专题2.1 一元二次方程及其解法

【典例1】解方程：

①x²+（ ）x 0（因式分解法）；

②5x²+2x﹣1＝0（公式法）；

③y²+6y+2＝0（配方法）；

④9（x﹣2）²＝121（x+1）²（直接开平方法）；

⑤ 1（换元法）；

⑥（x²﹣x）²﹣5（x²﹣x）+6＝0（适当方法）．

【 思路点拨】

①根据方程特点，采用因式分解法解答．

②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得．

③可以先移项，然后利用配方法解答．

④利用直接开平方法解答；

⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可．

⑥利用换元法解答．

【 解题过程】

解：①x²+（ ）x 0，

（x ）（x ）＝0，

∴x 0或x 0，

∴x₁ ，x₂ ；

②5x²+2x﹣1＝0，

a＝5，b＝2，c＝﹣1，

Δ＝b²﹣4ac＝4+20＝24，

x ，

所以x₁ ，x₂ ；

③y²+6y+2＝0，

y²+6y＝﹣2，

y²+6y+9＝﹣2+9，即（y+3）²＝7，

∴y+3 ，

∴y₁＝﹣3 ，y₂＝﹣3 ；

④9（x﹣2）²＝121（x+1）²，

3（x﹣2）＝±11（x+1），

∴3（x﹣2）＝11（x+1）或3（x﹣2）＝﹣11（x+1），

∴x₁ ，x₂ ；

⑤ 1，

1＝0，

设y ，则原方程为y 1＝0，

y²﹣y﹣2＝0，

解得：y＝﹣1，或y＝2，

当y＝﹣1， 1，此方程无解；

当y＝2， 2，解得：x₁＝1，x₂ ，

经检验，x₁＝1，x₂ 是原分式方程的解，

所以原方程的解为x₁＝1，x₂ ．

⑥（x²﹣x）²﹣5（x²﹣x）+6＝0，

设y＝x²﹣x，

则原方程为y²﹣5y+6＝0，

解得：y＝3，或y＝2，

当y＝3，x²﹣x＝3，x₁ ，x₂ ；

当y＝2，x²﹣x＝2，解得：x₃＝2，x₄＝﹣1；

所以原方程的解为x₁ ，x₂ ，x₃＝2，x₄＝﹣1．

1．（恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）

①3x²+7＝0：②ax²+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x²﹣1；④3x 0．

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④

【思路点拨】

根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【解题过程】

解：①3x²+7＝0一定是一元二次方程；

②ax²+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；

③（x﹣2）（x+5）＝x²﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；

④3x 0是分式方程．

故选：A．

2．（望城区期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为（　　）

A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2

【思路点拨】

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【解题过程】

解：∵关于x的方程 是一元二次方程，

∴ ，

解得：m＝﹣2．

故选：C．

3．（宜州区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程（a+4）x²+4x﹣a²＝0的一个根，则a的值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1

【思路点拨】

把x＝﹣1代入一元二次方程（a+4）x²+4x﹣a²＝0得a+4﹣4﹣a²＝0，然后给解关于a的方程，最后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．

