=∠ADB，进而判断出△ABD≌△EDC，即可得出结论；

（2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论．

(1)

证明：∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠ABM，

∵CE∥AM，

∴∠ECD=∠ADB，

∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，

∴BD=DC，

∴△ABD≌△EDC，

∴AB=ED，

∵AB∥ED，

∴四边形ABDE是平行四边形；

(2)

解：结论成立，理由如下：

如图，过点M作MG∥DE交CE于G，

∵CE∥AM，

∴四边形DMGE是平行四边形，

∴ED=GM，且ED∥GM，

由（1）知，AB=GM，AB∥GM，

∴AB∥DE，AB=DE，

∴四边形ABDE是平行四边形．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解绑的关键．

5．（广东·深圳市海湾中学八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．

(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若BC＝BD，求BF的长．

【答案】(1)见解析

(2)2

【解析】

【分析】

（1）根据同旁内角互补，两直线平行得出 ∥ ，从而得出 ，再证明 ，得出 ，从而证明四边形 是平行四边形；

（2）根据平行四边形的性质得出 的长，从而得出 的长，再用勾股定理先求出 的长，再求出 的长．

(1)

证明：∵ ，

∴ ，

∴ ∥ ，

∴ ，

∵E是边CD的中点，

∴CE＝DE，

在△BEC与△FED中，

∴△BEC≌△FED（AAS），

∴ ，

∴四边形BDFC是平行四边形；

(2)

解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°， ，

∴

∵四边形 是平行四边形

∴

∴

∴

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用是解答此题的关键．

6．（全国·八年级）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据线段的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理（ 定理）即可得证；

（2）先根据平行四边形的判定与性质可得 ，从而可得 ，再根据平行四边形的判定即可得证．

【详解】

证明：（1） ，

，

，

，即 ，

在 和 中， ，

；

（2） ，

四边形 是平行四边形，

，

，

，

又 点 在一条直线上，且 ，

，

四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理和平行四边形的判定是解题关键．

7．（江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．动点P从点B出发，沿射线 的方向以每秒 的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段 上以每秒 的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．

（1）若四边形 是平行四边形，求出满足要求的t的值；

（2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为 ，求相应的t的值．

【答案】（1）当t＝6或 秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝ 秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm²；

【解析】

【分析】

（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可；

（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm²，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可．

【详解】

解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，

∴DQ＝CP，

当P从B运动到C时，

∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t

∴16﹣t＝22﹣2t

解得t＝6

当P从C运动到B时，

∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22

∴16﹣t＝2t﹣22，

解得t＝ ，

∴当t＝6或 秒时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时，

即

解得t＝ （秒）

若点P返回时，CP＝2t﹣22，

则

解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去．

故当t＝ 秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm²；

【点睛】

本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程．

8．（四川·达州市通川区第八中学八年级阶段练习）已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．

（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．

（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．

（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．

【答案】（1）60°；（2） ；（3）4.8秒或8秒或9.6秒

【解析】

【分析】

（1）易证∠DPC＝∠DCP，得DP＝CD，又CD＝CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；

（2）由平行四边形的性质得AB＝CD＝4，△PCD三边上的高相等，且等于2 ，由三角形面积公式即可得出答案；

（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，然后分类讨论计算t即可．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠DPC＝∠PCB，

∵CP平分∠BCD，

∴∠PCD＝∠PCB，

∴∠DPC＝∠DCP，

∴DP＝CD，

∵CD＝CP，

∴CP＝CD＝DP，

∴△PDC是等边三角形，

∴∠B＝60°；

（2）如图，过点C作CH⊥AD于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝4，

∵△PDC是等边三角形，

∴PD=CD=4，

∴DH= PD=2，

在Rt△CDH中，CH=

∴S_△PCD＝ ×2 ×4＝4 （cm²）；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴PD//BC，

