【324074】2024八年级数学下册 专题2.1 一元二次方程及其解法(重点题专项讲练)(含解析)(
专题2.1
一元二次方程及其解法
【典例1】解方程:
①x2+(
)x
0(因式分解法);
②5x2+2x﹣1=0(公式法);
③y2+6y+2=0(配方法);
④9(x﹣2)2=121(x+1)2(直接开平方法);
⑤
1(换元法);
⑥(x2﹣x)2﹣5(x2﹣x)+6=0(适当方法).
【
思路点拨】
①根据方程特点,采用因式分解法解答.
②根据方程的系数特点,应准确确定各个项系数,利用求根公式求得.
③可以先移项,然后利用配方法解答.
④利用直接开平方法解答;
⑤移项整理,利用换元法求得未知数的解即可.
⑥利用换元法解答.
【
解题过程】
解:①x2+(
)x
0,
(x
)(x
)=0,
∴x
0或x
0,
∴x1
,x2
;
②5x2+2x﹣1=0,
a=5,b=2,c=﹣1,
Δ=b2﹣4ac=4+20=24,
x
,
所以x1
,x2
;
③y2+6y+2=0,
y2+6y=﹣2,
y2+6y+9=﹣2+9,即(y+3)2=7,
∴y+3
,
∴y1=﹣3
,y2=﹣3
;
④9(x﹣2)2=121(x+1)2,
3(x﹣2)=±11(x+1),
∴3(x﹣2)=11(x+1)或3(x﹣2)=﹣11(x+1),
∴x1
,x2
;
⑤
1,
1=0,
设y
,则原方程为y
1=0,
y2﹣y﹣2=0,
解得:y=﹣1,或y=2,
当y=﹣1,
1,此方程无解;
当y=2,
2,解得:x1=1,x2
,
经检验,x1=1,x2
是原分式方程的解,
所以原方程的解为x1=1,x2
.
⑥(x2﹣x)2﹣5(x2﹣x)+6=0,
设y=x2﹣x,
则原方程为y2﹣5y+6=0,
解得:y=3,或y=2,
当y=3,x2﹣x=3,x1
,x2
;
当y=2,x2﹣x=2,解得:x3=2,x4=﹣1;
所以原方程的解为x1
,x2
,x3=2,x4=﹣1.
1.(恩施市期末)下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
①3x2+7=0:②ax2+bx+c=0;③(x﹣2)(x+5)=x2﹣1;④3x
0.
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
【思路点拨】
根据一元二次方程的定义判断即可,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
【解题过程】
解:①3x2+7=0一定是一元二次方程;
②ax2+bx+c=0,当a=0时不是一元二次方程;
③(x﹣2)(x+5)=x2﹣1整理得,3x﹣9=0,是一元一次方程;
④3x
0是分式方程.
故选:A.
2.(望城区期末)若关于x的方程
是一元二次方程,则m的值为( )
A.m≠2 B.m=±2 C.m=﹣2 D.m=2
【思路点拨】
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
【解题过程】
解:∵关于x的方程
是一元二次方程,
∴
,
解得:m=﹣2.
故选:C.
3.(宜州区期末)已知x=﹣1是一元二次方程(a+4)x2+4x﹣a2=0的一个根,则a的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.0或1
【思路点拨】
把x=﹣1代入一元二次方程(a+4)x2+4x﹣a2=0得a+4﹣4﹣a2=0,然后给解关于a的方程,最后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值.
【解题过程】
解:把x=﹣1代入一元二次方程(a+4)x2+4x﹣a2=0得a+4﹣4﹣a2=0,
解得a1=0,a2=1,
因为a+4≠0,
所以a的值为0或1.
故选:D.
4.(莲池区校级期中)已知(x2+y2)2﹣y2=x2+6,则x2+y2的值是( )
A.﹣2 B.3 C.﹣2或3 D.﹣3或2
【思路点拨】
设x2+y2=m,方程变形后用求根公式求解,再根据x2+y2≥0,这个条件确定最后结果.
【解题过程】
解:∵(x2+y2)2﹣y2=x2+6,
∴(x2+y2)2﹣(x2+y2)=6,
设x2+y2=m,
原方程化为:m2﹣m﹣6=0,
解得m1=3,m2=﹣2,
∵x2+y2≥0,
∴x2+y2=3.
故选:B.
5.下列各数中,适合方程a3+a2=3a+3的一个近似值(精确到0.1)是( )
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
【思路点拨】
先将方程进行因式分解,在估算其一个近似值,从而求解.