【解题过程】

解：把x＝﹣1代入一元二次方程（a+4）x²+4x﹣a²＝0得a+4﹣4﹣a²＝0，

解得a₁＝0，a₂＝1，

因为a+4≠0，

所以a的值为0或1．

故选：D．

4．（莲池区校级期中）已知（x²+y²）²﹣y²＝x²+6，则x²+y²的值是（　　）

A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2

【思路点拨】

设x²+y²＝m，方程变形后用求根公式求解，再根据x²+y²≥0，这个条件确定最后结果．

【解题过程】

解：∵（x²+y²）²﹣y²＝x²+6，

∴（x²+y²）²﹣（x²+y²）＝6，

设x²+y²＝m，

原方程化为：m²﹣m﹣6＝0，

解得m₁＝3，m₂＝﹣2，

∵x²+y²≥0，

∴x²+y²＝3．

故选：B．

5．下列各数中，适合方程a³+a²＝3a+3的一个近似值（精确到0.1）是（　　）

A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8

【思路点拨】

先将方程进行因式分解，在估算其一个近似值，从而求解．

【解题过程】

解：原方程移项得，

a³+a²﹣3a﹣3＝0，

∴（a³+a²）﹣（3a+3）＝0，

∴a²（a+1）﹣3（a+1）＝0，

⇒（a+1）（a ）（a ）＝0，

∴a₁＝﹣1，a₂ ，a₃ ；

又∵ 1.732，

∴精确到0.1的近似值是1.7，

故选：C．

6．（兰考县期中）方程（2x+1）（x﹣3）＝x²﹣1化为一般形式为　　，二次项系数、一次项系数、常数项的和为　　．

【思路点拨】

方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．

【解题过程】

解：方程整理得：x²﹣5x﹣2＝0，

∴二次项系数为1，一次项系数为﹣5，常数项为﹣2，

则1﹣5﹣2＝﹣6．

故答案为：x²﹣5x﹣2＝0，﹣6．

7．（曲靖期末）已知关于x的一元二次方程 的两个根为1和3，那么关于y的一元二次方程 （y²+1）+3＝2（y²+1）+b的解y＝　　．

【思路点拨】

根据关于x的一元二次方程 的两个根为1和3，可得y²+1＝x²＝1和9，于是得到结论．

【解题过程】

解：∵关于x的一元二次方程 的两个根为1和3，

∴关于y的一元二次方程 （y²+1）+3＝2（y²+1）+b可得y²+1＝x²＝1或9，

解得y＝0或﹣2 或2 ．

故答案为：0或﹣2 或2 ．

8．（昌江区校级期末）关于x的方程（1﹣m²）x²﹣2mx﹣1＝0的所有根都是比2小的正实数，则实数m的取值范围是　　．

【思路点拨】

分1﹣m²＝0，1﹣m²≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比2小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．