若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，

设运动时间为t秒，

①当0＜t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，

∴6﹣0.5t＝6﹣2t，

解得：t＝0（不合题意舍去）；

②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，

∴6﹣0.5t＝2t﹣6，

解得：t＝4.8；

③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，

∴6﹣0.5t＝18﹣2t，

解得：t＝8；

④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，

∴6﹣0.5t＝2t﹣18，

解得：t＝9.6；

综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质并进行分类讨论是解题的关键．

9．（湖北黄冈·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形？说明理由；

（2）当PQ＝17时，求t的值．

【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 秒或 秒

【解析】

【分析】

（1）根据题意可计算出当t＝4.8秒时，PD与CQ的长度，从而结合平行四边形的判定定理证明即可；

（2）先计算出t的范围，然后分两种情况结合勾股定理讨论求解即可．

【详解】

解：（1）当t＝4.8秒时，AP=2×4.8=9.6cm，CQ=3×4.8=14.4cm，

∴PD=AD-AP=24-9.6=14.4cm，

∴PD=CQ，

又∵AD∥BC，P、Q分别在AD与BC上，

∴PD∥CQ，

∴四边形PQCD是平行四边形；

（2）∵P的总运动时间为24÷2=12，Q的总运动时间为26÷3= ，

∴由题意可得：t的范围为： ，

①如图1，过A作AE∥PQ，交BC于E点，

∵AE∥PQ，

∴四边形AEQP为平行四边形，

∴AP=EQ=2t，

∴BE=BC-CQ=EQ=26-5t，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

，

解得： ，

即：26-5t=15，

∴ ；

②如图2，过B作BE∥PQ，交AD于E点，

∵PE∥BQ，

∴四边形EBQP为平行四边形，

∴BQ=PE=26-3t，AP=2t，BE=PQ=17，

∴AE=AP-PE=5t-26，

在Rt△ABE中，由勾股定理可得：

，

解得： ，

即：5t-26=15，

∴ ；

综上，当PQ＝17时，t的值为 秒或 秒．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定、勾股定理及动点运动问题，本题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

10．（黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）己知△ABC和△ADE均为等边三角形，点F、D分别在AC、BC上，AF=CD，连接BF、EF．

(1)如图1，求证：四边形 为平行四边形；

(2)如图2，延长 交 于点H，连接 ，请直接写出图2中所有长度等于 的线段．（不包括 本身）

【答案】(1)见解析

(2)与BD相等的线段有：BH、CF、EC、EF．

【解析】

【分析】

（1）先证明△ADC≌△BFA，推出AD=BF=DE，∠DAC=∠FBA，再证明∠BDG=60°，推出BF∥DE，即可证明四边形BFED为平行四边形；

（2）根据△ABC和△ADE均为等边三角形，四边形BFED为平行四边形，利用线段的和与差证明得到BH=CF= EF=BD；证明四边形BHEC为平行四边形，推出EC=BH，即可得到所有长度等于BD的线段．

(1)

证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴∠C=∠BAC=∠ADE=60°，AB=AC，AD=DE，

又∵AF=CD，

∴△ADC≌△BFA，

∴AD=BF=DE，∠DAC=∠FBA，

设AD、BF相交于点G，

∴∠BGD=∠BAG+∠GBA=∠BAG+∠DAC=∠BAC=60°，

∴∠BGD=∠ADE=60°，

∴BF∥DE，

又∵BF=DE，

∴四边形BFED为平行四边形；

，

(2)

解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，且AF=CD，

∴BC-CD=AC-AF，即BD=CF；

由（1）知四边形BFED为平行四边形，

∴EF∥BD，BD=EF；

∴∠AFH=∠C=60°，   

∵∠BAC=60°，

∴△AFH为等边三角形，

∴AF=AH=HF，

∴AB-AH=AC-AF，即BH=CF=BD；

∴EF+HF=BH+AH，即EH=AB=BC，

∵EF∥BD，即EH∥BC，

∴四边形BHEC为平行四边形，

∴EC=BH= BD；

综上，与BD相等的线段有：BH、CF、EC、EF．

，

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．

11．（浙江杭州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm²？

（3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t＝5或 ；（2）9或15；（3）存在，t＝ 秒或

【解析】

【分析】

（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，利用时间＝路程÷速度，即可求出时间；

（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm²，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD＋PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；

（3）当0<t<10.5时，点P向点C运动，使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．

【详解】

解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，

∴DQ＝CP，

当P从B运动到C时，

∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，

CP＝21﹣2t，

∴16﹣t＝21﹣2t，

解得：t＝5，

当P从C运动到B时，

∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，

CP＝2t﹣21，

∴16﹣t＝2t﹣21，

解得：t＝ ，

∴当t＝5或 秒时，四边形PQDC是平行四边形；

（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，

（DQ＋CP）•AB＝60，

即 （16﹣t＋21﹣2t）×12＝60，

解得：t＝9（秒），

若点P返回时，CP＝2t﹣2，

则 （16﹣t＋2t﹣21））×12＝60，

解得：t＝15（秒）．

故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm²；

（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，

∵QH＝HD＝ QD＝ （16﹣t），

∵AH＝BP，

∴2t＝ （16﹣t）＋t，

∴t＝ 秒；

当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，

∵QD²＝PQ²＝t²＋122，

∴（16﹣t）²＝122＋t²，

解得t＝ （秒）；

当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，

∵QD²＝PD²＝PH²＋HD²＝122＋（16﹣2t）²，

∴（16﹣t）²＝122＋（16﹣2t）²，

即3t²﹣32t＋144＝0，

∵△<0，

∴方程无实根，

综上可知，当t＝ 秒或 秒时，△PQD是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．