【解题过程】
解:原方程移项得,
a3+a2﹣3a﹣3=0,
∴(a3+a2)﹣(3a+3)=0,
∴a2(a+1)﹣3(a+1)=0,
⇒(a+1)(a
)(a
)=0,
∴a1=﹣1,a2
,a3
;
又∵
1.732,
∴精确到0.1的近似值是1.7,
故选:C.
6.(兰考县期中)方程(2x+1)(x﹣3)=x2﹣1化为一般形式为 ,二次项系数、一次项系数、常数项的和为 .
【思路点拨】
方程整理为一般形式后,求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可.
【解题过程】
解:方程整理得:x2﹣5x﹣2=0,
∴二次项系数为1,一次项系数为﹣5,常数项为﹣2,
则1﹣5﹣2=﹣6.
故答案为:x2﹣5x﹣2=0,﹣6.
7.(曲靖期末)已知关于x的一元二次方程
的两个根为1和3,那么关于y的一元二次方程
(y2+1)+3=2(y2+1)+b的解y= .
【思路点拨】
根据关于x的一元二次方程
的两个根为1和3,可得y2+1=x2=1和9,于是得到结论.
【解题过程】
解:∵关于x的一元二次方程
的两个根为1和3,
∴关于y的一元二次方程
(y2+1)+3=2(y2+1)+b可得y2+1=x2=1或9,
解得y=0或﹣2
或2
.
故答案为:0或﹣2
或2
.
8.(昌江区校级期末)关于x的方程(1﹣m2)x2﹣2mx﹣1=0的所有根都是比2小的正实数,则实数m的取值范围是 .
【思路点拨】
分1﹣m2=0,1﹣m2≠0两种情况先求出原方程的实数根,再根据两个实数根都是比2小的正实数,列出不等式,求出m的取值范围.
【解题过程】
解:当1﹣m2=0时,m=±1.
当m=1时,可得2x﹣1=0,x
,符合题意;
当m=﹣1时,可得﹣2x﹣1=0,x
,不符合题意;
当1﹣m2≠0时,(1﹣m2)x2+2mx﹣1=0,
[(1+m)x﹣1][(1﹣m)x+1]=0,
∴x1
,x2
.
∵关于x的方程(1﹣m2)x2+2mx﹣1=0的所有根都是比2小的正实数,
∴0
2,解得m
,
0
2,解得m
.
综上可得,实数m的取值范围是m
或m
.
故答案为:m
或m
.
9.(白云区期末)解方程:(x+3)2﹣25=0.
【思路点拨】
先把方程变形为解(x+3)2=25,然后利用直接开平方法解方程.
【解题过程】
解:(x+3)2=25,
x+3=±5,
所以x1=2,x2=﹣8.
10.(浦东新区校级月考)解方程:9(x﹣1)2=16(x+2)2.
【思路点拨】
两边直接开平方可得3(x﹣1)=±4(x+2),再求出每个一元一次方程的解即可.
【解题过程】
解:两边直接开平方,得:3(x﹣1)=±4(x+2),
即3x﹣3=4x+8或3x﹣3=﹣4x﹣8,
解得:x=﹣11或x
.
11.(铜官区期末)解一元二次方程:x2﹣4x=4.
【思路点拨】
配方,开方,即可得出两个一元一次方程,再求出方程的解即可.
【解题过程】
解:x2﹣4x=4,
配方,得x2﹣4x+4=4+4,
(x﹣2)2=8,
开方,得x﹣2
,
解得:x1=2+2
,x2=2﹣2
.
12.(龙山县期末)解方程:x2+5x+7=3x+11.
【思路点拨】
整理后,利用配方法求解即可.
【解题过程】
解:x2+2x=4,
x2+2x+1=4+1,即(x+1)2=5,
∴x+1=±
,
∴x1=﹣1
,x2=﹣1
.
13.(虹口区校级期末)用配方法解方程:
.
【思路点拨】
根据配方法将方程变形,写成完全平方的形式,即可解答此方程.
【解题过程】
解:
,
移项得:x2
x
,
配方得:
,即
,
开方得:
,
解得:
.
14.(西吉县期末)用公式法解方程3x2﹣2=2x.
【思路点拨】
根据一元二次方程的公式法即可求出答案.
【解题过程】
解:整理得3x2﹣2x﹣2=0,
这里a=3,b=﹣2,c=﹣2,
∴△=(﹣2)2﹣4×3×(﹣2)=28>0,
∴x
,
∴x1
,x2
.
15.(庆阳期末)解一元二次方程:3x2﹣3x=x+1.
【思路点拨】
先整理为一般式,再利用公式法求解即可.