【解题过程】

解：当1﹣m²＝0时，m＝±1．

当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x ，符合题意；

当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x ，不符合题意；

当1﹣m²≠0时，（1﹣m²）x²+2mx﹣1＝0，

[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0，

∴x₁ ，x₂ ．

∵关于x的方程（1﹣m²）x²+2mx﹣1＝0的所有根都是比2小的正实数，

∴0 2，解得m ，

0 2，解得m ．

综上可得，实数m的取值范围是m 或m ．

故答案为：m 或m ．

9．（白云区期末）解方程：（x+3）²﹣25＝0．

【思路点拨】

先把方程变形为解（x+3）²＝25，然后利用直接开平方法解方程．

【解题过程】

解：（x+3）²＝25，

x+3＝±5，

所以x₁＝2，x₂＝﹣8．

10．（浦东新区校级月考）解方程：9（x﹣1）²＝16（x+2）²．

【思路点拨】

两边直接开平方可得3（x﹣1）＝±4（x+2），再求出每个一元一次方程的解即可．

【解题过程】

解：两边直接开平方，得：3（x﹣1）＝±4（x+2），

即3x﹣3＝4x+8或3x﹣3＝﹣4x﹣8，

解得：x＝﹣11或x ．

11．（铜官区期末）解一元二次方程：x²﹣4x＝4．

【思路点拨】

配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．

【解题过程】

解：x²﹣4x＝4，

配方，得x²﹣4x+4＝4+4，

（x﹣2）²＝8，

开方，得x﹣2 ，

解得：x₁＝2+2 ，x₂＝2﹣2 ．

12．（龙山县期末）解方程：x²+5x+7＝3x+11．

【思路点拨】

整理后，利用配方法求解即可．

【解题过程】

解：x²+2x＝4，

x²+2x+1＝4+1，即（x+1）²＝5，

∴x+1＝± ，

∴x₁＝﹣1 ，x₂＝﹣1 ．

13．（虹口区校级期末）用配方法解方程： ．

【思路点拨】

根据配方法将方程变形，写成完全平方的形式，即可解答此方程．

【解题过程】

解： ，

移项得：x² x ，

配方得： ，即 ，

开方得： ，

解得： ．

14．（西吉县期末）用公式法解方程3x²﹣2＝2x．

【思路点拨】

根据一元二次方程的公式法即可求出答案．

【解题过程】

解：整理得3x²﹣2x﹣2＝0，

这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，

∴△＝（﹣2）²﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，

∴x ，

∴x₁ ，x₂ ．

15．（庆阳期末）解一元二次方程：3x²﹣3x＝x+1．

【思路点拨】

先整理为一般式，再利用公式法求解即可．

【解题过程】

解：整理，得：3x²﹣4x﹣1＝0，

∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，

∴Δ＝（﹣4）²﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，

则x ，

∴x₁ ，x₂ ．

16．解方程： 2＝0．

【思路点拨】

先把方程化为一般式得到3x²+2x﹣5＝0，再用公式法进行求解即可得出答案．

【解题过程】

解： 2＝0，

2（x﹣1）+3（x²+3）﹣12＝0，

2x﹣2+3x²+9﹣12＝，

3x²+2x﹣5＝0，

∵a＝3，b＝2，c＝﹣5，

∴b²﹣4ac＝64＞0，

∴x ，

∴x₁ ，x₂＝1．

17．（渭滨区期末）解方程：x（x+1）﹣x＝1．

【思路点拨】

先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．

【解题过程】

解：∵x（x+1）﹣x＝1，

∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，

则（x+1）（x﹣1）＝0，

∴x+1＝0或x﹣1＝0，

解得x₁＝1，x₂＝﹣1．

18．（洛江区期末）解方程：5x²﹣4x﹣12＝0．

【思路点拨】

利用因式分解法把方程转化为5x+6＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．

【解题过程】

解：（5x+6）（x﹣2）＝0，

5x+6＝0或x﹣2＝0，

所以x₁ ，x₂＝2．

19．（普陀区期中）解方程：（x﹣1）²+6（x﹣1）+8＝0．

【思路点拨】

设x﹣1＝a，则原方程化为a²+6a+8＝0，再把方程的左边分解因式，即可求出a的值，再求出x即可．

【解题过程】

解：（x﹣1）²+6（x﹣1）+8＝0，

设x﹣1＝a，则原方程化为：a²+6a+8＝0，

（a+4）（a+2）＝0，

a+4＝0或a+2＝0，

解得：a＝﹣4或﹣2，

当a＝﹣4时，x﹣1＝﹣4，解得：x＝﹣3；

当a＝﹣2时，x﹣1＝﹣2，解得：x＝﹣1；

所以方程的解是x₁＝﹣3，x₂＝﹣1．

20．（凤翔县期末）解方程：（x﹣1）²+2x（x﹣1）²＝0．

【思路点拨】

方程利用因式分解法求出解即可．

【解题过程】

解：（x﹣1）²+2x（x﹣1）²＝0，

分解因式得：（x﹣1）²（1+2x）＝0，

所以x﹣1＝0或者1+2x＝0，

解得：x₁＝1，x₂ ．

21．（田家庵区校级自主招生）解关于x的方程：a²（x²﹣x+1）﹣a（x²﹣1）＝（a²﹣1）x．

【思路点拨】

按x的降幂排列整理方程，根据字母系数的取值分类讨论求解．

【解题过程】

解：整理方程得

（a²﹣a）x²﹣（2a²﹣1）x+（a²+a）＝0．

（1）当a²﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，

[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，

x₁ ，x₂ ；

（2）当a²﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，

当a＝0时，x＝0；

当a＝1时，x＝2．

22．（太原期末）解方程（x²﹣1）²﹣3（x²﹣1）＝0时，我们将x²﹣1作为一个整体，设x²﹣1＝y，则原方程化为y²﹣3y＝0．解得y₁＝0，y₂＝3．当y＝0时，x²﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x²﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x₁＝1，x₂＝﹣1，x₃＝2，x₄＝﹣2．

模仿材料中解方程的方法，求方程（x²+2x）²﹣2（x²+2x）﹣3＝0的解．

【思路点拨】

设x²+2x＝m，用m代替方程中的x²+2x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程．

【解题过程】

解：设x²+2x＝m，

则m²﹣2m﹣3＝0，

∴（m﹣3）（m+1）＝0，

∴m﹣3＝0或m+1＝0，

解得m＝3或m＝﹣1，

当m＝3时，x²+2x＝3，即x²+2x﹣3＝0，

∴（x+3）（x﹣1）＝0，

则x+3＝0或x﹣1＝0，

解得x₁＝﹣3，x₂＝1；

当m＝﹣1时，x²+2x＝﹣1，即x²+2x+1＝0，

∴（x+1）²＝0，

解得x₃＝x₄＝﹣1；

综上，原方程的解为x₁＝﹣3，x₂＝1，x₃＝x₄＝﹣1．