【解题过程】
解:整理,得:3x2﹣4x﹣1=0,
∵a=3,b=﹣4,c=﹣1,
∴Δ=(﹣4)2﹣4×3×(﹣1)=28>0,
则x
,
∴x1
,x2
.
16.解方程:
2=0.
【思路点拨】
先把方程化为一般式得到3x2+2x﹣5=0,再用公式法进行求解即可得出答案.
【解题过程】
解:
2=0,
2(x﹣1)+3(x2+3)﹣12=0,
2x﹣2+3x2+9﹣12=,
3x2+2x﹣5=0,
∵a=3,b=2,c=﹣5,
∴b2﹣4ac=64>0,
∴x
,
∴x1
,x2=1.
17.(渭滨区期末)解方程:x(x+1)﹣x=1.
【思路点拨】
先移项,再将左边利用提公因式法因式分解,继而可得两个关于x的一元一次方程,分别求解即可得出答案.
【解题过程】
解:∵x(x+1)﹣x=1,
∴x(x+1)﹣(x+1)=0,
则(x+1)(x﹣1)=0,
∴x+1=0或x﹣1=0,
解得x1=1,x2=﹣1.
18.(洛江区期末)解方程:5x2﹣4x﹣12=0.
【思路点拨】
利用因式分解法把方程转化为5x+6=0或x﹣2=0,然后解两个一次方程即可.
【解题过程】
解:(5x+6)(x﹣2)=0,
5x+6=0或x﹣2=0,
所以x1
,x2=2.
19.(普陀区期中)解方程:(x﹣1)2+6(x﹣1)+8=0.
【思路点拨】
设x﹣1=a,则原方程化为a2+6a+8=0,再把方程的左边分解因式,即可求出a的值,再求出x即可.
【解题过程】
解:(x﹣1)2+6(x﹣1)+8=0,
设x﹣1=a,则原方程化为:a2+6a+8=0,
(a+4)(a+2)=0,
a+4=0或a+2=0,
解得:a=﹣4或﹣2,
当a=﹣4时,x﹣1=﹣4,解得:x=﹣3;
当a=﹣2时,x﹣1=﹣2,解得:x=﹣1;
所以方程的解是x1=﹣3,x2=﹣1.
20.(凤翔县期末)解方程:(x﹣1)2+2x(x﹣1)2=0.
【思路点拨】
方程利用因式分解法求出解即可.
【解题过程】
解:(x﹣1)2+2x(x﹣1)2=0,
分解因式得:(x﹣1)2(1+2x)=0,
所以x﹣1=0或者1+2x=0,
解得:x1=1,x2
.
21.(田家庵区校级自主招生)解关于x的方程:a2(x2﹣x+1)﹣a(x2﹣1)=(a2﹣1)x.
【思路点拨】
按x的降幂排列整理方程,根据字母系数的取值分类讨论求解.
【解题过程】
解:整理方程得
(a2﹣a)x2﹣(2a2﹣1)x+(a2+a)=0.
(1)当a2﹣a≠0,即a≠0,1时,原方程为一元二次方程,
[ax﹣(a+1)][(a﹣1)x﹣a]=0,
x1
,x2
;
(2)当a2﹣a=0时,原方程为一元一次方程,
当a=0时,x=0;
当a=1时,x=2.
22.(太原期末)解方程(x2﹣1)2﹣3(x2﹣1)=0时,我们将x2﹣1作为一个整体,设x2﹣1=y,则原方程化为y2﹣3y=0.解得y1=0,y2=3.当y=0时,x2﹣1=0,解得x=1或x=﹣1.当y=3时,x2﹣1=3,解得x=2或x=﹣2.所以,原方程的解为x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.
模仿材料中解方程的方法,求方程(x2+2x)2﹣2(x2+2x)﹣3=0的解.
设x2+2x=m,用m代替方程中的x2+2x,然后解关于m的一元二次方程,然后再来求关于x的一元二次方程.
【解题过程】
解:设x2+2x=m,
则m2﹣2m﹣3=0,
∴(m﹣3)(m+1)=0,
∴m﹣3=0或m+1=0,
解得m=3或m=﹣1,
当m=3时,x2+2x=3,即x2+2x﹣3=0,
∴(x+3)(x﹣1)=0,
则x+3=0或x﹣1=0,
解得x1=﹣3,x2=1;
当m=﹣1时,x2+2x=﹣1,即x2+2x+1=0,
∴(x+1)2=0,
解得x3=x4=﹣1;
综上,原方程的解为x1=﹣3,x2=1,x3=x4=﹣1.
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